El conjunt dels nombres complexos

Transcripción

1 El conjunt dels nombres complexos Jesús Ríos Garcés

2 2

3 Índex 1 El conjunt dels nombres complexos Suma de nombres complexos Producte de nombres complexos Divisió de nombres complexos Potenciació de nombres complexos Potències de la unitat imaginària Potències del nombre complex a+bi Radicació Representació gràfica d un nombre complex Mòdul d un nombre complex Argument d un nombre complex Forma trigonomètrica i polar d un nombre complex Producte i quocient de nombres complexos en forma polar Divisió de nombres complexos en forma polar Potenciació i radicació de nombres complexos en forma polar Potenciació d un nombre complex en forma polar Arrels d una equació algèbrica. Teorema fonamental de l àlgebra Exercicis

4 4 ÍNDEX

5 Tema 1 El conjunt dels nombres complexos Sembla que a qui primer se li va presentar la necessitat d haver de trobar l arrel quadrada d un nombre negatiu va ser a Heró d Alexandria (aproximadament 62 anys dc), que en el seu llibre Stereometrica va escriure: Anys després el matemàtic grec Diofant (275 anys dc) va intentar construir un triangle rectangle amb una corda de 12 nusos i d àrea igual a 7 unitats quadrades. Diofant va arribar a aquesta solució x = 32± Però Diofant no coneixia cap nombre real el quadrat del qual fos igual a un nombre negatiu. Van haver de passar 15 segles perquè el matemàtic italià Gerolamo Cardano ( ) escrivís a la seua Ars Magna, el 1539 i per primera vegada a la història l arrel quadrada d un nombre negatiu. Cardano volia descompondre el nombre 10 en dues parts el producte de les quals fos igual a 40. Va arribar a les solucions següents : 5 15 i tot advertint que no tenian sentit i considerant-les fictícies i imaginàries. Prenent en consideració les conclusions tretes de l apartat de conjunts numèrics, hem d ampliar la definició de nombre per tal de crear un nou tipus, anomenats complexos, que engloben els reals i en el marc dels quals siga possible d obtenir l arrel quadrada de qualsevol nombre, fins i tot els negatius. Haurem d atenir-nos, per tant, a dues condicions: 1. Tot nombre complex, i en concret tot real negatiu, ha de tindre arrel quadrada (de fet, dues arrels quadrades oposades) 2. Les operacions definides en el conjunt de nombres reals han d estendre s al conjunt dels complexos, conservant les seues propietats. 5

6 6 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS Quins altres nombres cal afegir als nombres reals per tal que es pugan complir aquestes dues condicions? En primer lloc, les arrels quadrades de 1. Designarem mitjançant la lletra i un nombre no real que, elevat al quadrat, dóna 1. i 2 = 1 (i és la inicial d imaginari, paraula que ja reflecteix la prevenció amb què aquests objectes matemàtics van ser tractats al principi) D altra banda, amb els nombres de la forma bi, on b és un nombre real qualsevol, en tenim prou per obtindre les arrels quadrades de tots els nombres reals negatius, perquè, per exemple: (4i) 2 = 4 2 i 2 = 16( 1) = 16, és a dir 16 = ±4i. Ara ja podem resoldre equacions del tipus x 2 +9 = 0, ja que x = ± 9 = ± 9 ( 1) = ± 9 1 = ±3i. El conjunt de nombres complexos C inclourà també, la suma de qualsevol real amb qualsevol nombre de la forma bi, com 3 + 2i ; 2, 5 + 5i ; i... Nombres què podem obtindre al resoldre equacions de la forma x 2 +x+1 = 0, ja que x = b± b 2 4ac 2a = 1± = 1± 3 2 = 1±3i 2 = 1 2 ± 3 2 i Ja hem dit que tant la suma com el producte han de conservar la propietat conmutativa en estendre s als complexos. Per tant prenent en consideració aquesta condició, tots aquests nombres es poden escriure de la forma genèrica: a ± bi, a, b R Es diu que a és la part real i ±b la part imaginària del nombre a ± bi. Quan b = 0, el nombre complex es redueix a un nombre real. Quan a = 0, el nombre s anomena imaginari pur. Dos nombres complexos només són iguals si en coincideixen les parts reals i les parts imaginàries. 1.1 Suma de nombres complexos Per tal que les propietats de les operacions dels nombres reals es conserven quan s estenen als complexos, a ± bi, s hi opera com si aquests fossen expressions reals, amb l única excepció que i 2 = 1. En concret, per sumar complexos sumem per separat la part real i la part imaginària: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Per exemple: (3 + 2i) + ( 5 + i) = (3 5) + (2 + 1)i = 2 + 3i

7 1.2. PRODUCTE DE NOMBRES COMPLEXOS 7 L element neutre de la suma de nombres complexos és el 0 + 0i, ja que (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi i l element simètric és el a bi, és a dir l oposat, ja que (a + bi) + ( a bi) = 0 + 0i. Definim el conjugat d un nombre complex a + bi com a bi. Amb aquesta definició la suma de nombres complexos sempre és possible, i el resultat torna a ser una expressió del tipus a ± bi. La diferència de nombres complexos es calcula de forma semblant. 1.2 Producte de nombres complexos Els nombres complexos es multipliquen com si es tractés d expressions reals, amb l unica excepció que i 2 = 1, per exemple: (2+3i)(4+5i) = 8+10i+12i+(3i)(5i) = 8+22i+15i 2 = 8+22i 15 = i En concret, per multiplicar nombres complexos podem aplicar la següent fòrmula: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + (bi)(di) = ac + adi + bci bd = (ac bd) + (ad + bc)i L element neutre de la multiplicació será 1 + 0i i l element simètric serà un nombre complex x + yi que ha de complir que (a + bi)(x + yi) = 1 + 0i, si apliquem la definició anterior obtenim que (ax by) + (ay + bx)i = 1 + 0i, amb la qual cosa tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites: ax by = 1 ay + bx = 0 Si resolem el sistema obtenim que x = } a i que y = b a 2 +b 2 És a dir que l element simètric de la multiplicació és 1.3 Divisió de nombres complexos a 2 +b 2. a b i. a 2 +b 2 a 2 +b 2 La divisió de nombres complexos s efectua multiplicant el dividend i el divisor pel conjugat del divisor, per exemple: 3 + i 2 + 3i = 3 + i 2 + 3i 2 3i ( 3 + i)(2 3i) = 2 3i 4 (3i) 2 = = ( 6 + 3) + (9 + 2)i En general si el divisor és diferent de 0: = i a + bi c + di = a + bi c + di c di (a + bi)(c di) = c di c 2 (di) 2 =

8 8 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS = (ac + bd) + (bc ad)i c 2 + d 2 = ac + bd bc ad c d2 c 2 + d 2 i El producte de dos nombres complexos conjugats a + bi i a bi és un nombre real: (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 b 2 i 2 = a 2 + b Potenciació de nombres complexos Per a calcular expressions del tipus (a + bi) n hem de trobar prèviament les potències de la unitat imaginària Potències de la unitat imaginària Tenint en compte que i 2 = 1, podem calcular les set primeres potències: i 0 = 1 i 1 = i i 2 = 1 i 3 = i 2 i = 1 i = i i 4 = i 2 i 2 = ( 1) ( 1) = 1 i 5 = i 4 i = 1 i = i i 6 = i 4 i 2 = 1 i 2 = i 2 = 1 i 7 = i 4 i 2 i = 1 ( 1) i = i... Observa que aquestes potències prenen únicament els valors 1, i, 1, i, que es repeteixen de quatre en quatre. Quin serà, per exemple, el valor de i 51? i 51 = i = i 12 4 i 3 = (i 4 ) 12 i 3 = 1 12 i 3 = 1 i 3 = i 3 = i Fixa t que 3 és el residu que s obté en dividir 51 entre 4, ja que 51 = Així doncs, per calcular potències del nombre i hem de dividir l exponent per 4 i calcular la potència del nombre i que té per l exponent el residu Potències del nombre complex a+bi Com que un nombre complex, a + bi es pot considerar com un binomi, la potència (a + bi) n s obtindrà a partir de l expressió del binomi de Newton. Vegem com podem calcular la potència (2 + 3i) 4. (2 + 3i) 4 = ( ) ( ) i + ( ) (3i) 2 + ( ) (3i) 3 + ( 4 4) (3i) 4 = i i i i4 = 16+96i i+81 = i Per tant (2 + 3i) 4 = i i, si apliquem propietats d arrels i = ±(2 + 3i)

9 1.5. REPRESENTACIÓ GRÀFICA D UN NOMBRE COMPLEX Radicació Considera el nombre complex i. Per a trobar-ne l arrel quadrada hem de buscar un nombre complex el quadrat del qual siga i. És a dir: i = x + yi (x + yi) 2 = i Desenvolupem el primer membre de l expressió (x + yi) 2 = i : x 2 + 2xyi + y 2 i 2 = i x 2 + 2xyi + y 2 ( 1) = i (x 2 y 2 ) + 2xyi = i Recordem que perquè dos nombres complexos sigan iguals, han de ser iguals les seues respectives parts reals i imaginàries. Per tant: x 2 y 2 = 5 2xy = 12 Resolem el sistema pel mètode de substitució: 2xy = 12 y = 12 2x = 6 x i ara x2 ( ) 6 2 x = 5 x 2 36 = 5 x 2 x 4 5x 2 36 = 0 Resolem l equació biquadrada resultant fent el canvi de variable t = x 2 ; t 2 5t 36 = 0 t 1 = 9, t 2 = 4. Si ara desfem el canvi de variable x = ± t, tenint en compte que x ha de ser un nombre real, ja que és la part real de x + yi, obtenim que les solucions són x 1 = 3 i x 2 = 3. Si ara trobem els respectius valor de y, obtenim: x 1 = 3 y 1 = 6 x 1 = 6 3 = 2 Una solució és 3 + 2i x 2 = 3 y 2 = 6 x 2 = 6 3 = 2 L altra solució és 3 2i Així doncs, les arrels quadrades del nombre i són dos nombres complexos oposats: } i = ±(3 + 2i) 1.5 Representació gràfica d un nombre complex Per representar gràficament un nombre complex, hem de dibuixar sobre un pla euclidià un sistema d eixos cartesians. A l eix de les abscisses es representa la part real, per la qual cosa s anomena eix real i a l eix d ordenades es representa la part imaginària, que per això es diu eix imaginari. D aquesta manera a cada nombre complex z = a+bi li fem correspondre un punt A(a,b), que anomenem afix del nombre complex, i a aquest punt li fem correspondre el vector de posició OA. Així doncs, a cada nombre complex li fem correspondre un vector.

10 10 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS Mòdul d un nombre complex S anomena mòdul d un nombre complex z = a + bi el mòdul del vector OA. Es representa per z = OA = a 2 + b Argument d un nombre complex S anomena argument del nombre complex z = a + bi l angle que forma el semieix positiu d abscisses amb la recta que conté el vector OA.L argument de z es representa per arg(z) = α, i s expressa normalment en radiants.a partir del gràfic anterior tan α = b a. Recordem que un radiant és l angle pla que, amb el vèrtex al centre d un cercle, intercepta sobre la circumferència d aquest cercle un arc de longitud igual al radi. Cal recordar que 360 graus equivalen a 2π radiants.

11 1.6. FORMA TRIGONOMÈTRICA I POLAR D UN NOMBRE COMPLEX11 Tenint en compte la definició de tangent trigonomètrica d un angle, per al nombre complex z = a + bi deduïm: 1. α = arctan( b a ), si a 0 2. α = π 2 rad, si a = 0 i b > 0 3. α = 3π 2 rad, si a = 0 i b < 0 L expressió α = arctan( b a ) no determina unívocament l argument d un nombre, ja que hi ha infinits angles que compleixen la igualtat. Ara bé, restringint el valor de α per a 0 α < 2π, hi ha dos angles que difereixen en π radiants i tenen la mateixa tangent. Per saber quin d ells és l argument, tindrem en compte els signes de a i b; d aquesta manera aconseguirem saber a quin quadrant està situat l afix del nombre complex. Aquest argument l anomenem argument principal. 1.6 Forma trigonomètrica i polar d un nombre complex Si observem la figura anterior, on hi ha representat el nombre complex z = a + bi i, tenint en compte les definicions de sinus i cosinus, tenim: a = r cos α b = r sin α Si substituïm aquests valors de a i b en l expressió del nombre complex en forma binòmica a + bi, tenim:

12 12 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS z = a + bi = r cos α + ir sin α = r(cos α + i sin α) Aquesta expressió s anomena forma trigonomètrica del nombre complex z = a + bi. Una altra manera d expressar el nombre z és r α que rep el nom de mòdulargumental o polar, on r representa el mòdul i α l argument. En resum: Forma binòmica z = a + bi Forma trigonomètrica r(cos α + i sin α) Forma polar r α Quan són iguals dos complexos escrits en forma polar? Els complexos r α i s β són iguals si els seus mòduls són iguals i els seus arguments difereixen en 2kπ radiants, k Z. És a dir: { r α = s β r = s α = β + 2kπ, k Z Exemple: Escriu de totes les formes possibles els nombres complexos següents: 1) z = i ( 4 3 ) 2 = = En primer lloc trobem el seu mòdul: r = 64 = 8 i, a continuació l argument: α = arctan( ) = arctan( 3) = 60 o Per tant el nombre complex es pot escriure com z = 4+4 3i = 8(cos 60 o + i sin 60 o ) = 8 60 o 2) z = i Aquest nombre el podem escriure com z = 0+1i i raonant com l exemple anterior obtenim que r = 1 i que α = 90 o = π 2 rad. El nombre complex és z = i = 1(cos 90 o + i sin 90 o ) = 1 90 o 3) z = o Aplicant les definicions tenim que z = o = 6(cos 225 o + i sin 225 o ) = i 1.7 Producte i quocient de nombres complexos en forma polar Per multiplicar dos nombres complexos donats en forma polar hem d escriure ls en forma trigonomètrica i multiplicar-los tal i com es fan en forma binòmica. r α s β = [r(cos α+i sin α)] [s(cos β+i sin β)] = rs[(cos α cos β sin α sin β)+ i(sin α cos β + cos α sin β)]

13 1.8. DIVISIÓ DE NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR 13 = rs[cos(α + β) + i sin(α + β)] = (rs) α+β El producte de dos nombres somplexos en forma polar és un altre nombre complex que té com a mòdul el producte dels mòduls i com a argument la suma dels arguments. r α s β = (rs) α+β 1.8 Divisió de nombres complexos en forma polar Per dividir dos complexos en forma polar els podem escriure en forma trigonomètrica i després dividir-los tal com es fan en forma binòmica. També podem fer-ho tenint en compte el resultat obtingut per al producte; llavors tenim: El quocient de dos nombres complexos en forma polar és un altre nombre complex que té com a mòdul el quocient dels mòduls i com a argument la diferència dels arguments r ( α r ) = s β s α β, s 0 Exemple: Busca el valor de α perquè el quocient 5 π : 3 α, siga: a) Un nombre real positiu b) Un nombre real negatiu c) Un nombre imaginari pur positiu. Sol.: a) Els nombres reals positius tenen d argument 0 radiants, per tant π α = 0 α = π rad. b) Els nombres reals negatius tenen d argument π radiants, per tant π α = π α = 0 rad. c) Els nombres imaginaris purs tenen d agument π 2 radiants, per tant π α = π 2 α = π 2 rad. 1.9 Potenciació i radicació de nombres complexos en forma polar Potenciació d un nombre complex en forma polar Tenint en compte el producte de nombres complexos que acabem de veure, la potència n-èsima s obté de la manera següent: z n = (r α ) n = r α r α... n) r α = ( r r... n) r ) α+α+... n) +α = r n nα

14 14 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS La potència n-èsima d un nombre complex és un altre nombre complex que té com a mòdul la potència n-èsima del mòdul i com a argument n vegades l argument del comple donat: (r α ) n = r n n α De la mateixa manera, la potència d un nombre complex en forma trigonomètrica és: (r α ) n = [r(cos α+i sin α)] n i, ja que, rn α n = r n (cos(nα)+i sin(nα)) obtenim, prenent en consideració la igualtat anterior, la fòrmula de De Moivre [r(cos α+ i sin α)] n = r n (cos(nα) + i sin(nα)) Aquesta fòrmula és molt útil per obtindre fòrmules trigonomètriques del tipus cos(2α), sin(2α),... Per exemple, si apliquem la fòrmula per al cas n = 2, tenim que: (cos α + ì sin α) 2 = cos(2α) + i sin(2α), si desenvolupem el primer membre de la igualtat, (cos α + ì sin α) 2 = cos 2 α sin 2 α + 2i sin α cos α.és a dir hem arribat a que cos2 α sin 2 α + 2i sin α cos α = cos(2α) + i sin(2α), si ara igualem les parts reals i les imaginàries, obtenim: sin(2α) = 2 sin α cos α cos(2α) = cos 2 α sin 2 α Radicació d un nombre complex en forma polar Suposem que l arrel n-èsima del nombre complex R β és r α, llavors tenim: { n Rβ = r α R β = (r α ) n = rnα n r = n R nα = β + 2kπ; α = β+2kπ n, on k = 0,..., n 1. Donant valors enters a k des de 0 fins a n 1 obtenim n arguments diferents que compleixen la condició imposada. Per a k n obtenim arguments que difereixen dels anteriors en un nombre enter de 2π radiants, i en conseqüència coincideixen amb algun dels n anteriors. Les arrels n-èsimes d un nombre complex són nombres complexos que tenen com a mòdul l arrel n-èsima del mòdul i com a argument β+2kπ n : n Rβ = n R β+2kπ n,k=0,...,n 1 Exemples: 1) Expressa el nombre complex ( i) 4 en forma polar. 2) Busca les arrels cúbiques del complex 8i Sol.: 1) Passem el complex z = i a forma polar: z = = = 4 ; α = arctan( ) = 60o

15 1.9. POTENCIACIÓ I RADICACIÓ DE NOMBRES COMPLEXOS EN FORMA POLAR15 Per tant: z 4 = ( i) 4 = (4 60 o) 4 = o = (44 ) 4 60 o = o 2) El nombre complex 8i té per mòdul 8 i per argument 90 o, llavors 3 8i = o = 2 90 o o +360 o o +720 o 3 = 2 30 o = o = o Cal tindre present que tot nombre complex diferent de 0 té n arrels n- èsimes diferents. Si representem les n arrels n-èsimes d un nombre complex i unim els afixos de cadascuna de les arrels, obtindrem un polígon regular de n costats Arrels d una equació algèbrica. Teorema fonamental de l àlgebra. El matemàtic flamenc Albert Girand ( ) va ser el primer que es va atrevir a conjecturar, el 1629, que: Una equació de grau n té exactaments n arrels, sempre que es compten les impossibles. Posteriorment, Euler ( ), Lagrange ( ) i D Alembert ( ), van estudiar el mateix teorema però sense pensar que les arrels podien ser nombres complexos. Gauss ( ), al qual es deu el nom de teorema fonamental de l àlgebra, en la seua tesi doctoral, llegida el 1799, va criticar els treballs d Euler, Lagrange i D Alembert i va donar una demostració del teorema, que es basava en consideracions geomètriques, per la qual cosa no resultava del tot convincent. El 1816 va publicar dues noves demostracions i cinc anys abans de morir va publicar la quarta demostració intentant de trobar procediments purament algèbrics. Al començament del segle XVIII, el matemàtic Roger Cotes ( ) i el francès emigrat a Anglaterra Abraham de Moivre ( ), van reduir

16 16 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS la resolució de l equació z n 1 = 0 a la divisio de la circumferència en n parts iguals, amb la qual cosa mostraven un bon domini dels nombres complexos. En el conjunt dels nombres complexos és possible trobar les arrels tant reals com complexes, de qualsevol equació algèbrica. Vegem els exemples següents: 1) Resol l equació z 3 2z 2 + 4z 8 = 0 Sol.: Si té arrels enteres seran divisores del terme independent. Per tant, provarem per a ±1, ±2, ±4, ±8. z = 2 és una arrel, ja que = 0. Si dividim l equació inicial pel binomi z 2, obtenim que z 3 2z 2 + 4z 8 = (z 2)(z 2 + 4). Per tant les arrels són z 1 = 2; z 2 = + 4 = 2i; z 3 = 4 = 2i 2) Busca les arrels de l equació z 4 16 = 0 Sol.: z 4 = 16 z = 4 16 = o = 2 0 o +360 o k 4 k = o = 2 = z 1 k = o = 2i = z 2 k = o = 2 = z 3 k = o = 2i = z 4 3) Resol l equació z = 0 Sol.: z 6 = 1; la unitat negativa és un nombre complex que té de mòdul 1 i d argument 180 o. Per tant: z = 6 1 = o = o +360 o k, amb la qual 6 cosa tenim que les arrels són: k = o = 1(cos 30 o + i sin 30 o ) = i = z 1 k = o = 1(cos 90 o + i sin 90 o ) = i = z 2 k = o = 1(cos 150 o + i sin 150 o ) = i = z 3 k = o = 1(cos 210 o + i sin 210 o ) = i = z 4 k = o = 1(cos 270 o + i sin 270 o ) = i = z 5 k = o = 1(cos 330 o + i sin 330 o ) = i = z 6 Acabem de veure en aquestes equacions algèbriques que el nombre d arrels de cada equació coincideix amb el grau del polinomi. Aquest important resultat va se demostrat per Gauss el 1799 i es coneix amb el nom de teorema fonamental de l àlgebra. Tota equació algèbrica de grau n ( n natural) amb coeficients reals o complexos, té n arrels 1.10 Exercicis 1.- Troba les solucions de les equacions següents i classifica-les: a) 2x 2 4 = 9 b) x 2 5x + 8 = 2 c) x 2 + x + 1 = 0 d) 2(x 1) = 3x 5(x 2)

17 1.10. EXERCICIS Sol.: a) x = ± 2, irracionals, b) x = 2, x = 3, naturals, c) x = 1± 3 2, complexes, d) x = 23 8, racional 2.- Calcula (i + 1) i 1 i Sol.: 3i 3.- Troba el nombre p que compleix que (p + 5i) + (3 + i) = (1 + 5i) + ( p + i) Sol.: p = Determina el valor de y perquè 4(y + iy) 4 = 1 Sol.: y = ± Calcula el valor de k perquè k 2i 3+4i Sol.: k = 3 2 siga un nombre real. 6.- Calcula el valor de k perquè (k i) 3 siga un nombre real Sol.: k = ± Donats els nombres complexos següents, representa n els afixos i interpreta n el resultat: z 1 = 1 + i, z 2 = i z 1, z 3 = i z 2, z 4 = i z 3 Sol.: Els nombres complexos formen els vèrtexs d un quadrat centrat en l origen de coordenades. 8.- Donats els nombres complexos z 1 = 6+2i, z 2 = 7+i, z 3 = 4+4i, calcula: a) (z 1 + z 2 ) (z 1 z 2 ) b) (z 1 + z 2 ) z 3 c) z 1 z 2 + z 1 z 3 Sol.: a) 16 38i, b) 16 8i, c) 28 24i 9.- Calcula el valor de p i q perquè els nombres complexos z 1 = 2p + qi i z 2 = 5 + 3i, sigan: a) Oposats b) Conjugats Sol.:a) p = 5 2, q = 3 b) p = 5 2, q = Donat el nombre complex z = 4 2i, comprova que el quocient z z z+ z és imaginari Troba k perquè l afix de (2 3i)(k + i) siga el punt P (5, 1).

18 18 TEMA 1. EL CONJUNT DELS NOMBRES COMPLEXOS Sol.:k = Els afixos de tres nombres complexos formen els vèrtexs d un triangle: A(2, 0), B( 3, 5), C(3, 1). Troba les coordenades del triangle que resulta en multiplicar per i aquests nombres complexos. Sol.: A (0, 2), B ( 3, 5), C ( 1, 3) 13.- Expressa, aplicant la fòrmula de De Moivre, sin(3α) i cos(3α), en funció de sin α i cos α. Sol.: sin(3α) = 3 sin α cos 2 α sin 3 α, cos(3α) = cos 3 α 3 sin 2 α cos α 14.- Una de les arrels cúbiques d un nombre complex z és z = 2+ 2i. Busca z i les seues altres dues arrels. Sol.: El nombre complex és z = o i les seues tres arrels cúbiques són 2 45 o, o i o Expressa en forma polar el resultat de l operació (1 3i) 5. Sol.: o 16.- Calcula i. Sol.: 2 80 o, o, o Resol l equació z = 0 i representa n les solucions. Sol.: 3 60 o, o, o 18.- Calcula i 0 + i 1 + i i 7 Sol.: Calcula i 0 + i 1 + i i 34 Sol.: i