Probabilidad y Estadística

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1 Probabilidad y Estadística Tema 14 Inferencia en dos poblaciones Objetivo de aprendizaje del tema Al finalizar el tema serás capaz de: Explicar el procedimiento de pruebas en la inferencia estadística en dos poblaciones. Aplicar la inferencia estadística en la media de dos poblaciones. Aplicar la inferencia estadística en dos proporciones.

2 Introducción al tema Cuando se anunció Toy Story como el primer largometraje realizado completamente por computadora, causó mucha expectativa por varias cosas: era una película de caricaturas, era una película con un argumento nuevo y al parecer entretenido, era una película que no era de las casas de películas animadas como Disney y era, sobre todo, una película cuyo mercado objetivo no era en un cien por ciento, el mercado infantil. Introducción al tema De esta cuestión, surge una pregunta importante: las películas de animación por computadora, a qué grupo de personas le gusta más, a los niños o a los jóvenes? La inferencia estadística nos puede ayudar a evaluar la hipótesis planteada. Te invito a que durante este tema exploremos las técnicas y estadísticos utilizados para comparar el comportamiento de dos muestras poblacionales, con el fin de determinar si son de la misma población o no. También exploraremos las técnicas y fórmulas para indagar acerca de dos proporciones cuyos elementos observan una característica similar.

3 Introducción En algunas ocasiones, es importante realizar pruebas de comparación entre dos poblaciones o bien, entre dos proporciones. En este tipo de casos, en donde se desea conocer si dos poblaciones tienen alguna característica en particular, se puede hacer uso de las pruebas de hipótesis de dos poblaciones o de dos proporciones, según sea el caso. Prueba de confianza entre medias dos poblaciones Se utiliza el estadístico z cuando el tamaño de la muestra de ambas poblaciones es grande (mayores a 30). Donde: = Media muestral 1 y 2, respectivamente = Desviación estándar 1 y 2, respectivamente ni = Tamaño de la muestra 1 y 2, respectivamente

4 Prueba de confianza entre medias dos poblaciones Las especificaciones para los bloques de concreto utilizados en cimientos de los edificios indican que la media aritmética mínima de la resistencia a la compresión de una muestra de bloques debe ser de 1000 psi (libras por pulgada cuadrada). Una muestra de dos compañías cuyas muestras de bloques indican una resistencia a la compresión superior a la mínima. Paso 1: Plantear la hipótesis nula y alternativa. H0: No hay diferencia entre las resistencias medias a la compresión de las dos compañías. H1: Hay diferencia entre las resistencias medias a la compresión de las dos compañías. Prueba de confianza entre medias dos poblaciones Paso 2: Seleccionar el nivel de significación. Se utilizará el nivel del 5%. Paso 3: Identificar el estadístico de prueba. El estadístico adecuado es z, pues se está analizando la hipótesis sobre una media poblacional cuando el tamaño de la muestra es grande (mayores a 30).

5 Prueba de confianza entre medias dos poblaciones Paso 4: Formular la región de decisión. Puesto que es una prueba de dos colas, se busca la porción de cada cola que determina la mitad del nivel de significación, en este caso la mitad de 0.01 es z Dado que el valor está entre 2.57 y 2.58, se utiliza un valor de Z de Prueba de confianza entre medias dos poblaciones Paso 5: Tomar la muestra y llegar a una decisión. Una muestra de bloques de las dos compañías proveedoras de bloque, reveló la siguiente información: Sustituyendo en la fórmula tenemos:

6 Prueba de hipótesis para la media de una población Dado que 5.01 queda en la región de rechazo, la hipótesis nula que indica que la media poblacional de la resistencia a la compresión no es diferente entres las dos compañías, se rechaza con un nivel del 0.01 o 1%. La diferencia entre las medias muestrales no se debe al azar. Se puede utilizar el estadístico z siempre y cuando que tanto np como n(1 - p) son mayores a 5 para ambas proporciones. Donde: = Proporciones muestral 1 y 2, respectivamente = Media ponderada de las proporciones ni = Tamaño de la muestra 1 y 2, respectivamente

7 Para calcular la media ponderada de las proporciones muestrales, se utiliza la siguiente fórmula: Donde: X1 = Cantidad de la muestra 1 con la característica X2 = Cantidad de la muestra 1 con la característica n1 = Tamaño de la muestra 1 n2 = Tamaño de la muestra 2 Un fabricante de perfumes ha desarrollado un nuevo producto llamado Stay-Away. Varias pruebas de comparación indican que el perfume tiene un buen potencial de mercado. 100 mujeres jóvenes, veinte de las cuales eligieron Stay-Away como el perfume que más les agradó. 200 damas maduras, 100 de las 200 prefirieron Stay- Away. Paso 1: Plantear la hipótesis nula y alternativa. H0: No hay diferencia entre las proporciones de mujeres. H1: Hay diferencia entre las proporciones de mujeres.

8 Paso 2: Seleccionar el nivel de significación. Se utilizará el nivel del 5%. Paso 3: Identificar el estadístico de prueba. El estadístico adecuado es z, pues se está analizando la hipótesis sobre una media poblacional cuando np y n(1 p) es mayor a 5. Paso 4: Formular la región de decisión. Puesto que es una prueba de dos colas, se busca la porción de cada cola que determina la mitad del nivel de significación, en este caso la mitad de 0.05 es De la tabla, se utiliza un valor de Z de y el valor 1.96.

9 Paso 5: Tomar la muestra y llegar a una decisión. Calculamos la media ponderada de las proporciones: Ahora calculamos el estadístico z para evaluar la hipótesis nula. De acuerdo a la fórmula, tenemos: Dado que queda en la región de rechazo, la hipótesis nula que indica que la proporción de mujeres jóvenes que prefieren Stay-Away es igual a la proporción de mujeres maduras que lo prefieren, se rechaza con un nivel del 0.05 o 5%. La diferencia entre las proporciones no se debe al azar.

10 Cierre Las pruebas de hipótesis para dos poblaciones o dos proporciones, son muy utilizadas en los sectores productivos y de mercadotecnia con el fin de obtener información relevante para su objeto de estudio. A través de las pruebas de hipótesis de dos poblaciones y de dos proporciones, los empresarios resuelven problemas similares a los aquí planteados. Cierre Por ejemplo, es importante para la gente de mercadotecnia y publicidad determinar con exactitud el mercado meta, el segmento de la población a quienes orientarán sus campañas publicitarias y, sobre todo, las ventas. Conocer el mercado meta, les permite tomar decisiones como el tipo de tienda en que venderán su producto o, la modelo o el modelo que contratarán para los anuncios panorámicos y los comerciales. Hasta ahora hemos hablado de datos dispersos, sin embargo, qué pasa con las pruebas de hipótesis de datos agrupados?, te invito a que en el próximo abordemos un poco las técnicas y herramientas para las pruebas de datos agrupados.

11 Referencias bibliográficas Devore, J. (2008). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. (7a. Ed.). México: Cengage Learning. Capítulo: 9 Wakerly, D., Mendenhall, W. et al. (2002). Estadística matemática con aplicaciones. (6a. Ed). México: Cengage Learning. Spiegel, M.(2004). Probabilidad y estadística (2a. Ed). México: McGraw Hill. Créditos Diseño de contenido: Ing. Armando Calzada Mezura, MA, PMP Coordinador académico: Lic. José de Jesús Romero Álvarez, MC y MED. Edición de contenido: Lic. Verónica Montes de Oca Pinzón. Edición de texto: Lic. Arcelia Ramos Monobe, MEE Diseño Gráfico: Lic. Alejandro Calderas González, MATI