Programa de Doctorado Interuniversitario. Metodología de las Ciencias del Comportamiento UNED - UAM - UCM. Trabajo de investigación: 6 créditos

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1 Programa de Doctorado Interuniversitario Metodología de las Ciencias del Comportamiento UNED - UAM - UCM Trabajo de investigación: 6 créditos Línea de investigación: Métodos estadísticos Incidencia de las transformaciones de las puntuaciones observadas, para la atenuación del sesgo y de la curtosis, en la estimación de la estructura factorial de los datos Doctoranda Maria Noel Rodríguez Ayán (Uruguay) Tutor Dr. Miguel Ángel Ruiz Universidad Autónoma de Madrid Madrid, 6 Trabajo defendido el 9 de octubre de 6 en la Universidad Complutense de Madrid, para la obtención del Diploma de Estudios Avanzados.

2 Resumen ÍNDICE Página. Objetivo. Introducción. Metodología -.. Instrumentos.. Sujetos participantes.. Análisis.. Paquetes estadísticos. Estadística descriptiva Tamaño de la muestra 6.. Evaluación del supuesto de normalidad multivariante 6. Transformación de variables -7.. Procedimiento en una sola etapa.. Procedimiento en dos etapas.. Resultados de las transformaciones en una etapa.. Resultados de las transformaciones en dos etapas.. Conclusiones sobre las transformaciones 6.6. Características de las distribuciones originales y transformadas 7 6. Análisis factorial exploratorio (AFE) Procedimiento Resultados del AFE y discusión 9. Sobre la adecuación muestral 9. Sobre el número de factores a extraer. Sobre las estructuras factoriales. Modelo de un factor. Modelo de dos factores 6. Modelo de tres factores. Modelo de cuatro factores 6 7. Análisis Factorial Confirmatorio (AFC) 8-68 Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com Montevideo- Uruguay

3 7.. Modelos unifactoriales. Especificación e identificación del modelo. Resultados. Estadísticos de ajuste global 6. Saturaciones de los ítems y porcentaje de varianza explicada Modelos bifactoriales. Especificación e identificación del modelo. Resultados. Estadísticos de ajuste global 8. Saturaciones de los ítems y porcentaje de varianza explicada Comparación de modelos uni y bifactoriales Discusión de resultados 6. Incidencia de la distribución y del método en las estimaciones 6. Comparación de modelos de y factores 66. Comparación global 66. Comparación analítica Conclusiones generales Referencias 69-7 Apéndice A 7 Apéndice B 7-8 Apéndice C 8-9 Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com Montevideo- Uruguay

4 Resumen En este estudio se evalúa la incidencia de la atenuación, mediante transformaciones de las variables, del sesgo y de la curtosis de las puntuaciones observadas sobre las saturaciones factoriales estimadas y los índices de bondad de ajuste del análisis factorial. El objetivo último es estudiar el efecto de estas transformaciones sobre la estimación de la estructura factorial de los datos mediante análisis factorial exploratorio y confirmatorio. Se trabaja con una escala para evaluar el desempeño de los profesores en la Universidad por parte de los estudiantes, compuesta por 6 preguntas referidas al concepto general evaluación docente. Los ítems están medidos en una escala Likert de puntos, en la que se refleja el grado de acuerdo con el contenido del ítem. Las distribuciones de los ítems no pueden aproximarse a la normalidad, por lo que se aplican distintos procedimientos para la corrección del sesgo y de la curtosis, de manera de obtener distribuciones transformadas con mejor ajuste a la distribución normal. Los resultados sugieren que en términos generales las distribuciones estudiadas no presentan un comportamiento diferencial, ni desde una perspectiva global ni analítica, cuando se emplea un mismo método de estimación de parámetros. En cambio el método parece tener una mayor incidencia en los resultados. Es decir, tanto los estadísticos globales de bondad de ajuste como las saturaciones factoriales de los modelos son más sensibles al método de estimación (para una misma distribución) que a la distribución (para un mismo método de estimación). Por último, cabe mencionar como limitación del presente trabajo el hecho de que no se haya valorado el efecto de la complejidad de la estructura factorial y/o el grado de comunalidad teórica de las variables. Por el contrario, se han utilizado siempre los mismos datos empíricos como anclaje de las comparaciones. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com Montevideo- Uruguay

5 . OBJETIVO Evaluar la incidencia de la atenuación, mediante transformaciones de las variables, del sesgo y de la curtosis de las puntuaciones observadas sobre las saturaciones factoriales estimadas y los índices de bondad de ajuste del análisis factorial.. INTRODUCCIÓN La literatura sobre métodos de estimación estadística hace especial énfasis en la bondad de la distribución normal y los métodos de estimación más populares asumen la existencia de normalidad en la distribución de los datos muestrales y se insiste en la necesidad del cumplimiento del supuesto para que la estimación tenga todas las garantías. Sin embargo, los datos empíricos procedentes de investigaciones en Psicología y en Educación rara vez cumplen este supuesto (Micceri, 989). Uno de los recursos más utilizados para asegurar la normalidad de la distribución es la transformación monótona de los valores a una métrica capaz de paliar la falta de simetría (Hall, 99). En este estudio se trabaja con la escala empleada por Rodríguez Ayán y Amaya () para evaluar el desempeño de los profesores por parte de los alumnos. La escala consta de 6 variables, cuyas distribuciones no pueden aproximarse a la normalidad. Por lo tanto se aplican distintos procedimientos para la corrección del sesgo y de la curtosis, de manera de obtener distribuciones transformadas con mejor ajuste a la distribución normal. El objetivo último es estudiar la influencia sobre la estimación de la estructura factorial de los datos mediante análisis factorial exploratorio y confirmatorio. Existen diversos procedimientos de transformación de variables dirigidas a obtener una distribución normal (o al menos distribuciones carentes de sesgo) siendo las transformaciones más frecuentes la raíz cuadrada, el logaritmo, la inversa y la potencia (Osborne, ; Figueras y Gargallo, ). Adicionalmente, Harris y DeMets (97) proponen transformaciones en dos etapas para la normalización de distribuciones con sesgo y curtosis positivos procedentes de datos clínicos. En la primera etapa se transforman los datos originales empleando la raíz cuadrada, el logaritmo natural o el logaritmo natural con la adición previa de una constante (para evitar los números negativos antes de la transformación logarítmica). Esta etapa sería efectiva para reducir tanto la asimetría como la curtosis. En el segundo procedimiento se aplica la función arco seno hiperbólico a las variables resultantes de la primera transformación. Esta segunda etapa contribuiría a eliminar la curtosis residual. El criterio para evaluar la eficacia de la transformación es la obtención de índices de asimetría y curtosis próximos a cero, siendo la recomendación de estos autores la elección del procedimiento que aproxime ambos estadísticos a cero simultáneamente. Los autores concluyen que en algunos casos la primera etapa sería suficiente. Por otra parte, Reed y Wu (97) estudiaron la eficacia de las transformaciones de Harris y DeMets (97) en la estimación de los percentiles, y 97, de diversas distribuciones de diferente forma generadas por técnicas de simulación, en comparación Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com

6 con la estimación de dichos percentiles por procedimientos no paramétricos. Los criterios que eligieron para evaluar la eficacia de las transformaciones fueron: el criterio del valor absoluto, según el cual la mejor transformación es aquella que arroja el menor valor del índice asimetría + curtosis (de los coeficientes no tipificados). Este criterio se basa en que en una distribución normal las desviaciones típicas de asimetría y curtosis guardan una relación :. el estadístico de Kolmogorov-Smirnov, con la transformación de Lilliefors, respecto a la distribución teórica normal. Si el estadístico de KS es estadísticamente significativo en todos los casos (lo cual supone el rechazo de la hipótesis de normalidad) la conclusión es que ninguna de las transformaciones ha sido eficaz en la producción de valores normalizados. Según Boyd y Lacher (98) el procedimiento Harris-DeMets no resultó adecuado para normalizar distribuciones con asimetría o curtosis negativas y falló completamente cuando ambos coeficientes resultaron negativos, por lo que desarrollaron un procedimiento alternativo, también en dos etapas. Basándose en los estudios de Tukey, que indican que la transformación log (X + c) y la raíz cuadrada tienen una eficacia similar en la corrección del sesgo si c se determina con precisión, en una primera etapa emplearon sólo la transformación log (X + c). Para distribuciones con asimetría negativa previamente multiplicaron la variable original por. En la segunda etapa, destinada a eliminar la curtosis, los autores evaluaron diversas funciones a aplicar sobre los resultados de la primera etapa: arcoseno hiperbólico: λ arcsinh (X / λ), para curtosis positivas, pues la función tiende a transformar valores extremos de la variable en valores más próximos a la media seno hiperbólico: λ sinh (X / λ), para curtosis negativas, pues la función tiende a desplazar valores moderados de la variable hacia las colas de la distribución: x k para valores de x positivos o cero - x k para valores de x negativos Los parámetros λ y k fueron obtenidos por iteración. La constante k está comprendida entre y para variables con curtosis positiva y es mayor que para curtosis negativas. La evaluación de la eficacia de estas técnicas se llevó a cabo contrastando la hipótesis de normalidad después de las dos etapas, según los siguientes estadísticos: D de Kolmogorov-Smirnov, W de Cramer-Von Mises U de Watson, A de Anderson-Darling y V de Kuiper. La conclusión es que la primera etapa resulta efectiva para eliminar sesgos tanto positivos como negativos, en tanto que la segunda corrige tanto leptocurtosis como platicurtosis. Para distribuciones asimétricas se recomienda por lo general la raíz cuadrada, el logaritmo o la inversa (Hair, Anderson, Tatham y Black, 999; Osborne, ; Pett, 997). Estas transformaciones operan comprimiendo el lado derecho de la distribución en mayor proporción que el izquierdo, por lo que son recomendables para distribuciones con sesgo positivo. En el caso de distribuciones con asimetría negativa debe multiplicarse la variable por el valor previo a su transformación (y en el caso de la raíz cuadrada y del logaritmo deberá sumársele una constante, de modo que los valores a transformar resulten positivos). Según Hair et al (999) la raíz cuadrada es la que funciona mejor para atenuar sesgos negativos, en tanto que para coeficientes de asimetría positivos es preferible emplear el logaritmo. Por su parte Figuera y Gargallo Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com

7 () recomiendan la transformación logarítmica para la corrección del sesgo en general y las transformaciones inversa y cuadrática para lepto y platicurtosis respectivamente. Según Pett (997) no hay una transformación claramente definida para corregir la leptocurtosis. Con respecto a la transformación mediante la raíz cuadrada, Osborne () sugiere que para variables continuas con valores tanto inferiores como superiores a la unidad previamente se traslade la variable a transformar de modo que su mínimo valor sea, dado que la función raíz cuadrada tiene derivada mayor que para el intervalo (,) y menor que para el intervalo (, + ). El autor pone especial énfasis en la incidencia del valor mínimo de la distribución en la eficacia de la transformación. Con respecto a la transformación logarítmica, Cleveland (98) y Osborne () sugieren considerar un rango de bases (, y e como mínimo), de modo que sea posible evaluar la eficacia de la transformación según la base y los datos a transformar. Además de estos procedimientos existen otras formas de aproximarse a una distribución normal. La transformación de variables asignando rangos a los casos y su posterior normalización es un método que ordena la variable según un criterio ascendente o descendente de los valores, asignándoles un número de orden. Posteriormente se pueden normalizar las puntuaciones según distintos procedimientos. Otro procedimiento empleado para atenuar el sesgo en observaciones ordinales es el Análisis de Componentes Principales Categórico (CatPCA) (De Leeuw y Van Rijckevorsel, 98; Sierra Diez, Falces Delgado, Ruiz Díaz y Alier, ). Las variables originales categóricas se escalan de forma óptima, obteniéndose variables transformadas numéricas, a partir de las cuales se realiza un análisis de componentes principales. Lo expuesto anteriormente pone en evidencia que no existe acuerdo entre los autores sobre qué transformaciones emplear. Además, los antecedentes se refieren a la transformación de variables continuas, y no hacen referencia explícita a las variables con métrica ordinal, como es el caso del presente trabajo.. METODOLOGÍA.. Instrumento Cuestionario de opinión estudiantil para la evaluación de los docentes de la Facultad de Química, Universidad de la República, Uruguay (Rodríguez Ayán y Amaya, ). El instrumento contiene 6 ítems (B-) elaborados de manera unidimensional, referidos al concepto general evaluación docente. Los ítems están medidos en una escala Likert de puntos (ver Apéndice A), en la que se refleja el grado de acuerdo con el contenido del ítem... Sujetos participantes 6 estudiantes de primer año de la Facultad de Química, matriculados en la asignatura Química General,. La recogida de la información se realizó por clases enteras. Se suministró el cuestionario a los estudiantes presentes en clase, ofreciéndoles garantías de confidencialidad durante todo el proceso, desde la recolección de opiniones hasta la difusión de los resultados generales. La participación estudiantil fue voluntaria y anónima. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com

8 .. Análisis Se realizaron los siguientes análisis:. Estadística descriptiva de los datos, con evaluación del cumplimiento del supuesto de normalidad multivariante de las variables B-. Para dicha evaluación se emplearon los siguientes estadísticos: asimetría univariada ( X ) i X Ns curtosis univariada ( X ) i X distancias de Mahalanobis ( X i X ) S ( X i X ) curtosis multivariada de Mardia (97, 97) ( X i X ) S ( X i X ) donde: N es el número de sujetos p es el número de ítems S es la matriz de varianzas-covarianzas entre los ítems N Ns ( ) ( N ) p p + N +. Transformación de las variables originales B- para aproximarse a las pautas de normalidad multivariante. Se emplearon seis transformaciones en una etapa: Raíz cuadrada Y = 6 X ) i ( i Logaritmo neperiano Yi = Ln( 6 X i) Inversa Y = /(7 X ) Cuadrado i Y i = X i i Asignación de rangos a casos con normalización de Blom CatPCA mediante el procedimiento de línea SP ordinal (polinomio de grado con nodos) del paquete SPSS. y cuatro transformaciones en dos etapas: Logaritmo seno hiperbólico λ sinh( Z / λ ) con Y = Ln( 6 X ) Logaritmo potencia Z Y k Y ± con Y = Ln( 6 X ) Inversa seno hiperbólico λ sinh( Z / λ ) con Y = /(7 X ) Inversa potencia Z Y k Y ± con Y = /(7 X ) Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com

9 Las operaciones de la segunda etapa (seno hiperbólico y potencia) se efectuaron sobre los valores tipificados de las variables obtenidas en la primera etapa, como sugieren Boyd y Lacher (98).. Análisis factorial exploratorio Más adelante se detallan el método de estimación utilizado para el cálculo de la estructura factorial exploratoria, así como el método de rotación.. Análisis factorial confirmatorio Más adelante se detallan el método de estimación utilizado para el cálculo de la estructura factorial confirmatoria y las estructuras propuestas para la estimación... Paquetes estadísticos Los paquetes estadísticos utilizados en el análisis de los datos fueron SPSS para Windows versión. y AMOS.. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com mnrayan@yahoo.com

10 . ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.. Tamaño de la muestra Sólo se consideraron los sujetos con puntuaciones válidas en todas las preguntas, lo que determinó un tamaño de muestra de 7 casos. Las características de los participantes se describen en la Tabla. Tabla Características descriptivas de los participantes Nº % Nº % Año de ingreso a la Facultad,, 86,9 NS/NC, Cursa asginaturas de sólo er año 9,9 er y º años,6 er, º y er años, NS/NC, Nº % Nº % Carreras Química Farmacéutica 6,7 Bioquímica Clínica 7 9,8 Ingeniería Química 9, Ingeniería de los Alimentos 7 9,8 Química Más de una 6, Asistencia al teórico de esta asignatura Regular 89 Ocasional 8 7, Nunca,7 NS/NC,8.. Evaluación del supuesto de normalidad multivariante para la distribución B-. En la Tabla se muestran los estadísticos descriptivos de las 6 variables, para evaluar la normalidad univariante. Tabla Descriptivos univariados de las varianbles Media Mediana Desv. típica Asimetría (error típico,6) Asimetría crítica* Curtosis (error típico,) Curtosis crítica* B,8,77 -,8 -,98, 6,8 B,,78 -,96-7,8,9 8,8,6,86 -,7 -,7, 8,7,,89 -, -,7,,,777 -,99-7,8,688 6,,88 -,88-8,9,8,966,9,88 -, -8,7,7,,76 -, -96, 9,9,9,97 -,9-7,9 8,98 B,68,89 -, -9,8 7,7 B,7,87 -, -,7,77 B,88, ,86,96,69,7,99 -, -9,88,7,,,87 -, -8,99,,79 9,7-7 -, 8,,,76 -,6-9, 7,6 (*) cociente del estadístico por su error típico Se observa que las medias de todas las variables tienen valores elevados, comprendidos entre,9 (ítem B) y,6 (ítem ). Este efecto es habitual en las preguntas de satisfacción. La asimetría es negativa y la curtosis positiva en todos los Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 6

11 casos, indicando que se trata de distribuciones con alargamiento de las colas hacia la izquierda y de tipo leptocúrtico. Todos los valores críticos, tanto de asimetría como de curtosis, caen fuera del intervalo considerado, indicando apartamiento de la normalidad. El ítem es el más asimétrico y a la vez el de mayor curtosis. En la Tabla se muestra el coeficiente de curtosis multivariada de Mardia. Tabla Curtosis multivariada de Mardia coeficiente error típico,8 valor crítico *,9 * Cociente del estadístico por su error típico Analizando los ítems conjuntamente, el coeficiente de Mardia es de y su estimación normalizada,9, lo cual indica que la distribución conjunta de los 6 ítems se aleja de una distribución normal multivariada. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 7

12 En la Tabla se muestran los casos que se alejan más marcadamente de la media multivariante general (distancias de Mahalanobis). Tabla Distancias de Mahalanobis Caso Mahalanobis Mahalanobis Mahalanobis Mahalanobis p d p Caso p d p Caso p d p Caso d p p 8,77,, 8,8,, 7 6,6, 6,979,8 8 8,8,, 96 7,8,, 9 6,,7, 8,96,8, 6 7,8,, 9 7,8,, 9 6,,7, 6,86,8, 9 66,99,, 9 6,,,,68,6, 6,9,,9 8,8,, 6,69,, 8,7, 69,8,, 9 7,8,,,8,, 6,67,8, 8,,,9 9 9,,,88,6,,6,8, 7,7,7,78 89,7,,,87,6, 8,8,8, 7,,9,6 86,7,, 8,68,8, 8,99,9, 9,9,,78 8 8,7,, 87,8,,,869,9, 89 9,87,6,9 8,,,,97,, 6,8,9, 9,8,8,8 6 6,99,, 87,8,6, 68,96, 96,6,8 6 67,,,7,6,,7,, 66 9,77, 9,9,,,9,6, 9,99,, 9,,,7 7,,, 6,,8, 6,, 9 9,6,,76,,, 9 9,7,,,,, 6 9,9,68,87,9,, 9 8,97,, 7,,6, 88 8,97,7,86 7,97,, 8 8,,,,, 9 8,8,9 68,6,, 76,,,, 8,9,,99 9,7,, 7,7,, 7,,8 88 8,8,,99 6 9,, 7,9,6, 7,,9 8 8,,,99 6,, 7 7,,7, 8,7,86 8,,,989 7,,, 7,7,, 9,8,7, 8,6,,99 9 8,986,, 7,6,, 6,9,7, 7 8,,,99 9 8,9,, 7 6,696,, 9,,77, 7,,999 Bajo la hipótesis de normalidad, p es la probabilidad de que la observación tenga un valor de d superior al valor crítico y p la probabilidad de que el mayor valor de las d observadas exceda dicho valor crítico Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 8

13 De los casos informados en la Tabla, 7 presentan valores de p inferiores a,: ello significa que, si se cumpliera la hipótesis de distribución normal, dichas observaciones deberían ser interpretadas como valores atípicos incluso teniendo en cuenta la propia distribución de distancias observadas. En la Figura se muestran los histogramas, los cuales también evidencian el apartamiento de la normalidad. Figura Histogramas de variables B- Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. =,7 Desv. típ. =,76 Desv. típ. =,86 Desv. típ. =,86 Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, B B Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. = Desv. típ. =,88 Desv. típ. =,88 Desv. típ. =,76 Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. =,97 Desv. típ. =,89 Desv. típ. =,8 Desv. típ. =,9 Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, B B B Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. =,99 Desv. típ. =,87 Desv. típ. =,7 Desv. típ. =,76 Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Media = N = 7, Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 9

14 . TRANSFORMACIÓN DE VARIABLES Los resultados anteriores prueban que las distribuciones de las variables B- no pueden aproximarse a la normalidad. Por lo tanto se aplican distintos procedimientos para la corrección del sesgo y de la curtosis, con el propósito de obtener distribuciones transformadas con mejor ajuste a la distribución normal. El objetivo último es estudiar el efecto diferencial de estas transformaciones sobre los resultados del análisis factorial. Las distribuciones tienen todas sesgo negativo y curtosis positiva acentuados, por lo que no se espera que una única transformación sea adecuada para corregir ambos problemas. Por tanto, primero se ensayan transformaciones en una etapa y a partir de dichos resultados se considera la aplicación de una segunda transformación... Procedimiento en una etapa De acuerdo con la discusión anterior se emplean las siguientes transformaciones (ver más arriba): Raíz cuadrada Logaritmo neperiano Inversa Cuadrado Asignación de rangos a casos con normalización de Blom CatPCA mediante el procedimiento de línea SP ordinal (polinomio de grado con nodos) del paquete SPSS.. Dado que las distribuciones tienen sesgo negativo, las dos primeras transformaciones se aplican sobre la variable (6 X), de modo que la distribución a transformar tenga sesgo positivo y valor mínimo igual a. Para estas dos transformaciones debe tenerse presente que el orden de los casos en la distribución transformada es inverso al orden en la distribución original, si bien ello no altera las conclusiones respecto de la eficacia de la transformación. Para la transformación inversa se ensaya la función [ / (c - X)], siendo c una constante mayor que. Para la determinación de c se opera iterativamente, dividiendo en mitades el intervalo entre los límites superior e inferior de c, hasta obtener el mayor número de variables transformadas con valores de asimetría normalizada dentro del rango [-, +]. Los criterios utilizados para evaluar la eficacia de estas transformaciones son: los coeficientes univariados de asimetría y curtosis, el estadístico de Kolmogorov- Smirnov, el coeficiente multivariado de Mardia y el criterio del valor absoluto empleado por Reed y We (97) aplicado a los coeficientes estandarizados... Procedimiento en dos etapas La transformación en dos etapas es un recurso empleado para la reducción de la curtosis remanente luego de la atenuación de sesgo lograda en una primera transformación. Se ensayaron las dos transformaciones paramétricas de Boyd y Lacher (98) sobre los valores tipificados de las transformaciones logarítmica e inversa, completando un total de cuatro procedimientos bietápicos. Logaritmo sin h Logaritmo potencia Inversa sin h Inversa potencia Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

15 .. Resultados de las transformaciones en una etapa En la Figura se muestran los histogramas de las variables B, y B transformadas según los 6 procedimientos. Y i = X i Y i Figura Histogramas de variables B, y B transformadas = ln X i Y i = / X i Y i = X i Blom CatPCA Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. =,77 Desv. típ. =, Desv. típ. =,7 Media =, N = 7,,,,,8,,,,,, Desv. típ. =, Media =,6 N = 7,,,,,, Desv. típ. =,9 Media =, N = 7,, Media = 7, N = 7,,,,,,, -, -, -,, Desv. típ. =,8 Media = -, N = 7,, Media =, N = 7, -, -,, -, -,, B B B B B B 6 Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. = 7, Frecuencia Frecuencia 8 6 Desv. típ. =, Media =, N = 7,,,,,8,,,,,, Desv. típ. =,8 Media =,6 N = 7,,,,,, Desv. típ. =, Media =, N = 7,, Media = 7, N = 7,,,,,,, -, -,,, Desv. típ. =,8 Media = -, N = 7, Desv. típ. =, Media =, N = 7, -, -, -,,, Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frecuencia Desv. típ. = 6, Desv. típ. =, Media =, N = 7,,,,,8,,,,,, Desv. típ. =, Media =,7 N = 7,,,,, Desv. típ. =, Media =, N = 7,,, Media =,9 N = 7,,,,,,, -, -,,, Desv. típ. =,87 Media = -, N = 7, -, -, -,, Desv. típ. =, Media =, N = 7,, B B B B B B Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

16 Asimetría y curtosis univariadas En la Tabla se muestran los estadísticos univariados normalizados de asimetría y curtosis. Se destacan en distinto color los valores aceptables según estén dentro de los siguientes rangos: [-,+], [-,+]. Tabla Coeficientes univariados normalizados Asimetría Curtosis Raíz Ln Inv Cuad Blom Cat Cat Raíz Ln Inv Cuad Blom PCA PCA B 6,9,96 - -, -, -,6,6 -,69 -,9,,9,9 B,7 -,,77 -,88 -,69-9,8 -,6 -,9 -, -,9,98,,9 -,687 -, -,9, -,9 -, -,97 -,9 7,8 9 -,7-6 -6, -,, -,7 -,696 -,77 -,8,,9 -,,9 - -,7-9,7 -,7 -, -, -,98 -,,,,8,66 -, -,86-9,6 -,8 -,969 -,9 -,7 -,9 8,,878,9 -,8 -,6 -,9 -, -,8 -,6 -,7 - -, 7,,, -,98 -,7 -,7 -,77,6 -,9 -, -, -,9 6,7,7,96, -8 -,6-8,867 -, -,8 -, -8 -,68,9 B,, ,,7 - -, -,89 -,,78 B 77,87 -, -6,66-6, -,,969 -,9-8 -,7 -,7, B, -,88,7 -,8 -,7-6,89 -,7 -,8 -,7 -,9 -,88,88,7-9 -, -,6 -,99 -,7 -,9 - -,8 -,79 7,8,7,6 -,69 -,7 -,67-9,86 -,8 -,86 -, -,9 -,9 9,9,8,68 -,7 -,6 -,8 -, 67 6,,,7,8,86,77, -, -,88 -,897 -, -,7 -,9 -,7 -,8 -, Según los coeficientes de asimetría y curtosis de las distribuciones marginales (Tabla ) la transformación inversa es la que produce mayor número de variables con sesgo atenuado, seguida de la transformación logarítmica. No obstante, la inversa tiene un efecto demasiado potente sobre las distribuciones de B y B, invirtiendo el signo del sesgo de ambas distribuciones transformadas. Con respecto a la curtosis, la transformación de Blom, la raíz cuadrada y la cuadrática serían las que arrojan los mejores resultados. La logarítmica y la inversa producen inversión del signo del coeficiente de curtosis, indicando que su efecto es demasiado fuerte. Ninguna transformación parece eficaz en la corrección simultánea de ambas características. Para comparar los valores de la Tabla con los correspondientes a las variables originales (Tabla ) se muestra el porcentaje de variación de los valores absolutos de asimetría (diferencia de asimetría DA) y curtosis (diferencia de curtosis DC) (Tabla 6): asimetríav. original asimetríav. transformada DA % = * asimetría v. original Para la DC se aplica una fórmula análoga a la anterior. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

17 Tabla 6 Porcentaje de reducción de valores absolutos de asimetría y curtosis DA DC Raíz Ln Inv Cuad Blom Cat Cat Raíz Ln Inv Cuad Blom PCA PCA B 6,9 7, 86, 6,6, -,6 8, 8,6 68, 97, 98,8 -,7 B 67, 8, 6,8 8,7 6,9-9, 9, 6,6 9,7 8, 9,8-77,7 9,9 88, 9,6 6, 6, -, 86, 66, 9, 89, 9,9 -,8 6, 6, 7,7,6, -7,6 79, 7, 7, 99, 9, -6, 6, 9, 7, 7,, -6, 99, 9,8, 76, 9, -67, 7,6 8,6 99, 9, 9, -7,8 8,6, -,89, 7, -6,9, 7, 86, 7,7 9, -, 7, -77, -9-8,9-9 6,8 77, 9, 6, 7, -, 9, 8,7,9 8,8 9,8-76, 9, 87, 9, 6,,7-9, 9, -76, - -, - B,6 77,7 9, 6,6, -6, 97,9 8, 7,6 7, 8,9-66, B 6, 6,8 7,, 8, -, 8,8 7,9,6 97,6 9, -, B 7, 6,7, 9, 6,9 -,9-7, , -97, 7, 9,,9 6,9 -, 98,9,8 7,9 6,9 66,6 -, 7, 8,6 99, 8,, -9,9 9,6,6, 6,8 79, -8,7,,9 9,,6 7, -,, 8, 9,9 6, 89,6-7, 9,8 6,8 76,8 6,6 8, -6, 9,,, 7, 9, -6,7 La transformación CatPCA no reduce ninguna de las dos características sino que las aumenta. Prueba de Kolmogorov-Smirnov (KS) con la corrección de Lilliefors También se realizó la prueba de KS para contrastar la normalidad de cada variable transformada. Los estadísticos se muestran en la Tabla 7. Tabla 7 Estadístico de KS (7 gl) para las variables transformadas Raíz Ln Inv Cuad Blom CatPCA B,,,7,,,8 B,9,9,7,98,7,8,,9,6,6,,89,8,,8,,,9,8,8,7,86,,66,89,,,8,7,8,9,7,7,,8,9,,86,8,6,7,,9,,,6 B,,69,8,8,6, B,,6,,7,8,9 B,,76,,6,7,9,,,7,8,,68,,69,9,8,,,,,7,6,6,9,,,6,,9, (*) Los valores son significativos más allá del, (con la corrección de la significación de Lilliefors) Curtosis multivariada de Mardia Considerando la distribución conjunta de las 6 variables (Tabla 8) ninguno de los 6 coeficientes de Mardia obtenidos luego de las transformaciones tienen valores Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

18 críticos comprendidos dentro del intervalo, si bien con excepción de CatPCA las demás transformaciones logran reducir su valor respecto del inicial. Tabla 8 Curtosis multivariada de Mardia normalizada Raíz Ln Inv Cuad Blom CatPCA,8,8 6,87 8,7 7,76 Criterio del valor absoluto Aplicando el criterio del valor absoluto propuesto por Reed y Wu (97) a los estadísticos de asimetría y curtosis tipificados, se busca la transformación cuya suma de valores absolutos de ambos coeficientes sea más baja. Bajo la hipótesis de normalidad esta suma debería ser igual o menor que. Los valores de asimetría + curtosis para cada variable según la transformación se muestran en la Figura (puesto que se trata de valores tipificados no se considera el coeficiente para la asimetría). Figura Índice asimetría + curtosis 7 Criterio del valor absoluto Criterio del valor absoluto 6 Original CatPCA Blom 8 6 Blom Cuadrática Inversa Logaritmo Raíz Cuadrática Inversa Logaritmo Raíz Variable (a) Variable (b) La Figura a muestra que la transformación CatPCA es la que produce valores más altos del criterio, superiores a los valores para las variables originales. Asimismo, la variable es la que tiene valores más elevados del criterio, cualquiera sea la transformación efectuada. En la Figura b se omiten las series CatPCA y original y se acorta el intervalo de valores del criterio, a efectos de poder visualizar mejor los detalles de las restantes transformaciones. No parece haber mayor diferencia entre éstas, siendo tal vez la transformación raíz cuadrada la que tiene el peor comportamiento. En la Tabla 9 se comparan los rangos del criterio así como el número de valores del mismo inferiores o iguales a, para las seis transformaciones de la Figura a. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

19 Tabla 9 Valores máximos y mínimos del criterio según la transformación Raíz Ln Inv Cuad Blom CatPCA Original Rango 9,78,97 8,99,89, 8,887 Mínimo,89,696,7,898,68, 6, Máximo,7 88,7 6,77 6,6, Nº de valores Las transformaciones raíz, inversa y de Blom tienen rangos similares, mostrando cierta estabilidad en los valores del criterio para las diferentes variables. Ninguna transformación produce más de dos variables con valores satisfactorios del criterio. Esto es concordante con las conclusiones anteriores... Resultados de las transformaciones en dos etapas De acuerdo con la Tabla sería de esperar que, luego de una primera etapa de transformación logarítmica o inversa, una segunda transformación de seno hiperbólico o potencia (Boyd y Lacher, 98) redujeran la curtosis negativa resultante de la primera transformación (determinándose empíricamente el valor de los parámetros λ y k que optimizan los resultados). En las Tablas y se muestran los índices asimetría + curtosis (tipificadas) obtenidos para distintos valores de λ y k respectivamente. Tabla Índice asimetría + curtosis (tipificadas) Logaritmo sinh Inversa sin h Valores de λ Valores de λ B 7,8 9,6,,8 6,8,7 6 6,6 6,7 6,77 6,8 B 9,,8,8,,7,,89 6, 6,7 6 6,8,7,,7,9,,8,9,6,69,8, 8, 8,8 6,87 7, 7,6 7,,7 7,7 7 7,88 7,9 7,96 6,9,7,9,,6,9,9,,86 6, 6, 6,,,,,7,8,,8,,8,6,,, 6,68 6,8 6,8 6,8 6,8 6, 6 6,76 6,7 6,7 6,7 9,,88,76,97 6, 6,, 6,8 6,7 6, 6, 6, 7,,7,,6,7,7,,,6,8,9 B,,8,7,8,8,88,8,8,8,8,8,8 B, 7,86 6,96 7, 7,6 7,,9 7,6 7,9 7,99 8, 8,7 B,69,,88,6,, 6, 7,8 7, 7,6 7,8 7,,,7,8,8,8,8,,6,,,,8 6,7,,,,,,7,,8,6,, 8,8 8,, 9,7 89, 6,6 8, 6,,,8 6,7 6, 7,7 7,8 7,6 7,6 7,7 7,69 7,7 7,77 7,8 Tabla Índice asimetría + curtosis (tipificadas) Logaritmo potencia Inversa - potencia Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

20 Valores de k Valores de k,,,7,,,,,7,, B 8,6 7,7 7,6 6, 9,7 6, 8 8,6 7,7 6,86,7 B, 9,86 7,,,9 6,,, 8,8 6,8,,97,9 9, 6,8,, 9,8 7,8,,9,6 8, 8,9 8,9 7,,9 8, 8,7 8,9 7,98 7,6,6, 9,7 7,,7,9 6,76,, 8,6 6,,7,8, 8,8 6,9,,7 8,, 9, 7,6,9, 9, 7,99 6, 6,86 6 7,68 9, 8, 6,8 6,7 6,9 6,9 9, 8, 6, 6,8,,7 9,8 8 7, 6, 6,,, 8,7 6,,7,7,6,6 9, 7,8,99,7,7 B 9,97 8,,89,8,6, 9, 7,6,8,99,7 B 8,7 8, 8, 7, 9,7 8,6 8, 8, 8,9 7,, B, 8, 6,7,8,7,86 9, 8,8 7, 6,,8, 8,,6,8,89 9,6, 9,8 6,9,7,9 6,, 8 6,,, 9,8, 9,8 7,8,,,9,8, 9,88 9,9 7,,9,6,6,, 8, 7,98 7,8 7,86 7,9 6,, 8, 7,8 7,89 7,8 7,6 No se encontró ningún valor de λ ni de k tales que arrojaran distribuciones con índices mejorados respecto a los obtenidos con las primeras transformaciones solamente. Tampoco se encontró evidencia de mejora simultánea en los coeficientes univariados de asimetría y curtosis luego de la segunda transformación... Conclusiones sobre las transformaciones En resumen, las transformaciones logarítmica e inversa son las que mejor atenúan el sesgo y producen valores más bajos del coeficiente de Mardia. aunque los valores indican que persiste el apartamiento de la normalidad multivariante. Las transformaciones de Blom, cuadrática y raíz cuadrada corrigen la curtosis positiva y contribuyen a disminuir el coeficiente de Mardia. La transformación por escalamiento óptimo CatPCA estaría acrecentando los defectos de la distribución original. Con estos resultados no se puede concluir que alguna de las distribuciones transformadas se aproxime razonablemente a la normal multivariante. El procedimiento bietápico no arrojó ninguna mejora, por lo tanto se descarta su utilidad para estos datos. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 6

21 .6. Características de las distribuciones originales y transformadas finales Las características de las variables y distribuciones disponibles (originales y transformadas) se detallan en la Tabla. Las columnas y de dicha tabla representan el valor absoluto promedio de asimetría y curtosis univariadas (estandarizados) para las 6 variables, cuyas fórmulas son: B (/6) 6 B B asim y 6 (/6) B Tabla Características de distribuciones originales y transformadas Nº de Nº de Valor absoluto Valor absoluto Coeficiente variables variables Estudio Variables promedio de promedio de de Mardia con con asimetría curtosis - asim - curt Originales (,, 8,8 X ) ( 6 X ),8,6, Ln( 6 X ),8,8,7 7 /(7 X ),8,,7 X 6,87,,8 6 Blom 8,,, 7 CatPCA 7,77,, Por otra parte, las variables transformadas están correlacionadas fuerte y significativamente con las originales (Tabla ), por lo que no se presentan inconvenientes en cuanto a la interpretación de las variables transformadas. Tabla Rango de coeficientes de correlación (en valor absoluto) entre variables originales y transformadas Raíz Logaritmo Inversa Cuadrática Blom CatPCA rango,99-,99,976-,96,9-,96,98-,989,96-,997,99-,996 curt Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 7

22 6. ANÁLISIS FACTORIAL EXPLORATORIO 6.. Procedimiento Se realiza a continuación el análisis factorial exploratorio (AFE) para los 7 estudios definidos en la Tabla. Para ello se siguen las pautas generales de Fabrigar, MacCallum, Wegener y Strahan (999), que sugieren comparar resultados empleando distintos métodos de extracción y rotación de factores, así como diversos criterios de selección del número de factores a extraer (Ruiz y San Martín, 99; Fabrigar y otros, 999). Con respecto a la extracción de factores se emplean métodos: componentes principales (PCA), ejes principales (PAF), mínimos cuadrados generalizados (GLS) y máxima verosimilitud (ML). PCA es el método más comúnmente empleado, el cual analiza toda la varianza de los datos (común y específica) y obtiene una combinación lineal de variables que explica la mayor proporción de varianza posible. Diversos autores destacan la superioridad de otros procedimientos, como PAF o ML, sobre PCA debido a que este último tiende a sobreestimar las comunalidades finales (Ruiz y San Martín, 99; Fabrigar y otros, 999). PAF opera similarmente a PCA en cuanto a que también maximiza la varianza explicada, pero la diferencia es que analiza solamente la varianza común y no la total. ML y GLS tienen la ventaja de que ofrecen una prueba estadística para evaluar el ajuste del modelo a los datos. GLS minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre la matriz de correlaciones observada y la reproducida, en tanto que ML procura la mejor estimación de la matriz reproducida, con la condición de que los datos provengan de una distribución normal multivariante. Pese a ello ML se ha vuelto cada vez más popular pues justamente tiene fundamentos estadísticos formales que permiten realizar inferencias (Fabrigar y otros, 999). En el presente estudio interesa comparar los resultados de la utilización del método ML, en vista de que las 6 variables se alejan de la distribución normal multivariante. En cuanto a los criterios para seleccionar el número de factores a retener en la solución se utilizan la regla de Kaiser-Guttman (Guttman, 9; Kaiser, 96) de autovalores superiores a (K), el gráfico de sedimentación de Cattell, el método MAP (Minimum Average Partial) y el cociente entre chi-cuadrado y su número de grados de libertad cuando se emplea ML para la extracción. El método Ky el método de Cattell tienen tendencia a la sobreestimación del número de factores (Ruiz y San Martín, 99; Fabrigar y otros, 999), si bien sobre la regla K Ruiz y San Martín (99) concluyen que la estimación resulta sesgada cuando la proporción de sujetos por variable es baja (en este estudio dicha relación es,:). El método MAP presenta un mejor comportamiento y para implementarlo se utiliza el procedimiento MATRIX propuesto por Ruiz y San Martín (99). Para las soluciones de dos o más factores se realizan una rotación ortogonal (Rotación Varimax con normalización de Kaiser) y una rotación oblicua con delta igual a cero (Rotación Oblimin). La ventaja de la rotación oblicua es que permite que los factores correlacionen y la magnitud de dicha correlación puede ser útil para interpretar la estructura subyacente. Así, por ejemplo, correlaciones elevadas entre los factores de primer orden sugieren la existencia de factores de orden superior. Los métodos estadísticos son complementados además por criterios sustantivos, interpretando el significado de los factores hallados. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 8

23 Se emplea además la prueba de adecuación muestral de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) y la prueba de esfericidad de Bartlett de ajuste del modelo factorial a los datos. La prueba de KMO contrasta si las correlaciones parciales entre las variables son pequeñas mediante el estadístico: r i j i j KMO = r + a donde: r ij es el coeficiente de correlación simple entre las variables X i y X j ; a ij es el coeficiente de correlación parcial entre las variables X i y X j Si los valores de KMO son pequeños, el uso del modelo factorial es cuestionable. Según Kaiser (97), valores superiores a son buenos, entre, y,7 son medios e inferiores a, son valores inaceptables. La prueba de Bartlett contrasta la hipótesis nula de que la matriz de correlaciones entre las variables es igual a la matriz identidad, esto es, las variables no están correlacionadas. Si el estadístico de Bartlett es significativo el modelo factorial extraído presenta un ajuste adecuado. 6.. Resultados del AFE y discusión 6...Sobre la adecuación muestral En la Tabla se informan los resultados de la prueba de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO) y de la prueba de esfericidad de Bartlett para el estudio (variables originales) y los estudios a 6 (variables transformadas). ij ij i j Tabla ij Estudio Prueba de KMO y de esfericidad de Bartlett Estudio Estudio Estudio Estudio Estudio 6 Estudio 7 KMO,99,96,96,99,96,96,98 Bartlett χ ( gl) 8,9 69 7,98 8,7 6,6,96 87,9 Estos valores sugieren que los datos de la muestra son adecuados para un análisis factorial: todos los valores de KMO son elevados y el estadístico de Bartlett resulta significativo más allá del, en todos los casos. 6...Sobre el número de factores a extraer En la Tabla se muestran los autovalores de la matriz de correlaciones y en la Figura los gráficos de sedimentación, para los 7 estudios. Tabla Autovalores Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 9

24 Estudio Estudio Estudio Estudio Estudio Estudio 6 Estudio 7 8 8,8 8, 8,6 8,6 8,9 8,9,,7,99,,7,,7,7,7,7,7,78,76 6,687, ,68,99 6 9,66,9,,,6,69,6,7,8,96,8,,,,9,9,,69,97,,8,79,,,8,,6,6,6,,9,7,98,,8,7,9,,,7,9,8,,,9,,9,6,7,9,,99,,,8,9,,98,8,9,,,,98,9,,8,8,9,6,7,,,, 8,6,,, De acuerdo con la regla K habría que extraer dos factores en todos los casos pues hay dos autovalores superiores a la unidad. Figura Gráficos de Sedimentación Estudio Estudio Estudio Autovalor 6 Autovalor 6 Autovalor Número de factor Número de factor Número de factor Estudio Estudio Estudio Autovalor 6 Autovalor 6 Autovalor Número de factor Número de factor Número de factor Estudio 7 8 Autovalor Número de factor La prueba de sedimentación de Cattel designa el número de factores en el punto anterior a aquél en el que la pendiente se hace uniforme y se puede considerar residual. De acuerdo con la Figura el número de factores debería ser en todos los casos. El método MAP por otra parte recomienda un único factor en los 7 casos. En la Tabla 6 se muestran los valores de la Correlación Parcial Media de la Matriz de Correlaciones Muestral (CPM) y de la Función de Correlación Parcial Media (FC) para los siete estudios. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

25 Tabla 6 Resultados del procedimiento MAP CPM,6966,8,6967,976,98989,799,6776 FC,,, 87, 8, 8, 7,67,6 9, ,998,69 6, ,9,,969, 68, 779, 9, 66, 76,98 7,68,89,76896, ,69,,96,, 6, 77,, 677 7,787 8,98 6 9,8686,997 77,77 7, ,,,86, 99, 8, 6, 99, 66,7,866 69,679 66,77 7,9,9 66,67,,88, 6, 7, 66, 6, ,96,89,8, ,8, 6,6, El número de Factores Recomendado es,69, 9, 77, 67,, 786,9,98,77,87 7 9,9 9,6 99,,,,, 88, 67, 8, 89,698, ,686,68,86 9,98 867,79, El cociente entre χ y el número de grados de libertad para las extracciones realizadas con el método ML se muestra en la Tabla 7, para distinto número de factores extraídos. Tabla 7 (χ / gl) según el número de factores (extracción ML) Nº de factores Estudio Estudio Estudio Estudio Estudio Estudio 6 Estudio 7,88,,7,8,87,9,9,98.69,7,6,,,,,8,8,6,96,7,8,8,988 *,99,98,898,8 (a) Los valores en negrita corresponden a estadísticos de χ no significativos, para un nivel de confianza de, (b) No se pudieron extraer factores luego de iteraciones (a, b) En ningún caso las soluciones uni y bifactoriales resultan adecuadas, como lo muestran los elevados valores del cociente, así como la prueba de χ, que resulta significativa para un nivel de confianza de,. Para los estudios,,, y 6 el número adecuado de factores parecería ser, puesto que el estadístico de χ deja de ser significativo a partir de dicho número. En los estudios y 7 recién con factores dicha prueba no es significativa. Articulando todos estos resultados en principio se puede concluir que: Claramente existe una dimensión y puede que existan una segunda o una tercera Según la regla K el número de factores debería ser, según el procedimiento MAP debería ser, según el gráfico de Cattell podría variar entre y. Según la prueba de χ del método de extracción ML podría ser ó, dependiendo del estudio. No parece haber mayor diferencia entre los estudios en lo que al número de factores a extraer respecta. Las diferencias entre los números de factores surgen del criterio estadístico empleado para su selección y no de la distribución analizada (excepto cuando se aplica el criterio de χ del método de extracción ML). Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

26 Los estudios y 7, que son los que presentan mayor alejamiento de la normalidad multivariante (Tablas y ), requieren un factor más que el resto cuando se emplea el criterio de significación de χ con extracción ML (método que necesita asumir la normalidad). Estas conclusiones serán complementadas con la interpretación de las estructuras factoriales según el método de extracción y rotación, lo cual se discute a continuación. 6...Sobre las estructuras factoriales 6...Modelo de factor En la Tabla 8 se muestran las saturaciones de las variables en un factor único para los 7 estudios, según los métodos de extracción que se emplearon: Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

27 Tabla 8 Saturaciones unifactoriales para los estudios -7 según el método de extracción PCA B,,,8,7,,9,,7,,,,,,9 B,,,9,8,,,7,8,6,,,,,,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,6,6,6,6,6,6,6,,,,,,,6,8,8,8,8,8,8,8,8,77,8,8,8,8,8,8,8,8,8,86,8,8,8,8,8,8,69,69,69,69,69,69,69,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B,68,68 B,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B,77,76,77,76,7,7,76,77,77,68,68,68,68,8,8,8,8,8,8,77,8,6,9,8,6,9,8,8,8,77,8,8,8,8 PAF ML GLS B,,7,,,6,6,,9,6,,,6,, B,,8,6,,7,7,,,7,,,6,6,,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,7,7,6,6,6,6,8,6,6,6,6,6,,7,8,8,77,8,8,8,8,77,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,86,8,8,8,8,86,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B B,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B,77,76,7,7,76,77,77,77,76,7,7,76,77,77,8,77,8,8,77,8,6,6,9,6,6,6,6,9,6,6,76,8,8,8,8 Para los 7 estudios las saturaciones más elevadas se obtienen con el método de extracción PCA, lo cual es consistente con la literatura. Más allá de eso, no se advierten diferencias importantes ni entre los estudios ni entre los métodos de extracción. En general se distinguen tres clases de ítems: B y B, con saturaciones más bien bajas, comprendidas entre, y,7. El ítem, con saturaciones moderadas comprendidas entre, y,6. Resto de los ítems, con saturaciones más elevadas, entre,8 y,86. Esto sugiere que los ítems B y B y quizás el se agrupen en torno a otro factor. Para comparar las saturaciones factoriales se calcularon los índices de congruencia factorial (MacCallum, Widaman, Zhang y Hong, 999), según la ecuación: Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

28 V = Trace [( B B )' ( B B ) ] pr / donde: B B p r es la matriz factorial para una determinada condición es la matriz factorial promedio es el número de variables es el número de factores Se estimaron los índices de congruencia para cada condición, considerando el promedio de las saturaciones de las 8 condiciones: métodos de extracción y 7 distribuciones. Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

29 Los valores de los índices de congruencia factorial son todos inferiores a,. Esto implica que las saturaciones factoriales no se ven particularmente afectadas ni por el método de extracción de los factores ni por la distribución multivariante con la que se trabaje (variables originales y transformadas). Para cuantificar la incidencia del método y de la distribución en los índices de congruencia se realizó ANOVA de dos factores. Puesto que se dispone de un único valor del índice de congruencia factorial para cada condición distribución*método (en total 8 observaciones y 8 condiciones) solamente se pueden analizar los efectos principales, sin incluir términos de interacción. Si bien el número de casos es pequeño, los resultados de ANOVA constituyen una referencia. Los valores de F no fueron significativos para ningún factor:,9 con tres grados de libertad para método (p=,7) y,68 con seis grados de libertad para la distribución (p=,8), revelando que ni el método ni la distribución estarían afectando de manera significativa las saturaciones factoriales. En la Figura se muestran los gráficos de perfil. Figura Índices de congruencia factorial (modelos unifactoriales),6,6 Medias marginales estimadas,,,,, Método PCA ML PAF Medias marginales estimadas,,,,, Distribución 6, 6 7 GLS, PCA ML PAF GLS 7 Distribución Método Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay

30 6...Modelo de dos factores En todos los casos se observó con la rotación ortogonal un mayor número de ítems que saturan en ambos factores con cargas moderadas, en tanto que para las soluciones oblicuas la estructura obtenida cumple más satisfactoriamente la regla de estructura simple. Se muestran los resultados de las rotaciones oblicuas (matriz de configuración) para el factor en las Tablas 9 y y para el factor en la Tabla. Tabla 9 Modelo de factores Saturaciones en el Factor para los estudios -7 según el método de extracción PCA ML B -, -, -, -, -, -, -,,,,,,,, B -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -,6 -, -, -,,8,7,7,77,77,77,7,7,76,76,77,77,9,,7,8,,,8,,,8,9,6,,,8,8,77,8,8,8,76,7,9,9,89,88,9,9,9,9,9,9,89,9,9,9,68,69,69,68,68,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B,6,7,9,9,9,9,9,7 B,8,8,8,8,8,8,8 B,7,7,7,7,7,7,7,7,7,69,68,7,7,69,76,76,7,7,7,7,76,7,7,69,68,69,69,69,8,8,8,8,8,8,8,77,,6,8,9,7,8,,,,6,6,,,,9,89,86,8,88,88,9,9,88,8,8,87,88,9 PAF GLS B,,,,,,,,,,,,,, B -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -, -,,76,7,7,7,76,77,8,77,7,7,76,77,7,77,77,77,77,76,77,,,8,9,6,,,,6,8,8,6,6,,76,7,77,7,9,9,9,89,9,9,9,9,9,9,89,9,9,9,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 B,8,6,6,6,6,6,8,7,9,9,9,9,9,7 B,8 B,7,7,69,68,7,7,69,7,7,69,68,7,7,7,7,7,7,69,7,7,7,7,7,7,69,7,7,7,8,8,77,8,8,77,,,,6,,,,,,6,6,,,,9,88,8,8,87,88,9,9,88,8,8,87,88,9 En los 8 casos los ítems se dividen en tres grupos de manera consistente según sus saturaciones en el factor, como se muestra en la Tabla : Maria Noel Rodríguez Ayán mnrayan@hotmail.com Montevideo-Uruguay 6