Determinación del número de autovalores mayores que la unidad en el Análisis Imagen con el SPSS

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1 Determinación del número de autovalores mayores que la unidad en el Análisis Imagen con el SPSS Miguel A. Ruiz y Rafael San Martín Universidad Autónoma de Madrid En el modelo factorial de Análisis Imagen (Guttman, 953), es necesario conocer de antemano el número de factores mayores que la unidad de la matriz de componentes imagen para determinar el número de factores impuesto por el modelo. Cuando se trabaa con matrices muestrales hay que estimar la cuantía de los autovalores. Sin embargo, al trabaar con el SPSS, no se ofrecen los autovalores de la matriz muestral de componentes imagen. En este trabao se propone un procedimiento para estimar estos autovalores, basado en la suma de cuadrados de las saturaciones. El Análisis Imagen es uno de los pocos modelos factoriales en los que no existe una indeterminación de los parámetros. Esto es debido a que la comunalidad viene definida teóricamente a partir de la correlación múltiple. Tal como lo eecuta el SPSS (Norušis, 985) presenta una serie de problemas que se deben tener en cuenta si se desea respetar la teoría que da origen al modelo y si se pretende comparar con otro tipo de extracciones. Dada la especial disposición de los resultados en las salidas del programa mencionado, la información recogida en ellas es menos directa que en otras extracciones del mismo programa. Las comunalidades, definidas en el modelo como la componente de cada una de las variables que puede ser predicha por regresión múltiple a partir de las demás variables consideradas, vienen recogidas en la diagonal de la matriz de covarianzas imagen, la matriz G, que puede ser calculada por la fórmula G = R+ S R S S donde R es la matriz de correlaciones, y S es la matriz diagonal de estimaciones de las unicidades a partir del complementario de la correlación múltiple al cuadrado, y que puede ser calculada como S - = diag R Esta matriz G siempre se incluye en la salida del análisis, aunque no se especifique en los comandos de la extracción. En lugar de factorizar la matriz G del modelo original de Guttman (953), la matriz que analiza el programa es () () S RS (3) donde S es la matriz de unicidades y R es la matriz de correlaciones, como sugieren Harris (963) y Kaiser (963) a partir de sus desarrollos del Análisis Canónico. Como plantea Mulaik (97), es imprescindible conocer el número de autovalores mayores que la unidad de la matriz S - R S - para poder comparar Psicológica, 99, nº 3, pp. 07-

2 directamente los resultados de la autodescomposición de esta matriz y sustituirlos por la autodescomposición de la matriz G, que resulta computacionalmente mucho más costosa. Como sabemos, la relación existente entre los autovalores de ambas matrices puede expresarse como Λ = G ( Λ ) S Λ RS S RS (4) Pero ninguna de las matrices de autovalores, de cualquiera de estas dos matrices, puede ser conseguida en la salida del programa. En su lugar, aparecen las sumas de cuadrados de los vectores columna de la matriz de estructura F. Esta matriz F es la matriz de autovectores de la matriz G reescalada por los autovalores de misma matriz y las unicidades de cada variable, según la fórmula F= SAΛ (5) donde F es la matriz de estructura, que contiene las saturaciones de las variables en cada factor, S es la matriz diagonal con las raíces cuadradas de las unicidades, A es la matriz de autovectores de los factores retenidos, y Λ es la matriz de autovalores. Si calculamos la suma de cuadrados de cada una de las columnas de la matriz de estructura F mediante su producto interno, llegamos al desarrollo FF = Λ ASAΛ La matriz del término de la izquierda será una matriz diagonal, de dimensiones r x r, con las sumas de cuadrados correspondientes a cada factor en la diagonal. Llamemos a cada uno de estos elementos ss (Sum of Saquares) En los trabaos de simulación que venimos realizando, hemos podido comprobar que una buena estimación de la cuantía de los autovalores puede ser obtenida a partir de una simplificación de (6). Al desarrollar la operación de (6) por sus sumatorios obtenemos n n = λ i i iλ =λ i i i= ss a s a a s i= (7) Ahora bien, si las unidades de todas las variables no son muy desiguales, podemos sustituir los cuadrados de las unicidades individuales de cada variable i por el cuadrado de la unicidad media de todas las variables ( s ), con lo que ese valor puede ser considerado una constante para una muestra dada, y extraerlo del sumatorio. Es decir, n n n =λ i i λ i =λ i =λ i= i= i= ss a s a s s a s Puesto que el producto interno del autovector es la unidad. Con este desarrollo, podemos estimar cada uno de los autovalores de la matriz G a partir de las sumas de cuadrados de los vectores columna correspondientes de la matriz de estructura, y aplicar la aproximación (6) (8) Psicológica, 99, nº 3, pp. 07-

3 ss λ = s o bien, a partir del promedio de las unicidades estimar la suma de cuadrados correspondiente a los autovalores mayores que la unidad mediante la fórmula ss = λ que nos lleva a pensar que las sumas de cuadrados correspondientes a autovalores mayores que la unidad siempre serán mayores que la unicidad media. Por lo tanto, un límite suficientemente bueno para determinar el número r de autovalores mayores que la unidad, puede ser el número de factores con sumas de cuadrados superiores a la unicidad media. Para solucionar el problema de determinar el número de autovalores mayores que la unidad de la matriz G, el SPSS utiliza un procedimiento que es extensión del modelo de Factor Común. El SPSS utiliza como regla por defecto para la determinación del número de factores a retener la regla K (Kaiser, 960, 96). Esta regla tiende a sobreestimar dicho número de factores en diversas situaciones (Zwick y Velicer, 986; Hakstian, Rogers y Cattell, 98) mientras que, según el modelo teórico, sólo deben ser retenidos los autovalores mayores que la unidad de la matriz de covarianzas imagen. Por otra parte, el SPSS define la proporción de varianza explicada de las variables a partir de cada uno de los factores (Pct. of Var.) como el cociente entre la suma de cuadrados (ss) y el número de variables (n). Como las sumas de cuadrados son sistemáticamente inferiores a los autovalores correspondientes, la estimación de la varianza explicada que realiza el programa está sesgada hacia la infraestimación. s (9) (0) Sea la matriz de correlaciones EJEMPLO 0, , R = 0 0 0, , 64 La matriz de autovalores Λ correspondientes a la matriz S - R S - será, , Λ = 0 0 0, ,6 0 A partir de ella podemos calcular los autovalores de la matriz G mediante (4) y llegar a () () Psicológica, 99, nº 3, pp. 07-3

4 Λ G, , = 0 0 0, , 49 El resultado de analizar la matriz R mediante la extracción IMAGE del SPSS da lugar a la tabla bao el epígrafe final statistics. Tabla. Variable Communality Factor SS Loadings Pct of var Cum Pct X X X X Mediante la tabla no es posible saber qué número de factores retener, ya que no ofrece los autovalores. Aplicando la aproximación de (9) podemos construir la siguiente matriz. ˆ Λ G, , = 0 0 0, , 98 (3) 0, 674 Donde λ ˆ = =,378 0, Obsérvese la coincidencia con los autovalores en (3) Aplicando (0) en la tabla de nuestro eemplo, deberemos retener aquellos factores correspondientes a sumas de cuadrados (ss) mayores que el valor = Es decir, los dos primeros factores que explican el 33,66% de la varianza. En la práctica tendremos más variables que las del eemplo y el programa va a retener, siguiendo la regla K, menos factores que variables. Por lo tanto, la tabla final statistics no aparecerá completa y no presentará todas las sumas de cuadrados. En tal caso, se deben promediar las unicidades a partir de los elementos de la diagonal de la matriz G. ABSTRACT Knowing the eigenvalues greater than one of the image components matrix is necessary in order to determine the number of factors imposed by the Image Analysis factor model (Guttman, 953). When we work with sample matrixes the size of this eigenvalues must be estimated. Nevertheless it is not possible to get this estimates when using the SPSS. A procedure for estimating this eigenvalues from the sum of squares of the factor loadings is proposed. (4) REFERENCIAS Psicológica, 99, nº 3, pp. 07-4

5 Guttman, L. (953). Image Theory for structure of quantitative varieties. Psychometrika, 8, Hakstian, A. R., Rogers, W. T. y Cattell, R. B. (98). The behavior of number of factor rules with simulated data. Multivariate Behavioral Research, 7, Harris, C. W. (963). Canonical factor models for the description of change. En: C. W. Harris (ed). Problems in measuring change. Madison, Wis: University of Wisconsin Press, Kaiser, H. F. (960). The application of electronic computers to factor analysis. Educational and Psychological Measurement, 0, 4-5. Kaiser, H. F. (96). A note on Guttman s lower bound for the number of common factors. British Journal of Statistical Psychology. 4 (),. Kaiser, H. F. (963). Image Analysis. En: C. W. Harris (ed), Problems in measuring change. Madison, Wis: University of Wisconsin Press, Mulaik, S. A. (97). The Foundations of Factor Analysis. NY: McGraw-Hill. Norušis, M. A. (985). SPSS Statistical Algorithms. Chicago, IL: SPSS INC. Zwick, W. R. y Velicer, W. F. (986). Comparison of five rules for determining the number of components to retain. Psychological Bulletin, 3, (Revisión aceptada:: 7//9) Psicológica, 99, nº 3, pp. 07-5