Conferencia. Diseño. Colaboración. III Conferencia Internacional de Diseño e Ingeniería por Computadora

Transcripción

1 3 3 AMPLIACIÓN DEL MÉTODO DE FLEXIBILIDADES PARA UNA SIMULACIÓN CON DISEÑO DE EXPERIMENTOS (METODOLOGÍA SEIS SIGMA). Fernando Aboites Dávila, Farid Quijada Escamilla, Gabriel Ventura Suárez CIATEQ, A.C. ( Centro de Tecnología Avanzada ) Av. Retablo 150 Col. Fovissste C.P faboites@ciateq.mx, fquijada@ciateq.mx, gabriel.ventura@ciateq.mx Tel: (442 ) ext RESUMEN Se extiende la formulación de la matriz de flexibilidades para usarla como funciones de transferencia, que se integrarán a un diseño de experimentos. La matriz de flexibilidades se calculará a partir de corridas en ANSYS aplicando una fuerza generalizada unitaria y obteniendo los desplazamientos en puntos característicos del modelo (normalmente en donde están los máximos desplazamientos). Se demostrará que cuando solo interesa información de algunas zonas de un modelo físico, se minimiza el tiempo de ejecución usando este procedimiento, ya que las operaciones se pueden realizar en una simple hoja de excel, la cual es fácil de usar para un ingeniero que no sea especialista en análisis por elemento finito; esta ventaja se acrecienta cuando pensamos en modelos como las carcasas de turbinas, con,000 elementos que consumen en una corrida mucho tiempo, y que no podrían hacerse en forma práctica, por ejemplo 2 elevado a la 8 experimentos (256 corridas, que representa 8 factores y dos niveles). INTRODUCCIÓN Para encontrar la formulación se partirá del concepto de funcional, cuya trascendencia es que su solución está dada en aquel punto estacionario que normalmente lo minimiza; los funcionales se obtienen a partir de principios energéticos (como el de la energía mínima), los cuales son muy socorridos en la ingeniería. Por el teorema de Riesz todo funcional se puede representar por un producto punto, que a su vez es una forma bilineal, y por el teorema de Lax- Milgram se garantiza la expresión de su mínimo. DESARROLLO 1.- Espacio de aproximación. 2.- Problema variacional. 3.- Forma matricial. 4.- Forma de flexibilidades extendida. 5.- Presentación del modelo. 6.- Matriz de flexibilidades. 7.- Métrica del diseño de experimentos. 8.- Conclusiones. 3

2 Espacio de aproximación. Sea F : V x V R Donde el espacio vectorial V tiene un producto interno. Entonces existe un único vector v V Tal que F u = < u, v > para todo u elemento de V. Ahora aproximemos el espacio B: encuentre un uh elemento de Bh a(uh,vh) = f(vh) para todo vh elemento de Bh. Donde Bh es un subconjunto de B. 2.- Problema variacional. El siguiente paso es relacionar estos conceptos con los principios energéticos, los cuales formarán el principio variacional; se hará vía el siguiente teorema: Si tenemos una nueva funcional cuadrática: Fu =< Au,u> -2 <f,u>. Para el cual el teorema de Lax Milgram nos dice: => Auo = f en H para uo elemento de H Dicha funcional cuadrática Fu = < Au,u> - 2 <f,u> alcanza su mínimo en uo, es decir: F u > F uo para todo u elemento de DA. Este funcional mínimo es el principio Variacional. 3.- Forma matricial. Como se sabe el problema variacional discreto de un funcional es equivalente al problema matricial siguiente: Encuentre un vector Rm tal que K a = f, donde a = [a1,a2,..am]t K es la matriz de rigidez (inverso de la matriz de flexibilidades), a vector desplazamientos f vector fuerzas Kij = a(oj,oi). 3

3 3 3 Usemos la nomenclatura de las flexibilidades, el término i-ésimo es la causa, el término j-ésimo es la localización, con el tratamiento clásico Kij=Kji 4.- Forma de flexibilidades extendida. Fijándonos la forma bilineal solo nos condiciona a que a(u,v) = a(v,u), con Fu Fuo para todo u elemento de DA. Así si se toma un espacio vectorial tal que representa unas nuevas localizaciones j-ésimas, la matriz quedará como: Kij* = a(oj*, *,oi). 5.- Presentación del modelo. Se presenta el modelo de un álabe con su raíz, analizado en ANSYS_5.7. Figura 1.- Vista superior de la malla. 3

4 3 3 x y z Figura 2.- Sistema de ejes usado. El modelo tiene 49,943 elementos, con 77,416 nodos. Para obtener una métrica de la malla se sacó la norma de error. 3

5 3 3 Figura 3.- Norma de error. Figura 4.- Norma de error. 3

6 3 3 Se aplicaron sucesivamente tres fuerzas unitarias, una en la dirección x (longitudinal), en la dirección y (vertical) y la otra en la dirección z (transversal); se encontraron los desplazamientos en el nodo donde se esperan los máximos desplazamientos (en la parte superior y más delgada del álabe). 6.- Matriz de flexibilidades. Se muestran los desplazamientos debidos a fuerzas unitarias, los cuales se han adaptado para manipularse en una hoja de excel: se pone cualquier sistema de fuerzas, y en la hoja se calculan los desplazamientos. fz Ux Uy Uz Tabla 1.- Matriz de flexibilidades A continuación se hace una corrida de verificación calculando los desplazamientos en la hoja excel y mediante una corrida en ANSYS: Ux Uy Uz fz UxANSYS UyANSYS UzANSYS Tabla 2.- Comparativa de verificación 3

7 3 3 Se procede entonces hacer el Diseño de Experimentos: son tres factores con dos niveles ( kgf y kgf). De nuevo se usa la misma hoja excel y se encuentran las respuestas. fz Ux Uy Uz Tabla 3.- Diseño de experimentos 7.- Métrica del diseño de experimentos. Se presentan diversas informaciones del Diseño de Experimentos, desde los efectos de los factores, las interacciones hasta información estadística para Seis sigma. 3

8 Main Effects Plot - LS Means for C7 fz 0.02 The Virtual Engineering Company 0.01 C Main Effects Plot - LS Means for C fz C Main Effects Plot - LS Means for C9 fz C Figuras 5,6 y 7.- Efectos de los factores en las respuestas. 3

9 Interaction Plot - LS Means for C The Virtual Engineering Company fz Interaction Plot - LS Means for C fz Interaction Plot - LS Means for C fz Figuras 8, 9 y 10.- Interacciones 3

10 3 3 A continuación se anexa el reporte estadístico para un análisis Seis sigma: General Linear Model: C7, C8, C9 versus,, fz Factor Type Levels Values fixed 2 fixed 2 fz fixed 2 Analysis of Variance for C7, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P ** ** fz ** * ** *fz ** *fz ** **fz ** Error Total Analysis of Variance for C8, using Adjusted SS for Tests Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P ** ** fz ** * ** *fz ** *fz ** **fz ** Error Total ** Denominator of F-test is zero. Term Coef SE Coef T P Constant * * * * 3

11 Se muestran las superficies de respuesta de este experimento: The Virtual Engineering Company Surface Plot of Ux Ux Hold v alues: f z: 0.0 Surface Plot of Ux Ux fz - - Hold v alues: f x: 0.0 3

12 Surface Plot of Ux The Virtual Engineering Company 3 3 Ux fz - - Hold values: : 0.0 Surface Plot of Uy Uy Hold values: fz: 0.0 Surface Plot of Uz 0.1 Uz fz - - Hold values: : 0.0 3

13 Surface Plot of Uz The Virtual Engineering Company 3 3 Uz z 0 fz Hold values: : 0.0 Surface Plot of Uz 0.05 Uz Hold values: fz: 0.0 3

14 Surface Plot of Uy Uy fz - - Hold values: : 0.0 Surface Plot of Uy 2 1 Uy fz - - Hold values: : 0.0 3

15 3 3 Overlaid Contour Plot of Ux...Uz 0 - Lower Bound Upper Bound White area: feasible region Ux Uy Uz Hold v alues: f z: 0.0 3

16 3 3 Overlaid Contour Plot of Ux...Uz fz 0 - Lower Bound Upper Bound White area: feasible region Ux Uy Uz Hold v alues: f y : 0.0 3

17 3 3 Overlaid Contour Plot of Ux...Uz Lower Bound Upper Bound White area: feasible region Ux Uy Uz fz Hold v alues: f x: 0.0 3

18 3 3 Optimal D Hi Cur Lo Ux Targ: 10 y = 10 d = fz [ ] [ ] [ ] Optimal Hi D Cur Lo fz [ ] [ ] [ ] Uz Targ: 10 y = 10 d =

19 Optimal Hi D Cur Lo fz [ ] [ ] [ ] The Virtual Engineering Company 3 3 Uz Targ: 10 y = 10 d = Ux Targ: 10 y = 10 d = Uy Targ: 10 y = 10 d = Conclusiones. Evidentemente para el caso de necesitar información parcial de un modelo, es más recomendable usar una matriz equivalente, pues cualquier número de operaciones se hacen prácticamente al instante, en comparación del tiempo que hay que esperar para tener los resultados de las corridas de ANSYS. Este estudio está limitado a análisis estáticos, ya que modelos no lineales se tienen que analizarse más a fondo. La hoja de cálculo con los coeficientes de la matriz de flexibilidades, las funciones de transferencia, es muy útil para los ingenieros que no saben elemento finito pero que necesitan tener información del modelo del tipo desplazamientos máximos, dado un sistema de fuerzas. Otra ventaja de tener una forma matricial es que si se prescriben los desplazamientos, se pueden obtener las cargas que lo producen (invirtiendo la matriz, y buscando que el orden de la matriz sea cuadrada) o aplicando una optimización del diseño de experimentos. Para el caso que nos ocupa (con la información del diseño de experimentos), si se prescribieran los desplazamientos a una milésima de centímetro las cargas no deberán rebasar a 10 kgf para las, 171 kgf para las y 21 kgf para las fz. También de las interacciones aprendimos que las s casi no influyen en las otras direcciones, razón por la cual pueden ser de valor alto (se tendría así energía almacenada para la fuerza de cuerpo debida a la aceleración normal). 3