Trabajo Práctico Nº 12: Pandeo. Determinación de Cargas Criticas. Diseño y verificación de Secciones

Transcripción

1 Tabajo átio Nº 1: andeo. Deteminaión de agas itias. Diseño veifiaión de Seiones Nota: la longitud de pandeo equivalente Lp se suele epesa omo Lp k. L donde L es la longitud eal de la olumna el oefiiente k (que puede lleva un subíndie indiando el eje de fleión) inlue la influenia de las ondiiones de ontono [0,5 k ]. sí k1 oesponde al aso fundamental (simplemente apoado en ambos etemos). El valo de k es fijado po el analista en funión de las ondiiones eales de estiión que se espea loga, tabajando siempe desde una optia onsevadoa. Ejeiio 1: En la estutua de la figua se pide: a) Veifia la apliabilidad de Eule detemina la aga ítia de andeo, paa la seión metália NU140. b) Veifia la seión tomando un oefiiente de seguidad igual a.5. ) Si la seión no veifia, dimensiona la misma (fomada po NU) paa que satisfaga a las aiones soliitantes. q B VM B M M () z lano -z lededo eje Dieion () z lano -z lededo eje Dieion iones: q1,5 kn/m 90 kn Mateial: eo Módulo de Elastiidad E.000 Ma Tensión de popoionalidad σ p 5 Ma Tabajo átio 1-1

2 Seión NU140: 1 0,4 m,04 - m Soluión: aga en la olumna: I 605 m 4 60,5 - m 4 5,45 m I 6,7 m 4 b 6 m e 1,75 m Deteminamos pimeo las soliitaiones de seión sobe la olumna, que es el elemento que debemos veifia. El elemento viga VM se apoa simplemente sobe la olumna M, po lo tanto siendo la viga simplemente apoada las agas vetiales, la eaión estátia sobe el apoo, es el esfuezo nomal sobe la olumna M. La eaión R la obtenemos tomando momento espeto al apoo R 6 [ m] 90 5[ m] kn 15 m ( 6[ m] ) 0 [ kn ] 6 [ m] 1 15 R [ m] m 90 5 kn 6[ m] + a) alulaemos las esbeltees de la olumna alededo de los dos ejes baiéntios paa detemina la más desfavoable. lano z Esbeltez alededo del eje : Lp En la ual Lp k. L es la longitud de pandeo alededo del eje, que paa nuesto aso al enontase la olumna empotada en la base libe en su etemo supeio esulta: Lp 5 m m m Siendo I el momento de ineia alededo del eje, la seión tansvesal de la olumna. aa este aso, podemos saalo dietamente de la tabla, a que el momento de ineia el áea del onjunto esultan el doble del momento de ineia el áea de un pefil; po lo ual el adio de gio del sistema es igual al adio de gio del pefil individual m 5,45 m 18 (la esbeltez se edondea a ifas enteas) 5,45m I lano z Esbeltez alededo del eje : Lp Lp k. L En el plano z la olumna está atiulada en ambos etemos, po lo tanto la longitud de pandeo seá: Lp 1 5 m 5 m 500 m Tabajo átio 1 -

3 El eje del sistema no oinide on el de ada pefil omo en el aso del eje, po lo que se debe alula el momento de ineia apliando el teoema de Steine. 4 [ 6,7 + 0,4 (6 1,75) ] 86,4 I 86,4 I m 4, 6m 0,4 Lp 500m Resulta finalmente 8,7 9 4,6m π. E Siendo: σ podemos alula la esbeltez ite ( k. L / ) k. L π. E, esulta el ite del pandeo elástio, ango en el ual es apliable σ Eule, > o lo tanto puede apliase la fómula de Eule. En el aso que ambas esbeltees esultasen menoes a la ite no pude apliase la fómula de Eule (válida paa el ampo elástio), a que la posibilidad de pandeo se enuenta en el ampo elastoplástio debeía utilizase ota epesión. La esbeltez más desfavoable es 18. Entones alulamos la aga ítia de π. EI. Eule mediante la siguiente epesión ( k. L) ( 5,00[ m] ) 4 [ m ] 6 N 6, ,05 m ,6N 51kN b) Veifiamos la seión; la aga admisible esulta la aga ítia dividida el oefiiente de seguidad. 51 0,4kN < N má 1 kn NO VERIFI γ,5 adm 0 Tabajo átio 1 -

4 ) Mu pobablemente dos pefiles NU160 veifiquen la aga pedida. Es dei si epetimos el álulo heho en a) b) peo on las popiedades del NU160 tendemos una soluión satisfatoia. Sin embago en este aso mostaemos un amino difeente basado en un iteio que tiene otas ondiiones habituales en el diseño de estutuas. Utilizamos omo iteio fija una esbeltez de diseño, alededo de un eje, po ejemplo alededo del eje donde la esbeltez es mao. k. L π. E 150 on esta esbeltez, deteminaemos la tensión ítia σ σ E, π 9, 1 Ma NOT: Fija una esbeltez puede vese de dos fomas: a)el valo fijado (mao que el ite po supuesto) es equivalente a fija una tensión de tabajo (infeio) a la de popoionalidad. Esto se ve en el álulo anteio donde la tensión ítia se edue 9,1 Ma que es apenas el 40% de la de popoionalidad. Esto se ealiza en pate poque sobe la olumna pueden atua (en foma ombinada) distintas agas poduiendo fleión que aumentaán las tensiones máimas de la olumna. Si la aga nomal ondujea a una tensión ítia eana a la de popoionalidad la olumna no podía toma además agas de fleión. b)la ota azón que se puede alega paa fija una esbeltez máima es uando no se quiee tene una olumna demasiado fleible, es dei que el iteio de diseño inlue no solo la esistenia si no la igidez de la misma. olumnas mu esbeltas onduen a desplazamientos impotantes fente a agas de fleión, lo ual magnifia la influenia de la aga aial. El áea neesaia paa la aga máima esulta: adm γ σ γ σ 9,1 adm [ KN],5 [ ] KN m 0,0057m,6m o oto lado, al habe fijado una esbeltez máima 150, nos define el adio de gio mínimo, a que: Lp mín [ m] mín 6,67m 150 Luego busamos en la tabla de pefiles uno que tenga un adio de gio mao a 6,66,6 m, un áea mao a [ ] m esultando el pefil NU180, on las 16,m Tabajo átio 1-4

5 siguientes aateístias 8 m > 16, m esultando: Lp siendo σ E π. σ., esulta: ,95, un adio de gio 6,95 m > 6,67 m, 144 [ kn ],8 [ m ] 6,14 m 559,7kN 560kN (144) 560 4kN > Nmá kn po lo tanto la seión VERIFI. No γ,5 adm sólo veifia, desde el punto de vista de la aga aial omo únia aión la olumna está sobedimensionada. Ejeiio : Dada la siguiente estutua, on sus oespondientes dimensiones geométias, se pide: a) oloa las seiones I II en la posiión más azonable (a o b), veifia la apliabilidad de la fómula de Eule. b) Veifia dihas seiones a ompesión, on un oefiiente de seguidad igual a,5. ) Si no veifia, popone soluiones sin modifia la seión. 1 B B 5.00 m 4.00 m 4.00 m () () z z (a) 1 (b) Tabajo átio 1-5

6 Datos: 1 80 kn Seión tipo I: mateial madea: E Ma Tensión de popoionalidad σ p Ma Dimensiones: 15 m 5 m opiedades meánias: 75 m 7,5 - m 7, m 4, m Seión tipo II: mateial aeo E.000 Ma Tensión de popoionalidad σ p 0 Ma efil NI 180 opiedades meánias: 7,9 m,79 - m 7,0 m 1,71 m Soluión a) 1) Seión tipo I: Se alulaán las esbeltees de la olumna alededo de los dos ejes baiéntios paa detemina la más desfavoable. Se fija la posiión de la seión paa que el adio de gio máimo oinida on la mao longitud de pandeo, en el plano z, alededo del eje, la olumna está empotada libe. Lp k. L 400 m 800 m Lp m 400 m La posiión más onveniente es la (b). o lo tanto las esbeltees esultan: má 111 7, 4, La esbeltez ite es igual paa ambas dieiones (depende sólo del mateial), adoptando omo tensión ítia a la tensión en el ite de popoionalidad, a: lim E π,14 má > σ uede apliase la fómula de Eule ) Seión tipo II: Tabajo átio 1-6

7 pliando el mismo iteio que en el aso anteio, esulta que la posiión oeta es la (b). o lo tanto las esbeltees esultan: má 7,0 1, má, > 0 o lo tanto puede apliase la fómula de Eule. Soluión b) 1) Seión tipo I: Siendo má 111 la tensión ítia de Eule esulta: σ π E ma, ,41Ma 6,41 ka [ m ] kn kn σ. 6,41 7,5 40 m 40 adm 96kN > 80kN γ,5 ) Seión tipo II: Siendo má 4 la tensión ítia esulta igual a: ma E.000 σ π.,14 7,85Ma 7,85 4 adm σ. 7,85 γ 5,6,5 kn m 4,kN,79 < N má [ m ] 80kN 5,6kN ka NO VERIFI Soluión ) aa el aso I la seión veifia satisfatoiamente, en aso ontaio, de no pode modifia las ondiiones de vínulo paa disminui la esbeltez de la olumna, se debeá popone ota seión. En el aso II la esbeltez alededo del eje es mu elevada. aa disminui diha esbeltez sin modifia la seión, modifiamos la longitud de pandeo alededo del eje, aiostando alededo de diho eje a la mitad de la altua mediante una uz de San ndés. Tabajo átio 1-7

8 1 B B.00 m.00 m 4.00 m () () z z l no habe modifiado las ondiiones de vínulo en el plano z, se mantiene la esbeltez alededo del eje 111 o medio de la uz de San ndés, la longitud de la olumna alededo del eje se disminue a la mitad en elaión a la longitud iniial, esultando entones: má 1,71 La tensión ítia de Eule esulta: ma 117 E, σ π. 151,4 Ma 151,4 117 ka adm σ. 151,4 4,41 γ,5 kn m,79 169kN > N má [ m ] 80kN 4,41kN VERIFI Ejeiio : En el ótio de la figua se pide: a) Dimensiona la olumna on dos pefiles NU, de aeo on σ p 40 Mpa, E.000 Ma un oefiiente de seguidad de. b) Dimensiona la olumna a ompesión simple, mediante una seión etangula de madea, on elaión de lados d/b, adoptando un oefiiente de seguidad de. La tensión de popoionalidad es igual a σ p 8 Ma el módulo de elastiidad longitudinal E Ma. Datos: q kn./m 5 kn Tabajo átio 1-8

9 los efetos de detemina la soliitaión en la olumna, puede esolvese la viga omo simplemente apoada, tal omo se india en la pate infeio del dibujo anteio. Tomando momento espeto al apoo izquiedo tenemos: [ kn ] 7[ m] ( ) 1 R m de [ m] 7[ m] kn Soluión a) Fijamos una esbeltez de diseño máima, adoptamos k. L π. E ο σ π E,14 σ ,9Ma 14,9 Entones el áea neesaia paa la aga máima esulta: ka Tabajo átio 1-9

10 σ adm. γ 84,0 14,9 ka 84 kn 14,9 m,0 0,00175m 17,5m o oto lado, al habe fijado una esbeltez máima, nos define el adio de gio mínimo alededo del eje de fleión, siendo: Lp teniendo en uenta las siguientes ondiiones de vínulo: lano z (alededo del eje ) la olumna está biatiulada po lo ual L p L en el plano z (alededo del eje ) la olumna está empotada atiulada siendo L p 0,7 L esulta 400 0,7 400, m, m Busamos en la tabla de pefiles uno que tenga un adio de gio apoimadamente 17,5 igual a,m, un áea mao a [ ] m esultando el pefil NU0, on 8,75m las siguientes aateístias NU0 1,5 m 1,5 - >> 8,75 m,91 m I 9, m 4 b 5 m e 1,55 m [ ] [ m ] 9, + 1,5 ( 5 1,55) 80m 1,5 [ m ] I, 75m má,91,75 E σ π. ma, Ma 199 ka σ. 199 kn m 1,5 [ m ] 57,KN 57, 179kN > Nmá kn VERIFI γ adm 84 Tabajo átio 1 -

11 uede obsevase que la seión queda sobedimensionada, al habese limitado la esbeltez de la olumna, pudiéndose optimiza disminuendo el tamaño de los pefiles poediendo en foma simila. Soluión b) Fijamos también una esbeltez de diseño máima, adoptamos k. L π. E σ σ π E σ, ,17 Ma 6,17 ka Entones el áea neesaia paa la aga máima esulta: σ adm. γ 84,0 84 kn 6,17 m,0 6,17 0,0408m 408m ka o oto lado, el habe fijado una esbeltez máima, nos define el adio de gio mínimo alededo de ambos ejes, que a alulamos, m, m. l tene omo dato la elaión de lados d.b; entones el áea esulta 408 m [ ] b. d b. b. b 408 m, b 14, 8m doptamos b 14 m, po lo que d 8 m. o oto lado, de auedo a las popiedades meánias de la seión etangula, los adios d b de gio 8,08 m 4,04 m, que esultan maoes a los mínimos 1 1 neesaios, po lo tanto las esbeltees esultantes seán menoes la aga ítia de Eule mao, po lo tanto veifia satisfatoiamente siendo de 14 8 m. Obseva que en ualquie aso ha dos ondiiones que deben satisfaese, la esistenia de la olumna al pandeo según la fómula de Eule que la tensión aial sea meno que la de popoionalidad. Nota que los adios de gio mínimos iniialmente definidos (,m,m) son bastante menoes que los esultantes de la popuesta final (8,08m 4,04m) que la ondiión pinipal paa el diseño ha sido la tensión de tabajo definida (6,17 Ma) que hae que la seión en aso de falla lo haga po aplastamiento no po pandeo (paa ve esto alula la esistenia al pandeo de la olumna usando la epesión de Eule ompaala on la esistenia de la seión al aplastamiento). Tabajo átio 1-11

12 Ejeiio 4: Dada la olumna de la figua, empotada en la base paa la dieión - (alededo de -), en la dieión - (alededo de -), on los siguientes aostamientos indiados, se pide detemina los adios de gio máimos de la seión en ambas dieiones, paa que sea apliable la fómula de Eule paa olumnas elástias, de mateial aeo on E0000 Ma, Tensión de popoionalidad σ p 5 Mpa. π. E La tensión ítia de Eule es igual a σ, de dónde ( k. L / ) esulta el ite del pandeo elástio, ango en el ual es apliable Eule k. L π. E, σ π Las longitudes de andeo son: Lp 600 m 1.00 m (empotada libe) Lp 0,7 600 m 40 m (empotada atiulada) Lp aa pode detemina los adios de gio se debe eoda que 9 paa ambas dieiones. Tabajo átio 1-1