(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES VECTORIALES

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1 (Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Conceptos fundamentales CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES VECTORIALES Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una regla que asocia a cada punto " r " de una cierta región F r y se denota como n S m un vector Al conjunto " " F: S n m S de valores que toma la variable independiente, se le denomina dominio y al conjunto de valores que toma F r se le llama imagen o recorrido. Las funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales y aquí se clasificarán en: - Campos vectoriales de variable escalar - Campos vectoriales de variable vectorial Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una función vectorial con dominio en los reales, es decir, cuando n = 1. En dos y tres dimensiones se acostumbra representar como: F: F t = x t i+ y t j () () () 3 F: F t = x t i+ y t j+ z t k () () () () Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar: 3 () = + i) F t ti t j

2 ii) F a sen i a 1 cos j ( θ ) = ( θ + θ) + ( θ) () = ( + ) + ( + ) + ( + ) iii) F t x at i y bt j z ct k iv) F v = acosv i+ bv j+ asenv k Sus gráficas son las siguientes: Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión mayor de uno, o sea, n > 1 se tiene el caso de funciones vectoriales de variable vectorial. Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial: = ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) i) F t, s x as a t i y bs b t j z cs c t k = + + ii) F u, v ucosv i usenv j u k

3 iii) F u, v = senucosv i+ senusenv j+ cosuk 3 Sus gráficas son las siguientes: Límites y continuidad de funciones vectoriales Definición. El límite de una función vectorial, cuando la variable n n r tiende al punto r 0, denotado como 0 lim F r r r = I existe sí y sólo si para ε > 0 y δ > 0 se cumple que:

4 F( r) I ε < siempre que 0 < r r0 < δ 4 Teorema. Sea : Entonces: n m F definida por F( r) = y,,, 1 r y r y r m 1 lim F r = lim y r,lim y r,,lim y m r r r0 r r0 r r0 r r0 Teorema. Propiedades. Sean F: n m y G: n m lim F r = A y limg r = B, entonces se tales que cumple que: i) r r r r 0 0 Si A existe, es único. ii) lim kf r + G r = ka + B ; k r r0 iii) lim F( r ) G( r ) = A B r r0 iv) Para m= 3 ; lim F r G r = A B r r0 0 v) lim F r = A r r Ejemplo. Calcular lim t 1 π sen t t i j+ e k 1 t 1 t 1 t 1

5 5 Ejemplo. Calcular lim F( r) 0 ( 1,1 ) r r 0 si x x xy+ y F( x, y) = xangtan( xy) i+ ln j k 3 y + xy y r =

6 6 Continuidad Definición. Sea F : F es continua en 0 n r sí y sólo si se cumple que m una función vectorial. Se dice que n lim F r r r Definición. Se dice que que Derivadas Definición. 0 0 F( r ) 0 = F( r ) 0 F r es continua en r r0 lim F r = 0 o bien r r i) Sea F : Δr 0 = si se cumple lim Δ F = 0 m una función vectorial de variable escalar " t ". Entonces se define a la derivada de F en t 0 como: df() t F( t0 +Δt) F( t0) = lim dt Δ t 0 Δt (siempre que el límite exista)

7 n m ii) Sea F : r x1, x,, xn vectorial una función vectorial de variable =, esto es, F r F( x x x ) =,,, n. 1 Entonces se define la derivada de F con respecto a 7 x i en ( 1,,, n ) F( x ) ( , x,, xi +Δxi,, xn F x1, x, xn) r0 x x x = como: F = x i lim Δx 0 i (siempre que el límite exista) Teorema. i) Δxi i = 1,,, n Sea F una función vectorial de variable escalar definida por Ft () f() t f() t f ( t) ii) = 1,,, m () df t dt. Entonces () () () f t, f t, fm t ' ' ' = 1 Sea F una función vectorial de variable vectorial definida por F r f1 r, f r,, f m r =. Entonces f f f F = 1 m,,, x i xi xi x i Ejemplo. Calcular la primera y la segunda derivadas de la función definida por Ft () = tsenti+ tlntj angcotk

8 8 Ejemplo. Calcular las derivadas parciales y la mixta para la función: xy F x, y = e i+ ylnx j+ cosxyk

9 Teorema. Sean F: n m y G: n m dos funciones vectoriales derivables con respecto a x 1, x,, xn Entonces: ) F G i kf+ G = k + ; k x x x i i i ) F G ii F G = G + F x x x i i i ) F G iii F G = G + F x x x para m 3 i i i 9. Diferenciales m Definición. Sea F : una función vectorial de variable vectorial continua en un entorno o vecindad del punto t = t0. Entonces la función Ft f( t) f( t) f ( t) =,,..., m es 1 diferenciable en t = t0 sí y sólo si su incremento puede escribirse como: ' ' ' Δ F = f1 t0 Δ t+ η1δt, f t0 Δ t+ ηδt,..., f m t0 Δ t+ η m Δt lo que equivale a (,,..., ) ( 0,0,...,0) η ηη 1 η m df Δ F = Δ t+ ηδ t donde dt t= t 0 = cuando Δt 0 ' ' ' A la expresión () df = f1 t, f t,..., f m t Δt se le denomina diferencial de la función vectorial F. Antes de ver la

10 10 diferencial de una función vectorial de variable vectorial, considérese el siguiente concepto: n m Definición. Sea F : una función vectorial de variable n vectorial continua en una región R. Se define a la derivada de F con respecto al vector r a: f1 f1 f1 x1 x x n f f f df = x1 x xn dr fm fm fm x1 x x n donde F = ( f, f,..., f ) y r = ( x, x,..., x ) 1 m 1 A esta derivada se le conoce como gradiente generalizado y se acostumbra representarlo con F. Otra n F o con grad forma de denominar a esta derivada es: matriz jacobiana de ff 1,,..., f m con respecto a 1 x, x,..., x n. Nótese como los renglones de la matriz son los gradientes de las componentes de F y a su vez, la columna i son las derivadas parciales de F con respecto a la variable x i.

11 Ejemplo. Obtener la matriz jacobiana de la siguiente función: (,, ) = xyz + ln + tan F x y z e i xy xyz j ang x y z k 11 Para el caso especial en que n= m, la matriz jacobiana es cuadrada y a su determinante se le llama jacobiano (matemático alemán Carl Jacobi ). Definición. Sea F : n m definida por F( r) = f,,..., 1 r f r f r n r x1, x,..., xn f f f x1 x x f f f ff 1,,..., f n J = x1 x x x 1, x,..., x n f f f x x x =. Entonces, al determinante donde n n n 1 n n n

12 se le denomina jacobiano de 1 x1, x,..., x n. Relación entre los jacobianos Teorema. Sea : donde V ( v v v ) ff,,... n n n U definida por UV = u,,..., 1 V u V u V n = 1,,...,. Entonces: n u1, u,..., u n v1, v,..., v n i) J J = 1 v1, v,..., vn u1, u,..., un f con respecto a ii) Si además v r = v ( x, x,..., x ) ; i = 1,,..., n i i 1 n u1, u,..., u n u1, u,..., u n v1, v,..., v n J = J J x, x,..., x v, v,..., v x, x,..., x 1 n 1 n 1 n siempre y cuando los jacobianos sean diferentes de cero. Ejemplo. Verificar que uv, 1 J xy, = xy, J uv, (, ) = (, ) + (, ) para: r u v x u v i y u v j = ucos vi+ usenv j 1

13 13 Definición. Sea F : n m una función vectorial de variable n R que contiene al punto vectorial continua en una región r0 = x x x. Se dice que es diferenciable en r 0 si su ( 1,,..., n ) incremento puede escribirse como: donde df Δ F = Δ r + η1δx1 ηδx ηnδx dr r= r 0 df es la matriz jacobiana de F valuada en r 0 y dr r= r0 η, η,..., η 0,0,...,0 cuando Δr 0 1 A la expresión n n T df df = dr = ( F) dr dr se le llama diferencial de la función vectorial F.

14 Derivada direccional 14 La derivada direccional de una función vectorial de variable dv ds vectorial se calcula a través de v e campo vectorial y e la dirección unitaria. Ejemplo. Dada la función vectorial u x y i x y j 6xy k = donde v es el = + + (x,y en metros), determinar de manera aproximada el incremento de la función en forma matricial, tomando como referencia el punto P 10,10 y un incremento de un milímetro. Ejemplo. El campo de velocidades de un fluido está dado por: m v = xyi+ yz j+ xzk ; v en ; x, y, z, enm s

15 Calcular la rapidez de crecimiento de la velocidad en el 4,, y en la dirección que forma un ángulo de punto con el eje " x " y de 0 45 con el eje " y " Curvas en 3 y sus ecuaciones vectoriales Sea Ft () una función vectorial de variable escalar " t ", dada por Ft f ti f t j f tk () = () + () + () 1 3 donde ff 1,, f 3 son funciones escalares de " " cada valor de " t " existe un vector de posición t. Entonces, para

16 r = xi+ y j+ zk que especifica un punto " P " del espacio. Cuando " " " P " se mueve en una trayectoria curva de tal forma que () ; ; x = f t y = f t z = f t t varía, A estas ecuaciones se les llama ecuaciones paramétricas de la 3 curva " C " en el espacio, y conforman una función Ft t, como se ve en la figura siguiente: con parámetro " " z C P Ft y Ejemplo. Trazar la curva representada por la función vectorial: en el espacio x Ft () = acos ti+ bsentj ; 0 t π 3 y obtener su ecuación cartesiana.

17 17 Ejemplo (Tarea). Trazar la curva representada por la función: en el espacio 1 Ft () = costi+ 3 sentj+ tk ; 0 t 4π 3. Unas ecuaciones paramétricas de la curva son: 1 x = cos t ; y = 3 sent ; z = t Se propone la siguiente tabla para graficar esta curva: t t x y z Z π π π - 0 π π 3π

18 6.8 π 0 π π 5π π 9.4 3π π 7π π 0 π Ejemplo (Tarea). Trazar la curva representada por la función: en el espacio Ft () = 3senui+ 3cos uj+ uk ; 0 t 4π 3. Unas ecuaciones paramétricas de la curva son: x = 3 senu ; y = 3cos u ; z = u Se propone la siguiente tabla para graficar esta curva: u u x y z Z π π π 0-3 π π 3π π 0 3 π π 5π π 0-3 3π π 7π π 0 3 4π 1.6

19 19 Interpretación geométrica de la derivada z F( t ) P F'( t ) Q Q 1 C ( + Δ t) F t y x Sea el punto " P " para el cual F F( t) " " Ft corresponde a Ft ( +Δ t) ( +Δt ) Ft (). Entonces vector secante a la curva " C " y por lo tanto () F' t = = y Q 1 el punto que ( +Δ ) () Ft t Ft lim Δ t 0 Δt Δt es un vector tangente a la curva " C " en el punto " P ". es un Curvas y puntos

20 0 z F a z z = F( b) F a P = F( b) F a P y y y F( b ) C x C x x C Cuando una curva no se intersecta consigo misma, excepto en los extremos del intervalo ab,, se denomina curva simple. Si F( a) F( b) = para a b como en las segunda y tercera figuras. Si F( a) F( b) = y la curva " ", se dice que la curva es cerrada, C no se interfecta a sí misma en ningún otro punto, como en la tercera figura, se le conoce como curva simple cerrada. Un punto Ft, 1, i f ti f ti f3( ti) se llama punto singular de " C " si = en una curva " " otro modo se denomina punto no singular. C en 3 F' t = 0 o no existe; de 3 La dirección de la curva " C " en el espacio singular " P " se tomará como la del vector tangente a " " " P ". i en un punto no C en

21 Sea t i el valor del parámetro correspondiente a un punto " " Se dice que " P " es un punto ordinario de la curva " " " " ', ', ' 1 P. C cuando f t f t f t P es no singular y además las tres derivadas existen y son continuas en t i. 1 i i 3 i Una curva constituida únicamente por puntos ordinarios se conoce como curva suave o lisa. Y si la curva está formada por arcos suaves se denomina curva seccionalmente suave o suave en pedazos. Parametrización Las ecuaciones paramétricas de una curva no son únicas. Ejemplo. Obtener dos representaciones paramétricas de la parábola i) x = t y = 1 x, utilizando los siguientes parámetros: dy ii) la pendiente m = en el punto x, y dx

22 Ejemplo. Trazar la gráfica de la intersección del semielipsoide de ecuación x y z + + = 1 ; z 0 y el cilindro y = x. Dar una representación parabólico de ecuación paramétrica de la curva intersección y encontrar la correspondiente función vectorial para representar esta curva. Longitud de arco como parámetro de una curva

23 3 En el cálculo con una variable independiente se dedujo una expresión para calcular la longitud de arco de una curva plana, la cual, situada en el plano " XY " está dada por: b a 1 ' S = + f x dx para una curva lisa dada por la gráfica de la ecuación y = f x en el intervalo ab,. Considérese una curva suave " " definida en el intervalo ab, z C, sin intersecciones y, como se muestra en la figura: P 0 P 1 P Pi 1 r ( t i 1) r ( t ) i Δ S i P i r( b ) Δ r i P n r t x t i y t j z t k () = () + () + () r( a ) y x = + + r t x t i y t j z t k i i i i = + + r t x t i y t j z t k i 1 i 1 i 1 i 1 Se tiene una partición " P " de ab, a= t0 < t1< t < < tn = b distancia entre sus puntos extremos " " dada por. Para el subintervalo i-esimo la Δ está dada por el S i

24 4 módulo de la diferencia de los vectores de posición de dichos puntos; esto es, Δ r i = r t r t = x t x t, y t y t, z t z t por lo que i i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i i i 1 i i 1 i i 1 ΔS Δ r = xt xt + yt yt + zt zt Como " " xt yt zt son C es una curva suave, entonces,, derivables y por lo tanto, para cada una de ellas se cumple el teorema del valor medio del cálculo diferencial, es decir, que existen números,, i i i que: ξ ρ η en el intervalo abierto t, i 1 ti ( 1) '( ξ ) ( 1) '( ρ ) '( η ) xt xt = x Δt i i i i y t y t = y Δt i i i i xt zt = z Δt i i 1 i i Si se sustituyen estas expresiones en " Δ S i " se tiene que: Luego ( ξ ) ( ρ ) ( η ) Δ S = x' + y' + z' Δt i i i i i n i= 1 ( ξ ) ( ρ ) ( η ) i i i i S x' + y' + z' Δt tales y en el límite, cuando la norma de la partición tiende a cero, se llega a la longitud de arco, la cual es una integral definida. Así Δ 0 n i= 1 ( ξ ) ( ρ ) ( η ) i i i i S = lim x' + y' + z' Δt

25 b b () () () () S = x ' t + y ' t + z ' t dt = r ' t dt a a 5 Ejemplo. Calcular la longitud de arco de la curva representada por la función vectorial en el intervalo 0,π r() t = a( θ + senθ) i+ a( 1 cosθ) j

26 Ejemplo. Calcular la longitud de arco de la curva representada por la función vectorial cos r θ = θ i+ senθ j+ θ k en el intervalo 0,5π 6 La longitud de arco también puede ser escrita como b ' S = r t dt a Si el extremo final de la curva se deja variable, entonces el límite superior de la integral depende del parámetro " t " y se tiene que la longitud de arco de una curva es una función de la variable escalar " t ", esto es: t () '() St = r t dt a

27 St define un nuevo parámetro para la curva " C " Entonces () al que se denomina parámetro de longitud de arco y, de acuerdo con el teorema fundamental del cálculo, 7 ds dt = dr dt Ejemplo. Parametrizar, en función del parámetro longitud de arco, las curvas definidas por: () i) r t = acosti+ asent j () ii) r t = acost i + bt j+ asent k Solución. Por las ecuaciones paramétricas que son: i) x = a t y = asent t+ sen t = cos ; cos 1 x y + = 1 x + y = a a a se observa que se trata de una circunferencia situada en el plano " XY " con centro en el origen y radio igual a " a ". Se St y se obtiene: calcula t () τ cos τ τ; () luego, st = asen + a d st = at 0 s t = a

28 cos s = + s r s a i asen j a a ii) se abre en dirección del eje " " Se trata de una curva conocida como hélice circular que y. Se calcula st () y se tiene que: () t st = asen + b + acos d 0 () = + t = st a b t a s + b τ τ τ Por lo que, la ecuación de esta hélice, en términos del parámetro longitud de arco, es: s s s r( s) = acos i+ b j+ asen k a + b a + b a + b Vector tangente unitario Si " " C es una curva representada por la ecuación vectorial entonces la expresión () = () + () + () r t x t i y t j z t k () dr t = x' () t i+ y' () t j+ z' () t k dt representa un vector tangente a la curva " " puntos ordinarios y apunta en la dirección en que crece " " 8 C en todos los t.

29 El vector dr dr dt x' () t i+ y' () t j+ z' () t k dr T = = = dt = dr ds ds x' () t + y' () t + z' () t dt dt esto es, dr dr ds dr T = dt ; = ; T = dr dt dt ds dt que representa un vector tangente unitario a la curva " C " en todos los puntos ordinarios y apunta en la dirección en la que crece " t ". Ejemplo. Obtener el vector tangente unitario, así como las ecuaciones de la recta tangente a la curva " C " definida por: r() t = ti+ sent j+ cos tk ; 0 t π π t = 4 en el punto donde 9

30 30 Teorema. Una condición necesaria y suficiente para que un vector i) ut () sea de magnitud constante es que: es decir, que ii) ut () y du() t ut () = 0 dt du() t dt son ortogonales. Una condición necesaria y suficiente para que un vector ut () permanezca siempre paralelo a una recta dada es que: es decir, que Prueba de () i. ut () y du() t ut () = 0 dt du() t dt son paralelos. Sea ut () de magnitud constante " k ", luego,

31 ut () = k ut () ut () = k Si se deriva el producto escalar se tiene: 31 du () t u () t () () = ut () du t + du t ut () = dk dt dt dt dt du() t du() t () ut 0 ut () 0 dt = dt = Por otro lado, si ut no fuera constante, entonces du() t ut () 0, lo que comprueba que la condición es dt necesaria y suficiente. Plano Normal Sea una curva dada por sus ecuaciones paramétricas: () ; ; x = x t y = y t z = z t Se desea obtener la ecuación del plano normal a la curva en el punto " P ", es decir, el plano perpendicular al vector tangente unitario " T ". Considérese la siguiente figura:

32 3 C z π C es: La ecuación del plano normal a la curva " " r r0 T = 0 donde Luego 0 ( 0, 0, 0) x' ( t ), y' ( t ), z' ( t ) r r0 = x x y y z z y r r T = x T = ( ) x' t y' t z' t ( 0)( 0) + ( 0)( 0) + ( 0)( 0) x' ( t ) + y' ( t ) + z' ( t ) x' t x x y' t y y z' t z z Por lo que la ecuación del plano normal es: r 0 r P π : x' t x x + y' t y y + z' t z z = 0 Q P( x0, y0, z 0) Q( x, y, z ) T y

33 33 Ejemplo. Obtener la ecuación del plano normal a la curva de ecuaciones paramétricas: x = t cost π y = 3 + sent en el punto en que t = z = 1+ cos3t Fórmulas de Frenet-Serret s el C se asocian dos vectores unitarios muy importantes: el vector C una curva parametrizada por Sea " " r t y sea " " parámetro de longitud de arco. A cada punto de " " tangente unitario T, que equivale a:

34 34 T dr = dt dr dr = ds ya que dt ds dr = dt dt y el vector normal unitario N, que se deducirá a continuación: Como T es unitario, su magnitud es constante; luego, dt T = 0. Esto implica que existe un vector unitario ds perpendicular a T y por lo tanto, a la curva " C ". A este vector se le denomina vector normal unitario y se define por: dt kn ds = dt donde k ds y = (curvatura) ρ = 1 1 k = dt (radio de curvatura) ds Ejemplo. Verificar que el radio de curvatura, para la siguiente circunferencia, es " a ". Resolución. cos s = + s r s a i asen j a a dr s s T = = sen i+ cos j ds a a

35 dt 1 s 1 s = cos i sen j ds a a a a dt 1 1 k = = ρ = ρ = ds a k a 35 Al vector unitario B = T N se le llama vector binormal unitario. Los vectores unitarios T, Ny B constituyen un sistema coordenado ortogonal local en cada punto de la curva " C ". N T z C T B y B N x T y N forman el plano osculador T y B forman el plano rectificador N y B forman el plano normal db Como B es unitario, ds perpendicular al vector B. Si se deriva B = T N se tiene que:, si es diferente de cero, es

36 db dt dn = N+ T ds ds ds db dn = kn se llega a = kn N + T ds ds ds db dn N N= ; luego = T ds ds Como dt Pero 0 36 Como se observa, db ds T y también a B. Por lo tanto, debe ser paralelo a N. Luego, se puede escribir que db ds = donde τ N τ = db ds " τ " recibe el nombre de coeficiente de torsión y conoce como radio de torsión. σ 1 τ = se Ahora, si se deriva N= B T, se obtiene dn db dt = T + B ds ds ds db dt Como = τ N y = kn, entonces ds ds dn dn = τn T + B kn = τb kt ds ds

37 Al conjunto de ecuaciones: dt kn ds = dn = kt + τ B ds db = τ N ds 37 se les conoce como Fórmulas de Frenet Serret Línea recta y curvatura Como k dt ds =, entonces esta curvatura nunca es negativa. dt Si k = 0 = 0 y por lo tanto T es un vector unitario ds con dirección constante y la curva es una línea recta. dt Inversamente, para una línea recta, T es constante y 0 ds =. Luego k = 0. Las únicas curvas con curvatura cero son las líneas rectas. Curva plana y torsión La torsión τ puede ser positiva o negativa y dependiendo de este signo, conforme la partícula recorre la curva en una dirección positiva, el sistema TNB gira alrededor de T en la τ > 0 o de misma forma que un tornillo de rosca derecha

38 rosca izquierda ( τ < 0). El signo de τ es independiente de la elección de la dirección positiva en la curva. db τ =, entonces = 0 y B es un vector constante, lo que ds si 0 implica que la curva está contenida en un solo plano cuya normal es el vector constante B. Inversamente, para una curva plana, T y N siempre están en un plano fijo, mientras que B es un vector normal unitario a db ds k 0 y τ = 0. ese plano. por lo tanto, = 0 en todos los puntos para los cuales N está definido Esto implica que las únicas curvas que tienen torsión nula son curvas planas. Ejemplo. Calcular TNBkρ,,,,, τσ, para la curva definida por la ecuación vectorial r() t = acosti+ bt j+ asentk 38

39 39

40 40 Deducción a partir de un parámetro " t " arbitrario r t = x t i+ y t j+ z t k. Si se deriva, se llega a: dr dr ds = dt ds dt Sea () () () () Pero dr T = ; luego r' = s' T ds Si se deriva otra vez se tiene que: Pero dt dt dt ds r'' = s'' T + s' r'' = s'' T + s' dt ds dt kn ds = ; luego r'' = s'' T + s' kn Y la tercera derivada será: dt d dn r''' = s''' T + s'' + s' k N+ s' k dt dt dt

41 41 dt ds dn ds r''' = s''' T + s'' + s' s'' kn+ ( s' ) k' N+ ( s' ) k ds dt ds dt dt dn Y, como = kn y = kt + τ B, entonces ds ds 3 3 r''' = s''' T + ks'' s' N+ ks'' s' N+ s' k' N s' k T + s' kτ B Si se agrupan los términos con respecto a TNB,, se tiene que: 3 3 r''' = s''' k s' T + 3 ks'' s' + k' s' N+ s' kτ B Si se efectúa el producto r' r'' se llega a: T N B 3 r' r'' = s' 0 0 = s' kb s'' s' k 0 Si se toma el valor absoluto, esto es, la magnitud, se obtiene: de donde: 3 r' r'' = s' k r' r'' r' r'' 1 k = k = y ρ = k ( s' ) 3 r ' 3 Si ahora se efectúa el producto r' r'' r''' se obtiene el siguiente resultado:

42 τ 6 6 r' r'' r''' = s' k r' r'' r''' = s' r' r'' ( s' ) 6 τ 4 r' r'' r''' 1 τ = y σ = r' r'' τ Y si se efectúa el producto r' r'' r' se tiene que: T N B ( ' '') ' = 0 0 ( ') = ( ') s' r r r s k s kn Si la dirección positiva de la curva es en el sentido en que ds crece " t ", s' = > 0 y las ecuaciones precedentes muestran dt que TNB,, tienen las direcciones de r', r' r'', r' r'' r', respectivamente. Así se llega a las expresiones T r ' = ; r ' B = r' r'' r' r'' ; N = r' r'' r' r' r'' r'

43 Ejemplo. Obtener TNBkρ,,,,, τσ, para la curva cuya ecuación vectorial es: r() t = costi+ sent j+ sentk 43

44 44 Ejemplo. Verificar que la curva, cuya ecuación vectorial es la siguiente, es una curva plana: r() t = 6senti+ 4sent j+ costk Solución. Se obtienen las dos primeras derivadas: () r' t = 6costi+ 4cost j sentk () r'' t = 6senti 4sent j costk Se efectúa el producto cruz de estos vectores y se llega a: () () i j k r' t r'' t = 6cost 4cost sent 6sent 4sent cost

45 ( 8cos 8 ) ( 1cos 1 ) = t sen t i t sen t j ( 4sentcost 4sentcost) k () () () () + + r' t r'' t = 8i+ 1 j r' t r'' t = 4 13 El vector binormal B está dado por: r' r'' 3 B = B = i+ j r' r'' que, como se observa, es un vector de magnitud constante, por lo que a curva está contenida en un plano cuyo vector normal es B. Para representarla gráficamente, se sugiere la siguiente tabulación: x = 6 sent ; y = 4 sent ; z = cost T x y Z π 4 π 3π π 0 0-5π 4 3π 7π π

46 Cinemática de una partícula 46 r t = x t i+ y t j+ z t k el vector de Definición. Sea () () () () posición de una partícula en movimiento con respecto a algún sistema de referencia, con el tiempo " t " como parámetro. Entonces la velocidad y la aceleración de la partícula con respecto a dicho sistema se definen como las derivadas de () r t con respecto al tiempo. De esta forma se puede escribir que: dr v = = x' () t i+ y' () t j+ z' () t k dt dv d r a= = = x'' () t i+ y'' () t j+ z'' () t k dt dt Al módulo de la velocidad de le llama rapidez y se denota como v = v Por otra parte, se puede escribir que: dr dr ds dr dr v = ; v = ; v = dt ds dt ds dt v = lo que implica que el vector velocidad de la partícula siempre es tangente a la curva y tiene la dirección del movimiento. Si se deriva la expresión anterior v vt = vt se obtiene:

47 y como dt dv dv dt dv dt ds a= = T + v ; a= T + v dt dt dt dt ds dt = kn = N se tiene que: ds ρ dv v a= T + N dt ρ Esto implica que la aceleración de la partícula es un vector situado en el plano de la tangente y la normal a la curva (plano osculador), con componentes tangencial y normal dadas respectivamente por: dv dt y v ρ 47 La aceleración será únicamente tangencial cuando el movimiento sea rectilíneo ( ρ ) y será únicamente normal dv = dt. cuando la rapidez sea constante 0 Ejemplo. Obtener la velocidad, la aceleración y la rapidez de una partícula que se mueve sobre la curva de ecuación 3 () ( 1) (, 1,4 ) r t = t i t j+ t+ k cuando pasa por el punto. También calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración, expresarlas en términos de los i j k vectores,, y realizar las comprobaciones correspondientes.

48 48

49 49 La curvatura y la torsión, en términos de la velocidad y la aceleración, se expresan como: i k = ; τ = donde a= 3 dt v a v a a da v v a i

50 Movimiento circular 50 Considérese la siguiente figura: y R θ C x La rapidez angular ω y el módulo de la aceleración angular α de una partícula en movimiento circular se definen como las siguientes derivadas con respecto al tiempo: d d d ω = θ y α = ω = θ dt dt dt Por otra parte, se sabe que la relación entre el ángulo θ y el parámetro longitud de arco está dada por: Si se deriva esta expresión se tiene que: ds Pero por lo que s= Rθ R d θ = dt dt ds dθ = rapidez = v y = ω dt dt v = Rω Y si se deriva esta ecuación se llega a:

51 dv dω = R dt dt dv Aquí se observa que es la magnitud de la componente dt d ω tangencial de la aceleración y es la magnitud α de la dt aceleración angular. Por lo tanto = Rα. Como se sabe, la componente normal de la aceleración está dada por at 51 v R. Esto puede ser expresado en términos de la velocidad angular como: R ω an = an = Rω R luego, la aceleración en el movimiento circular se expresa como: ( α) ( ω ) a= R T + R N donde R es el radio de la circunferencia, que es la trayectoria del movimiento circular. Ejemplo. Un niño juega con una pelota que está unida a un hilo. El niño la hace girar con una velocidad constante (velocidad angular) de 3 revoluciones por segundo y el hilo tiene una longitud de 0.5 m. Si se considera que la pelota tiene una masa de 0.3 Kg y que el peso del hilo es despreciable, calcular la fuerza ejercida por la pelota sobre el cable. Solución. De la tercera ley de Newton, a toda acción corresponde una fuerza de reacción igual en magnitud y de

52 5 sentido contrario. Asimismo, la fuerza con la que se mueve la pelota está dada por la segunda ley de Newton: F = ma. Por la expresión obtenida anteriormente, la aceleración de la pelota en movimiento circular está dada por: donde ( α) ( ω ) a= R T + R N 3 rev rad ; 0.5 ; d ω ω = = R= m α = = 0 s s dt luego a= N a= N por lo que la fuerza que ejerce el hilo sobre la pelota es F = ma F = N F = 53.3 N Esto es, que el hilo tira de la pelota con una fuerza de 53.3 m kg s del círculo. en dirección de la normal, o sea, hacia el centro Ejemplos diversos de cinemática Ejemplo. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración de una partícula que se mueve en la hélice de ecuación: Solución. () ( cos ) r t = t i+ sent j+ tk () '() ( cos ) vt = r t = senti+ t j+ k () v = v t = sen t+ cos t+ 1 v =

53 dv at = = dt () = ''() = ( cos ) at r t t i sent j 0 () a= a t = cos t+ sen t a= 1 53 por lo que a = a a a = 1 N T N Ejemplo. Calcular la fuerza que actúa sobre un objeto de masa " m " que se mueve en la trayectoria elíptica: Solución. de donde () r t = α cos ωt i+ βsenωt j ; 0 t π F = ma () = ( αω ω ) + ( βω cosω ) vt senti t j () ( = αω cosω ) ( βω ω ) at t i sent j () = ( αω cosω ) ( βω ω ) Ft m ti m sent j () ω () Ft = m rt Ejercicio de tarea. Una partícula se mueve a lo largo de la 3 3 curva () ( 4 ) ( 4 ) ( 8 3 ) r t = t t i+ t + t j+ t t k. En el punto donde t =, calcular la velocidad, la rapidez, la aceleración, las componentes tangencial y normal de la aceleración, estas componentes en términos de i,, j k y determinar el módulo de la aceleración. Realizar las comprobaciones correspondientes.

54 Soluciones: v = 8i+ 8 j 4 k ; v = 1 a= 1 i+ j 0 k ; a= 16 T N a = 16 ; at = i j 5.33 k T a = 17.1 ; an = 1.33 i 8.67 j k ; a= 3.41 N Ecuación vectorial de una superficie Sea Fuv (, ) una función vectorial de variable vectorial dada por: (, ) = (, ) + (, ) + (, ) F uv f uv i f uv j f uv k 1 3 donde f1, f, f 3 son funciones escalares de las variables u y v. Entonces, para cada valor de u y de v existe un vector de posición r = xi+ y j+ zk que especifica un punto " " u y v varían, el punto " " superficie " " 3 P del espacio. Cuando P se mueve y forma una S, de tal forma que: (, ) ; (, ) ; (, ) x= f uv y= f uv z= f uv 1 3 Estas ecuaciones se denominan ecuaciones paramétricas de 3 la superficie " S " en Fuv, con parámetros u y v. y constituyen la función 54

55 = (constante), entonces las expresiones anteriores tendrán un solo parámetro y describirán una curva en el espacio a lo largo de la cual varía " u ". A esta curva se le designa con v = c. Así, para cada valor de " v ", existe una curva en el espacio. Si se fija v c De modo similar, " v " varía a lo largo de la curva u = k. El lugar geométrico de todas las curvas v = c y u= k constituye una superficie, como se observa en la siguiente gráfica siguiente donde se señalan también, para un punto determinado de la superficie, los vectores: r r y u v z r v u= cte 55 r u v = cte y x

56 56 Los parámetros u y v se conocen como coordenadas curvilíneas del punto " P " sobre la superficie y las curvas v = c y u= k se denominan curvas paramétricas. Si el punto terminal del vector de posición r genera la superficie " S ", entonces su ecuación vectorial se puede escribir como: (, ) = (, ) + (, ) + (, ) r uv x uv i y uv j x uv k Ejemplo. Trazar la gráfica de la superficie de ecuación r u, v = ui+ v j+ u + v k ; u ; v e identificarla. Determinar su ecuación cartesiana. Solución.

57 57 Ejemplo. Trazar la gráfica de la superficie definida por la ecuación siguiente e identificarla: r u, v = acosusenv i+ asenusenv j+ acosv k 0 u π ; 0 v π Obtener su ecuación cartesiana. Solución. Si se fija v como constante, esto es, v = v0, entonces y r representa a la curva: senv = c ; cosv = c 1 r u, v = ac cosui+ acsenuj+ ac k que es una circunferencia horizontal situada en el plano z = ac con radio a r = ac1 y con centro sobre el eje " z ". Además, como se cumple que z + r = a, es decir, que ac + ac1 = a, el radio de estas circunferencias horizontales varía al variar la " z " de acuerdo con la ecuación de una circunferencia vertical de radio " a " con centro en z = 0. Por lo que la superficie que se genera es una esfera v = v son los círculos centrada en el origen y las curvas 0 llamados paralelos.

58 u como constante, esto es, Del mismo modo, si se fija " " u= u 0, entonces cos u= k ; senu= k por lo que r representa a la curva r u, v = aksenvi+ ak senv j+ acosvk que también se puede escribir como r( u0, v) = a k1i+ k j senv+ acosvk r u, v = asenve+ acosvk 0 58 e= k i+ k j es un vector En esta expresión se observa que 1 unitario horizontal. De esta forma expresada r ( u, 0 v ), se trata de una circunferencia de radio " a " situada en el plano vertical definido por e y k varía, el vector e, y con centro en el origen. Cuando u 0 gira horizontalmente pero la curva generada a. De esta forma se a con centro en el sigue siendo una circunferencia de radio " " genera nuevamente la esfera de radio " " origen. Como 0 u π y 0 v π la superficie es la mitad de una esfera, como se observa en la figura:

59 z 59 y Para obtener la ecuación cartesiana de la esfera, se elevan al xyz y se suman, con lo que se llega a: cuadrado,, + + = ; 0 x y z a z Problema. Calcular el ángulo de intersección entre la superficie S y la curva C, cuyas ecuaciones vectoriales son: 1 = ( + ) + + ( ) S: r u, v u v i 5uv j v u k x () = ( ) + ( ) + ( ) C: r t 3 3t i 5 5t 10t j 4t 1 k v =. en el punto donde 1 Puntos ordinarios y puntos singulares. Superficies suaves Definición. El vector r u r v es perpendicular al plano formado por estos vectores; y el hecho de que este producto

60 r r u v vectorial sea diferente de cero, es decir, 0 en un punto determinado, asegura la existencia de un plano tangente en dicho punto. Definición. A los puntos en donde existe plano tangente, esto r u es, donde se cumple la condición 0, se les conoce como puntos ordinarios. Definición. A la superficie formada únicamente por puntos ordinarios, se le conoce como superficie suave. r v 60 r r Definición. A los puntos donde se cumple que = 0 u v les conoce como puntos singulares. se Ejemplo. Obtener una ecuación para el plano tangente a la superficie dada en el punto especificado y determinar si se trata de una superficie suave (, ) ( cos ) cos ( cos ) r u v = v ui+ v senuj+ senvk π u π π v π en el punto donde π u= y v = 0 Para ; Solución. Como se sabe, r u y r v son vectores tangentes a la superficie dada, por lo que un vector normal a la superficie se obtiene al efectuar el producto vectorial de dichos vectores. así,

61 r = ( cosv) senui + ( cosv) cosuj u r = senvcosu i + senvsenu j + cos v k v i j k r r = ( cosv) senu ( cosv) cosu 0 u v senvcosu senvsenu cos v 61 r r = ( cosv) cosucosvi+ senucosv j senvk u v Como se observa, para ningún valor de u y v el producto vectorial anterior se cancela, lo que demuestra que la superficie es suave. π u = r r = u v v = 0 y el punto donde el anterior vector es normal es: π r,0 = 0,1,0 Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la superficie dada, en el punto ( 0,1, 0 ) está dada por 0 x y z 0 = 0 y = 1 j

62 Ejemplo. Considérese la ecuación vectorial del cono r u, v = ucos vi+ usenv j+ uk ; u 0 Verificar que el origen de coordenadas es un punto singular de la superficie. 6 Divergencia, rotacional y laplaciano Gran parte de la ecuaciones diferenciales que aparecen en la física matemática surgen como modelos matemáticos de fenómenos físicos en donde intervienen los operadores que aquí se estudiarán. Considérese el campo vectorial (,, ) (,, ) (,, ) F= f xyz i+ f xyz j+ f xyz k Su matriz jacobiana es: 1 3 f1 f1 f1 x y z f f f x y z f3 f3 f3 x y z

63 63 Con sus elementos se forman dos importantes combinaciones matemáticas que son las siguientes: Definición. La divergencia del campo vectorial F, que es un campo escalar, se define y denota como: div F 1 f3 f f = + + x y z Se puede ver que se trata de la traza de la matriz jacobiana. Para denotarla se escrbe como: 1 f3 f f = F = + + div F x y z F = i+ j+ k f1i+ f j+ f3k x y z (en sentido estricto, no es un producto punto) Definición. El rotacional del campo vectorial F, que es un campo vectorial, se define y denota como: f3 f3 f f f f = = + y z x z x y 1 1 rot F F i j k i j k F = x y z f f f 1 3 (en sentido estricto, no es un producto vectorial)

64 64 Ejemplo. Obtener la divergencia y el rotacional del campo vectorial: F = x y i xy j+ x y k 5 4 Divergencia. Propiedades y algunas aplicaciones v x y z como el campo de velocidades de un fluido en movimiento en un punto cualquiera " P ". Entonces, la divergencia de v, denotada por v se interpreta como el Considérese a (,, ) incremento total de volumen por unidad de volumen y de tiempo, es decir, que la divergencia representa la razón de expansión del fluido por unidad de volumen. Se puede decir que el nombre de divergencia viene de diferencia en el volumen.

65 Propiedades. Sean F y G funciones vectoriales y φ una función escalar, las tres diferenciables en cualquier punto ( xyz,, ) que pertenece a una región " R " del espacio. Entonces se cumple que: ( φ ) φ φ i) F+ G = F+ G ii) F = F + F iii) F G = G F F G La divergencia es útil en problemas de mecánica, en el flujo de fluidos y en electromagnetismo, por citar algunos. Ahora se definirá un campo vectorial muy importante en diversas ramas de la ciencia: Sea F un campo vectorial. Entonces, si F es positiva en el entorno de un cierto punto " P ", ello significa que el flujo saliente de " P " es positivo y así a este punto se le conoce como surgente o manantial. Si F es negativa en el entorno P, se le llama punto sumidero. de " " Si en una región no hay manantiales ni sumideros, entonces F = 0 y se dice que F es un campo solenoidal. Ejemplo. Supóngase que " R " es el radio de la tierra, " O " su centro y " g " la aceleración debida a la gravedad en su superficie. Si " P " es un punto del espacio próximo a la superficie, se designa con r al vector cuyo representante es el segmento dirigido OP. A la longitud r se le denotará con " r ". 65

66 Por la física clásica, se sabe que el campo vectorial v( P ) debido a la gravedad (llamado el campo gravitacional de la tierra) está dado aproximadamente por la expresión: v P gr = 3 r Demostrar que para r > R este campo es solenoidal. r 66

67 67 En la mecánica de los fluidos, la divergencia tiene grandes aplicaciones. Ejemplo. En la ecuación de continuidad de la dinámica de los fluidos, que es: ρ ( ρv) 0 + = t si el fluido es incompresible, la densidad es constante y por lo tanto, el campo v es solenoidal. En efecto: de donde ρ ρ = constante = 0 y ρ = 0 t ρ ρv + = ρ v+ ρ v = ρ v = 0 t v = 0 Ejemplo. Dos de las leyes fundamentales de Maxwell están en función de la divergencia y son: B = 0 y D= ρ La primera expresa que la densidad de flujo magnético es un campo solenoidal, lo que implica que las líneas de campo magnético son cerradas, lo cual a su vez implica que los polos magnéticos aislados no existen. La segunda ecuación expresa que la divergencia de la densidad de flujo eléctrico es igual a densidad de carga eléctrica. Ejemplo. Determinar el valor de la constante " b " de tal forma que el campo vectorial siguiente sea solenoidal: ( 3 ) ( ) v = x+ y i+ y z j+ x+ bz k

68 68 Rotacional. Propiedades y algunas aplicaciones Cuando se habla de un cierto flujo, se dice que además del campo de aceleraciones, existe otro campo vectorial derivado del de velocidades que es el rotacional, que es una medida de la rotación o vorticidad local de una partícula dentro del flujo. Y es por esta razón que al rotacional se le conoce también como campo vorticoso. Propiedades. Sean F y G funciones vectoriales y φ una función escalar, las tres diferenciables en cualquier punto R del espacio. Entonces (,, ) xyz que pertenece a una región " " se cumple que: i) F+ G = F+ G ( φ ) ( φ) φ ii) F = F + F iii) F G = G F F G F G + G F donde F F F G F = g1 + g + g3 x y z G G G F G= f1 + f + f3 x y z

69 El rotacional de un campo v de velocidades de un fluido es una medida de la rotación de una partícula al moverse en dicho fluido. El rotacional es importante en el análisis de los campos de velocidad de la dinámica de los fluidos y en los análisis de campos de fuerza electromagnética. El rotacional puede interpretarse como la medición del movimiento angular de un fluido y la condición v = 0 para un campo de velocidades v caracteriza lo que se conoce como flujo irrotacional. Esto significa que la corriente del fluido está libre de vórtices o remolinos. La ecuación análoga E = 0 para el vector de fuerza eléctrica E rige cuando solamente existen fuerzas electrostáticas. Cuando se estudia en la mecánica al trabajo y la energía se dice que una fuerza F es conservativa cuando F = 0 donde F se puede expresar como el gradiente de una función escalar φ. Esto es, F denomina potencial o energía potencial. = φ. Y para este caso, a φ se le Por todo lo anterior, se dice que un campo es irrotacional o conservativo, si se cumple que su rotacional es cero. Ejemplo. La ley de Hooke establece que una fuerza elástica F es directamente proporcional al vector desplazamiento r = xi+ y j+ zk de la partícula sobre la cual actúa, es decir, 69

70 F = kr. Verificar que en esta expresión F es una fuerza conservativa. 70 Ejemplo. Obtener los valores de las constantes abc,, de manera que el siguiente campo sea irrotacional: ( ) ( 3 ) ( 4 ) v = x+ y+ az i+ bx y z j+ x+ cy+ z k

71 Cuadro resumen 71 Concepto Se aplica a Da por resultado Gradiente Campo escalar Campo vectorial Gradiente Campo vectorial Matriz Divergencia Campo vectorial Campo escalar Rotacional Campo vectorial Campo vectorial Invariantes de segundo orden. Laplaciano Existen también los llamados invariantes de segundo orden que son: Divergencia de un gradiente φ φ ( laplaciano) = Rotacional de un gradiente φ Gradiente de una divergencia F Divgergencia de un rotacional F Rotacional de un rotacional F Supóngase que F es el gradiente de un campo escalar φ, esto es: φ φ φ F = φ = i+ j+ k x y z Entonces su matriz jacobiana está dado por:

72 φ φ φ x yx zx φ φ φ xy y zy φ φ φ xz yz z A la traza de esta matriz se le llama Laplaciano de φ y se representa con lap( φ ) o bien φ. Así, 7 lap φ φ φ = = = + + x y z φ φ φ Al símbolo se le llama operador laplaciano y se expresa como: x y z = + + Cuando las parciales mixtas son continuas, los elementos simétricos de la diagonal principal son iguales y por lo tanto el rotacional de F es nulo, es decir, que: ( φ ) 0 F = = y por lo tanto, esto se cumple para todo campo escalar φ con derivadas parciales segundas continuas. Cuando el laplaciano es cero, es decir, cuando dice que φ es una función armónica. φ = 0, se

73 73 Tarea. Probar que la función 1 r, en la cual r = x + y + z, es una función armónica para todo valor de r ; r 0. A la expresión φ φ φ x y z φ = + + = 0 se le llama Ecuación de Laplace. Esta ecuación surge en problemas de determinación de temperatura en los estados estacionarios, potencial electrostático, flujo de fluidos en los estados estacionarios, etcétera. El operador puede aplicarse a un campo vectorial como sigue: ( 1,, 3,, n ) F = f f f f Los cuatro operadores: gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano, pueden relacionarse a través de la siguiente identidad: F = F F Coordenadas curvilíneas Un cambio de coordenadas es una transformación de la forma: (,, ) ; (,, ) ; (,, ) x = f u v w y = f u v w z = f u v w 1 3 la cual en forma vectorial se escribe como:

74 (,, ) (,,,) (,, ) (,, ) r= r uvw = f1 uvw i+ f uvw j+ f3 uvw k en donde uvw,, son las nuevas coordenadas del punto r y se les llama coordenadas curvilíneas. Se considera que las funciones escalares 1 3 diferenciables y que la transformación es invertible, es decir, que existen funciones diferenciables g1, g, g 3 para las cuales: 74 f, f, f son (,, ) ; (,, ) ; (,, ) u= g xyz v= g xyz w= g xyz 1 3 Esto puede garantizarse si se pide que el jacobiano de la transformación de ( xyz,, ) a ( uvw,, ) no se anule, es decir, que: J xyz,, 0 uvw,, Las ecuaciones de transformación x = f u, v, w u= g x, y, z y = f u, v, w y v = g x, y, z z = f u, v, w w = g x, y, z definen un sistema de coordenadas curvilíneas Teorema. Para que ( uvw,, ) forme un sistema coordenado curvilíneo, la transformación de ( xyz,, ) a ( uvw,, ) debe ser invertible, es decir, que se debe poder pasar de ( uvw,, ) a ( xyz,, ) y esta transformación debe ser única; o sea que para

75 cada terna (,, ) (,, ) x y z debe existir una y sólo una terna uvw y viceversa. Una condición necesaria y suficiente que garantiza estas restricciones es que J xyz,, > 0 uvw,, o también que J xyz,, < 0 uvw,, La condición J > 0 implica que el sistema ( uvw,, ) es un sistema derecho como ( x, y, z ), lo que no ocurre para el sistema ( yxz,, ). 75 Ejemplo. Determinar si las ecuaciones de transformación siguientes definen un sistema de coordenadas curvilíneas: x = u+ 3 v ; y = 4u + 1uv+ 9 v ; z = w Solución. El jacobiano es: 3 0 xyz,, J 8u 1v 1u 18v 0 0 uvw,, = + + = Como es cero, no es posible definir un sistema de coordenadas curvilíneas con las ecuaciones de transformación dadas. Superficies y curvas coordenadas Si se fija una de las variables uvw,, en las expresiones x = f u, v, w ; y = f u, v, w ; z = f u, v, w 1 3 se obtiene una superficie denominada superficie coordenada.

76 Por ejemplo, si u= k1 entonces las ecuaciones (,, ) ; (,, ) ; (,, ) x = f k v w y = f k v w z = f k v w definen una superficie coordenada. Si k 1 toma diversos valores reales, las ecuaciones definen entonces una familia de superficies coordenadas. Esta familia de superficies coordenadas queda definida también a partir de la expresión (,, ) u= g x y z = k De la misma forma, otras dos familias de superficies coordenadas son: (,, ) (,, ) v = g x y z = k y w = g x y z = k 3 3 Si en lugar de fijar una cualquiera de las variables uvw,,, se v = c y w = c se obtiene fijan dos de ellas, por ejemplo 3 la curva (,, ) ; (,, ) ; (,, ) x = f u c c y = f u c c z = u c c c y c toman denominada curva coordenada. Y si 3 diferentes valores reales, entonces estas ecuaciones definen una familia de curvas coordenadas de la forma (,, ) (,, ) g x y z = c U : g x y z = c 3 3 De la misma forma, otras dos familias de curvas coordenadas se obtienen al fijar u y v o u y w separadamente.

77 Un punto en Un punto en puede quedar definido a partir de la intersección de las tres superficies coordenadas: (,, ) ; (,, ) ; (,, ) g x y z = k g x y z = k g x y z = k o también a partir de la intersección de las tres curvas coordenadas: g xyz,, = c g xyz,, = c g xyz,, = c U: ; V: ; W: g x, y, z = c g x, y, z = c g x, y, z = c Conjunto de vectores base 3 Por otro lado, un punto en queda definido por su vector de posición con respecto al origen de un sistema coordenado cartesiano. Y este vector de posición se expresa a partir de tres vectores unitarios, mutuamente ortogonales: i, j, k Por esta razón se dice que el conjunto i, j, k. es una base 3 ortonormal de, es decir, un conjunto de vectores linealmente independientes, unitarios, ortogonales entre sí, que 3 generan a cualquier vector en. De manera similar se puede introducir un conjunto de vectores 3 que constituyan una base de para sistemas coordenados curvilíneos. En el caso más general, en cada punto P del

78 3 espacio existen dos conjuntos de vectores base para los sistemas coordenados curvilíneos: - El conjunto de vectores normales a las superficies coordenadas. - El conjunto de vectores tangentes a las curvas coordenadas. Vectores normales a las superficies coordenadas z 78 w = k 3 U v = k x v P u = k 1 W y Los tres vectores unitarios eu, ev, e w normales a las u= k, v = k, w = k respectivamente, se superficies 1 3 pueden expresar como: donde eu = u ; ev = v ; ew = w Hu Hv Hw Hu = u ; Hv = v ; Hw = w son llamados factores de escala.

79 79 Vectores tangentes a las curvas coordenadas Si se define r = xi+ y j+ zk, los tres vectores unitarios eu, ev, e W tangentes en el punto P a las curvas coordenadas UVW,, respectivamente, se pueden expresar como: x z v = c U : w = c 3 r u r w u = c W : v = c P u = c V : w = c 1 r 1 r 1 r eu = ; ev = ; ew = hu u hv v hw w 1 r v 1 3 y donde r r r hu = ; hv = ; hw = u v w son llamados factores de escala.

80 En general, no es necesario que los vectores base eu, ev, e W sean mutuamente ortogonales en cualquier punto; sin embargo, si son ortogonales en cada punto, entonces los desarrollos matemáticos se simplifican considerablemente. Definición. Un sistema coordenado curvilíneo se dice ortogonal si las curvas coordenadas UVW,, son ortogonales en cada punto. En este caso, los tres vectores eu, ev, e W son mutuamente ortogonales, esto es: eu ev = eu ew = ev ew = 0 Teorema. Si un sistema de coordenadas curvilíneas es ortogonal, entonces: i) Hu= ; Hv = ; Hw = hu hv hw ii) eu = eu ; ev = ev ; ew = ew 1 iii) u v w = u v w = hu hv hw 80 Teorema. En un sistema coordenado curvilíneo ortogonal, si Su, Sv, Sw representan longitudes de arco a lo largo de las curvas UVW,, y " S " representa la longitud de arco de una curva en 3, entonces: i) dsu = hu du ; dsv = hv dv ; dsw = hw dw = + + ii) ds hu du hv dv hw dw

81 iii) curvas planas U y V está dada por: La diferencial de área en un plano formado por las xy, da = dsu dsv = hu hv du dv = J du dv uv, iv) La diferencial de volumen en un sistema,, dada por: dv = dsu dsv dsw = hu hv hw du dv dw xyz,, = J dudvdw uvw,, Ejemplo. Calcular el área de la región " " cuadrante del plano " XY " limitada por las curvas: 8 ; ; 8 ; y = x y = x x = y x = y 81 uvw está R del primer Solución. La gráfica aproximada de esta región se muestra en la siguiente gráfica: 8 y x = y x = 8y y = 8x R 4 8 y = x x

82 A partir de las expresiones y ux y x vy = = se conforma un sistema curvilíneo (que se puede demostrar que es ortogonal) mediante el cual, tanto la " u " como la " v ", varían de 1 a 8 y en el nuevo sistema, el área queda como: 8 y 8 R' A R' = 7 7= 49unidades 1 x 1 8 Las ecuaciones del sistema, en términos de las variables u y v son: x v x = v u y = v u x v 4 3 y = = ux x = v u El jacobiano de la transformación se obtiene como:

83 1 1 x x vu v u xy, u v J uv 1 1, = = = y y vu v u u v Dado que este jacobiano es constante y el área del sistema curvilíneo utilizado es un valor constante igual a 49, entonces el área de la región buscada es igual a: A R 1 = 49 AR unidades 3 Ejercicio de Tarea. Mediante coordenadas curvilíneas determinar el valor del área delimitada por las siguientes rectas, graficar las dos regiones en ambos sistemas coordenados y calcular los jacobianos de transformación respectivos: x+ 3y = 6; x y = 6; x+ 3y = 1.5; x y = 4 Operadores vectoriales, gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano, en coordenadas curvilíneas ortogonales Teorema. Gradiente en coordenadas curvilíneas Sean ϕ ϕ ( uvw,, ) x x( u, v, w), y y( uv., w), z z( u, v, w) = una función escalar diferenciable y = = = las ecuaciones de transformación de un sistema coordenado curvilíneo ortogonal. Entonces el gradiente de φ en este sistema está dado por: 1 ϕ 1 ϕ 1 ϕ ϕ = e + e + e h u h v h w u v w u v w

84 84 Teorema. Divergencia en coordenadas curvilíneas Sea ϕ ϕ (,, ) ϕ (,, ) ϕ (,, ) = uvw e + uvw e + uvw e una 1 u v 3 w función vectorial diferenciable en el sistema curvilíneo ortogonal de vectores base eu, ev y e w. Entonces la divergencia de este sistema es: 1 ϕ = v wϕ 1 u wϕ u vϕ3 hhh + + u v w u v w ( hh ) ( hh ) ( hh ) Teorema. Rotacional en coordenadas curvilíneas Sea ϕ ϕ (,, ) ϕ (,, ) ϕ (,, ) = uvw e + uvw e + uvw e una 1 u v 3 w función vectorial diferenciable en el sistema curvilíneo ortogonal de vectores base eu, ev y e w. Entonces el rotacional en este sistema es: 1 φ = ( hw 3) ( hv ) e hh φ φ v w v w 1 + ( hu 1) ( hw 3) ev hh φ φ u w w u ( hvφ) ( huφ1) ew hh u v u v u Teorema. Laplaciano en coordenadas curvilíneas Sea ϕ ϕ ( uvw,, ) veces y x x( uvw,, ), y y( uvw,, ), z z( uvw,, ) = una función escalar diferenciable dos = = = las ecuaciones de transformación de un sistema coordenado