Introducción a los fractales

Transcripción

1 Para entender lo que es un fractal. Introducción a los fractales 1. Empezamos con un triángulo equilátero (relleno). 2. Tomamos los puntos medios de sus lados, y trazamos el triángulo formado por ellos. Quitamos este triángulo de la figura original. 3. La figura está compuesta ahora por 3 triángulos más pequeños. Hacemos lo mismo en estos tres triángulos. 1

2 4. Ahora tenemos 9 triángulos, y podemos hacer lo mismo en cada uno de estos triángulos. 5. Si repetimos este proceso indefinidamente vamos a obtener lo que se conoce como el triángulo de Sierpinski. La figura es aproximadamente así: Esta figura que obtuvimos es un fractal. Si en la figura final consideramos un triángulo pequeño, este triángulo es exactamente igual al original, sólo que más pequeño, esta propiedad se define como Autosimilaridad. Una observación importante es que necesitamos repetir el proceso infinitas veces para obtener la autosimilaridad(auto semejanza). Por ejemplo en el paso 4, uno de los tres triángulo que se forman no es exactamente igual a la figura original porque habría que sacarle todavía unos triángulos para que sean iguales. Pregunta: Qué área tendrá la figura después de repetir el proceso infinitas veces? 2

3 Si en vez de tomar un triángulo equilátero tomamos otro triángulo, podemos hacer lo mismo, y va a seguir cumpliendo la propiedad de Autosimilaridad y se obtendría la siguiente figura: Para un cuadrado, hay varias posibilidades.. 1. Comenzamos con un cuadrado. 2. Si tomamos los puntos medios, y quitamos el cuadrado que forman, no sabemos como seguir, porque no obtenemos cuadrados más pequeños. 3. Una posibilidad es, entonces, dividir al cuadrado en nueve cuadrados pequeños y quitar el del centro. 4. Ahora hacemos lo mismo para cada uno de los 8 cuadrados pequeños. 5. Repitiendo este proceso infinitas veces, se obtiene la figura siguiente: 3

4 6. Si en la figura final, miramos alguno de los 8 cuadrados pequeños que se formaron en la primera etapa, éstos son exactamente iguales al original, sólo que más pequeños. Por lo tanto, esta figura también posee autosimilaridad. Algoritmo para obtener una figura similar al triángulo de Sierpinski, pero por un método totalmente distinto. 1. Tomamos tres vértices de un triángulo. 2. Marcamos un punto cualquiera en el interior del triángulo. 3. Elegimos un vértice del triángulo al azar, y marcamos el punto medio entre el vértice elegido y el punto marcado. 4. Elegimos otro vértice al azar (puede resultar de nuevo el mismo) y marcamos el punto medio entre el vértice marcado y el último punto marcado. 5. Repetimos el punto 4 indefinidamente. La siguiente figura se obtuvo con este algoritmo. 4

5 Introducción al Caos La ley de Malthus En el siglo XIX, Malthus propuso un modelo para el crecimiento de una población de una especie. Según este modelo, la población crece siguiendo la ley x k+1 = a x k donde x k es la cantidad de individuos en el instante k y a es la tasa de crecimiento. Consideremos una función que dada una población de x individuos, nos diga cuántos individuos habrá al año siguiente. La función queda definida como: f (x) = a x. Si comienzan x individuos, al año habrá f (x) individuos. A los dos años, habrá f (f (x)) individuos. A los tres años habrá f (f (f (x))) individuos. Si usamos f k (x) para indicar la aplicación de k veces la función f a x. Por ejemplo, f (f (x) ) = f 2 (x). Luego de k años, habrá entonces f k (x) individuos. Supongamos x 0 = 1, a = 2. En la siguiente tabla vemos f k (x 0 ) para algunos valores de k. k f k (x 0 ) (tomaremos por convención f 0 (x) = x) 5

6 Como vemos, según este modelo, la población crece muy rápidamente. Aplicar f varias veces es un proceso iterativo que juega un papel muy importante en toda la teoría del caos. Veamos otra forma de graficar este proceso iterativo. 1. Graficamos la recta f (x) = 2 x. Llamemos r a esta recta. 2. En el mismo grafico, graficamos la recta y=x. Llamemos s a esta recta. 3. Tomemos un punto cualquiera x 0, del eje X. Para obtener f (x 0 ) debemos movernos para arriba o abajo hasta la recta r. 4. Buscamos el punto f (x 0 ) en el eje X. Para hacer esto, nos movemos desde el punto obtenido en 3 en forma horizontal hasta la recta s. 5. Para obtener f (f (x 0 ) ), nuevamente nos movemos desde el punto en forma vertical hasta la recta r. 6. Repitiendo este proceso, obtendremos la siguiente "escalera al infinito". 6

7 7. Qué pasa si tomamos como x 0 un punto negativo? Obtenemos una "escalera a -infinito". Alejándonos de la ley de Mathus, podemos pensar qué pasaría si tomamos otra recta r. Veamos por ejemplo, la recta f (x) = 1/2 x. 7

8 Obtenemos una escalera hacia adentro! Y si tomamos la recta f (x) = - 3x/2+ 2. Ahora obtenemos un espiral! Como vemos, hay muchas posibilidades y cosas para ver. Por ejemplo, el punto de intersección de r y s parece jugar un papel importante en todos estos gráficos. 8

9 Vamos a ver ahora unos algoritmos un poco más avanzados, que nos van a permitir asomarnos a la teoría del caos. La ley de Malthus: x k+1 = a x k donde x k es la cantidad de individuos en el momento k y a es la tasa de crecimiento. Esta ley no es muy realista. La población no puede crecer tan rápido, debido a los problemas de superpoblación. Cuando hay muchos individuos la tasa de crecimiento decrece. En 1976, el biólogo Roberto May formuló una nueva ley para el crecimiento de una población. Roberto supuso que la cantidad de individuos no puede pasar de un techo fijo y que en vez de una tasa de crecimiento constante a, tenemos una tasa que depende de la cantidad de individuos. Llamemos p k a la cantidad de individuos en el período k debido al techo. Por ejemplo, si el techo es de individuos y en el período k hay individuos, tenemos pk = 0,2. Cuando pk = 1, la cantidad de individuos ha alcanzado el techo. Por lo tanto p k se mantiene entre 0 y 1. La ley es entonces: p k+1 = t(p k ). p k Para elegir la función t(x), supuso que la tasa de crecimiento decrece linealmente cuando la población aumenta. Por lo tanto, t(x) = m. (1 - x). Obteniendose: p k+1 = m. (1 - p k ) p k Observemos que para valores pequeños de p k (cercanos a cero) 1 - p k es cercano a 1 y la ecuación se parece a la ecuación original de Malthus. Nos preguntamos qué valores puede tomar m. Dijimos que p k está entre 0 y 1. Por lo tanto, también p k+1 está entre 0 y 1. Entonces m. (1 - p k ) p k debe estar entre 0 y 1 para cualquier valor de p k entre 0 y 1. Necesitamos entonces calcular el máximo de (1 - p k ) p k para p k entre 0 y 1. El máximo es 1/4. Por lo tanto m debe estar entre 0 y 4. Vamos a estudiar como se comporta el sistema para distintos valores de m, dibujando las "trayectorias". Para m = 1. Dibujamos la parábola y = (1 - x) x y la recta y = x. Tomamos un punto inicial (por ejemplo, x 0 = 0,7) y vamos dibujando la trayectoria. 9

10 La curva de color azul es la trayectoria. Como vemos, hemos obtenido una escalera. La trayectoria se acerca rápidamente al origen. Esto significa que la problación tiende a desaparecer. Esta propiedad del origen hace que lo llamemos "atractor". Si probamos con otra población inicial, la trayectoria también ira rápidamente al 0. Cambiemos la constante m por 2,8 y tomemos el punto x 0 = 0,1. Obtenemos el siguiente gráfico: 10

11 La trayectoria se acerca rápidamente a un valor, que corresponde a la intersección entre la recta y = x y la parábola. Pero en este caso, lo hace siguiendo una espiral Pregunta para el caso m=2,8: Cuáles son las coordenadas del punto de intersección? El punto de intersección también funciona como un atractor. Si cambiamos el valor de m por un valor más alto, la situación cambia. Ahora tomamos m = 3,5 y x 0 = 0,1. La trayectoria no se acerca al punto de intersección, sino que se aleja. Ese punto se llama entonces un "repulsor". 11

12 Para m mayor a 3,8 aparece un fenómeno realmente interesante. Tomemos m = 3,95 y x 0 = 0,2: Ahora la trayectoria no muestra ningún comportamiento particular. x cambia de valor en forma totalmente irregular, aunque la función f(x) = 3,95 x (1-x) parece una función muy simple. A esto lo llamamos caos matemático. 12

13 Árboles fractales Una de las observaciones de Mandelbrot (el padre de los fractales) es que la Naturaleza muchas veces tiene un comportamiento iterativo en sus formas, en escala cada vez menor. Es lo que podemos ver un tanto idealmente, en las ramificaciones de los árboles. Empezamos con un tronco. Del tronco salen dos ramas. De cada una de las ramas salen dos nuevas ramas, y así sucesivamente. Obtenemos un dibujo como este: Veamos cómo hacer el programa: Si miramos una de las dos ramas principales, vemos que es idéntica al árbol pero rotado. Entonces necesitamos saber rotar un segmento. Consideremos el segmento de longitud 1 y de vértices (0,0) y (x,y) con centro de rotación en el punto (0,0) ) 13

14 Necesitamos rotarlo alfa grados de donde se obtiene un vector (a,b) como en la siguiente figura: Usamos la fórmula de rotación: a cos( alfa) sen( alfa) x b sen( alfa) cos( alfa) y Para hacer el programa creamos una subrutina que dibuja una rama con las coordenadas dadas y se llama a si misma para dibujar las dos ramificaciones. Esto es un programa recursivo, cada vez se vuelve a llamar a si mismo y se van creando las ramificaciones. Después de una cantidad fija de ramificaciones el programa se detiene. Ejercicios: Reproducir los siguientes fractales: 14

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16 La figura anterior tiene 3 niveles de profundidad. Si le pedimos 5 niveles, obtenemos el siguiente gráfico: 16

17 Conjunto de Mandelbrot, Conjuntos de Julia El conjunto de Mandelbrot es uno de los fractales más populares en matemáticas, ya que proporciona una de las imágenes visuales más enigmáticas y bonitas que se encuentran en los misterios del plano complejo. Para definir el conjunto de Mandelbrot utilizamos la iteración en el plano complejo donde c=c 1 +ic 2 es una constante compleja y los sucesivos z n se obtienen al iterar la función f(z)=z 2 +c a partir de un z 0 inicial. Para un valor de c fijo, la sucesión de iterados z n puede que vaya hacia infinito, o por el contrario puede que formen una sucesión acotada. Esto depende del valor z=z 0 inicial del que se haya partido. Los llamados conjuntos de Julia se definen a partir de este concepto. El conjunto de Julia J c es el conjunto frontera de los valores z 0 del plano complejo que dan lugar a una sucesión no acotada. Los conjuntos de Julia J c resultan ser o bien conexos o totalmente disconexos. El conjunto de Mandelbrot M se define entonces como el conjunto de constantes c=c 1 +ic 2 del plano complejo que dan lugar a un Julia conexo, esto es, El conjunto de Mandelbrot es muy fácil de calcular con ordenador, sin embargo para su cálculo no se usa la definición que acabamos de dar, ya que esta resulta ser prácticamente inmanejable. Se utiliza una propiedad que caracteriza el conjunto de 17

18 Mandelbrot y que le da por tanto otra definición equivalente. Si empezamos a iterar la función: f(z)=z 2 +c para distintos valores de c, a partir siempre del valor inicial z 0 =0, esto es consideramos la familia de iterados de 0 entonces el conjunto de Mandelbrot M son justamente los valores de c=c 1 +ic 2 que hacen que esta sucesión sea acotada. Luego dado un valor c del plano complejo decidimos que está en el conjunto de Mandelbrot o no según que la iteración anterior esté acotada o no. Distintos conjuntos de Julia %mandel.m Mandelbrot set. h = waitbar(0,'computing...'); x = linspace(-2.1,0.6,101); y = linspace(-1.1,1.1,101); [X,Y] = meshgrid(x,y); C = X+i*Y; Z_max = 1e6; it_max = 50; Z = C; for k = 1:it_max Z = Z.^2 + C; waitbar(k/it_max) end close(h) contourf(x,y,abs(z)<z_max,1) title('mandelbrot Set','FontSize',16) 18

19 puntos=100; % Poner 300 si posible puntosx=linspace(-2, 2, puntos); puntosy=linspace(-1.5, 1.5, puntos); [X,Y]=meshgrid(puntosx,puntosy ); c=-1; %Probar con otros valores de c, por ej. %c= *i, c= *i, c= *i, etc. Z=X+Y*i; iteraciones=20; for k=1: iteraciones Z=Z.^2+c; W=exp(-abs(Z)); end colormap(summer) % por defecto es colormap(jet), probar con otros % autumn, bone, hot, colorcube, spring, summer, etc. pcolor(w); shading flat; El número pi aparece dentro del conjunto de Mandelbrot 19