HETEROSCEDASTICIDAD. Eco. Douglas C. Ramírez V. 1) INTRODUCCIÓN

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1 HETEROSCEDASTICIDAD Eco. Douglas C. Ramírez V. 1) INTRODUCCIÓN Las propedades de los estmadores mínmos cuadrátcos de los coefcentes de regresón dependen de las propedades del termno de perturbacón del modelo. Entre los supuestos asumdos, se postula que los errores tenen una esperanza gual a cero, una varanza constante y son ndependentes entre sí. Ahora se estudara los problemas que surgen cuando uno los supuestos es volado. El de varanza constante. Sé vera que los estmadores Mínmo Cuadrátcos Ordnaros (MCO) respectvos son poco representatvos y resultaría más adecuado utlzar procedmentos alternatvos de estmacón. El presente documento pretende resumr los aspectos relaconados con la volacón del supuesto de homoscedastcdad, para ello se ha estructurado en sete seccones ncluyendo la ntroduccón. En la segunda seccón presenta las condcones para que el método de estmacón por mínmos cuadrados ordnaros (MCO) cumpla las condcones para ser los mejores estmadores lneales e nsesgados de acuerdo al Teorema de Gauss-Markov. En la tercera seccón se establece las condcones de homoscedastcdad y se compara con una varanza heteroscedástca. En la cuarta seccón se descrbe las posble causas que pueden orgnar que los datos presenten un patrón heteroscedástco. En la qunta seccón se resume las consecuencas en la confabldad y valdes de la estmacón. En la sexta parte del documento se ntroduce las meddas remédales para corregr el problema de una varanza no constante y en la séptma seccón se habla de los métodos de deteccón ntutvos y comprobatoros. Anexo se lsta los datos y las nstruccones realzadas para las pruebas escrtas en el programa LIMDEP.

2 En este documento la dscusón se centrará en la mportanca de la condcón, cuando puede ser volada, como puede ser detectada y que se puede hacer para ser corregda y así obtener estmadores adecuados. 2) LAS CONDICIONES GAUSS-MARKOV El método de los Mínmos Cuadrados Ordnaros (MCO) asume que el termno de error en el modelo de regresón satsface las cuatro condcones báscas del Teorema de Gauss-Markov, las cuales se resumen (Dougherty, 1992) en térmnos de los sguente aspectos. A partr del modelo (2.1) Y = α + β Donde u y son valores de las perturbacones y de las varables respectvamente. Las condcones establecdas serían: Condcón de Insesgadez; (2.2) E(u )=0 Condcón de Homoscedastcdad; (2.3) E( u )= σ 2 Condcón de No Autocorrelacón Seral; Condcón de Independenca; (2.4) E(u, u j )=0 (2.5) E(, u j )=0 2 S el modelo de regresón es múltple (de más de una varable explcatva), entonces smplemente las condcones son las msmas, excepto que la últma debe ser satsfecha por cada una de las varables explcatvas. S no se cumple una de las condcones prevstas, exceptuando tal vez la prmera que es producto de esencalmente de la defncón, no se obtendrían estmadores MELI (Mejores Estmadores Lneales Insesgados). 2

3 En este documento se estudará esencalmente las condcones de la volacón del segundo supuesto, el de varanza constante en toda la muestra observada o supuesto de Homocedastcdad. 3) LA CONDICIÓN DE HOMOSCEDASTICIDAD 3.1. Intucón Una de las condcones del Teorema de Gauss-Markov para estmar los parámetros lneales más efcentes establece, entre otros, que la varanza de los térmnos de dsturbo para cada muestra observada debe ser constante. Esta afrmacón se refere que para el modelo estmado: Y =α+β +u la condcón sgnfca que el térmno de dsturbo; {u 1, u 2,, u N }; en las N observacones, llamando N el total de observacones muéstrales, potencalmente tendrían un valor medo o esperanza muestral gual a cero y su varanza debe ser constante e gual para cada una de las muestras (Dougherty, 1992). Se espera, por tanto, que algunos valores de los errores estmados (y de las perturbacones) serán postvos y otros negatvos pero la mayoría relatvamente cercanos a cero. Se espera, a pror, que no exsta nngún patrón de comportamento sstemátco de los errores alrededor de su valor esperado o cero y se dstrbuyan unformemente presentado la msma dspersón. Esta condcón es conocda como homoscedastcdad. En algunas muestras, sn embargo, puede ser razonable suponer que la dstrbucón potencal del térmno de dsturbo es dferente en dferentes observacones de la msma muestra. En la fgura 1 se ejemplfca como a lo largo de las muestras (una es homoscedástca y la otra heteroscedástca) vendo tres seccones proporconales de la msma, se observa que va cambando la dspersón de la msma, en el caso de la dstrbucón unforme, u homoscedástca, no se altera, 3

4 u u en cambo, en la que no sgue una dstrbucón unforme esta camba sgnfcatvamente entre la prmera y tercera seccón. Fgura 1 Homoscedastcdad vs. Heteroscedastcdad Homoscedástca Heteroscedástca Submuestra u u Submuestra u u Submuestra u Fgura 2 Modelo Con Perturbacones Heteroscedástcas 225 CONS ING u 4

5 En el ejemplo que se muestra en la Fgura 2, se relacona el consumo de dferentes hogares versus el ngreso de los msmo, se puede observar que en el tramo nferor zquerdo, de menor ngreso y menor consumo, se presenta una menor dspersón y en el tramo superor derecho, de mayor ngreso y de mayor consumo, exste una mayor dspersón a lo largo de la línea meda del modelo de regresón estmado por MCO. En este ejemplo se ndca dferentes dspersones para dferentes tramos de la muestra e ndca a su vez que el comportamento errátco es relatvamente más grande al fnal de la muestra que al prncpo Planteamento Matrcal Matemátcamente la varanza homoscedástca y la heteroscedastcdad pueden defnrse, en térmnos del modelo de regresón lneal general (Greene, 1999). En forma compacta se defne un vector columna Y de N flas con la varable dependente, una matrz de rectangular de N flas y K columnas de varables explcatvas, un vector de parámetros de K flas y un vector columna de perturbacones de N flas. (3.1) Y1 1 M = M Y 1 1 M 11 1N M 21 2N L O L ( K 1)1 M ( K 1) N β 0 u + M M β k U 1 N Nótese que se tenen que cumplr las condcones de conformdad matrcal para que permtan resolver el sstema por el método de MCO, para ello la matrz debe ser nvertble, en este caso se añade un supuesto adconal que los K vectores columnas deben ser lnealmente ndependente. Este supuesto se conoce como ausenca de multcolnealdad o condcón de rango. El modelo matrcal se escrbe a contnuacón, sn ndcar sus dmensones por smplcdad, como: (3.2) Y = ß +U 5

6 Las condcones en térmnos matrcales serían: (3.3.) E(U)=0 (3.4) E(UU')=σ 2 Ω Donde Ω es una matrz defnda postva. Aun cuando se supone todavía que las perturbacones están ncorrelaconadas entre observacones, es decr, la covaranza entre los errores son nulas (supuesto que se levanta cuando se estuda los problemas de autocorrelacón seral) y sólo en la dagonal prncpal de la matrz exsten valores, por lo tanto, se puede expresar la últma matrz como: σω1 0 L 0 0 σω L M 2 2 (3.5) σ Ω = L L O M 0 L M σω N La representacón que se escrbe resulta útl para expresar dferentes patrones de comportamento de la varanza de la regresón, donde la varanza homoscedástca, bajo los supuestos cláscos, sería un caso entre varos. Por lo cual se puede escrbr los elementos de la dagonal de la matrz sgma-omega (σ 2 Ω)como: σ 2 = 2 σ ω (3.6) Donde la varanza homoscedástca se da cuando; ω =1, (y en consecuenca; σω=σi n ) para todos los casos. Esta formulacón permte vsualzar que s se detecta el patrón de comportamento de los elementos omega sub (ω ) que genera la alteracón de la varanza a lo largo de la muestra, es posble extraer este efecto y obtener la varanza correcta y así realzar las pruebas estadístcas que permtan valdar el modelo. Luego entonces, los estmadores MCO pueden ser expresados como sempre de la forma. (3.7) b =ß+ ( ) 1 'U 6

7 Sendo nsesgados dado que E(U)=0 y por tanto E(b)=β; pero su matrz de varanza y covaranza sería ahora. (3.8) Var(b) =E[(b-β)(b-β)']== {[ ( ) 1 'U] [ ( ) 1 (3.9) Var(b) =E {( ( ) 1 'UU' ( ) 1 (3.10) Var(b) = 2 σ { ( ) 1 } 'Ω ( ) 1 } 'U]'} Por lo cual la formula tradconal de estmacón de la matrz de Varanzas MCO como; σ 2 ( ) -1, ya no resulta valda y cualquer aplcacón de ella arrojará resultados erróneos. Pero adconalmente s se pudese utlzar (3.10) para estmar las varanzas muéstrales, el uso el las pruebas de contraste de la bondad de ajuste (pruebas t y F entre otras) estos se nvaldarían ya que no cumplrían los supuestos que se usaron para construr las pruebas de nferenca y por la msma razón tampoco cumple la propedad de varanza mínma de los MCO. En general la exstenca de heterocedastcdad no afecta las condcones de sesgo de los estmadores pero nvalda las pruebas estadístcas de contrastes asocadas a los ntervalos de confanza a partr de las dstrbucones T de Student y F de Fsher-Snedecor 4) CAUSAS La Heteroscedastcdad surge normalmente en datos de seccón cruzada donde la escala de la varable dependente y el poder explcatvo de la tendenca del modelo vara a lo largo de las observacones. En muchos casos los datos mcroeconómcos, como los estudos de gasto de las famlas, presentan este comportamento. Intutvamente la presenca de dferente varanza para dferentes observacones se pueden ejemplfcar en las sguentes causas 1. Razones de escala Dstrbucón espacal 1 Para ver otros ejemplos véase a: Kamenta, 1977, Dougherty, 1992, Gujarat, 1997, Har et al., 1999; entre otros. 7

8 Aprendzaje de los errores Menores restrccones de eleccón. Mejoras en la Informacón Observacones Influyentes Problemas de especfcacón 4.1. Razones de escala Sí, por ejemplo, se quere explcar y cuantfcar el gasto en nnovacón que una empresa realza, medante un conjunto de varables explcatvas como el captal o el trabajo (mídase como se mda) o se quere explcar la estructura del empleo o la tasa de accdentes, es muy probable que se produzca una mayor varacón en el gasto total de las empresas de mayor tamaño (ncluso controlando la regresón por el tamaño) razón por la cual probablemente las perturbacones de los errores de estmacón presenten un comportamento heterocedastco Dstrbucón espacal En estudos de corte transversal (por ejemplo datos regonales o comunales) combnados con seres de tempo donde se quere estudar por ejemplo el crecmento económco o la tasa de delto a través de varables como la nversón, el trabajo y otros factores socales y ambentales. Es posble que se presente un proceso heterocedastco por el hecho no sólo de mayor varabldad en las regones grandes sno por la (s) varable (s) que se utlce (n) como deflactor de las seres (la poblacón de cada regón y el índce de precos) Aprendzaje de los errores A medda que la gente aprende (por ejemplo, en los procesos productvos en cadena o en la evaluacón de la compra) con el tempo, sus errores de comportamento se reducen y por tanto se espera que la varanza 8

9 se reduzca. Sí se pensa en una línea de produccón de un ben, las prmeras undades producdas tendrán un mayor costo o un mayor tempo que las undades producdas al fnal del perodo, la experenca en la practca reduce el tempo y el costo promedo así como el número de undades defectuosas Menores restrccones de eleccón. En promedo, los hogares con mayores ngresos poseen mayores posbldades u opcones de elegr respecto a sus decsones de compra, respecto a los hogares de menores ngresos. En los hogares de mayores ngresos su comportamento puede varar desde las famlas más austeras hasta las famlas más dspendosas. En cambo en los hogares de menores ngresos sólo podrían cubrr lo necesaro de su canasta básca, sobre todo s exsten restrccones al crédto ntertemporal. Fgura 3 Método Grafco 1500 E YF En el ejemplo de ngreso y consumo que se presenta en la fgura 3. Aquí se ha construdo un grafco con el error al cuadrado en el eje de las ordenadas y el valor estmado del consumo en el eje de abscsas. Lo prmero que se observa es un comportamento de mayor dspersón a medda que aumenta el nvel de ngreso de los hogares, abréndose al fnal la fgura en forma de abanco. 9

10 Al gual que los hogares, las empresas con mayores ganancas pueden tener una mayor varabldad en su comportamento en cuanto a sus polítcas de dvdendo, las empresas con una polítca de crecmento tendran una mayor varabldad en sus tasas de crecmento que empresas más conservadoras que preferen mantener sus poscones Mejoras en la Informacón En la medda que mejoran los sstemas de procesos y de recoleccón de datos, además de las técncas para explorar y utlzar con mayor efcenca los msmo, es posble que se reduzca las varabldades de las perturbacones en las estmacones Observacones Influyentes Son observacones que caen fuera de las pautas generales del conjunto de datos o que ejercen una fuerte nfluenca en los resultados de la regresón. S no exsten errores de dseño, n de recoleccón de los datos, estas representan los elementos dferencadores del conjunto de datos y por tanto no deben ser excluda aunque la nclusón o exclusón de esta (estas) observacón (observacones) puedan alterar sustancalmente los resultados del análss de regresón, especalmente en los casos de muestras pequeñas. Estas observacones deben dentfcarse para estudar su mpacto y consderar su posble causa, entre las cuales se debe evaluar las sguentes: a) Un error en la entrada de observacones o datos b) Una observacón valda pero excepconal que es explcable por una stuacón extraordnara c) Una observacón excepconal sn una explcacón plausble d) Una observacón ordnara en sus característcas ndvduales pero excepconal en su combnacón de característcas. En el caso a) se debe corregr la observacón o elmnar, en el caso b) se debe consderar en el modelo la causa extraordnara valda, tal vez; a 10

11 través de una varable fctca (bnara), en el caso c) no se debe elmnar a pesar de que no se pueda justfcar su nclusón y por últmo, en el caso d) ndca que debe modfcarse la base teórca o conceptual del modelo de regresón Problemas de Especfcacón Este problema hace referenca a la nclusón de varables rrelevantes o a la omsón de varables relevantes o a la forma funconal elegda o a los errores de medda lo cual puede afectar la varanza. Aunque la nclusón de varables rrelevantes no sesgue el resultado de las otras varables ndependentes, tene certo mpacto sobre los resultados ya que, por un lado, reduce la parsmona del modelo y por la otra, las varables adconales pueden enmascarar o desplazar los efectos de varables más útles y por últmo, hace que las contrastacones de la sgnfcacón estadístca de las varables relevantes sea menos precsa en su sgnfcanca practca. En el caso de los errores de omsón son más dfícles de consderar ya que no se puede evaluar lo que no se ha ncludo, sólo resta de contar con un soporte teórco y practco del asunto bajo estudo. Cuando se elge una forma funconal nadecuada exste procedmentos de búsqueda pero un prmer ndco lo da el análss grafco de los resduos. Los errores de medda afectan tambén a las varables ndependentes ya que reduce su poder predctvo en la medda que aumenta el error de medda. El modelo de regresón no tene métodos drectos para corregrlos pero s se sospecha del problema se debe consderar la posbldad de utlzar modelos estructurales o varables nstruméntales. En general, la heteroscedastcdad surge con mayor probabldad en datos de corte transversal o en encuestas que en las seres de tempo ya que se tratan con una poblacón en un momento a través de un espaco que pueden orgnar una varabldad fuerte con un patrón sstemátco que afecta la constanca de la varanza. 11

12 5) CONSECUENCIAS Con presenca de heteroscedastcdad, los estmadores mínmo cuadrátco segurán sendo nsesgados dado que E(U)=0 y las varables explcatvas son no estocástcas o ndependentes de los errores, por lo tanto E(U)=0, pero dado que la varanza al no ser constante se nvaldan las pruebas de sgnfcanca estadístca en especal las pruebas de la dstrbucón t-student y F de Fsher-Snedecor. En consecuenca, los prncpales problemas serían: Estmadores nefcentes. Perdda de valdez de las pruebas de contraste estadístcos. Dado que la estmacón de la varanza estaría sesgada y su estmacón no sería además consstente, no se puede, en consecuenca, depender de los resultados obtendos de los ntervalos de confanza, n de las pruebas puntuales usuales, por tanto, s se detecta su presenca, se deben estmar los parámetros por otros medos más adecuados como; mínmos cuadrados ponderados u otra técnca de estmacón. Sempre es necesaro comprobar s exste o no un problema sgnfcatvo antes de proceder a corregrlo. En algunos casos la comprensón de la forma de corregr permte comprender mejor la utldad de los procedmentos formales de deteccón. 6) CORRECCIÓN Se verá en prncpo, la forma de corregr el problema antes de su deteccón por cuanto ayudara comprender mejor los métodos de deteccón y su utldad para corregr el posble problema. Para ello se ntroduce en la lógca del método de estmacón por mínmos cuadrados generalzados factbles, para luego formular las meddas de solucón de acuerdo a los supuestos sobre el patrón de comportamento de los errores. 12

13 6.1. La Matrz de Transformacón Supóngase ahora que sé premultplca el modelo descrto en la ecuacón (3.2) por alguna matrz de transformacón no sngular T de orden n x n que cumpla los sguentes requstos E(TU)=0 y TΩT'=In 2 ; (sendo In la matrz dentdad) entonces sería posble que estmar el modelo (6.1) TY=Tβ+TU Donde cada elemento del Vector TY será una combnacón lneal de los elemento de Y, sendo lo msmo para los otros vectores, con esta transformacón s se utlza los MCO se obtendría estmacones consstentes de los parámetros y de la matrz de varanzas como (6.2) b g = ('T'T) -1 'T'TY (6.3) Var(b g )=σ 2 ('T'T) -1 El estmador b g se defne como el estmador por mínmos cuadrados generalzados (MCG) o de Atken (1935), obvamente el procedmento es smple s se conoce cual es la transformacón adecuada, lo que ocurre en casos muy especales Meddas remédales desconocendo la especfcacón de la varanza Para entender un poco más este punto se va a ejemplfcar con un modelo smple como el de (2.1) y que será extensble al modelo matrcal además permtrá comprender los métodos de deteccón. Sea el modelo con un patrón de heterocedastcdad como el descrto en (3.6), σ 2 = σ 2 ω. (6.4) Y = α + β + u 2 Nótese que s TΩT'=In entonces Ω -1 =T'T 13

14 La correccón se haría por un caso especal de los mínmos cuadrados generalzados como son los mínmos cuadrados ponderados, donde cada uno de los vectores del modelo sería multplcado por un ponderador w =(1/σ ) lo cual permtría obtener una varanza constante lbre de los efectos del patrón heterocedástco. (6.5) (Y /σ ) = (α/σ ) + (β /σ ) + (u /σ ) Es decr s el patrón es σ 2 =σ 2 ω y por lo tanto la transformacón adecuada sería entonces la raíz cuadrada de la parte varable ( ω ). (6.6) (Y / ω ) = (α / ω ) + (β / ω ) + (u / ω ) Esto permtría obtener una varanza homocedastca que cumplría los supuestos y permtría la nferenca estadístca y realzar las pruebas de los ntervalos de confanza. Con la transformacón de las varables ahora la varanza sería. (6.7) E(u / ω ) 2 = (1/ω )E(u ) 2 = (1/ω ) σ 2 ω = σ 2 S se desconoce la varanza y su patrón de cambo, tal como sucede en la mayoría de los casos, entonces deberá formularse algún supuesto sobre su comportamento. Dependendo de los supuestos que se adopten, corresponderá una transformacón para estmar por mínmos cuadrados ponderados, por ello se asumrán varos supuestos razonables para ejemplfcar el proceso de correccón. Algunos textos recomendan que a pror se transforme el modelo en térmnos logarítmcos ya que con ello reduce el nvel de dspersón y comprme la escala. Como señala Gujarat (1997), s 80 es 10 veces el numero 8 el ln 80(=4,3280) es cas el doble del ln 8(=2,0794). Pero en muchos casos s ben tene ventajas no sempre es posble aplcar esta transformacón ya que la estructura de datos o del modelo no lo permte o no es adecuada. 14

15 Supuesto 1 Se asume que la varanza del error es proporconal al cuadrado de la varable explcatva; E(u ) 2 = σ 2 2. Se utlza la sguente transformacón: (6.8) Y α = + β + u α (6.9) = + β + υ Donde (ypslon) ν es él térmno del error transformado que cumple todas propedades para los estmadores mínmo cuadrátco (son déntcos e gualmente dstrbudos d). Entonces se tene que:e(ν ) 2 = E(u / ) 2 = (1/ 2 )E(u ) 2 = (1/ 2 ) σ 2 2 = σ 2. Por tanto, la varanza de ν es homocedástca. Supuesto 2 Se asume que la varanza del error es proporconal a la varable explcatva; E(u ) 2 = σ 2. Para ello se utlza la sguente transformacón: Y α u = + β + (6.10) = (6.11) Ahora se tene que la varanza de ypslon sería: E(ν ) 2 = E(u / ) 2 = (1/ )E(u ) 2 = (1/ ) σ 2 = σ 2. Por tanto, la varanza de ν es homocedástca. α + β + υ Supuesto 3 Se asume que la varanza del error es proporconal al cuadrado del valor esperado de la varable explcada; E(u ) 2 = σ 2 E[Y ] 2.la transformacón sería ahora: 15

16 Y β + (6.12) E[ Y ] E[ Y ] E[ Y ] E[ Y ] (6.13) E[ Y ] E[ Y ] = = α α + β + u + υ La varanza de ν es homocedástca como se ve, E(ν ) 2 = E(u /E[Y ]) 2 = σ 2. Por tanto se satsface los supuestos cláscos y se puede realzar las pruebas de confanza de los parámetros estmados del modelo. Como es obvo no se cuenta con el valor medo esperado sno con los valores estmados ( Y ˆ ˆ α + ˆ β = ) y a ellos se recurre como susttuto de E[Y ]. Para ello se procede en dos etapas. Prmero se estma el modelo por MCO, sn consderar el problema de heteroscedastcdad y se obtene los Ŷ para ser utlzados en la segunda etapa. Luego se corre la regresón utlzando los Ŷ como ponderadores y se transforma el modelo como. Y α β u = + + (6.14) Yˆ Yˆ Yˆ Yˆ (6.15) α β = + Yˆ Yˆ + υ De hecho una formulacón más general (Kamenta,1971) es consderar un patrón que ncluye dos parámetros, σ 2 y δ y una varable ω. E υ = σ = σ ω 2 2 δ (6.16) ( ) 2 Donde el parámetro δ mde el grado de heteroscedastcdad, cuanto más pequeño sea menor será la dferenca entre las varanzas ndvduales y cuando δ=0, el modelo sería homoscedástco. La varable (ω ) sería cualquer varable que causa el problema, de hecho se recomenda utlzar el valor estmado de la varable 16

17 dependente, ( Ŷ ), cuando hay más de una varable que causa el problema de heteroscedastcdad. Normalmente los valores de δ se buscan en un rango que va desde cero a dos (0 δ 2) Un ejemplo. A contnuacón se muestra un ejemplo con el programa LIMDEP, en un estudo sobre benes que no se tranza en el mercado 3, se estudaba la dsposcón a pagar para proteger una colona de delfnes y que característcas hacían más propenso el pago por deduccón en la cuenta del agua. La muestra fnal fue de 282 observacones valdas realzadas en la Cudades de La Serena y Coqumbo de la IV Regón de Chle, en el segundo semestre del La varable dependente (Y) es la dsposcón de pago en pesos chlenos a julo del 2000, y las varables explcatvas del modelo eran las varables dcotómcas del conocmento de la exstenca de la colona de delfnes narz de botella (CD; S=1, No=0). S había vstado la Isla Damas donde estaba la colona de delfnes narz de botella (PVI; S=1, No=0), el sexo del entrevstado (Sexo; hombre =1, mujer =0), la edad en años (Edad), los años de estudo (Educ) y el nvel de ngreso en pesos que declara en la entrevsta (Ing). En el resultado de la estmacón ncal sólo resultaron tres parámetros sgnfcatvos de sete. al 5% de error tpo I (95% de confanza), el resto (4 parámetros) no eran sgnfcatvos a ese nvel. Sólo las varables de vsta a la Isla Damas (PVI), Edad y Educacón fueron sgnfcatvas, las varables menos sgnfcatvas fueron el ngreso y el conocmento de la colona de delfnes (CD) y el sexo. El coefcente de determnacón ajustado llega al 7.4% de explcacón de la varabldad total. Las nstruccones lstadas para la estmacón fueron: 3 Ramírez; D. & R Helo y C. Rvera (2000) Evaluacón de benes ambentales que no se transan en el mercado: Caso delfnes Narz de Botellas Islas de Choros, IV Regón.. Unversdad Católca del Norte, Coqumbo, Chle. 17

18 Namelst ; =ONE, CD, PVI, SEO, EDAD, EDUC, ING$ REGRESS ; LHS=Y ;RHS= ; Keep=B ;res=er0$ La salda del prmer lstado de nstruccones fue; Ordnary least squares regresson Weghtng varable = none Dep. var. = Y Mean= , S.D.= Model sze: Observatons = 282, Parameters = 7, Deg.Fr.= 275 Resduals: Sum of squares= , Std.Dev.= Ft: R-squared= , Adjusted R-squared = Model test: F[ 6, 275] = 4.75, Prob value = Dagnostc: Log-L = , Restrcted(b=0) Log-L = LogAmemyaPrCrt.= , Akake Info. Crt.= Autocorrel: Durbn-Watson Statstc = , Rho = Varable Coeffcent Standard Error t-rato P[ T >t] Mean of Constant CD PVI SEO EDAD EDUC ING E E Sgnfcatvos al 5% Se realzaron pruebas que detectaron el patrón de heteroscedastcdad y luego 2 ˆ σ σ Y E υ = =, de comprobado el problema, la transformacón elegda fue ( ) con dcha correccón se redujo el problema de heteroscedastcdad. Las nstruccones para la correccón se muestran a contnuacón con los resultados de la salda correspondente CREATE ; W = 1 / B ^ 2 $ REGRESS ; Lhs = Y ;Rhs = ; Wts = W ;res=e; Keep = B $ 18

19 Ordnary least squares regresson Weghtng varable = W Dep. var. = Y Mean= , S.D.= Model sze: Observatons = 282, Parameters = 7, Deg.Fr.= 275 Resduals: Sum of squares= , Std.Dev.= Ft: R-squared= , Adjusted R-squared = Model test: F[ 6, 275] = 52.30, Prob value = Dagnostc: Log-L = , Restrcted(b=0) Log-L = LogAmemyaPrCrt.= , Akake Info. Crt.= Autocorrel: Durbn-Watson Statstc = , Rho = Varable Coeffcent Standard Error t-rato P[ T >t] Mean of Constant CD PVI E-01 SEO EDAD EDUC ING E E En esta últma salda puede verse que todos los parámetros eran sgnfcatvos al 95% de confanza (5% de error tpo uno) y como puede verse la varanza estmada, comparando con la prmera salda, obtenda con la estmacón corregda de los regresores fue en unos casos sobrestmada o subestmada en la prmera salda y el sgno del parámetro de ngreso cambo. Todos los parámetros son estadístcamente sgnfcatvos al 95% de confanza. El coefcente de determnacón ahora explca el 52,3% lo cual es sustancalmente mayor al 7,4% anteror de la estmacón no corregda. 7) DETECCIÓN Anterormente se mostró, en el ejemplo de la fgura 2, la relacón entre el consumo e ngreso con presenca de heteroscedastcdad y se djo que s se ordenan las varables de mayor a menor ngreso, la varanza del grupo de mayor ngreso presentaba una dspersón mayor de la línea de regresón que el grupo de menor ngreso. Intutvamente la deteccón pasa por demostrar que las varanzas no son guales. Para ello se utlzan métodos nformales (gráfcos e ntutvos) y métodos formales o comprobatoros, en estos últmos exsten dos tpos de procedmentos a saber; constructvos y no constructvos (Greene, 1999). Los métodos no 19

20 constructvos sólo pretenden dentfcar la exstenca del problema y los constructvos pretenden dentfcar el posble patrón del proceso heterocedastco. Dagrama 1 Métodos Deteccón Ex - ante Gráfcos e ntutvos Ex - post Métodos No Construct vos Comprobato ros Construct vos Las pruebas no constructvas poseen una mayor potenca estadístca que los métodos constructvos pero tenen la desventaja de no descrbr el tpo de proceso el cual debe ser extraído para resolver el problema de los datos. Se ejemplfcara los dversos métodos con un ejemplo sencllo de ngreso consumo. Las nstruccones lstadas son realzadas con el programa 4 Lmdep 7.0, y tambén se ncluyen ejemplos de pruebas con el programa 5 Evews Métodos Informales Estos métodos se sustentan en desarrollar un buen sentdo común o ntucón educada (educated guess-work). Este tpo de ntucón permte tener evdencas pero no pruebas. En prncpo se puede sospechar que el tpo de datos, pueden presentar un problema de heterocedastcdad dado las experencas de estudos anterores sobre el tema. 4 LIMDEP 7.0 Es una marca regstrada de W. H. Greene. 5 Evews 3.1 Es una marca regstrada de QSM. 20

21 El supuesto fundamental del análss multvarante es la normaldad de los datos ya que es el punto de referenca de los métodos estadístcos utlzados. S la varacón respecto de la dstrbucón normal es bastante ampla, las pruebas estadístcas de contraste no son valdas, puesto se requere la normaldad para las pruebas t y F. S una varable es normal multvarante, es tambén será una normal unvarante, aunque lo contraro no es necesaramente certo, es decr una combnacón de dos o más varables normales unvarantes no conforman necesaramente una normal multvarante pero en una stuacón donde todas las varables exhben una normal unvarante ayudaría a obtener una varable normal multvarante aunque no lo garantza. La normaldad multvarante es más dfícl de contrastar, por eso en este documento se centrará en el análss de la normaldad unvarante de los resduos que son la expresón de la salud del modelo Análss Ex- ante Antes de realzar la regresón se deben analzar los datos y ver cuan cercanos se encuentran del supuesto de normaldad uno de las pruebas es realzar los análss gráfcos, el prmero fue el que se mostro en la fgura 2 donde deben realzarse para cada una de las varables explcatvas contra la varable dependente. Como se puede observa en el gráfco, que sgue al lstado de nstruccones, la dspersón aumenta a medda que aumenta la renta, nótese que este gráfco es el msmo que mostró en la fgura 2.?Grafco de dsperson de los datos PLOT;Lhs=Y;Rhs=C$ 21

22 C Y Estos gráfcos son llamados dagramas de dspersón y permte ver como es el comportamento de la nube de puntos. Como se muestra, la prmera línea de nstruccón es un comentaro y la segunda línea es el comando de grafcacón (Plot) que realza la nube de puntos del consumo (Rhs=C) contra el ngreso (Lhs=Y). Es relevante tener cudado con la escala ya que esta puede hacer más o menos clara la vsualzacón del comportamento de los datos. Otros análss, ex ante, son: el gráfco de normaldad a través del hstograma y los gráfcos QQ de Normaldad 6. Los hstogramas son más smple y ellos deberían mostrar la típca forma de campana de la dstrbucón de Gauss (gaussana o normal). Aquí se construye para el consumo dvdendo los datos en 10 proporcones guales. La nstruccón para construr el hstograma y la salda correspondente se lstan a contnuacón. Nótese que presentan una dstrbucón asmétrca.? Hstograma del consumo HISTOGRAM; Rhs =C ; Int =10$ 6 Para el uso de esto dagramas de normaldad se recomenda revsar la obra de Har, Anderson, Tatham y Black, (1999). Estos dagramas hoy en día se encuentran en todos los programas de uso estadístco como el SPSS, ademas del LIMDEP 7.0 y el Evews

23 Hstogram for Varable C Frequency u Bn Para el caso del hstograma del ngreso se utlza la msma nstruccón cambado solo la varable de consumo (C) por la del ngreso (Y) mantenendo los 10 ntervalos, la nstruccón lstada y su salda se muestran segudamente a contnuacón. Se puede observar que los datos son tomados en el msmo tamaño para los dstntos nveles de ngreso y por tanto presenta una dstrbucón unforme? Hstograma del ngreso HISTOGRAM; Rhs =Y ; Int =10$ Hstogram for Varable Y Frequency u Bn Se puede observar que nnguno de los dos hstogramas posee la típca dstrbucón gaussana, el prmero, el consumo, presenta una dstrbucón asmétrca postva no puntaguda y el segundo, el ngreso, una dstrbucón tpo unforme. Esto se confrma con los gráfcos QQ de Normaldad para ello se lsta la sguente nstruccón (Dstat;) que arroja tanto los gráfcos QQ-N, como la estadístcas descrptvas báscas (meda, desvacón, asmetría o 23

24 Skewness, Kurtoss o concentracón, valores máxmos, mínmos y total de observacones). DSTAT; Rhs = C, Y; Plot; Output=3$ 262 C Quantle Quantle N-Q_plot of C vs. N( , ) 416 Y Quantle Quantle N-Q_plot of Y vs. N( , ) Arrba, el prmer gráfco de la zquerda del lector, muestra el dagrama QQ-N para el consumo y el segundo a la derecha, el QQ-N para el ngreso. Los grafcos QQ-N confrman lo mostrado por el hstograma ndvdual realzado. Este procedmento trata de averguar s los datos proceden de una dstrbucón normal y para ello se traza un dagrama con los «Quantles reales» observados versus los «Quantles teórcos» de una Normal (QQ-N). Los «Quantles» dvden la muestra en una sere de grupos de gual tamaño. S los puntos están más próxmos a la recta teórca el ajuste es aceptable y la sere sería normal y lo contraro, s es al revés. 24

25 Tambén es posble realzar una prueba estadístca de normaldad a través de los coefcentes de asmetría y concentracón. El valor estadístco de la normal estandarzada (z) para la asmetría se calcula como: Skewness z asmetría =. Donde N es el tamaño de la muestra. Tambén se puede 6/ N obtener un valor de la normal estandarzada o z calculado para la Kurtoss Kurtoss como: z curtoss =. S el valor de la z calculada excede al valor crítco de 24/ N tabla, entonces se rechaza la hpótess nula de que la dstrbucón es normal para esas característcas. Por últmo, la prueba estadístca de normaldad de los datos de Jarque- N K 6 2 [ ] Bera (JB) está dada por; JB = Skewness + ( Kurtoss 3) 4. Donde N es él número de observacones, K es cero s es una varable que se estuda y sí se analzan los resduos es gual al numero de varables explcatvas de la regresón. El estadístco JB se dstrbuye como una Ch cuadrado (χ 2 ) con dos grados de lbertad bajo la hpótess nula de normaldad Análss Ex-post El análss expost se realza con los resduos de la regresón realzada. Para ello se construye un tpo de prueba grafca a partr de los errores estmados de la regresón elevados al cuadrado contra la(s) varable(s) sobre la que se sospecha o la varable dependente estmada. Como se muestra en la fgura 3, en la cual se muestra una abertura tpo abanco de los datos. El procedmento a realzar es el sguente; se estma la regresón ncal por MCO, guardando los errores estmados en una varable (Res=U) y los valores estmados del consumo (Keep=CE) en otra. Luego utlzando el comando de transformacón (Create) se elevan al cuadrado los errores 7 Jarque, C. and A. Bera (1980) 25

26 multplcando elemento del vector por sí msmo y creando un nuevo vector columna de perturbacones cuadrátcas (U2=U*U). Por últmo se trazan los errores al cuadrado (U2) en la ordenada y el consumo estmado (CE) en el eje de abscsas. Ejemplo lstado de nstruccones en LIMDEP y la salda se muestran a contnuacón: /*Se realza la prmera regresón del modelo guardando los errores en el vector u y los valores estmados en el vector CE */ Regress; Lhs=C; Rhs =one, Y ; Res =U; Keep=CE$? Se construye el vector de errores al cuadrado Create; U2 = U*U $? Se grafcan los resduos PLOT; Lhs=C; Rhs=U2$ U CE Otros gráfcos smlares pueden ser construdos tomando los errores estmados orgnales o los valores absolutos de los msmos contra las varables dependente e ndependentes de la regresón estmada. En la seccón sguente se verán los métodos más formales Métodos Formales Como se señalo, en los métodos formales se trabaja con dos tpos: procedmentos No Constructvos y procedmentos Constructvos. Los prmeros 26

27 presentan una mayor potenca estadístca y en algunos casos no son pruebas exgentes respecto al supuesto de normaldad. Los segundos poseen una menor potenca estadístca en cuanto no rechazar la hpótess nula sendo esta falsa, por lo cual pueden arrojar resultados dudosos pero pueden mostrar el posble patrón de correccón del modelo. No se debe olvdar que todas las pruebas de contraste se construyen bajo la hpótess nula de homocedastcda versus la hpótess nula de no homocedastcdad, esto, aun cuando en muchos casos es obvo, por ser tan obvo se pasa por alto cuando se quere conclur en los resultados. Se verán prmero los No Constructvos y luego los Constructvos Métodos No Constructvos En los métodos no constructvos se verán cuatro pruebas, la de Levene (1960), de Goldfeld-Quandt (1965 y 1972), la de Breusch-Pagan (1979) - Godfrey (1978) y, fnalmente, la prueba de Whte (1980) Prueba de Levene La prueba de Levene 8 (1960) o de homogenedad de varanza, contrasta hasta que punto los dstntos nveles del factor tene una varanza homogénea en la varable dependente. Tene la ventaja de no ser tan exgente respecto a la dstrbucón de normaldad de la varable dependente. En este caso la varable dependente será el error al cuadrado 9 y la varable por la cual se categorza (factor) es la varable dependente o cualquera de las varables explcatvas de la regresón. El valor se obtene calculando para cada sujeto la dferenca en valores absolutos entre la puntuacón y la meda del grupo o nvel del factor y realzando después un ANOVA con estas dferencas. Se contrasta con una prueba F bajo la hpótess nula de Homoscedastdad. 8 Esta prueba se encuentra en el menú de varos programas especalmente en SPSS y en el Evews. Tambén exste otra prueba de contraste de homogenedad de la varanza de Kendall y Stuart (1961) descrta por Johnston (1987) es parecda a la prueba de Levene. 9 Tambén se puede utlzar para la varable orgnal o transformada en valor absoluto u otra transformacón monótona s lo que se quere probar es la varanza de la msma y no del error. 27

28 Aquí se ejemplfca con una salda realzada en el programa Evews con los datos del ejemplo de consumo, la salda mostrada a contnuacón ndca la presenca de heteroscedastcdad. En la fgura adjunta (Tabla1) se muestra el resultado obtendo a través del programa Evews 3.1. Vews Test for Descrptve Stat Equalty Tests by Classfcaton Ing Tabla 1 Prueba de Levene F 5% tabla(3,56) =2.769 En el caso del programa Evews el procedmento es el sguente: Se seleccona la varable a estudar (en el ejemplo, E2), la prueba se encuentra en el menú Vews submenú Test for Descrptve Stat y se elge la opcón Equalty Tests by Classfcaton y en la ventana se pone el nombre de la sere con la que se construye los ntervalos (en el ejemplo; ING). Los grados de lbertad son el número de factores menos uno en el numerador (En este caso 4 ntervalos de la varable ngreso menos 1 grado de lbertad por calculo de la meda =3) y en el denomnador, el numero de observacones menos el numero de factores (En este caso 60 observacones menos 4 ntervalos =56). S el F calculado es mayor que el F de tabla se rechaza la hpótess nula. En este 28

29 caso el estadístco de Levene es que es mayor al valor en tabla al 5% de error tpo uno (95% de confanza) que es de Goldfeld-Quandt (G-Q) La prueba de Goldfeld y Quandt (1965 y 1972) se utlza para muestras pequeñas. Para realzar esta prueba se debe, prmero ordenar toda la muestra en orden decrecente, de mayor a menor, utlzando la varable dependente como varable de ordenacón, tambén se puede utlzar una de las varables explcatvas que presenta un comportamento claramente crecente; como el ngreso en el consumo de los hogares. En segundo lugar, se dvde la muestra en tres submuestras, la muestra del medo debe ser menor gual a un terco y mayor a un qunce por cento de la muestra total. Las submuestras extremas (la superor e nferor) deben ser mas o menos guales (esto es deseable mas no es necesaro). La submuestra superor corresponde a los valores grandes y la submuestra nferor corresponde a los valores pequeños de la regresón. Luego se estma la regresón de la submuestra superor (omtendo el resto de las observacones) y se obtenen los resduos, con ellos se calcula la suma cuadrada de los resduos superor o prmer grupo (SCR1), se procede a realzar lo msmo, pero para la submuestra nferor, o segundo grupo y se obtenen los resduos del grupo nferor y se calcula la suma cuadrada de los resduos del segundo grupo (SCR2). Bajo la hpótess nula de homocedastcdad se realza una prueba contraste F, con m 1 -k 1 grados de lbertad en el numerador y m 2 -k 2 grados de lbertad en el denomnador Ho: σ 1 =σ 2 Ho: σ 1 σ 2 29

30 (7.1) F SCR1 = SCR2 ( m1 k1) ( m2 k2) α C F m 1 k1; m2 k 2 Donde m 1 ; es el número de observacones de la submuestra superor, k 1 ; es el número de parámetros de la submuestra superor, m 2 ; es el número de observacones de la submuestra nferor, k 2 ; es el número de parámetros de la submuestra nferor. S el F calculado es mayor al valor del F de tablas se rechaza la hpótess nula de homocedastcdad. Ejemplo de la prueba G-Q El lstado de nstruccones para LIMDEP? Ordena las varables de mayor a menor SORT ; LHS=Y; RHS=C ;DESCENDING$?Toma los valores de submuestra superor SAMPLE; 1-25$? Estma la regresson y guarda los resduos REGRESS; LHS=C; RHS=ONE, Y ; RES=E1; KEEP= C1$? Guarda el numero de grados de lbertad de la regreson Calc; lst; DG1=DEGFRDM $? Obtene el vector de resduos al cuadrado Create; E21=E1*E1$? Obtene la suma de los resduos al cuadrado Calculate; lst; SCR1=Sum(E21) $? Toma la submuestra nferor SAMPLE; 35-60$? Estma la regresson y guarda los resduos REGRESS; LHS=C; RHS=ONE, Y ; RES=E2; KEEP= C1$? Guarda el numero de grados de lbertad de la regreson Calc; Lst; DG2=DEGFRDM $? Obtene el vector de resduos al cuadrado Create; E22=E2*E2$? Obtene el vector de resduos al cuadrado Calculate; Lst; SCR2=Sum(E22) $ /* Calcula el F para la prueba de G-Q */ Calculate; Lst; FCalc= (SCR1/DG1)/(SCR2/DG2)$ /* Arroja el valor de tabla de la F con 5% de error tpo I*/ Calc; Lst; Ftb(.95,DG1,DG2)$ El resultado fnal arroja un F calculado de 10,34 mayor al 1,99 de tabla. 30

31 Calculate; Lst; FCalc= (SCR1/DG1)/(SCR2/DG2)$ FCalc = D+02 Calc; Lst; Ftb(.95,DG1,DG2)$ Result = D+01 En algunos casos esta prueba de contraste no arroja resultados claros, ya que puede ser afectada por la forma funconal del modelo y por el tpo de dstrbucón de los datos 10. Por ejemplo, en un modelo con transformacones logarítmcas en las varables, la prueba de G-Q puede arrojar como resultado el no rechazo de la hpótess nula a pesar del que los datos presenten un patrón de heterocedastcdad, por esta razón se utlzan, como pruebas de mayor potenca estadístca, las pruebas de Breusch-Pagan (1979) y Godfrey (1978) que no dependen de la forma funconal y la prueba de Whte que es ndependente de la forma funconal y del tpo de dstrbucón de los datos Breusch-Pagan-Godfrey (BPG) En los trabajos de Breusch y Pagan (1979) y en el de Godfrey (1978) se construyo una prueba que no depende del numero de observacones omtdas, n de la dentfcacón de la varable que genera la heteroscedastcdad para realzar el ordenamento, n de la forma funconal. Esta prueba de contraste cubre un amplo espectro, es smple y se basa en los resduos MCO. Se asume para ello el modelo (7.2) Y=β+U Donde las perturbacones u se dstrbuyen como una normal, con una varanza no constante. (7.3) 2 σ = h( zθ ) Donde h(.) es una forma funconal cualquera no especfcada, θ (tetha) es un vector de coefcentes (px1) no relaconados con los β y z es un vector de varables (px1) que presumblemente causan la heteroscedastcdad, donde p es el numero de 10 Véase a Johsnton (1989) quen cta a Harvey y Phllps (1973) quenes realzaron expermentos para valdar la robustez y potenca de las pruebas de contraste del supuesto de Homocedastcdad. 31

32 regresores o varables que se ncluyen en la regresón auxlar. Se asume que él prmer elemento es gual a uno y por tanto la hpótess nula de homoscedastcdad es Ho: θ 2 = θ 3 = θ 4 =...= θ p =0 Las varables z pueden ser una o todas las varables de la regresón que pueden afectar estructuralmente a la varanza de la regresón. La prueba se construye de la sguente forma. ) Estme el modelo Y=β+U (6.2) y obtenga los resduos MCO estmados û ) ) ) u, u2, L, ( ) 1 u N. N ) 2 ) u 2 ) Calcule la varanza estmada como; = = 1 σ ; (nótese que este es el N estmador MV y no el estmador MCO de la varanza). ) 2 u ) Construya la varable (x) ξ como; ξ = ) ; véase que es el resduo 2 σ estmado MCO elevado al cuadrado y dvddo por la varanza estmada. v) Estme la regresón; ξ = θ1 + θ 2z2 + L+ θ p z p + υ ; donde (ypslon) υ ; es un error normal con meda cero y varanza constante. v) Calcule la Suma Cuadrada Explcada (SCE) de la regresón auxlar y calcúlese; Θ=(½) SCE. v) Bajo la hpótess nula de homoscedastcdad el estadístco Θ~χ 2 p-1; se dstrbuye (asntotcamente) como una Ch cuadrada con p-1 grados de lbertad, donde p es el numero de varables ncludas en la regresón auxlar. v) S el estadístco calculado es mayor al valor de tabla se rechaza la hpótess nula. Ejemplo del lstado de nstruccones para los datos de consumo-ngreso /* Prueba de Breusch Pagan y Godfrey */? Estma la regresón ncal Regress; Lhs=C; Rhs=One, Y ; Res=U;Keep=CE$ BPG? Crea el Vector de errores al cuadrado Create; U2=U*U$? Calcula la suma de los errores al cuadrado Calc; Lst; SU2=sum(U2)$? Calcula la varanza de la prueba Calc; Lst; VMV=SU2/NREG$? Calcula el vector de la varable dependente 32

33 Create; GI=U2/VMV$? Estma la regresón auxlar REGRES; LHS=GI ; RHS= ONE, Y; Res=e; Keep=GIE$? Calcula la Suma de cuadrados explcada Matrx; Lst; C=GIE'*GIE$ Calc; Lst; SCE=C-NGI$? Estma el Estadístco CALC; Lst; TBPG=0.5*(SCE)$? Calcula el valor en Tabla Calc; Lst; Ctb(.95, KREG-1)$ Con la muestra de 60 datos sobre consumo-ngreso del ejemplo, se obtene que la suma cuadrada explcada es de: SCE=68.63 y el estadístco de Breusch- Pagan y Godfrey es: Θ=34.315; para una Ch cuadrada de tabla con un grado de lbertad y 95% de confanza (χ 2 1=3.84<Θ=34.315) se rechaza la hpótess nula de Homocedastcdad. Es un grado de lbertad ya que sólo hay una varable explcatva en la regresón auxlar. Las saldas de las tres últmas líneas se muestran a contnuacón: Calc; Lst; SCE=C-NGI$ SCE = D+02 CALC; Lst; TBPG=0.5*(SCE)$ TBPG = D+02 Calc; Lst; Ctb(.95, KREG-1)$ Result = D Prueba de Whte. Whte (1980) dervo la estmacón de una matrz de varanzas y covaranzas consstente que provee una prueba de contraste de los coefcentes con presenca de un patrón no conocdo de heteroscedastcdad, la matrz de Varanza-Covaranza de Whte esta dada por (7.4) N ˆ N ΣW = N k = T ( ' ) uˆ x x ( ' ) 1 Donde N es el número de observacones, k es el número de regresores y los 2 u ˆ son los resduos al cuadrado de la regresón estmado por MCO. El estmador convenconal MCO homoscedástco es 33

34 (7.5) 2 V = σ [ ' ] 1 Donde la varanza de los errores de la regresón por MCO ( σ ) esta dada por; (7.6) σˆ ˆ 2 uˆ = 2 2 ˆ ( N k) S no hay heteroscedastcdad (7.5) será un estmador consstente de la matrz de varanza y covaranza de los parámetros (Var(b)), Ahora, s exste, no lo será. Partendo de esto Whte construyo una prueba de contraste a través de obtener el coefcente de determnacón (R 2 ) de una regresón auxlar de los errores contra las varables explcatvas del modelo orgnal, sus cuadrados y sus productos cruzados 11, luego se construye un estadístco que se dstrbuye, como una Ch cuadrada con p-1 grados de lbertad (N*R 2 ~χ 2 p-1) 12. Donde p es él número de regresores de la regresón auxlar sn nclur la constante. El estadístco provee una prueba de hpótess de que todas las pendentes de la regresón auxlar son cero, es decr; Ho: θ 1 = θ 2 = θ 3 =...= θ p =0 A su vez Whte señala que es una prueba general de especfcacón del modelo, dado que la hpótess nula se fundamenta en que los errores son homoscedástcos e ndependentes de los regresores y que la especfcacón lneal es la correcta. Sí la hpótess nula se rechaza, una o más de estas condcones voladas conducen a una prueba sgnfcatva. De lo contraro, la ausenca de sgnfcanca estadístca de la prueba, puede mplcar que nnguna de las tres condcones es volada. La prueba de Whte se ejemplfcará con un modelo de dos varables explcatvas, la construccón de la prueba se realza bajo la hpótess nula de homoscedastcdad, ndependenca y lnealdad. El procedmento es el sguente: a) Se estma el modelo ncal; y se obtenen los errores del modelo estmado como b) = β + β u. 2 Y β S el modelo tene varables dummy y censuradas se omte los productos cruzados y algunos cuadrados. 12 En el Evews se construye una prueba de Whte usando las dstrbucones F y Ch. 34

35 c) Con los errores al cuadrado como varable dependente y los cuadrados y los productos cruzados de las varables explcatvas se utlzan en una regresón auxlar como d) u ˆ = θ + θ + θ + θ + θ + θ ν ; e) De esta regresón auxlar se obtene el coefcente de determnacón (R 2 aux) que se multplca por él numero de observacones (N) que se tene en la muestra y se obtene el estadístco de Whte como una Ch cuadrado con grados de lbertad al número de regresores de la regresón auxlar (exceptuando la constante). Para la ecuacón del ejemplo (véase b y d) serían 5 grados de lbertad entonces el Ch cuadrado calculado del estadístco de Whte (χ 2 TW) bajo la hpótess nula sería: f) χ 2 TW=N-R 2 aux~χ 2 (Kaux-1) g) S el Ch cuadrado calculado es mayor que el Ch cuadrado de tabla dado el nvel de Error Tpo I 13, se rechaza la hpotes nula de homoscedastcdad. Al construr la prueba debe tenerse en cuenta s hay varables explcatvas dcotómcas o "dummes" ya que los productos cruzados pueden crear una multcolnealdad artfcal en la regresón auxlar Métodos Constructvos Nnguna de las pruebas anterores provee una estmacón especfca de la forma del proceso heteroscedástco que afecta al comportamento de los errores y que se pueda nsertar en el modelo y obtener estmadores Mínmo Cuadrátcos Generalzados para ello se utlzan dos pruebas de contrastes de forma funconal del proceso heteroscedástco como las pruebas de Glesjer (1969) y de Park (1966). 13 Por convencón se utlza el 5% o 1% de error tpo I esto arroja un 95% a un 99% de nvel de confanza- 35