SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES

Transcripción

1 SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS UNIDIMENSIONALES

2 Sistema dinámico = Recurrencia f f f f x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 Problemas: Hacia donde evoluciona la órbita de x 0 según iteramos f. Como varía este comportamiento según varía el punto inicial

3 Ejemplos de sistemas dinámicos La ecuación de Maltus x k+1 = x k + d x k = (1+d) x k =c x k. Solución: x k =c k x 0. La curva de Verhulst x k+1 = x k + d x k (1- x k )=(1+d) x k -d x k 2 La población máxima admisible es 1 (normalizando). Si se pasa de 1 el crecimiento se hace negativo. La parábola logística de May x k+1 = c(1- x k ) x k.

4 Algunos cálculos Si x k+1 =x k +0.25x k = 1.25x k, para x 0 =1 se obtiene 1,1.25,1.5625, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,...

5 Algunos cálculos Si x k+1 =x k -0.25x k = 0.75x k, para x 0 =1 se obtiene 1,0.75,0.5625, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... 0

6 Algunos cálculos Si x k+1 = 0.25 (1- x k ) x k, para x 0 =0.75 se obtiene 0.75, , , , , , , , , , , , , , , , , ,... 0

7 Algunos cálculos Si x k+1 = 4 (1- x k ) x k, para x 0 =1/3 se obtiene , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,... saltamos 1000 términos...,

8 Algunos cálculos Si x k+1 = 4 (1- x k ) x k, para x 0 =1/3 se obtiene , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,...?

9 Análisis gráfico Sea f(x)=x 2 La órbita de cualquier punto en [0,1) tiende a 0

10 Análisis gráfico Empezamos en un punto p en el eje OX. Nos movemos verticalmente hasta intersecar la gráfica de f(x) Nos movemos horizontalmente hasta intersecar la diagonal y=x. Nos movemos verticalmente - hacía arriba o hacía abajo - hasta intersecar la gráfica de f(x). Se repiten los pasos 3 y 4 para generar nuevos puntos.

11 Análisis gráfico >analisisgrafico:=proc(f,p,n,d,e) >local p0,p1,a,l,k,b,p2; >p0:=plot([[p,0]],x=d..e,d..e,style=point,symbol=box); >p1:=plots[display]([plot(f,x=d..e,y=d..e,color=blue), plot(x,x=d..e,y=d..e,color=black,linestyle=4)]): > a:=evalf(p); > l:=[[a,0]]; > for k from 1 to n do; > b:=f(a); > l:=[op(l),[a,b],[b,b]]; > a:=b; > od; > b:=f(a); l:=[op(l),[a,b]]: > p2:=plot(l,d..e,d..e,style=line,color=red): > plots[display]({p0,p1,p2},scaling=constrained); > end:

12 Dinámica de las aplicaciones lineales Sea L:I IR IR una aplicación lineal, esto es, L(x)=a x con a IR. La órbita de 1 es 1, a, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6,... La órbita de un punto genérico p es p, a p, a 2 p, a 3 p, a 4 p, a 5 p...

13 Dinámica de las aplicaciones lineales Si a <1: p, a p, a 2 p, a 3 p, a 4 p, a 5 p,... 0 Si a >1: p, a p, a 2 p, a 3 p, a 4 p, a 5 p,... excepto para p=0 que se tiene 0, 0, 0, 0, 0, Si a=1: p, p, p, p, p, p,... p Si a=-1: p, -p, p, -p, p, -p,... oscila excepto para p=0 que se tiene 0, 0, 0, 0, 0,

14 Análisis gráfico para f(x)=ax (0<a<1) La órbita de cualquier punto de IR tiende a 0

15 Análisis gráfico para f(x)=ax (-1<a<0) La órbita de cualquier punto de IR tiende a 0

16 Análisis gráfico para f(x)=ax (a>1) La órbita de cualquier punto de IR tiende a en módulo a

17 Análisis gráfico para f(x)=ax (a<-1) La órbita de cualquier punto de IR tiende a en módulo a

18 Análisis gráfico para f(x)=ax (a=1) Cualquier punto de IR es invariante

19 Análisis gráfico para f(x)=ax (a=-1) El punto 0 es invariante. La órbita de cualquier punto de IR-{0} es p -p p

20 Puntos fijos Sea f:i IR IR. ξ es un punto fijo de f si f(ξ)= ξ. ξ es un punto eventualmente fijo f k+1 (ξ)=f k (ξ). Teorema. Sea f:i IR IR continua. Si la órbita de un punto converge a un punto ξ, ξ ha de ser un punto fijo.

21 Puntos fijos atractivos Sea f:i IR IR. ξ es un punto fijo atractivo de f si: existe un entorno U de ξ tal que, para todo x U, lim f k (x)=ξ. (ξ atrae las órbitas de los puntos de un entorno) El conjunto {x I lim f k (x)=ξ} es la cuenca de atracción de ξ.

22 Ejemplo de puntos fijos atractivos f(x)=x 3 La cuenca de atracción de 0 es (-1,1)

23 Caracterización de puntos fijos atractivos Teorema. Si f C 1 (I) y f (ξ) <1 entonces x es un punto fijo atractivo. En el caso de f (ξ)=0 se dice que ξ es superatractivo. La relación f (ξ) =K<1 proporciona una estimación de la velocidad de convergencia de f n (ξ) a ξ para puntos cercanos a ξ.

24 Puntos fijos repulsivos Sea f:i IR IR. ξ es un punto fijo repulsivo de f si: existe un entorno U de ξ tal que, para todo x U-{ξ}, existe k tal que f k (x) U. (ξ repele las órbitas de los puntos de un entorno) Teorema. Si f C 1 (I) y f (ξ) >1 entonces ξ es un punto fijo repulsivo.

25 Ejemplo de punto fijo repulsivo f(x)=x (1/3) 0 repele todos los puntos de (-1,1)

26 Puntos fijos indiferentes Si f C 1 (I) y ξ es un punto fijo tal que f (ξ) =1 entonces x es un punto fijo indiferente. Teorema. Si f C 1 (I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f (x) <1 para los x cercanos a ξ, entonces ξ es un punto fijo atractivo.

27 Ejemplo de punto fijo indiferente atractivo f(x)=x-x 3 La cuenca de atracción de 0 contiene a (-1,1 )

28 Puntos fijos indiferentes repulsivos Teorema. Si f C 1 (I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f (x) >1 para los x cercanos a ξ, entonces ξ es un punto fijo indiferente repulsivo.

29 Ejemplo de punto fijo indiferente repulsivo f(x)=x+x3 0 repele todos los puntos de IR

30 Puntos fijos indiferentes Ejercicio. Qué ocurre si f C 1 (I) y ξ es un punto fijo indiferente tal que f (x)=1, 0<f (x)<1 para los x cercanos a ξ con x< ξ, y f (x)>1 para los x cercanos a ξ con x>ξ?

31 Puntos periódicos Sea f:i IR IR. ξ es un punto periódico de f si k t.q. f k (ξ)= ξ Se llama periodo de ξ al menor k t.q. f k (ξ)= ξ ξ es k-periódico si y solo si ξ es punto fijo de f k Todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., f k-1 (ξ)} son periódicos de periodo k ξ es eventualmente periódico si existen p y k tales que f k+p (ξ)= f p (ξ)

32 Puntos periódicos atractivos (repulsivos) Sea f:i IR IR. ξ es un punto k-periódico atractivo (repulsivo) de f si y solo si ξ es un punto fijo atractivo (repulsivo) de f k. Si f es continua, todos los puntos del ciclo {ξ, f(ξ),..., f k-1 (ξ)} son atractivos (o repulsivos) simultáneamente. La cuenca de atracción de {ξ, f(ξ),..., f k-1 (ξ)} es el conjunto {x I lim (f k ) n (x) {ξ, f(ξ),..., f k-1 (ξ)}}

33 Puntos periódicos atractivos (repulsivos) Teorema. Si f C 1 (I) y ξ es un punto k-periódico tal que (f k ) (ξ) <1, entonces x es un punto k-periódico atractivo. Teorema. Si f C 1 (I) y ξ es un punto k-periódico tal que (f k ) (ξ) >1, entonces x es un punto k-periódico repulsivo.

34 Ejemplo de ciclo atractivo f(x)=-x 1/3 Cuenca de atracción: IR-{0}

35 Ejemplo de ciclo repulsivo f(x)=-x 3 El ciclo {-1,1} repele todos los puntos de IR-{0,1,-1}

36 Bifurcaciones Los puntos fijos indiferentes son poco frecuentes, aunque en familias de sistemas dinámicos siempre aparecerán para alguna aplicación. Su aparición lleva emparejada cambios bruscos de comportamiento (bifurcaciones).

37 Bifurcación tangente (f c (x)=x 2 +c). f 0.4 (x)=x

38 Bifurcación tangente (f c (x)=x 2 +c). f 0.25 (x)=x

39 Bifurcación tangente (f c (x)=x 2 +c). f 0.1 (x)=x

40 Bifurcación transcrítica (f c (x)=c x (1-x)) f 0.75 (x)=0.75 x (1-x)

41 Bifurcación transcrítica (f c (x)=c x (1-x)) f 1 (x)=x (1-x)

42 Bifurcación transcrítica (f c (x)=c x (1-x)) f 1.5 (x)=1.5 x (1-x)

43 Bifurcación horca (f c (x)=c (x+x 3 )) f 0.7 (x)=0.7 (x-x 3 )

44 Bifurcación horca (f c (x)=c (x+x 3 )) f 1 (x)=(x-x 3 )

45 Bifurcación horca (f c (x)=c (x+x 3 )) f 1.3 (x)=1.3 (x-x 3 )

46 Teorema del punto fijo Sea f:[a,b] IR continua tal que f([a,b]) [a,b]. Entonces f tiene al menos un punto fijo. b a a b

47 Teorema de Sarkovskii Sea f: IR IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo r. Entonces, para todo k<r, según el orden 3>5>7>...>2*3>2*5>2*7>......>4*3>4*5>4*7>...>8>4>2>1, f tiene algún punto periódico de periodo k.

48 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) Teorema de Li y Yorke (Periodo 3 implica caos). Sea f:ir IR continua y supongamos que f tiene un punto periódico de periodo 3. Entonces f tiene puntos periódicos de todos los periodos.

49 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) Supongamos a<b<c, y f(a)=b, f(b)=c, f(c)=a. I 1 I 1 I 0 I 0 I 0 I 1

50 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) Cada par de A i s tienen a lo sumo un punto común A 0 A n-2 A n-1 I 1 I 1 A 1 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0

51 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) A lo sumo un A i contiene a b y otro a c A 0 A n-2 A n-1 I 1 I 1 A 1 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0

52 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) A lo sumo un A i contiene a b y otro a c A 0 A n-2 A n-1 I 1 I 1 A 1 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0

53 Caso r=3 (Li y Yorke: Periodo 3 implica caos) porque Existe f : IR IR continua con un 5-ciclo sin 3-ciclos f 3 ([0,1])=[1,4] f 3 ([1,2])=[2,4] f 3 ([2,3])=[0,4] f 3 ([3,4])=[0,3] Solo puede existir un 3-ciclo en [2,3] pero ahí f 3 es decreciente

54 Aplicaciones topológicamente conjugadas Sea f:d D un sistema dinámico. Sea E otro espacio y sea h:d E un homeomorfismo. x f D h E f (x) h -1

55 Aplicaciones topológicamente conjugadas Sea g:e E, dada por g(y)=hfh -1 (y). Entonces g es un sistema dinámico. h -1 (y) f D f h -1 (y) h h -1 y E h f h -1 (y) g=h f h -1

56 Aplicaciones topológicamente conjugadas Como g=hfh -1 g n =hf n h -1 la órbita de y por g es la imagen por h de la órbita de (h -1 (y)) por f. Como f=h -1 gh f n =h -1 g n h la órbita de x por f es la imagen por h -1 de la órbita de h(x) por g. D E h -1 (y) h f h f -1 (y) h h -1 g=h f h -1 f h -1 (y) y

57 Aplicaciones topológicamente conjugadas Si a es un punto k-periódico de f, entonces h(a) es un punto k-periódico de g. Si además h no se anula en la órbita de a (g k ) (h(a))= (f k ) (a). En particular, a y h(a) tienen el mismo carácter. D E h -1 (y) h f h f -1 (y) h h -1 g=h f h -1 f h -1 (y) y

58 Aplicaciones topológicamente conjugadas Se dice que f y g sin topológicamente conjugadas e inducen dinámicas equivalentes. h -1 (y) f D f h -1 (y) h h -1 y E h f h -1 (y) g=h f h -1