x = Descripción curricular: - Nivel: 1º medio - Sector: Matemática - Unidad temática: Números

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1 Descripción curricular: - Nivel: 1º medio - Sector: Matemática - Unidad temática: Números - Palabras claves: Conjuntos naturales cero recta numérica pares impares múltiplos divisores primos enteros negativos inverso aditivo valor absoluto regularidades numéricas racionales fracción decimales periódicos semiperiódicos irracionales Pi reales. - Contenidos curriculares: Potencias de base un entero, un decimal o una fracción positiva y exponente un entero. Multiplicación de potencias. Resolución de desafíos y problemas numéricos orientados a la identificación de regularidades numéricas. Análisis de la significatividad de las cifras en la resolución de problemas. Conocimiento sobre las limitaciones de las calculadoras en relación con truncar y aproximar decimales. Distinción entre números racionales e irracionales. Aproximación y estimación de números irracionales. Estimaciones de cálculos, redondeos. Construcción de decimales no periódicos. Distinción entre una aproximación y un número exacto. Comentario histórico sobre la invención del cero, de los números negativos y de los decimales. - Contenidos relacionados: - 1º medio: Potencias de base un entero, un decimal o una fracción positiva y exponente un entero. Comentario histórico sobre la invención del cero, de los números negativos y de los decimales. Demostración de propiedades asociadas a los conceptos de múltiplos, factores y divisibilidad. Generalización de la operatoria aritmética a través del uso de símbolos. Relación entre porcentaje, números decimales y fracciones. - º medio: Relación entre la operatoria con fracciones y la operatoria con expresiones fraccionarias. Resolución de desafíos y problemas no rutinarios que involucren sustitución de variables por dígitos y/o números. Potencias con exponente entero. Interpretación del valor absoluto como expresión de distancia en la recta real. - 3º medio: Función raíz cuadrada. Gráfico de: y = x, enfatizando que los valores de x, deben ser siempre mayores o iguales a cero. Identificación de Intervalos en los números reales. x = x

2 Planteo y resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnita. Análisis de la existencia y pertinencia de las soluciones. Comentario histórico sobre los números irracionales; tríos pitagóricos. - 4º medio: Función potencia: y = a x n, a > 0, para n =, 3, y 4. Análisis de la función potencia y su comportamiento para distintos valores de a. Análisis de las expresiones algebraicas y gráficas de las funciones logarítmica y exponencial. - Aprendizajes esperados: Describen ritmos de crecimiento utilizando las potencias y comparan situaciones descriptibles por adición iterada. Multiplican y dividen potencias de base positiva y exponente entero, en contextos numéricos. Relacionan el cambio de signo en el exponente con el valor inverso de una potencia. Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas. Resuelven problemas que involucren operaciones aritméticas con enteros, decimales y fracciones, describiendo y analizando sus procedimientos de resolución. Estiman y analizan resultados en la realización de cálculos y en la resolución de problemas y los ajustan a sus características. Interpretan la información que proporciona la calculadora. Diferencian entre números enteros, racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación relativa en una recta numérica. Conocen algunos antecedentes sobre la historia de los enteros, los decimales y el cero. - Aprendizajes esperados de esta actividad: Conjeturan acerca de resultados y procedimientos que dan cuenta de regularidades numéricas presentes en determinados problemas. Diferencian entre números racionales e irracionales; los caracterizan, los expresan en notación decimal y señalan su ubicación relativa en una recta numérica. - Recursos digitales asociados de Ficha: Conjuntos numéricos. Diapositivas digitales (ppt): Números. Juego: Quién sabe más? Regularidades numéricas. - Actividades propuestas para este tema: En este documento encontrará dos actividades que pretenden poner en práctica los contenidos abordados en la primera unidad de NM1: Números. En estas actividades los estudiantes utilizarán diferentes tipos de números en diversas formas de expresión (entera, decimal, fraccionaria) para cuantificar y resolver problemas. Actividad, Patrones o regularidades numéricas : referida al reconocimiento de regularidades numéricas en arreglos cuadrados o en una serie numérica dada. Actividad, El irracional Pi : referida a la ubicación en la recta numérica del número Pi. A continuación, encontrará los contenidos tratados en estas actividades y sugerencias sobre cómo desarrollarlas con sus estudiantes.

3 Actividad: Patrones o regularidades numéricas. Duración: horas pedagógicas. 1. Mapa de contenidos tratados. NÚMEROS ENTEROS subconjunto NÚMEROS NATURALES subconjuntos PARES IMPARES MÚLTIPLOS DIVISORES PRIMOS OPERACIONES ARITMÉTICAS Pueden formar REGULARIDADES NUMÉRICAS. Desarrollo de la actividad. Esta actividad requiere que sus alumnos, al menos, tengan noción de los conceptos de números naturales, números pares, números impares, múltiplos de un número, divisores de un números, números primos y números enteros. Además, poder realizar operaciones aritméticas en ambos conjuntos. Se sugiere comenzar la actividad en la sala de clases utilizando la guía del alumno y luego asistir al laboratorio de computación para jugar el juego Quién sabe más? Patrones Numéricos. Si no cuenta con un laboratorio de computación puede utilizar un proyector multimedia en la sala de clases. Paso 1: Para activar los conocimientos de sus alumnos, ya abordados en el desarrollo de la unidad, puede dar inicio a esta actividad realizando preguntas como: Para qué se utilizan los números? Cómo sería el mundo si los números no existieran? Con las respuestas a estas preguntas debe esperar que sus alumnos noten la importancia de los contenidos abordados en la unidad. Qué números pertenecen al conjunto de los números enteros? Espere ejemplos de sus alumnos, o bien, qué estos los separen en números positivos, negativos y el cero. Una vez que ya los hayan recordado, escriba en la pizarra la primera línea del esquema anterior (Números enteros). Qué conjuntos numéricos conocemos que estén contenidos en el conjunto de los números enteros? Las respuestas pueden ser variadas pero guíelas hasta obtener como respuesta el conjunto de los números naturales. A continuación escriba en la pizarra la segunda línea del esquema anterior (Números naturales) Qué subconjuntos podemos encontrar en el conjunto de los números naturales?

4 Nuevamente, las respuestas pueden ser muy variadas, sin embargo, puede optar por completar el esquema de la pizarra con los subconjuntos que aparecen en el esquema anterior. Un número puede pertenecer a más de un conjunto a la vez? Esta pregunta permitirá a sus alumnos percibir que un mismo número puede pertenecer a más de un subconjunto a la vez. Si requiere ahondar en las definiciones de los conceptos que se pretenden activar en el inicio de esta clase, puede hacer uso de la ficha Conjuntos numéricos que se encuentra en el portal Educarchile (recursos asociados) o bien, mostrar las siete primeras diapositivas digitales Números que se encuentran en el portal Educarchile (recursos asociados). Paso : Se sugiere armar equipos de trabajo de máximo 4 alumnos. Haga entrega de la guía para el estudiante Patrones o regularidades numéricas disponible en el portal Educarchile. Usted o un alumno puede leer la primera parte de la guía a todo el curso o bien, realizar la lectura en los grupos ya conformados. A través de la observación y/o preguntas dirigidas cerciórese que sus alumnos están desarrollando debidamente la guía. A continuación, se presenta la guía del alumno con las respuestas (o sugerencias de respuestas) en color azul. Nivel: 1º medio Sector: Matemática Unidad temática: Números Patrones o regularidades numéricas Los números se encuentran presente en prácticamente todos los quehaceres de la vida cotidiana. Por lo tanto, son considerados una poderosa herramienta de apoyo al momento de resolver problemas. La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las grandes civilizaciones de la Antigüedad se distinguieron por un importante desarrollo de la aritmética y la geometría, que desembocó en la creación de sistemas de numeración sistemáticos. Hoy en día utilizamos conjuntos de números, formados por elementos que reúnen ciertas propiedades y operaciones en común. A continuación verás cómo algunas de estas propiedades numéricas pueden resultar curiosas e interesantes. Los conjuntos numéricos que utilizarás en esta guía son: Conjunto de los números naturales: IN = {1,, 3, 4, 5...} Conjunto de los números enteros: = {, -5, -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, 5, }

5 Actividades: I. Cuadrados mágicos. Cuenta la leyenda que en China, hace muchísimo tiempo, hubo una enorme inundación. Para hacer retroceder las aguas, la gente decidió hacer sacrificios al dios de uno de los ríos desbordados, el río Lo. Sin embargo, cada vez que se hacía un sacrificio, salía del río una tortuga que tenía un extraño dibujo en su caparazón. La tortuga daba una vuelta alrededor del altar del sacrificio y luego volvía al río, sin que el dios del río diera señales de calmarse. Los sacrificios siguieron sin resultado, hasta que un niño, observando detalladamente a la tortuga exclamó: Hay que hacer 15 sacrificios! Efectivamente, al completar los 15 sacrificios, las aguas del río volvieron a su cause normal y la tortuga nunca más se volvió a ver. Figura 1 A partir de la figura 1, que muestra en forma esquemática las extrañas inscripciones en la caparazón de la tortuga, respondan: En qué creen que se basó el niño de la leyenda para decir que se necesitaban 15 sacrificios? Sugerencia: Las nueve figuras sobre la caparazón de la tortuga están conformadas por puntos. Si sumamos los puntos de cada fila, cada columna o cada diagonal siempre obtendremos como resultado el número 15 (regularidad numérica) Figura En el cuadrado de la figura, las casillas indican el número de puntos que tiene cada una de las figuras de la caparazón de la tortuga. Respondan: Cuántas casillas tiene el cuadrado? 9 casillas Cuál es el número menor que allí aparece? el número 1 Cuál es el número mayor? el número 9

6 Hay números que se repitan? no Sumen los tres números de cada fila. Qué resultado obtienen? siempre se obtiene_15_ Sumen los tres números de cada columna. Cuál es el resultado? siempre se obtiene_15_ Hay otras combinaciones de tres números que tengan la misma suma? Cuáles? Al sumar los números de una diagonal del cuadrado da como resultado 15. Al sumar los números 5-8 de la otra diagonal del cuadrado da como resultado 15. La distribución de los números que se menciona en la leyenda de la tortuga del río Lo es un ejemplo de cuadrado mágico. Cuadrados mágicos: En matemática, se da el nombre de cuadrado mágico a un arreglo de números en forma de cuadrado, que tiene las siguientes propiedades: No hay números que se repitan. Si se suman todos los números en una columna, o todos los números de una fila, o todos los números de una diagonal, se obtiene siempre el mismo valor. Completa la Figura 3 a fin de obtener un cuadrado mágico de 4 filas y 4 columnas Figura 3 (La suma de cada fila, columna y diagonal es 34) Completa el cuadrado mágico de la Figura 4, utilizando los números -7, -5, -3, -1, 1,, 3 y 7. La suma de cada fila, columna y diagonal debe ser Figura 4

7 II. Números triangulares. Los números triangulares, estudiados por Pitágoras en el siglo VI a.c., son números que se representan en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Dibuja los 10 primeros números triangulares. Considerando sólo la cantidad de puntos que los conforman, escribe la secuencia de números que siguen este comportamiento: Números de puntos Junto a tu equipo, describan la manera en la que determinaron los demás valores, sin dibujar los triángulos. Sugerencia: Los alumnos pueden insistir en realizar los dibujos para obtener las repuestas, sin embargo, es importante motivarlos a que obtengan las respuestas a partir de los datos anteriores, por ejemplo, obtener 66 a partir de Sin hacer los dibujos Cómo pueden determinar la cantidad de puntos que forman al décimo tercer número triangular? Cuántos puntos son? Sugerencia: Como el duodécimo número triangular es 78, el décimo tercer (13) número se obtiene sumando = 91, este es el décimo tercer número triangular. Si el trigésimo número triangular es 465 Cuál es el trigésimo primer número triangular? Cómo obtuvieron esa conclusión? Sugerencia: Sumando = 496, el trigésimo primer número triangular es 496.

8 Se obtiene sumando la posición del número triangular buscado con el valor del número triangular anterior. Nota: Aún cuando no es requisito de la actividad, tenga presente que algún equipo puede llegar a concluir que el n- ésimo número triangular también equivale a la suma de los n primeros números n (n + 1) naturales, cuya representación matemática es III. Regla de formación. Las siguientes sucesiones de números cumplen con una regla de formación. Encuentra esas regularidades y luego completa los espacios en blanco. A qué subconjunto de los números naturales pertenece cada sucesión? a), 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16, 18, Subconjunto: Números pares b) 1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Subconjunto: Divisores de 30 c) 4, 8, 1, 16, 0, 4, 8, 3, 36, 40, 44, 48, Subconjunto: Múltiplos de 4 d) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 1, 3,. Subconjunto: Números impares e), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, Subconjunto: Números primos Paso 3: Para concluir la actividad, se sugiere pedir a sus alumnos que, un representante por grupo, aporte con una conclusión sobre qué son los cuadrados mágicos. De esta manera puede anotar las conclusiones en la pizarra y a partir de ellas dar la definición de cuadrados mágicos. Es en este momento cuándo debe hacer lo posible por detectar las posibles ideas erróneas de sus alumnos y corregirlas. Repita el proceso con los números triangulares y las reglas de formación. Conduzca la discusión de tal manera que la mayor cantidad de alumnos pueda opinar. La conclusión final debe orientarse a las propiedades de los números que, bajo ciertas restricciones, cumplen con regularidades o patrones numéricos. Puede apoyar todo este proceso haciendo uso de las primeras 11 diapositivas digitales Números disponibles en el portal Educarchile. Finalizada esta actividad, puede dirigirse al laboratorio de computación y pedir a sus alumnos que jueguen el juego Quién sabe más? Regularidades numéricas. Destine al menos 10 minutos para analizar los resultados obtenidos en el juego y resuelvan en conjunto las preguntas que presentaron mayores dificultades. Si ha optado por utilizar sólo el proyector multimedia, puede pedir que por cada equipo vayan dando las respuestas a cada una de las preguntas, de manera que todos los alumnos puedan participar. Si se presenta algún error detenga el juego y, en conjunto, busquen la respuesta correcta para luego continuar.

9 Actividad: El irracional Pi. Duración: 1 hora pedagógica. 1. Mapa de contenidos tratados.. Desarrollo de la actividad. Esta actividad requiere que sus alumnos, al menos, tengan noción de los conceptos de números racionales e irracionales. Además, poder ubicar números racionales en la recta numérica. Se sugiere comenzar la actividad en la sala de clases utilizando la guía del alumno. Como recurso anexo, se requiere que los alumnos cuenten con una tijera. Paso 1: Para activar los conocimientos de sus alumnos, ya abordados en el desarrollo de la unidad, puede dar inicio a esta actividad realizando preguntas como: De los conjuntos que hemos estudiado Cuál es el conjunto numérico que contiene a todos los otros conjuntos? Sus alumnos deben responder Conjunto de los números reales argumentando que este conjunto contiene al conjunto de los números racionales e irracionales. No ahonde en la cardinalidad de los conjuntos ya que puede llegar a un error conceptual al pensar que el conjunto de los números reales posee más elementos que el conjunto de los números racionales o irracionales. En este momento puede escribir en la pizarra la primera línea del esquema anterior (Números reales). Esta pregunta puede omitirla si ha decidido aplicar la actividad al momento en que abordaba el concepto de número irracional. Cómo podríamos caracterizar los elementos que pertenecen al conjunto de los números racionales? Esta pregunta tiene como objetivo que los alumnos recuerden las dos maneras en las que se puede presentar un número racional, como fracción y como número decimal. Es importante qué pida a sus alumnos que, además de mencionar el concepto de número decimal, recuerden

10 que para que un número decimal sea racional debe ser finito, periódico o semiperiódico. Los alumnos pueden dar algunos ejemplos numéricos para reforzar las definiciones. Puede escribir el primer concepto de la segunda línea del esquema anterior (Números racionales). Cuál es la característica principal de un número irracional? Con esta pregunta puede percibir cómo sus alumnos identifican un número irracional. Debe esperar que orienten sus respuestas al desarrollo decimal infinito y sin periodicidad del número. Dónde se ubica el número 3,1 en la recta numérica? Es probable que los alumnos digan que el número se encuentra cerca del tres, a la derecha de éste. Debe entonces motivar a que lo ubiquen de manera exacta, puede ser transformando el número a fracción o bien dividiendo el segmento unidad en décimos. Para finalizar esta etapa de la clase plantee la primera pregunta de la guía Es posible ubicar a todos los números que conoces en la recta numérica? Permita a sus alumnos dar respuestas posibles pero no ahonde más en el tema. Puede mencionarles que al final de la clase realizará la misma pregunta para ver si continúan pensando lo mismo. Si requiere ahondar en las definiciones de los conceptos que se pretenden activar en el inicio de esta clase, puede hacer uso de la ficha Conjuntos numéricos que se encuentra en el portal Educarchile (recursos asociados) o bien, mostrar las diapositivas digitales Números, desde la décimo segunda, que se encuentran en el portal Educarchile (recursos asociados). Paso : Si desea armar equipos, se sugiere trabajo en parejas. El material permite trabajo individual. Haga entrega de la guía para el estudiante El irracional Pi disponible en el portal Educarchile. Usted o un alumno puede leer la primera parte de la guía a todo el curso o bien, realizar lectura individual. A través de la observación y/o preguntas dirigidas cerciórese que sus alumnos están desarrollando debidamente la guía. A continuación, se presenta la guía del alumno con las respuestas (o sugerencias de respuestas) en color azul. FICHAS TEMÁTICAS: Nivel: 1º medio Sector: Matemática Unidad temática: Números El irracional Pi (π ) Es posible representar todos los números que conoces en la recta numérica? Si los números irracionales, por su desarrollo decimal infinito y no periódico, no pueden ser expresados como una fracción. Podemos saber exactamente dónde ubicarlos en la recta numérica? Lo que debes recordar para desarrollar esta actividad es: Conjunto de los números naturales:

11 IN = {1,, 3, 4, 5...} Conjunto de los números enteros: = {, -5, -4, -3, -, -1, 0, 1,, 3, 4, 5, } Conjunto de los números racionales: Conjunto de los números irracionales *: Un número irracional es un decimal infinito, cuya parte decimal no posee periodo, es decir, no puede ser representado como racional. Actividad: Recuerda que para determinar el perímetro de una circunferencia siempre has utilizado la fórmula: P( ) = π r, donde r es el radio de la circunferencia. Pero Qué es π? Cuál es su valor? Cómo podemos ubicarlo en la recta numérica? Comenta con tus compañeros. Sugerencia: π es una constante, cuyo valor aproximado es 3,1415. Puede ser ubicado en la recta numérica haciendo una aproximación de él. Probablemente los alumnos sólo se aproximen a estas respuestas y aún cuando no lo hagan no es relevante ya que sólo se pretende que se cuestionen. Las repuestas correctas las deberán dar finalizando la actividad. El segmento de longitud u representa el segmento unidad de una recta numérica. u A partir de él, construiremos una recta numérica La circunferencia que se muestra tiene radio 1 u, es decir, su radio mide la mitad del segmento unidad. 1 u Completa los recuadros para obtener el perímetro de la circunferencia: P( ) = π 1 P( ) = 1 π Corta la circunferencia del Anexo 1 y partiendo del origen hazla rodar por la recta numérica Hasta donde llegaste? Aproxima tu respuesta.

12 Sugerencia: Pasado el número 3, cerca de 3,1. Nota: Si sus alumnos muestran dificultades con la tarea asignada, sugiérales que ubiquen la circunferencia perpendicular a la hoja u Ahora, imagina que tenemos una lupa que nos permite ver de cerca la recta numérica, de esta forma veremos como ésta queda dividida en décimos. Corta la circunferencia del Anexo y partiendo del origen hazla rodar por la recta numérica Hasta donde llegaste ahora? Puedes dar una respuesta más exacta que en el caso anterior? Por qué? Sugerencia: Ahora se llegó a 3,1 y un poco más. La respuesta es más exacta porque antes sólo se sabía que era un poco más que 3, esto gracias a que la recta se encuentra dividida en décimos de unidad. 1 u Qué crees que sucedería si pudiéramos agrandar aún más la recta, viendo la división de la recta numérica en centésimos? Qué sucedería con la aproximación del número Pi? Sugerencia: Se podría ubicar de manera más exacta el número Pi, ahora con dos decimales. De acuerdo a tu respuesta anterior. Al ubicar el número Pi en la recta numérica Es posible determinar exactamente su desarrollo decimal? Argumenta. Sugerencia: No es posible ser exactos con el desarrollo decimal de Pi, ya que a medida que se aumenta la división de la recta numérica se puede determinar un nuevo dígito decimal para Pi, pero éste es un número irracional, por lo tanto tiene infinitas cifras decimales sin periodo. Se tendrían que realizar infinitas divisiones en el segmento unidad para tener la ubicación exacta. Lo cual no es posible.

13 Un poco de historia: En el siglo III a.c., el matemático griego Arquímedes de Siracusa, utilizando polígonos regulares inscritos y circunscritos a una circunferencia y con un polígono de 96 lados y sin calculadora! Obtuvo que el valor de Pi se encontraba entre: 3, <π < 3,14865 En el siglo XV d.c., usando un polígono de.83 lados, el matemático Al Kashi obtuvo una aproximación de Pi de 17 cifras: π 3, Hoy en día, utilizando sofisticados programas computacionales, se ha logrado tener una aproximación de Pi de cifras decimales. Te imaginas cómo podrías ubicar este número exactamente en la recta numérica? Anexos: 1 u Anexo 1 Anexo Paso 3: Para concluir la actividad, se sugiere entablar una discusión sobre la última pregunta de la guía Es posible determinar exactamente su desarrollo decimal?. A partir de las respuestas sus alumnos deben comprender que un número irracional debe ser aproximado para poder ubicarlo en la recta numérica (salvo que sea una raíz cuadrada). Anote las conclusiones en la pizarra para poder hacer una síntesis al final de la clase. Es en este momento cuándo debe hacer lo posible por detectar las posibles ideas erróneas de sus alumnos y corregirlas. Contraste estas respuestas con las dadas al inicio de la clase. Conduzca la discusión de tal manera que la mayor cantidad de alumnos pueda opinar. La última parte de la guía puede ser comentada o bien leída por usted o un alumno al grupo curso. Pregunte a sus alumnos si creen que es posible determinar todas las cifras decimales de Pi, así notará si verdaderamente comprenden la noción de infinitas cifras. Puede apoyar todo este proceso haciendo uso de la presentación en Power Point Conjuntos numéricos disponible en el portal Educarchile.