Integrales Trigonométricas (II) Potencias Trigonométricas (I)

Transcripción

1 Integrales Trgonométrcas (II) Potencas Trgonométrcas (I) He decdo que el título de este documento sea Integrales Trgonométrcas II, por que las ntegrales que veremos en esta seccón tendrán funcones trgonométrcas, la únca dferenca (comparadas a las de Integrales Trgonométrcas I ) es que las funcones estarán elevadas a potencas (posblemente no tan grandes) y muy posblemente, tendrás productos de funcones trgonométrcas dentro de la ntegral. Para resolverlas, tengo algunos trucos que te pueden funconar. Antes de comenzar debes saber todas las fórmulas con las que trabajaré. (1) cos ( )+sen ( ) =1 () 1 + tan ( ) =sec ( ) (3) 1 + cot ( ) =csc ( ) (4) cos ( ) = 1 (1 + cos( )) (5) sen ( ) = 1 (1 cos( )) Ahora te explcaré que sucede cuando tenes potencas del seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante dentro de una ntegral. Para permtrte dgerr los métodos, escrbré una seccón para cada método y no sobrecargaré el documento. I.) Potencas del Seno y del Coseno Antes de resolver una ntegral que tenga senos y cosenos, debo fjarme en el exponente de estas funcones. Por ejemplo, s tengo la ntegral cos 3 (x)sen 6 (x)dx 1

2 o la ntegral cos (x)sen 4 (x)dx en general sen n (x)cos m (x)dx 1.1 Uno de los exponentes es mpar S uno de los exponentes (ya sea del seno o del coseno) es mpar, entonces le robaré a la funcón que tenga el exponente mpar. S tengo el coseno con exponente mpar le robaré un coseno, s es el seno entonces robaré un seno. S no lo ves aún te lo escrbré en la ecuacón cos n (x) =cos n sen n (x) =sen n 1 (x)[cos(x)] 1 (x)[sen(x)] Asume que n es mpar en este caso. Usa la dentdad (1) para transformar la funcón a la que le hayas qutado algo. Esto es, s le qutaste al coseno, entonces transforma lo que queda del coseno (no lo que está separado) a seno. Usa el msmo procedmento s le qutaste algo al seno. Ejemplo 1: Encuentra la solucón a cos 3 (x)sen 6 (x)dx PASO 1: Veo que el coseno tene un exponente mpar, por eso apartaré un coseno y lo pondré al lado del dx. cos (x)sen 6 (x)[cos(x)dx] PASO : Usaré la dentdad (1) para transformar el coseno a seno. Sempre transforma la funcón a la que le robaste.

3 (1 sen (x))sen 6 (x)[cos(x)dx] PASO 3: Hago una susttucón smple u = sen(x)! du = cos(x)dx. Mra que ya tengo m du = cos(x)dx dentro de la ntegral. Para eso separé en un corchete la expresón cos(x)dx! (1 u )u 6 du PASO 4: El método funcona! Logré reducr la ntegral de manera que pude utlzar una susttucón smple, ahora solo queda resolverla. (u 6 u 8 )du = u u K Entonces la solucón a m ntegral es cos 3 (x)sen 6 (x)dx = sen (x) sen 9 (x) 9 Ejemplo : Encuentra la solucón a la ntegral sen 5 (x)cos (x)dx + K PASO 1: Mro que el seno es la funcón con exponente mpar. Por eso le robaré un seno y lo apartaré junto con el dx. sen 4 (x)cos (x)[sen(x)dx] En el sguente paso verás que será convenente escrbr la ntegral así (sen (x)) cos (x)[sen(x)dx] PASO : Uso la dentdad (1) para transformar el seno (no apartado) a coseno. (1 cos (x)) cos (x)[sen(x)dx] 3

4 PASO 3: Hago la susttucón smple u = cos(x)dx! du = sen(x)dx (1 u ) u ( du) = (1 u + u 4 )u du = (u u 4 + u 6 )du PASO 4: Resolvendo = u3 3 + u5 5 u + C La solucón a m ntegral sen 5 (x)cos (x)dx = cos3 (x) 3 Problema Práctco 1: Resuelve sen 5 (y)cos 5 (y)dy + cos5 (x) 5 cos (x) + C Puedes robarle a cualquera de los dos. Inténtalo de ambas maneras. Problema Práctco : Evalúa cos 5 (t)dt Aplca la regla gual. Verás que funcona aunque no tengas un seno al lado. R cos 5 (t)dt = R cos 4 (t)[cos(t)dt] 1. Cuando ambos exponentes son pares Para resolver potencas del seno y coseno cuando ambos exponente son pares, voy a usar las dentdades (4) y (5). Transformaré el seno y el coseno a cosenos de doble ángulo usando las fórmulas. No hay mas que decr aquí. Ejemplo 3: Evalúa sen (x)cos (x)dx 4

5 Uso las dentdades (4) y (5) h1 cos(x) h 1+cos(x) dx = 1 4 (1 cos (x))dx Mra que 1 cos (x) =sen (x) (no es necesaro pero lo haré para acortar pasos) = 1 4 sen (x)dx Usando nuevamente la dentdad (5) = 1 4 h1 cos(4x) dx Integrando Ejemplo 4: Evalúa cos (t)sen 4 (t)dt = x 8 sen(4x) 3 + C Se me será convenente escrbr la ntegral de la sguente forma cos (t)(sen (t)) dt Uso las dentdades (4) y (5) h1+cos(t) h 1 = cos(t) dt h1+cos(t) h 1 = cos(t)+cos (t) dt 4 5

6 Es un pequeño desastre pero no tengo opcón, debo arreglarlo = 1 8 (1 cos(t) cos (t)+cos 3 (t))dt = 1 8 h t sen(t) cos (t)dt + cos 3 (t)dt Es hora de poner en práctca los métodos de la seccón 1.1 y1. para resolver las últmas dos ntegrales. Integral 1: cos (t)dt Uso la dentdad (4) y resuelvo 1+cos(4t) dt = t + sen(4t) 8 + C 1 Integral : cos 3 (t)dt Robaré un coseno cos (t)[cos(t)dt] Uso la dentdad (1) para cambar el coseno a seno = (1 sen (t))[cos(t)dt] Hago la susttucón u = sen(t)! du =cos(t)dt y llego al resultado = sen(t) sen 3 (t) 6 + C 6

7 Con estas dos ntegrales resueltas, puedo escrbr la respuesta de m ntegral orgnal (te dejaré eso atí) cos (t)sen 4 (t)dt = t 6 sen(4t) 64 sen 3 (t) 48 + C Más sobre potencas trgonométrcas en el sguente documento.