Matemáticas I 1º BACHILLERATO

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1 Matemáticas I 1º BACHILLERATO

2 Introducción Estas prácticas constituyen un complemento esencial de los esquemas. Su finalidad principal es la de afianzar los conocimientos expuestos en el módulo. Las actividades propuestas se encuentran secuenciadas por esquemas. De esta forma, una vez terminada cada clase, usted podrá incidir sobre los contenidos fundamentales trabajados en ella y comprobar por sí mismo cómo evoluciona su proceso de aprendizaje. Es importante que intente realizar siempre los ejercicios sin mirar las soluciones. Luego, compruebe las respuestas. Solo así estas prácticas podrán cumplir su función. NOTA: Los esquemas 6 y 20, por su carácter eminentemente práctico, no llevan asociadas actividades. Números y operaciones 3

3 1 NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES PARA EMPEZAR CALCULADORA Cómo escribir un número negativo en la calculadora La tecla +/- convierte el número que hay en la pantalla en su opuesto. Esta tecla también permite introducir una cantidad negativa en la calculadora. Para cambiar de signo el número 2: 2 +/ Realice estas operaciones: a) 6 + ( 4 + 2) ( 3 1) b) 1 (2 3) + ( 4 5) c) El signo + delante del paréntesis no cambia el signo de los números que hay dentro de él. El signo - delante del paréntesis cambia el signo de los números que hay dentro de él. 2 Multiplique: a) 3 5 ( 15) b) c) 3 ( 4) ( 20) d) 8 ( 4) ( 6) 4 Números y operaciones

4 3 Divida: a) 18 : 2 : 3 b) 720 : ( 10) : 9 c) 64 : 8 : 2 d) 120 : ( 12) : ( 5) 4 Represente en la recta numérica los números enteros -5, 8, -2, -7 y 3. Números y operaciones 5

5 2 OPERACIONES COMBINADAS PARA EMPEZAR CALCULADORA Jerarquía de las operaciones Al efectuar la secuencia 3+5 7= se obtienen resultados distintos según el modelo de calculadora que utilice. En una calculadora científica, la calculadora respeta la jerarquía de las operaciones, dando preferencia al x y al sobre el + y x 7 = Si en la calculadora científica quiere calcular (3+5) 7, puede utilizar paréntesis 38 ( ) x 7 = 56 1 Realice estas operaciones: a) ( 26): 2 6: b) 15 ( 9) 7 ( 6): 2 c) (3 + 2) ( ) 2 (2 3) 2 Resuelva sacando factor común. a) ( 3) ( 4) + ( 3) ( 9) b) 7 ( 12) + 7 (+6) c) ( 5) (+11) + ( 5) ( 10) Sacar factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva en sentido inverso: a b + a c = a (b + c) 6 Números y operaciones

6 PRIMERO. Se determina si existe un factor que se repite en todos los sumandos. 12 ( 27) + ( 12) (+17) 12 se repite en los dos sumandos SEGUNDO. El factor que se repite multiplica la suma o resta de los sumandos. 12 ( 27) + ( 12) (+17) = 12 [( 27) + (+17)] = 12 ( 10) = Calcule las siguientes potencias: a) 4 5 b) ( 2) 6 c) 14 2 d) ( 4) 4 e) 7 3 f) ( 9) 2 g) 5 4 h) ( 6) 4 Números y operaciones 7

7 3 DIVISIBILIDAD 1 De los siguientes números, indique cuáles son múltiplos de 12: 72, 324, 482, 948 y Entre los números 24, 30, 65, 72, 81, señale: a) Los divisibles por 2 b) Los divisibles por 3 c) Los divisibles por 5 d) Los múltiplos de 6 3 Halle el m.c.d. y el m.c.m. de estos números. a) 10, 12 y 35 b) 15, 20 y 27 4 Un viajero va a La Palma cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en La Palma. Dentro de cuántos días volverán a estar los dos en La Palma? 8 Números y operaciones

8 5 Tenemos tres rollos de tela de 22 m, 32 m y 44 m para hacer vestidos. Queremos cortarlos en trozos que tengan un número entero de metros e igual longitud. Cuál es la mayor longitud en que los podemos cortar? Números y operaciones 9

9 4 LOS NÚMEROS RACIONALES PARA EMPEZAR CALCULADORA Las fracciones en la calculadora La tecla ab/c sirve para introducir fracciones en la calculadora. Por ejemplo, para escribir 2/3: 2 ab/c Si se escribe una fracción no irreducible, al darle a la tecla simplifica: =, automáticamente se Si se escribe una fracción con numerador mayor que el denominador (ej.: 9/4), al darle a la tecla =, aparece en pantalla 1 Cuántos números racionales hay en esta serie? Hay algún número entero? Y natural? 10 Números y operaciones

10 2 Indique si son o no equivalentes estos pares de fracciones. a) b) 3 Simplifique hasta obtener la fracción irreducible de estas fracciones. Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerador y el denominador son primos entre sí. 4 Clasifique las siguientes fracciones como positivas o negativas: Números y operaciones 11

11 5 Ordene de mayor a menor. 6 Para mi cumpleaños me han regalado una caja de bombones. Si me he comido 12 bombones y la caja tenía 64, qué fracción de bombones he comido y cuál me queda? 12 Números y operaciones

12 5 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES PARA EMPEZAR CALCULADORA Sumas y restas combinadas de fracciones Números y operaciones 13

13 Multiplicación y división de fracciones 1 Reduzca a común denominador. 2 Calcule y simplifique: La descomposición en factores primos de los términos de una fracción nos proporciona otro método para simplificarla. Así, es suficiente con dividir el numerador y el denominador por los factores comunes. 14 Números y operaciones

14 3 Calcule y simplifique: 4 En una botella de un litro vacía, echamos 2/3 de agua y luego 1/4. Cuánto falta para llenarse? 5 Una caja contiene 40 bombones. Teresa se comió los 2/5, y Ana, 1/4. Cuántos bombones quedan en la caja? Números y operaciones 15

15 7 EXPRESIONES DECIMALES Y FRACCIONARIAS 1 Halle la expresión decimal de los siguientes números: 2 Halle la fracción generatriz de los números decimales exactos: a) 0,273 = d) 0,005 = b) 1,2 = e) 0,029 = c) 4,78 = f) 5,425 = 3 Halle la fracción generatriz de los números decimales: a) 2, 7 b) 2,1 3 Números y operaciones 19

16 Cuando la expresión decimal es periódica, se multiplica el número por la unidad seguida de los ceros necesarios para mover la coma al final del período y, por otra parte, por la unidad seguida de tantos ceros como para llevarla al inicio de este. Finalmente, se restan los dos resultados obtenidos y, si es posible, se simplifica la fracción obtenida. Ejemplo. 2, 7 = 2, N = 27,777 -N = 2,777 9N = 25 N = 25/9 4 Indique cuáles, de los siguientes números decimales, son racionales y cuáles son irracionales: a) 0, b) 8,9135 c) 3, d) 2 2 e) 6, f) Números y operaciones

17 8 NÚMEROS IRRACIONALES. NÚMEROS REALES 1 Rodee los números que pueden expresarse como fracción. 1,75 7π , 7 12, Sitúe los siguientes números en el diagrama: 3 Clasifique los siguientes números reales en naturales, enteros, racionales o irracionales. Números y operaciones 21

18 4 Razone si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. a) Hay números enteros que no son racionales. b) Existen números irracionales que no son números reales. c) Un número real es racional o irracional. d) Cualquier número decimal es un número real. 5 Ordene de mayor a menor estos números. 6 Represente en la recta real estos números. Cuál de ellos es racional y cuál es irracional? 7 Cómo se opera con números decimales periódicos? 12,6 7,2 - Se calculan las fracciones generatrices de cada uno de los números decimales. 22 Números y operaciones

19 - Se realizan las operaciones indicadas, sustituyendo los decimales por sus fracciones generatrices. Opere, utilizando las fracciones generatrices. 1,3 3,4 Números y operaciones 23

20 9 APROXIMACIONES Y ERRORES PARA EMPEZAR CALCULADORA Aproximaciones en la calculadora Las calculadoras científicas suelen tener espacio en la pantalla para 8 o 10 dígitos. De esta manera, cuando trabajamos con números irracionales, la calculadora nos proporciona un número aproximado. En las calculadoras científicas podemos limitar el número de cifras decimales, encargándose ella de efectuar los redondeos correspondientes. Para ello, existe el modo FIX. Ejemplo 1: Si introducimos el número 123,4567 y queremos reducirlo a dos decimales, tecleamos: Si antes de introducir el número tecleamos quedando preparada para que cuando se introduzca el número decimal se aproxime con tres cifras decimales. Para volver a la posición normal, tecleamos MODE 9. 1 Aproxime, por redondeo a las centésimas, los siguientes números: 24 Números y operaciones

21 2 Obtenga el error absoluto y relativo cometido al redondear y truncar: a) 7,3568 a las milésimas. b) 20,5556 a las décimas. 3 Si aproximamos 10,469 por 10,5, qué error se comete? Y si lo aproximamos por 10,4? Cuál es la mejor aproximación? Por qué? 4 Calcule una cota del error absoluto en las siguientes aproximaciones: a) Precio de un coche: 18 miles de euros b) Peso de un grano de arroz: 0, g c) Televisores vendidos en un mes: 8 cientos Números y operaciones 25

22 10 POTENCIAS. PROPIEDADES PARA EMPEZAR CALCULADORA Potencias en la calculadora La tecla Ejemplos: x 2 calcula directamente el cuadrado del número que hay en la pantalla. La tecla x y calcula la potencia de cualquier exponente. Ejemplos: Las calculadoras tienen un lugar de memoria donde es posible conservar algún número y, posteriormente, recuperarlo. Usando las teclas de memoria puede realizar más rápidamente varias operaciones encadenadas. Veamos su significado y funcionamiento: Teclas de memoria Mi Mi MR Apretando esta tecla se introduce en la memoria el número que hay en la pantalla. Este número sigue permaneciendo en pantalla, aunque se haya introducido en la memoria. Cuando queramos borrar lo que hay en memoria, debemos poner a cero la pantalla y luego presionar. Con esta tecla se recupera en la pantalla el número que está grabado en la memoria. 26 Números y operaciones

23 El número es copiado en la pantalla, no trasladado. Es decir, al pulsar MR no se borra de la memoria. M+ Suma en la memoria el número que hay en pantalla. Si hay alguna operación pendiente, también se realiza al apretar esta tecla y lo que suma en la memoria es el resultado de esta operación. M- Resta en la memoria el número que hay en pantalla. También realiza operaciones pendientes. 1 Escriba en forma de potencia estos productos. a) -8 (-8) (-8) b) c) 9 (-3) ( -3) d) Calcule las siguientes potencias: 3 Simplifique y exprese el resultado como potencia: Números y operaciones 27

24 11 LA NOTACIÓN CIENTÍFICA PARA EMPEZAR CALCULADORA La notación científica en la calculadora Interpretación: significa 5,74901 x 10 9 Escritura: 5,74901 x , ,94 x ,94 EXP 13 ± EXP Modo científico (SCI): Hace que la calculadora trabaje siempre con números en notación científica y, además, con la cantidad de cifras significativas que previamente le hayamos indicado (MODE ). Para volver a modo normal, pulsamos MODE 9. 1 Escriba los números siguientes con todas sus cifras: 2 Escriba estos números en notación científica: Números y operaciones 31

25 3 Realice las siguientes operaciones. a) 1, , b) 8, , c) 7, , d) 7, , Realizar cálculos con números escritos en notación científica es muy fácil: basta con operar, por un lado, con los números que aparecen antes de la potencia de 10 y, por otro, con las potencias. - Suma y resta en notación científica Consideremos la suma 1, , Como el exponente de ambos números es el mismo, basta con sacar factor común 10 4 : 1, , = (1,32 + 2,57) 10 4 = 3, Cuando el exponente de ambos es diferente, se reducen a exponente común (el mayor de ellos) multiplicando el menor por la potencia de 10 adecuada. - Multiplicación y división en notación científica Para multiplicar números en notación científica, multiplique los primeros factores decimales y sume los exponentes. Para dividir números en notación científica, divida el primer factor decimal del numerador por el primer factor decimal del denominador. Entonces, reste el exponente del denominador al exponente del numerador. 4 Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son: Byte = 2 8 bits Kilobyte = 2 10 bytes Megabyte = 2 10 Kilobytes Gigabyte = 2 10 Megabytes Exprese, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades de información en bits y bytes. a) Disco duro de 120 Gb. b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. c) Disquete de 1,44 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb. 32 Números y operaciones

26 12 RADICALES PARA EMPEZAR CALCULADORA Raíces en la calculadora Las calculadoras nos ofrecen las siguientes funciones para el cálculo de raíces cuadradas y cúbicas: Permite calcular las raíces cuadradas de radicando positivo. Así, para calcular y obtiene: debe ejecutar: x 1/y Permite calcular la raíz de índice: 1 Obtenga con la calculadora: Números y operaciones 33

27 2 Transforme las potencias en raíces. 3 Calcule el valor numérico, si existe, de los siguientes radicales. 4 Realice las siguientes operaciones. 5 Escriba en forma de raíz. 34 Números y operaciones

28 6 Una escalera está apoyada sobre la fachada de un edificio. Si la escalera mide 13 m de longitud y el pie de la escalera está a 5 m de la pared, a qué altura de la pared llega la escalera? 7 Halle la arista de un cubo cuyo volumen es 7 m 3. Redondee el resultado a dos decimales. Números y operaciones 35

29 13 OPERACIONES CON RADICALES 1 Simplifique: 2 Extraiga del radical los factores que sea posible. 3 Introduzca dentro del radical el factor que está delante: 4 Reduzca a índice común y ordene de menor a mayor los radicales siguientes: 36 Números y operaciones

30 5 Efectúe y dé el resultado en forma de radical: 4 Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos formas: Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario. Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades. 6 Realice estas operaciones: Para realizar una suma algebraica de radicales, debemos hallar los radicales semejantes sacando fuera de la raíz los factores posibles, operar con los coeficientes y dejar el radical. Ejemplo: Números y operaciones 37

31 7 Racionalice: e) 8 Para construir una maqueta tenemos un panel cuadrado de 10 centímetros de lado. Queremos fabricar otro panel cuadrado cuya área sea el doble. Cuánto deberán medir sus lados? 38 Números y operaciones

32 14 LOGARITMOS PARA EMPEZAR CALCULADORA Logaritmos en la calculadora Algunos logaritmos no se pueden calcular de forma exacta. Por ejemplo, log 2 3. Es evidente que el número al que hay que elevar 2 para que dé 3 es algún número entre 1 y 2, ya que 3, está entre 2 y 4. Para calcular este logaritmo, hay que utilizar una calculadora. La tecla log permite calcular logaritmos en base 10. Por ejemplo, para calcular log 10 7, pulsamos 7 y a continuación log y obtenemos: log 10 7 = 0, La otra tecla, que suele encontrarse al lado de la anterior, es ln. Esta tecla sirve para calcular logaritmos en los que la base es el número e. Estos logaritmos, que se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales, se denotan ln 7 = log e 7. La fórmula que sirve para cambiar de base un logaritmo, con el objeto de poder calcularlo mediante la calculadora, es: Ejemplo: 2 x = 3. Tomando logaritmos decimales, se verifica log 2 x = log 3 y, utilizando las propiedades de los logaritmos, se puede escribir x log 2 = log 3. Por último, despejando x, obtenemos: x= log 3/log2 = 1, Halle: a) log 2 16 b) log 2 0,25 c) log 9 1 d) log 10 0,1 Números y operaciones 39

33 2 Utilizando la calculadora, halle los siguientes logaritmos. Redondee el resultado a cuatro decimales. a) log 23,5 b) log 267 c) log 0, Sustituya los puntos suspensivos por igual ( = ) o distinto ( ): a) log (7 + 5) log 7 + log 5 b) log log 5 c) log 6/5 log 6 log 5 4 Reduzca al logaritmo de una sola expresión: log 5 + log 6 log 2 5 Halle el valor de x que verifica estas igualdades: a) 3 x = 0,005 b) 0,8 x = 17 Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia. 40 Números y operaciones

34 15 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS 1 Halle el valor de x en las siguientes igualdades: 2 Sabiendo que log 5 = 0,6990 y aplicando las propiedades de los logaritmos, halle los siguientes logaritmos sin utilizar la calculadora: a) log 2 b) log 25 c) log 4 3 Transforme esta expresión algebraica en logarítmica. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DESINTEGRACIÓN DE SUSTANCIAS RADIACTIVAS Los elementos radiactivos se desintegran y transforman en un nuevo elemento. La cantidad de sustancia radiactiva en un organismo decrece de forma exponencial cuando este muere. La relación entre la cantidad existente en el momento de la muerte y un momento posterior viene dada por: R = R o. e kt R o = cantidad inicial k = constante Números y operaciones 41

35 4 El radio se descompone radiactivamente. La cantidad de él existente en una muestra después de t años viene dada por R= Ro. e 0,00041t, siendo Ro la cantidad inicial. Qué cantidad de radio queda en una muestra de 10 g al cabo de años? 5 Para un hueso, se calculó que el C 14 (carbono 14) se había desintegrado, aproximadamente, un 90%. Si el período de semidesintegración del C 14 (tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la sustancia radiactiva) es de 5730 años, qué edad aproximada tenía el hueso? 6 El ph de una disolución es el logaritmo cambiado de signo de la concentración de iones hidrógeno expresada en iones gramo de este elemento por litro de disolución. En una disolución, la concentración de iones hidrógeno es igual a 0, Cuál es su ph? 42 Números y operaciones

36 7 En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece según la fórmula N = 2 + 0,5 e 0, 4t, donde N es el número de mosquitos en miles y t el tiempo en días desde el momento presente. Se pide: cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial? Números y operaciones 43

37 16 INTERVALOS: SEGMENTOS Y SEMIRRECTAS 1 Exprese mediante intervalos estas situaciones. a) La altura de las casas es menor que 8 m. b) El descuento se aplica a niños con edades comprendidas entre 2 y 12 años, ambos incluidos. c) La tarjeta sirve para menores de 26 años. d) La entrada es gratuita para menores de 5 años o mayores de 65 años. e) La temperatura osciló entre 7 C y 23 C. 2 Escriba el intervalo que corresponde a los valores de x. a) 1 <x <3 b) 6 <x 7 c) x 2 d) x <5 e) x > 3 f) x 7 g) 5 x <9 h) 10 x 12 3 Exprese como desigualdad y como intervalo, y represéntelos: a) x es menor que 5. Números y operaciones 47

38 b) 3 es menor o igual que x. c) x está comprendido entre 5 y 1. d) x está entre 2 y 0, ambos incluidos. 48 Números y operaciones

39 17 VALOR ABSOLUTO Y ENTORNOS 1 Escriba como intervalo 2 Represente en la recta real estos intervalos. 3 Represente los intervalos correspondientes a las siguientes expresiones. Números y operaciones 49

40 4 Escriba en forma de intervalo el siguiente entorno: Centro 2,5 y radio 2,01 5 Describa como entorno el siguiente intervalo: (1,3; 2,9) 50 Números y operaciones

41 18 LOS NÚMEROS COMPLEJOS 1 Calcule las raíces reales de los siguientes radicales. 2 Escriba estos números como números complejos. a) 3 b) 3 c) 3 3 Dado el número complejo, determine el valor de x e y para que sea: a) Un número real. b) Un número imaginario puro. c) Un número complejo que no sea real ni imaginario puro. Números y operaciones 51

42 4 Halle el opuesto y el conjugado de: a) 3 5i b) 5 + 2i c) 1 2i d) 2 + 3i e) 5 52 Números y operaciones

43 19 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 1 Efectúe las siguientes operaciones y simplifique el resultado: a) (6 5i) + (2 i) 2( 5 + 6i) b) (3 + 2i) (4 2i) c) 2 Escriba en forma binómica los números complejos correspondientes a los afijos representados. Números y operaciones 53

44 PARA TERMINAR Microsoft Mathematics o Microsoft Matemáticas (antes conocida como Microsoft Math) es un software educativo, diseñado para Microsoft Windows, que permite a los usuarios resolver problemas matemáticos y científicos. El programa Matemáticas de Microsoft es una herramienta muy útil que podemos utilizar para corregir los ejercicios del módulo. Microsoft Mathematics incluye una calculadora gráfica que representa gráficos en 2D y 3D, resolución de ecuaciones paso a paso y herramientas de gran utilidad que sirven de ayuda para los estudiantes de Matemáticas y Ciencias. Se descarga gratuitamente en Con esta herramienta podemos racionalizar todo tipo de expresiones, por ejemplo: Para escribir fracciones pulsamos el botón de la calculadora Hacemos clic en el botón intro y obtenemos la racionalización de la expresión. Practique corrigiendo los ejercicios del módulo como, por ejemplo, los de simplificación de expresiones, los de racionalización o los de potencias... Números y operaciones 57

45 PARA AMPLIAR (DIRECCIONES DE INTERNET) - A través del siguiente enlace podrá visionar un vídeo de la colección Más por menos (la aventura del saber) editado por el ITE (Instituto de Tecnologías Educativas) del Ministerio de Educación del Gobierno de España en colaboración con rtve. Para poder realizar las actividades que se proponen, deberá tener actualizado el programa Java. - El proyecto Descartes es una colección de materiales gráficos interactivos de aprendizaje para Matemáticas. Están elaborados por profesores de I.E.S. con la herramienta Descartes, que permite manipular un entorno gráfico. El siguiente enlace le permitirá abordar algunos de los contenidos del módulo, como la representación gráfica de los números (recurso del IES de Pravia): entacion_en_la_recta/index.htm 58 Números y operaciones