Transformaciones Lineales. Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto exactamente un elemento de otro conjunto

Transcripción

1 UNIVESIDAD AUÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULAD DE INGENIEÍA MECÁNICA Y ELÉCICA ransformaciones Lineales Una función es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto eactamente un elemento de otro conjunto Las ransformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales. n es un espacio vectorial. Definición: Una transformación de n en m que se denota : n cada vector U en n un vector único V en m. m es una regla que asigna a n recibe el nombre de dominio de m es el codominio. Se representa esta relación mediante (U) V; V es la imagen de U bajo. El conjunto de imágenes recibe el nombre de rango de. El rango está formado por m o una parte de éste. n U V UV (U) (V) (UV) m cu (cu) Definición: Sean U V vectores en n sea c un escalar. Se dice que una transformación : n m es lineal si ( U V ) ( U ) ( V ) cu c U : La transformación : definida mediante El dominio de es el codominio es. La imagen del vector () es () ( ) ( ) ALGEBA LINEAL M.C. JOSÉ MANUEL OCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABEH GPE. LAA HDZ.

2 UNIVESIDAD AUÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULAD DE INGENIEÍA MECÁNICA Y ELÉCICA eorema Sea A una matri m n. Sea un elemento de n interpretado como una matri columna. La transformación : n m definida por A es lineal. En dicha transformación lineal A recibe el nombre de matri de transformación. : La transformación : definida mediante A Donde A es la matri de transformación A el vector columna Las imágenes de los vectores 7 8 : Considere la transformación lineal definida por la matri A de. Determine la imagen de un vector cualquiera bajo. A el vector columna La transformación : definida mediante ALGEBA LINEAL M.C. JOSÉ MANUEL OCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABEH GPE. LAA HDZ.

3 UNIVESIDAD AUÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULAD DE INGENIEÍA MECÁNICA Y ELÉCICA la imagen del vector sería 6 6 Demuestre que la siguiente transformación es lineal. : ) ( Solución Primero se demostrará que conserva la adición. Sean elementos de. por la definición de por la adición de vectores por la definición de por la adición de vectores Por consiguiente conserva la adición de vectores Ahora se demostrará que conserva la multiplicación por un escalar. Sea c un escalar. por la definición de multiplicación de un vector por un escalar por la por la definición de multiplicación de un vector por un escalar por la c c c c c c c c Por lo tanto se conserva la multiplicación por un escalar. es lineal. ALGEBA LINEAL M.C. JOSÉ MANUEL OCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABEH GPE. LAA HDZ.

4 UNIVESIDAD AUÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULAD DE INGENIEÍA MECÁNICA Y ELÉCICA Determine el rango de la transformación definida por la siguiente matri. A Solución A es una matri de. De esta manera A define un operador lineal A : Los elementos de se epresan en forma de matri columna para poder efectuar la multiplicación de matrices. Por conveniencia eprese los elementos de en forma de renglón. ango: los vectores columna de A generan el rango. Escriba estos vectores columna como renglones de una matri calcule la forma escalonada de la matri. Los vectores renglón distintos de cero proporcionan una base para el rango. Así combinación lineal de estos vectores. Los vectores generan el rango de. Cualquier vector del rango es una ( ) t( ) s Por lo tanto el rango de es rango ( ) {( s t s t) } ango () es un subespacio bidimensional de con bases {( ) ( )} ALGEBA LINEAL M.C. JOSÉ MANUEL OCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABEH GPE. LAA HDZ.

5 UNIVESIDAD AUÓNOMA DE NUEVO LEÓN FACULAD DE INGENIEÍA MECÁNICA Y ELÉCICA eorema La transformación compuesta de las dos transformaciones matriciales : n m : m s definidas por las matrices A A respectivamente es una transformación matricial : n s definida por el producto matricial A A. ( ) ( ( )) ( A ) A ( A ) ( A A ) A es una matri de s m A es una matri de m n. La matri resultante del producto A A es una matri de s n. Por lo tanto es una transformación de n en s definida por el producto matricial A A Sean A ( ) A definidas por las matrices A A siguientes. Sea además Determine la imagen del vector bajo.º ALGEBA LINEAL M.C. JOSÉ MANUEL OCHA NÚÑEZ M.C. ELIZABEH GPE. LAA HDZ.