En el primer milenio antes de Cristo, no había un sistema griego de medidas estándar ya que los diversos

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1 La numeración griega Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson MacTutor History of Mathematics Archive En el primer milenio antes de Cristo, no había un sistema griego de medidas estándar ya que los diversos estados helénicos se enorgullecían de su independencia respecto a los demás. Esto implicaba que cada estado tenía su propia moneda, sus propios pesos y medidas, etc. A su vez, esto llevaba a que hubiera pequeñas diferencias entre los sistemas numéricos ya que una de las principales funciones de un sistema numérico en la antigüedad era ayudar en las transacciones comerciales. Sin embargo en este artículo no entraremos en este tema con suficiente detalle como para examinar esas pequeñas diferencias sino que trataremos solamente la estructura general. Debemos de decir lo primero que los antiguos griegos tenía sistemas diferentes para los números cardinales y los ordinales así que hay que ser cuidadosos con lo que queremos decir por sistemas numéricos griegos. También veremos brevemente algunos de los sistemas que fueron propuestos por algunos matemáticos griegos pero que no fueron aceptados ampliamente. El primer sistema numérico griego que examinaremos es su sistema acrofónico, el cual fue utilizado en el primer milenio antes de Cristo. 'Acrofónico' quiere decir que los símbolos para los números vienen de la primera letra del nombre del número, así que el símbolo se deriva de una abreviación de la palabra que se usa para ese número. La siguiente figura contiene los símbolos para los número 5, 10, 100, y , 10, 100, 1000 y acrofónicos. Hemos omitido el símbolo para 'uno', una simple ' ', que es una notación obvia que no viene de la letra inicial del nombre. Para 5, 10, 100, y habrá solo un rompecabezas para el lector y es que el símbolo para 5 que debería ser P si esa es la primera letra de Pente. Sin embargo, esto es una simple consecuencia de los cambios que sufrió el alfabeto griego después de que se habían ya fijado los símbolos para las cifras. Para ese entonces ya no se pensaba en los símbolos como provenientes de las iniciales así es que no se les hicieron cambios junto con los de los símbolos para las letras. La forma original de π era G y Pente era Gente. Ahora bien, el sistema se basaba en el principio de adición de manera parecida a los números romanos. Esto significa que 8 es sencillamente V, el símbolo para cinco seguido de tres símbolos para uno. La siguiente figura muestra los números del uno al diez en acrofónicos griegos.

2 Uno al diez en números acrofónicos griegos Si se usa la base 10 en un sistema aditivo sin símbolos intermedios, entonces se requieren muchos caracteres para expresar ciertos números. El 9999 requeriría 36 símbolos es este sistema lo que es muy trabajoso. Ya hemos visto que los números acrofónicos griegos tenían un símbolo especial para 5. Esto no es sorprendente ya que disminuye la cantidad de caracteres que se requiere y también surge, presumiblemente, de contar con los dedos; tenemos 10 pero hay 5 en cada mano. Lo que es un poco más sorprendente es que el sistema tenía símbolos intermedios para 50, 500, 5000 y pero no eran caracteres nuevos sino símbolos compuestos conformados por un 5 y los símbolos para 10, 100, 1000 ó respectivamente. La siguiente figura muestra cómo se formaban los símbolos compuestos. Números acrofónicos combinados Es de notar que ya que el sistema no es posicional, no había necesidad para un cero que señalara un espacio vacío. El símbolo H representaba 100 ya que no se crea un problema en la representación cuando el número no tiene decenas o unidades. Claro que esta no es la única manera en la que se creaban los símbolos compuestos. Ya hemos mencionado que diferentes estados usaron variaciones del sistema numérico y, aunque no los vamos a examinar en detalle, vamos al menos a dar algunos indicios que muestran algunas de las 50 variaciones que se han encontrado. La mayor parte de ellas son más antiguas que la forma principal de los números que hemos considerado la más típica del periodo 1500 a.c. a 1000 a.c. Formas diferentes de escribir 50 es distintos estados griegos El siguiente punto a recalcar es que este sistema numérico no consistía realmente en números abstractos en la manera en la que pensamos en ellos en la actualidad. Hoy el número 2 lo aplicamos a cualquier colección de dos objetos y pensamos en el 2 como una propiedad abstracta que es común a todas las colecciones que

3 contienen dos objetos. Sabemos que los antiguos griegos pensaban de manera distinta ya los números se usaban de maneras un tanto diferentes dependiendo de a qué se referían. El uso más frecuente de este sistema numérico era para cantidades monetarias. La unidad monetaria básica era el dracma y había una unidad mayor llamada talento equivalente a 6000 dracmas. El dracma a su vez se subdividía en óbolos, que valían 1 / 6 de dracma, y en chalcos, que eran 1 / 8 de óbolo. También se usaban medios óbolos y cuartos de óbolo. Debe notarse que este sistema monetario no era decimal aunque el sistema numérico sí tenía al 10 como base y al 5 como base secundaria. Las diferentes unidades monetarias se denotaban modificando la notación para las unidades en el número, como se muestra en las siguiente figuras. Forma de escribir 5678 dracmas La forma de las unidades denotaría dracmas. Escritura de 3807 talentos En la figura anterior, las unidades ahora aparecen como T (T de talento) mientras que una suma de dinero que involucrara tanto dracmas como óbolos se escribiría como se muestra en la siguiente figura dracmas y 3 óbolos: Este sistema acrofónico fue usado para otras cosas además de dinero. Un sistema muy similar fue empleado para los pesos y medidas lo que no es sorprendente ya que el valor del dinero sin duda debe haber evolucionado de un sistema de pesos. Esto lo confirma el hecho de que dracma es también el nombre de la unidad de peso. Ahora echamos una mirada al segundo sistema numérico de la Grecia antigua, la numeración alfabética o,

4 como se le llama a veces, el sistema 'educado'. Como lo sugiere la palabra 'alfabética', los números se basan en dar valores a las letras del alfabeto. Vale la pena hacer notar que los griegos fueron uno de los primeros pueblos en adoptar un sistema de escritura basado en un alfabeto. No fueron los inventores de este tipo de escritura; ya los fenicios tenían un sistema así anteriormente. El alfabeto griego usado para escribir palabras fue tomado del sistema fenicio y era muy similar a él. No examinaremos las formas de las letras griegas mismas pero hay que enfatizar qué tan importante fue esta forma de escribir para el avance del conocimiento. Es fundamental para la manera de comunicarnos en la mayoría de los países hoy en día, aunque algunos pueblos prefieren otras formas de escribir. Hay 24 letras en el alfabeto clásico griego y éstas se usaban junto con tres letras más viejas que han caído en desuso. Estas 27 letras son: La tabla muestra tanto las mayúsculas como las minúsculas de las 24 letras clásicas. Las letras digamma, qoppa y san son las tres obsoletas. Aunque no hemos dado sus símbolos en la tabla, sí aparecen en las tablas de números que siguen. Las primeras de estas nueve letras fueron tomadas como los símbolos para 1, 2,..., 9. Números 1 al 9 alfabéticos Nótese que el 6 está representado por el símbolo de la letra obsoleta digamma. Las siguientes nueve letras se tomaron como símbolos para 10, 20,..., 90.

5 Números 10 al 90 alfabéticos. Hay que notar que el 90 se representa mediante la letra obsoleta qoppa. Las nueve letras restantes se usaron como símbolos para 100, 200,..., 900. Números 100 al 900 alfabéticos El 900 se representa usando el símbolo de la letra obsoleta san A veces cuando estas letras se escriben para representar números, se ponía una barra sobre el símbolo para diferenciarlo de la letra correspondiente. Ahora bien, los números se formaban mediante el principio aditivo. Por ejemplo, 11, 12,..., 19 se escribían: Números 11 al 19 alfabéticos Números más grandes se construían más o menos de la misma manera. Por ejemplo, aquí está el 269: Número alfabético 269 Este sistema numérico es compacto pero sin modificaciones tiene el gran inconveniente de que no permite expresar número mayores a 999. Símbolos compuestos fueron creados para solucionar este problema. Los números entre 1000 y 9000 estaban formados añadiendo un subíndice o un superíndice iota a los símbolos del 1 al 9.

6 Primera forma de escribir 1000,..., 9000 Segunda forma de escribir 1000,..., 9000 Cómo representaban los griegos los números mayores a 9999? Pues basaban los números mayores a este en la miríada, que valía El símbolo M con números pequeños para un número hasta 9999 escrito sobre él significaba que el número en pequeño estaba multiplicado por Por lo tanto, escribir β sobre la M representaba 20000: El número De forma similar, ρκγ escrito sobre la M representaba El número Claro que escribir un número grande sobre la M era bastante difícil por lo que muchas veces en estos casos el número pequeño se escribía después de la M en vez de sobre ella. Un ejemplo de Aristarco: Aristarco escribió así el número

7 Para casi todos los fines este sistema numérico podía representar todos los números que pueden surgir en el día a día. De hecho, sería poco factible que números tan grandes como aparecieran muy a menudo. Por otro lado, los matemáticos sí vieron la necesidad de extender el sistema numérico y ahora vemos dos de sus propuestas, la primera de Apolonio y después brevemente una de Arquímedes (aunque históricamente esta última fue hecha unos 50 años antes que la primera). Aunque no sabemos de primera mano sobre la propuesta de Apolonio, la conocemos a través de un reporte de Papo. El sistema que hemos descrito arriba funciona con productos por una miríada. La idea que usó Apolonio para extender el sistema a números más largos fue trabajar con potencias de la miríada. Una M con una α sobre ella representaba 10000, M con β sobre ella representaba M 2, es decir, , etc. El número a ser multiplicado por 10000, , etc. se escribe después del símbolo M y se escribe χαι se escribe entre los pedazos del número; la mejor manera de interpretar este último símbolo es como 'más'. Como ejemplo, aquí está el modo en que Apolonio hubiera escrito Representación de Apolonio del Arquímedes diseñó un sistema similar pero en vez de usar = 10 4 como el número básico que era elevado a diversas potencias, usó = 10 8 elevado a potencias. El primer octeto para Arquímedes consistía de números hasta 10 8 mientras que el siguiente eran los números desde 10 8 hasta Usando este sistema, Arquímedes calculó que el número de granos de arena que podrían caber en el universo era del orden de el octavo octeto, es decir, del orden de Bibliografia 1. G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998). Traducción Astroseti: Traductor: Covadonga Escandón Martinez (c) Astroseti.org Los contenidos pueden utilizarse siempre que se mencione la fuente y se enlace al artículo en nuestro servidor. Para usos comerciales es necesario solicitar autorización

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