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1 PÁGINA: 1 de 11 Nombres y Apellidos del Estudiante: Docente: Área: Matemáticas Grado: OCTAVO Periodo: TERCERO - GUÍA 3 Duración: 5 horas Asignatura: Matemáticas ESTÁNDAR: Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y proponer a prueba conjeturas INDICADORES DE DESEMPEÑO: Factoriza Expresiones algebraicas EJE(S) TEMÁTICO(S): FACTORIZACION DE TRINOMIOS MOMENTO DE REFLEXIÓN / CRECIMIENTO PERSONAL/ SEGÚN EL TEMA Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía. Isócrates ORIENTACIONES Lee atentamente la guía. Sigue las instrucciones dadas por el docente. Resuelve en el cuaderno las actividades propuestas en esta guía. EXPLORACIÓN El uso de figuras geométricas como herramienta de comprensión de situaciones abstractas, fue una estrategia utilizada por los griegos (300 a.c.) para dar solución a diferentes ecuaciones y demostrar algunas propiedades de la adición y la multiplicación. De igual manera, en el segundo libro de los elementos de Euclides se plantea la demostración de varias proposiciones algebraicas a partir de medios geométricos. Algunas de estas ideas corresponden a los métodos actuales de factorización. Por ejemplo, la expresión a(b + c + d) = ab + ac + ad, se podía obtener al considerar que el rectángulo determinado por o y por la suma de los segmentos b, c y d es igual a la suma de los rectángulos determinados por a y por cada uno de los segmentos b, c y d tomados por separado, y viceversa.

2 PÁGINA: 2 de 11 CONCEPTUALIZACIÓN 1.TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio ordenado respecto a una de sus variables es cuadrado perfecto cuando: El primer y el tercer términos son cuadrados perfectos, es decir, tienen raíz cuadrada exacta. El segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y el tercer términos. Factorizar un trinomio cuadrado perfecto es el proceso inverso a encontrar el desarrollo del cuadrado de la suma o la diferencia de dos términos (producto notable unidad 4). (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2 Así, Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de la suma o de la resta de las raíces cuadradas de su primer y tercer términos. Así, a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2-2ab + b 2 = (a - b) 2 EJERCICIO RESUELTO Un hacendado tiene una parcela cuya área está dada por la expresión 9m 2 + 4n mn. Uno de los requisitos para acceder a una licitación del Ministerio de Agricultura, es que dicha parcela debe ser de forma cuadrada. a. Podrá el hacendado acceder a la licitación? b. De ser así, cuál será la expresión que represente la medida del lado de la parcela? SOLUCIÓN a. Para saber si es posible que el hacendado pueda acceder a la licitación, se debe determinar si la expresión que define el área de la parcela es un trinomio cuadrado perfecto. Para ello, primero se ordena el polinomio con respecto a la variable m. Esto es, 9m 2 + \2mn + 4n 2. *Se extrae la raíz cuadrada a su primer y tercer términos. *Raíz cuadrada del primer término *Raíz cuadrada del tercer termino *Se verifica que el doble producto de las raíces cuadradas de como resultado el segundo término del trinomio. Asi, 2(3m)(2n) = 12mn Por lo tanto, 9m mn + 4n 2 es un trinomio cuadrado perfecto. Así, se puede afirmar que la parcela es de forma cuadrada y el hacendado puede acceder a la licitación.

3 PÁGINA: 3 de 11 Figura 1 b. Para hallar la expresión que determina la medida del lado de la parcela, es necesario factorizar la expresión que representa su área. Así. 9m mn + 4n 2 = (3m + 2n) 2 Luego, la expresión que determina la medida del lado de la parcela es 3m + 2n (figura 1) Factorizar las siguientes expresiones. a) x x + 36 b)16x 2 40xy + 25y 2 a) x x + 36 x 6 2(x) (6) = 12x b) 16x 2 40xy + 25y 2 4x 5y 2(4x) (5y)= 40xy Raíces cuadradas del primer y el tercer términos. Doble producto de las raíces cuadradas. Raíces cuadradas del primer y el tercer términos. Doble producto de las raíces cuadradas. 2. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACION Existen algunos trinomios para los cuales se verifica que su primer y tercer término son cuadrados perfectos, pero su segundo término no es el doble producto de las raíces cuadradas de estos. Tal es el caso del trinomio x 4 + 2x Para lograr que un trinomio de esta forma se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, basta con sumar y restar un mismo término (semejante al segundo) de tal forma que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y el tercer términos. A este proceso se le denomina completar cuadrados.

4 PÁGINA: 4 de 11 EJERCICIO RESUELTO Indicar el término que se debe sumar y restar a cada trinomio, para que se convierta en trinomio cuadrado perfecto. a. b. a. Para que m 4 + 6m sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 10m 2. Por tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 4m 2, pues 6m 2 + 4m 2 = 10m 2. b. Para que 4a 4 + 3a 2 b 2 + 9b 4 sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 12a 2 b 2. Por tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 9a 2 b 2, pues 3a 2 b 2 + 9a 2 b 2 = 12a 2 b 2 Factoriza x 4 + 3x Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, se completan cuadrados y se factoriza dicha expresión, primero, como un trinomio cuadrado perfecto y luego, como una diferencia de cuadrados. El área de un rectángulo está dada por la expresión 4m 4-29m 2 rc n 4. Determinar la longitud de sus lados El rectángulo del problema se ilustra en la siguiente figura Para poder solucionar el problema es necesario factorizar la expresión del área. Para que sea un trinomio cuadrado perfecto, se necesita que el segundo término sea 20m 2 n 2. Por tal razón, el término que se debe sumar y restar al trinomio es 49m 2 n 2.

5 PÁGINA: 5 de 11 Pues -29m 2 n m 2 n 2 = 20m 2 n 2. Así, 4m 4-29m 2 n n 4 = 4m 4-29m 2 n n m 2 n 2-49m 2 n 2 = 4m m 2 n n 4-49m 2 n 2 = (2m 2 + 5n 2 ) 2 49m 2 n 2 = [(2m 2 + 5n 2 ) - 7mn][(2m 2 + 5n 2 ) + 7mn] = (2m 2-7mn + 5n 2 )(2m 2 + 7mn + 5n 2 ) = Luego, 4m 4-29m 2 n n 4 = (2m 2-7mn + 5n 2 )(2m 2 + 7mn + 5n 2 ). = Asi, las dimensiones del rectángulo son: (2m 2-7mn + 5n 2 ) y (2m 2 + 7mn + 5n 2 ). 3. TRINOMIO DE LA FORMA x 2n + bx n + c Expresiones como x 2 + 5x + 6, a 4 + 3a 2-10, m 6-5m 3-36 son trinomios de la forma x 2n + bx n + c. Los trinomios de esta forma presentan las siguientes características: 1. El coeficiente del primer término es El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad. 3. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo términos del trinomio. Para factorizar un trinomio de la forma x 2n + bx n + c, se buscan dos números r y s, tales que, x n bx n c x n r x n s Donde r + s = b y r s = c EJERCICIOS RESUELTOS a. x 2 + 5x + 6 b. a 4-7a 2 30 c. m 2 + abcm - 56a 2 b 2 c 2 a) x 2 + 5x + 6 = (x )(x ) Raíz cuadrada del primer término del trinomio Se buscan dos números cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Estos números son 2 y 3.

6 PÁGINA: 6 de 11 Luego, x 2 +5x + 6= (x + 2) (x + 3) b) a 4-7a 2 30 = (a 2 ) ( a 2 ) Raíz cuadrada del primer término del trinomio Se buscan dos números cuya suma sea 7 y cuyo producto sea 30. Estos números son 10 y 3. Luego, c) m 2 + abcm - 56a 2 b 2 c 2 = (m + )(m ) Raíz cuadrada del primer término del trinomio (m + 8abc) (m 7abc) En este caso, las expresiones que se deben tener en cuenta son 1abc 56a 2 b 2 c 2 = FACTORIZAR LA EXPRESION m m + 24 y elaborar una representación grafica de ella. Para factorizar la expresión m m + 24, se buscan dos números cuya suma sea 11 y cuyo producto sea 24. Estos números son 8 y 3. Así; m 2 + 5m + 24 = (m + 8) (m + 3) La representación grafica de la expresión m m + 24 como el área de un rectángulo de lados m + 8 y m + 3, respectivamente, se muestra en la figura 2. Figura 2 4. TRINOMIO DE LA FORMA ax 2n + bx n + c Expresiones como 2x 2 + 3x 2, 6a 2 + 7a 2 + 2, 7m 6 33m 3 10, son trinomios de la forma ax 2n + bx n + c Los trinomios de esta forma presentan las características: a) El coeficiente del primer término es diferente de 1.

7 PÁGINA: 7 de 11 b) El segundo término presenta la misma letra que el primero con su exponente a la mitad. c) El tercer término es independiente de la letra que aparece el primer y segundo término del trinomio. Para factorizar un trinomio de la forma ax 2n + bx n + c existen varios métodos. A continuación se describe uno de ellos. Se toma como valor de referencia el producto de a y c. Se descompone a y c en dos factores, s y t, de tal forma que sx n + tx n = bx n Se escribe el trinomio ax 2n + bx n + c como el polinomio equivalente a ax 2n + sn n + tx n + c Se factoriza el polinomio obtenido como factor común por agrupación de términos. EJERCICIOS RESUELTOS FACTORIZAR LAS SIGUIENTES EXPRESIONES a) 4x x + 9 b)15x 4 23x a) 4x x + 9 Se toma como referencia el producto entre 4 y 9. Esto es 4 * 9 = 36. Se descompone 36 en dos factores s y t, tales que sx + tx = 15. En este caso s =12 y t = 3, pues 12x y 3x = 15x. Se escribe 4x x + 9 como 4x2 + 12x + 3x + 9 Se factoriza dicha expresión como factor común por agrupación, así. 4x x + 9= 4x 2 +12x +3x + 9 = (4x 2 +12x) + (3x + 9) = 4x (x + 3) + 3 (x + 3) = (x + 3) (4x + 3) Luego, 4x x + 9 es = (x + 3) (4x + 3) EJERCICIO RESUELTO Cierto componente electrónico de forma rectangular, esta descrito en su totalidad por la expresión 20x x Determinar las dimensiones y el plano de dicho componente. Para determinar las dimensiones del componente, se deben factorizar la expresión que representa su área. Así,

8 PÁGINA: 8 de 11 20x x + 15 = (2x + 5) (10x + 3) Luego, las dimensiones del componente electrónico están dadas por las expresiones 2x + 5 y 10x + 3 respectivamente. El plano de dicho componente se muestra en la figura 3. Al descomponer cada parte del componente se tiene que las expresiones que lo describen son 20x 2, 50x, 6x y 15. ACTIVIDADES DE APROPIACION Marcar perfecto, o, si la expresión es un trinomio cuadrado, si no lo es. a) y x + 49 e)m 2 10m + 16 b)25x x + 36 f)169 13x +x 2 c)81z 2 32zy + 4y 2 g)r 2 30r d) h) Relacionar cada trinomio con su factorización respectiva; escribiendo sobre la línea la letra correcta 64x 2 48xy 2 + 9y 4 a.(3x 2 y 2 4y 4 ) 2 16x 2 48xy 2 +36y 4 b.(4x 6y 2 ) 2 Para construir un joyero, se utilizo una cartulina cuadrada cuya área es 64x x + 144, a esta se le recortaron los cuadrados de las esquinas como muestra la figura. A=4x 2 20x + 25 Escribir una expresión que permita calcular el área de la base del joyero. el cuadrado levantado sobre BC, es un trinomio cuadrado perfecto? 81y 4 36xy 3 + 4y 2 x 2 c.(8x 3y 2 ) 2 9x 4 y 4 24x 2 y y 8 d.(9y 2 2yx) 2 Marcar con un el termino que se debe sumar o restar al trinomio dado para que sea trinomio cuadrado perfecto. a)z 4 + 4z z 2 2z 2 4z 2 b)x 4 + 2x x 4 4x 2 4x 4 c)x 4 3x 2 z 2 + z 4 x 2 z x 2 z 2 x 4 z 2 d)z 4 + z z 2 z 2 z e)x 8 + x x 4 x 2 2x 4 f)z z z 2 z 4 3z 4 g)x x x 4 2x 4 x 4 h)z 8 + 9z z 4 5z 2 3z 4 PARA PENSAR. Determinar la base y la altura de cada cuadrilátero.

9 PÁGINA: 9 de 11 Factorizar cada trinomio. a)x 4 + 2x 2 y 2 + 9y 4 f)m 4 45m b)x 8 + 6x 4 b b 8 g)r 8 + 3r c)49z y 2 z y 4 i)c 8 14c d)64a a 2 b 2 + b 4 j)16p 4 25p 2 q 6 +9q 12 e)49z z 4 y y 8 k)49m m 4 n n 4 Encontrar dos numeros que sumados den el primer numero de cada fila y multiplicados den el segundo Completa la tabla. Factorizar a)x x + 15 f)m 2 9m +18 b)y 2 +5y 14 g)a 2 11 a + 28 c)t 4-8t h)p p d)b 4 + 7b i)y y e)m 6 37m j)a 4t a 2t Encontrar las dimensiones de cada cuadrilatero. Si el area de un rectangulo es x 6 24x , hallar sus dimensiones y perimetros. Qué polinomio factorizado da (x 12) (x + 8), representar graficamente la situacion.

10 PÁGINA: 10 de 11 Factorizar los siguientes trinomios. Relacionar cada trinomio con el coeficieinte que completa el trinomio para que se pueda factorizar. Completar la siguiente tabla.

11 PÁGINA: 11 de 11 Qué factorizacion se puede obtener de las siguientes graficas? a) Hallar las dimensiones de la base y la altura de cada poligono. Se aplican todas las factorizaciones vistas. a) b) b) c) c) d) SOCIALIZACIÓN Resolver en el aula los ejercicios con la finalidad de aclarar las dudas presentadas y posteriormente presentar la evaluación del tema en las fechas establecipdas. COMPROMISO Resolver Todos los ejercicios de la guía en el cuaderno y entregarlo una vez se termine la guía según las fechas determinadas por el docente ELABORÓ REVISÓ APROBÓ NOMBRES Yaira Lizett Rincón R Alexandra Uribe Rozo CARGO Docentes de Área Jefe de Área Coordinador Académico