Matemáticas II en Biotecnología

Transcripción

1 Carmen Armero 21 de mayo de 2010

2 Introducción

3 E.1 Boca de dragón: Las flores de cada una de las plantas boca de dragón Antirrhinum majus pueden ser de color rojo, rosa o blanco. Según un modelo genético mendeliano, la autopolinización de plantas con flores rosas produce descendientes con flores de color rojo, rosa o blanco en proporción 1:2:1. Este modelo Mendeliano puede formularse a través de la hipótesis nula: H 0 : P(Rojo)=0.25, P(Rosa)=0.50, P(Blanco)=0.25 que establece que cada planta descendiente de una progenitora con flores rosa puede tener flores rojas con probabilidad 0.25, rosas con probabilidad 0.50 y blancas con probabilidad O también, de forma equivalente, que en la población conceptual formada por toda la progenie potencial de una planta con flores rosas el 25 % de los descendientes tendrán flores de color rojo, el 50 % de color rosa y el 25 % de color blanco. Un biotecnólogo autopoliniza plantas con flores de color rosa obteniendo la siguiente progenie: Rojo Rosa Blanco y pretende investigar si sus datos se ajustan al modelo Mendeliano 1:2:1 descrito.

4 Variable categórica que puede tomar r diferentes valores. E.1 Boca de dragón (cont.): Color de la flores boca de dragón es una variable categórica con r = 3 valores (categorías) color rojo, rosa o blanco. Objetivo: A partir de una muestra aleatoria de observaciones de dicha variable: 1. Estimar la probabilidad de cada una de las categorías de la variable y, 2. Contrastar hipótesis sobre los valores de dichas probabilidades.

5 Estimación: de las probabilidades asociadas a cada uno de las categorías a través de la información proporcionada por una muestra aleatoria de observaciones de dicha variable. Probabilidad Estimación P(Categoría i) ˆP(Categoría i)=ni /n siendo n i el número de observaciones de la muestra que pertenecen a la categoria i y n el tamaño de la muestra. E.1 Boca de dragón (cont.): Un biotecnólogo autopoliniza plantas con flores de color rosa obteniendo la siguiente progenie: Rojo Rosa Blanco Total Las probabilidades estimadas para cada categoría son: Probabilidad P(Rojo) P(Rosa) P(Blanco) Estimación ˆP(Rojo)=54/234=0.231 ˆP(Rosa)=122/234=0.521 ˆP(Blanco)=58/234=0.248 Las probabilidades estimadas son parecidas pero no iguales a las especificadas por el modelo Mendeliano 1:2:1 que establece P(Rojo)=0.25, P(Rosa)=0.50 y P(Blanco)=0.25

6 Test de bondad de ajuste: Contrasta hipótesis sobre los valores de las probabilidades asociadas a cada categoría de la variable. Valora la compatibilidad de los datos con la hipótesis nula: H 0 : Especifica la probabilidad asociada a cada categoría de la variable, H A : No H 0 : a través del estadístico de contraste Chi-cuadrado que mide la discrepancia entre las frecuencias observadas de los datos y las esperadas según H 0. Seleccionamos nuestro nivel de significatividad α Frecuencias observadas: Son las que se observan en la muestra y representaremos por O i Frecuencias esperadas: Son las que cabría esperar si H 0 : fuera cierta. Se representan por E i (frecuencia esperada de la categoría i) y se calculan como E i = n Probabilidad asociada a E i según H 0 : Estadístico de contraste: χ 2 s = P r i (O i E i ) 2 /E i P-valor del contraste: Se define como el área a la derecha de χ 2 s de la distribución χ 2 con r 1 grados de libertad, siendo r el número de categorías de la variable. (ver trasparencia siguiente para el cálculo del P-valor). Si P-valor α elegimos H 0 y si P-valor < α elegimos H A

7 Cálculo del Pvalor: En Rice Virtual Lab in Statistics procediendo según Online Statistics: An Interactive Multimedia Course of Study > Table of Contents > Calculators > Chi Square Distribution

8 Test de bondad de ajuste: E.1 Boca de dragón (cont.): Un biotecnólogo autopoliniza plantas de boca de dragón con flores de color rosa obteniendo 54 de color rojo, 122 de color rosa y 234 de color blanco. Pretende investigar si sus datos se ajustan al modelo Mendeliano 1:2:1 a través del contraste de hipótesis: H 0 : P(Rojo)=0.25, P(Rosa)=0.50, P(Blanco)=0.25, H A : No H 0 Tabla de frecuencias observadas y esperadas: Estadístico de contraste: χ 2 s = Color Observadas Esperadas Rojo =58.50 Rosa =117 Blanco =58.50 Total ( ) ( ) ( ) = 0.56 con r 1 = 3 1 = 2 grados de libertad. Si consideramos α =0.05 como P-valor=0.7558> 0.05 no rechazaremos H 0 y concluiremos afirmando que los resultados obtenidos por el biotecnólogo son compatibles (P-valor=0.7558) con el modelo Mendeliano 1:2:1.

9 Condiciones de validez del test de bondad de ajuste: Condiciones sobre el diseño del estudio: 1. Los datos deben considerarse una muestra aleatoria de observaciones categóricas de una población grande. Las observaciones deben ser independientes unas de otras. Condiciones sobre el tamaño de la muestra 1. El tamaño muestral debe ser suficientemente grande. Una regla comunmente aceptada es que para que el análisis sea válido las frecuencias esperadas tienen que ser de 5 como mínimo.