FUNCIONES BIOMÉTRICAS 1er QUINQUENIO DE VIDA

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1 FUNCIONES BIOMÉTRICAS 1er QUINQUENIO DE VIDA CARRIZO Elvira Delia Dpto. Estadística y Matemática Facultad Ciencias Económicas Universidad Nacional de Córdoba elviracarrio@yahoo.com.ar Área Técnica INTRODUCCION En el trabajo presentado en las XXXVI Jornadas en la Ciudad de Salta (2015), Funciones Biométricas a través del Diagrama de LEXIS se demostró la utilidad del diagrama de LEXIS, para facilitar la comprensión de algunas de las funciones biométricas necesarias en la elaboración de las tablas de vida o tablas de mortalidad, para el tramo de edades simples y para edades de 5 (cinco) años y más. En esta oportunidad se intentan explicar dichas funciones biométricas mediante el mencionado diagrama, utiliando el factor de separación de las defunciones, para el tramo de edades inferiores a 5 (cinco) años de edad. A raón de que en el primer quinquenio de la vida humana, al distribuirse las defunciones irregularmente en el tiempo, la fórmula de los trapecios no proporciona buenos resultados al calcular la función biométrica L x (para x< 5), su cálculo implica un procedimiento diferente, para lo cual se utilia el mencionado factor de separación. OBJETIVOS Se pretende explicar mediante el diagrama de LEXIS el comportamiento de las defunciones en las primeras cinco edades de la vida humana. Se intenta demostrar, utiliando para el cálculo el factor de separación de las defunciones, que el número de años vividos por una cohorte inicial dada, entre las edades 0 y 5 años de edad representa la cantidad de personas vivas de dicha cohorte antes de cumplir los 5 años de vida. 1

2 DESARROLLO Se recuerda que el diagrama de LEXIS está constituido por una grilla cuadriculada, donde se representan, el tiempo en los ejes horiontales y las edades en los ejes verticales. Cada una de las personas es representada por una línea de 45 grados a cada uno de los ejes, su origen por lo general es el del nacimiento, fecha que se registra en el eje horiontal, a la edad cero, edad que se registra en el eje vertical. Esta línea que se prolonga a medida que transcurre el tiempo se denomina línea de vida y se interrumpe en el momento del fallecimiento de la persona, determinando la fecha de la muerte en el eje horiontal y la edad a al que ocurre el evento en el eje vertical. En el diagrama, los segmentos representan cantidad de personas vivas. Los segmentos verticales representan número de personas vivas comprendidas entre dos edades y los segmentos horiontales cantidad de personas vivas de edad exacta. En dicho diagrama, las superficies representan número de personas fallecidas. Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 1) AB = cantidad de personas vivas de edad exacta x. DC = cantidad de personas vivas de edad exacta x+1. BC = cantidad de personas vivas que habiendo cumplido x años de edad, todavía no han cumplido los x + 1 años de vida. ABCD = Cantidad de defunciones entre las edades x y x+1, ocurridas durante el año. Figura 1 X+1 D C x A B año -1 año Se expresan los símbolos que representan las defunciones, según sean: Defunciones ocurridas durante un determinado año calendario correspondientes a personas de dos cohortes o Defunciones de personas de la misma generación o cohorte, ocurrido durante dos años calendarios consecutivos. Defunciones entre x y x+1 años de edad, ocurridas durante un año calendario, correspondientes a personas de dos cohortes. Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 2) la cantidad de personas fallecidas entre las edades x y x+1, ocurridas durante el año, número de personas fallecidas pertenecientes a dos generaciones consecutivas, se simbolia con : 2

3 Figura 2 X+1 D C x A B año -1 año ABCD = Las defunciones ocurridas durante el año, se dividen según la generación a la que pertenecan (figura 3), simboliándolas según las siguientes expresiones: = + Figura 3 X+1 x año -1 año representa cantidad de personas fallecidas, entre las edades x y x+1, personas que cumplieron x años de edad el año anterior al año que fallecieron. D x representa personas que fallecen entre las edades x y x+1 en el mismo año en que cumplen x años de edad. Defunciones entre los x y x+1 años de edad, de personas de la misma generación, ocurrido durante dos años calendarios consecutivos. Se observa en el diagrama de LEXIS (figura 4) la cantidad de personas fallecidas entre las edades x y x+1, defunciones de personas de la misma cohorte, ocurridas durante dos años calendarios consecutivos. Se simbolia por d x, la cual (según tablas de vida o mortalidad) representa la diferencia entre la cantidad de personas vivas de edad exactas x y x+1. Se simbolian según las siguientes expresiones: Figura 4 X+1 d x d x x d x año -1 año 3

4 d x = d x + d x (1) La expresión (1) representa la cantidad de personas fallecidas entre los x y x+1 años de edad, defunciones de personas de la misma cohorte o generación, ocurridas durante dos años calendarios consecutivos d x representa la cantidad de personas que fallecen en el año en que cumplieron x año de edad. d x representa el número de personas fallecidas que cumplieron x años de edad en el año anterior al año en el cual mueren. Proporción de las defunciones ocurridas en un año, según la generación a la que corresponda En personas de 5 y más años de edad, se considera la distribución uniforme de las defunciones en el tiempo, por lo que la proporción de los fallecimientos ocurridos en un año calendario, según sea la generación a la que corresponda, es la misma y supone ½ de las defunciones para cada una de las generaciones o cohortes. = 0,50 = 0,50 = ½ y = ½ Para edades inferiores a 5 años de edad, la proporción correspondiente a cada una de las generaciones no es la misma. de defunciones La proporción de fallecidos entre las edades x y x+1 correspondientes a personas que cumplieron x años de edad el año anterior al año que fallecieron, es menor a la proporción correspondiente al número de fallecidos que cumplieron los x años de edad en el año que fallecieron. < < 0,50 (2) > 0,50 (3) FACTOR DE SEPARACIÓN DE LAS DEFUNCIONES A la expresión (2) se la denomina factor de separación de las defunciones, y se simbolia f x, la expresión (3) representa el complemento del mencionado factor de separación (1- f x ). 4

5 El factor de separación de las defunciones es un artificio matemático, que permite imputar los fallecimientos al grupo de personas que les dio origen. Cuando no se cuenta con los registros de las defunciones según fecha de nacimiento, el factor de separación de las defunciones fracciona los fallecimientos de un determinado año calendario en dos, según sea la generación o cohorte a la que correspondan = f x < 0,50 El factor de separación de las defunciones para la edad x, expresión (2), representa la proporción de fallecidos que cumplieron los x años de edad el año anterior al año que fallecen. El complemento del factor de separación de las defunciones, expresión (3), representa la proporción de fallecidos que cumplieron los x años de edad en el año que fallecen. = (1 - f x ) > 0,50 Cuando no se cuenta con los registros de las defunciones según fecha de nacimiento (se dispone de la edad de fallecimiento y no la fecha de nacimiento), en algunas tablas de vida, para calcular las funciones biométricas en edades inferiores a 5 años se supone distribución uniforme de los fallecimiento en el tiempo (conscientes de que proporciona resultados no precisos). Otras tablas utilian los factores de separación de GLOVER, los que corresponden a la población Alemana de comienos del siglo XX, estos factores asumen (según las características de mortalidad) los siguientes valores, para los 0, 1, 2, 3 y 4 años de edad respectivamente: f 0 entre 0,10 y 0,35, f 1 = 0,41, f 2 = 0,47, f 3 = 0,48 y f 4 = 0,48 Cuando la exposición al riesgo de muerte no es uniforme en el tiempo, el factor de separación de las defunciones, permite atribuir los fallecimientos ocurridos durante un año calendario, haciendo corresponder las defunciones a la generación o cohorte a la que pertenecan. En el diagrama de LEXIS, Figura 5, se observan las defunciones ocurridas durante un año calendario, fraccionadas según sea la generación a la que pertenecen, utiliando el factor de separación de las defunciones. Figura 5 X+1 f x. x (1-f x ) A través del factor de separación de las defunciones para la edad x, se calcula el número de defunciones entre las edades x y x+1, correspondiente a personas fallecidas 5

6 que cumplieron x años de edad el año anterior al que fallecieron, representado en figura 3 con el símbolo D x = D x. f x A través del complemento del mencionado factor de separación, se calcula el número de defunciones correspondiente a personas fallecidas que cumplieron x años de edad en el año que fallecieron, representado en figura 3 con el símbolo =. (1- f x ) Se analian las defunciones de personas menores a 5 años de edad, pertenecientes a la misma cohorte o generación. Estos fallecimientos no se distribuyen uniformemente en el tiempo. A través del factor de separación de las defunciones para la edad x, se calculan los fallecimientos que ocurren en cada uno de los años calendarios, la expresión (1) se puede expresar de la siguiente manera: d x = (1- f x ). d x + f x d x (4) La cantidad de personas de la misma cohorte, fallecidas entre las edades x y x+1, expresadas en (1) y (4) representa la suma de las defunciones ocurridas durante dos años consecutivos. (1- f x ) d x = d x (5) La igualdad expresada en (5) representa el número de personas que fallecen en el año en que cumplieron x año de edad. La igualdad expresada en (6) representa el número de personas fallecidas que cumplieron x años de edad en el año anterior al año en el cual mueren.. f x d x = d x (6) Figura 6 X+1 d x f x d x x (1- f x ) d x Se observa en el diagrama de LEXIS figura 6, las defunciones de personas de la misma cohorte o generación, calculadas mediante el factor de separación correspondiente ANÁLISIS DE FUNCIONES BIOMÉTRICAS EN EDADES INFERIORES A 5 AÑOS Función biométrica d x según tablas de vida Se analia el comportamiento de las defunciones entre dos edades en el primer quinquenio de vida. 6

7 d x representa la cantidad de fallecidos entre x y x+1 año de edad, niños que habiendo cumplido x años de edad no llegan a cumplir los x+1 año de vida, según tabla de mortalidad. d x = l x l x+1 (7) El número de defunciones de personas entre los x y x+1 año de edad, sabemos según tabla de vida, surge de la diferencia entre la cantidad de personas de edad exacta x y la cantidad de personas de edad exacta x+1 Las expresiones (4) y (7), representan la cantidad de fallecidos que habiendo cumplido x años de edad, no llegan a cumplir los x+1 año de vida, cantidad de fallecimientos de personas de la misma cohorte, fraccionadas según el año en que fallecen. l x l x+1 = (1- f x ) d x + f x d x Función biométrica L x según tablas de vida Se analia la función biométrica L x, función que representa una población dinámica, su valor se puede relacionar con los sobrevivientes l x de una tabla de mortalidad. Para trabajar esta función biométrica, supondremos que los l 0 como grupo inicial de la tabla de mortalidad se han distribuido uniformemente dentro del año. La función biométrica L x se conceptualia de dos maneras a saber: Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1. Cantidad de personas vivas comprendidas entre las edades x y x+1. Números de años vividos por la generación l 0 entre las edades x y x+1, es el tiempo vivido dentro de dicho intervalo por los integrantes del grupo inicial, desde la edad exacta x hasta la edad exacta x+1. Cada una de las personas de x años de edad que llegan a cumplir x+1 año de vida, vive un año, el número de años vividos por todos los integrantes del grupo es igual a l x+1 años, (un año por cada uno de los integrantes), l x+1 representa los años enteros que vive el grupo. Además hay que considerar, la cantidad de años que viven los que fallecen entre las edades x y x+1 año. Para edades iguales o mayores a 5 años, se supone que los fallecidos viven ½ año en el año en que mueren. Al analiar las edades menores a 5 años, donde las defunciones no se distribuyen uniformemente en el tiempo, debe considerarse la proporción correspondiente, en este caso, f x de los fallecidos, por lo que, f x. d x simboliado por d x, representa los años vividos por los fallecidos. Se lo observa en la figura 7 Figura 7 l x+1 L x d x l x 7

8 El número de años vividos por la generación l 0 entre los x y x+1 año de edad, surge de la suma de los años enteros que vive el grupo, más la proporción de años vividos por los fallecidos, expresado en (8) L x = l x+1 + d x (8) En la expresión (8) se reemplaa d x según expresión (6) L x = l x+1 + f x.d x (9) En la expresión (9) se reemplaa d x según expresión (7), y se obtiene L x = l x+1 + f x.( l x l x+1 ) = l x+1 + f x. l x f x.l x+1 Se concluye en la expresión (10) L x = l x.f x + (1- f x ). l x+1 (10) Representa el número de años vividos por la generación inicial, entre los x y x+1 año de edad. Cantidad de personas vivas comprendidas entre las edades exactas x y x+1 años de edad El número de personas de un grupo inicial dado que habiendo cumplido x años de edad, no han cumplido aún los x+1 años de vida, es el número de personas vivas en un momento determinado en el tiempo, habrá un grupo de personas con edades entre x y x+1 años de vida, representado por L x, menor al grupo l x, algunas de las personas de edad exacta x, habrán fallecido durante ese año. Si el análisis corresponde a edades iguales o mayores a 5 años, al distribuirse las defunciones en dichas edades uniformemente en el tiempo, se consideran ½ de los fallecidos. Para edades menores a 5 años, como los integrantes del grupo no estuvieron de igual manera expuestos al riesgo de morir durante ese año, debe considerarse la proporción de los fallecidos que corresponda, en esta situación, (1-f x ).d x de las defunciones, simboliado por d x. Se observa en la figura 8 Figura 8 l x+1 L x d x l x Entonces, el número de personas de un grupo inicial dado que habiendo cumplido x años de edad no han cumplido aún x+1 años de vida, se obtiene mediante la diferencia entre, el número de personas de edad exacta x, menos la cantidad de fallecidos entre x y x+1 año de edad que corresponde. Expresado en (11) 8

9 L x = l x - d x (11) En la expresión (11) se reemplaa d x según expresión (5) L x = l x - (1- f x ).d x (12) En la expresión (12) se reemplaa d x según expresión (7) y se obtiene L x = l x - (1- f x ).( l x l x+1 ) Se resuelve L x = l x - (l x - l x+1 - l x.f x + l x+1. f x ) = l x - l x + l x+1 + l x.f x - l x+1. f x ) Se concluye en la expresión (13) L x = l x.f x + (1- f x ). l x+1 (13) Número de personas vivas de un grupo inicial dado que habiendo cumplido x años de edad, todavía no han cumplido x+1 años de vida CONCLUSIÓN En la función biométrica L x como función imaginaria, para edades inferiores a 5 años de edad, donde los fallecimientos no se distribuyen uniformemente en el tiempo, por lo que la fórmula de los trapecios no proporciona resultados certeros en su cálculo, para solucionarlo es necesario utiliar el factores de separación de las defunciones, el cual permite atribuir los fallecimientos a la generación a la que pertenecen. Se demuestra que el número de años vividos por la generación l 0 entre dos edades, expresado por (l x+1 + f x.d x ), es igual a la cantidad de personas vivas comprendidas entre esas dos edades, expresado por [ l x - (1- f x ).d x ], Ambas representan el valor de L x, esta igualdad se visualia en el diagrama de LEXIS Figura 9 sin dificultad, facilitando así la comprensión de esta función biométrica a través de cualquiera de los dos conceptos que la definen. Figura 9 l x+1 f x d x (1-f x ) d x l x L x = l x.f x + (1- f x ). l x+1 9

10 BIBLIOGRAFÍA CARRIZO, José F. Matemática Financiera. Segunda Parte. Córdoba. Facultad de Ciencias Económicas U.N.C. (2001). YASUKAWA, Alberto M. Matemática Actuarial y Valuaciones Actuariales. Córdoba. LDM Editorial (2007). ORTEGA, Antonio Tablas de Mortalidad. Costa Rica. Centro Latinoamericano de Demografía (1987). LEVI, Eugenio Curso de Matemática Financiera y Actuarial Volumen II Barcelona. Casa Editorial-Barcelona (1973) LEXIS, Wilhem Introducción a la teoría de la estadística demográfica, (1875). 10