Probabilidad del suceso imposible

Transcripción

1 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES.- EXPERIMENTOS LETORIOS Y SUCESOS Exerimento aleatorio Es aquel uyo resultado deende del azar y aunque onoemos todos los resultados no se uede redeir de antemano el resultado que se va a obtener. Por ejemlo lanzar un dado o una moneda son exerimentos aleatorios. Los exerimentos aleatorios ueden ser simles o omuestos. Son simles aquellos que onstan de una sola etaa. Por ejemlo ehar una moneda al aire. Son omuestos si onstan de varias etaas. Por ejemlo lanzar un dado ino vees o el exerimento que onsiste en tirar una moneda y luego saar una bola de una bolsa. Los exerimentos que no son aleatorios se llaman exerimentos deterministas Esaio muestral de un exerimento aleatorio Es el onjunto formado or todos los resultados que odemos obtener al haer el exerimento. El esaio muestral se reresenta on la letra E. Por ejemlo en el lanzamiento de un dado el esaio muestral es E { 6 } Sueso aleatorio Es el onjunto formado or algunos resultados de un exerimento aleatorio. Los suesos se reresentan on letras mayúsulas Por ejemlo en el lanzamiento de un dado salir número ar { 6} es un sueso Probabilidad de un sueso aleatorio: Si en un exerimento aleatorio todos los resultados tienen la misma osibilidad de aareer ara alular la robabilidad de un sueso se divide el número de asos favorables al sueso entre el número de asos osibles: REGLDELPLCE : Casos favorables a que ourra Nº de elementos de Casos osibles Nº de elementos de E La robabilidad nos india si es más o menos freuente que ourra diho sueso. La robabilidad de un sueso siemre es un número entre y ambos inluidos: ues el número de asos favorables siemre es menor o igual al número de asos osibles Sueso seguro Es aquel que siemre ourre al realizar el exerimento. Por ejemlo al lanzar una moneda el sueso salir ara o ruz { C X } siemre ourre ues al lanzar la moneda siemre saldrá ara o ruz. es un sueso seguro. Observa que oinide on el esaio muestral E. Probabilidad del sueso seguro La robabilidad del sueso seguro es : E Por tanto si E {x x. x n } entones x + x + + x n Sueso imosible Es aquel que nuna ourre. Por ejemlo en el lanzamiento de un dado el sueso salir un número mayor que 6 nuna ourre. es un sueso imosible. El sueso imosible es el onjunto "que no tiene ningún elemento" Este onjunto se llama onjunto vaío y se reresenta on el símbolo Probabilidad del sueso imosible La robabilidad del sueso imosible es : - Página -

2 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES.- OPERCIONES CON SUCESOS Unión de suesos La unión de dos suesos y es otro sueso formado juntando los elementos de y. La unión de y se reresenta or U. U signifia: ourre ó Ejemlo { } { } "salir nº ar" 6 En el lanzamiento de un dado si tomamos los suesos: "salir nº rimo" entones U salir ar o rimo { 6} Interseión de suesos La interseión de dos suesos y es otro sueso formado or los elementos omunes de y. La interseión de los suesos y se reresenta or. signifia: ourre y Ejemlo { } { } "salir nº ar" 6 En el lanzamiento de un dado si tomamos los suesos: "salir nº rimo" entones salir ar y rimo { } Probabilidad de la unión de dos suesos U + Suesos omatibles y suesos inomatibles Dos suesos y son omatibles uando ueden ourrir al mismo tiemo. Por ejemlo en el lanzamiento de un dado los suesos salir un número ar salir un número rimo son omatibles ues si sale un ourren los dos suesos a la vez: es un número ar y también es un número rimo. Si y son omatibles hay elementos omunes a los suesos y or tanto - Página -

3 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Dos suesos y son inomatibles uando no ueden ourrir al mismo tiemo. Por ejemlo si saamos al azar una arta de la baraja los suesos salir un basto salir una esada son inomatibles ues no uede salir a la vez un basto y una esada. Si y son inomatibles no hay elementos omunes a los suesos y or tanto Si y son inomatibles U + siendo y inomatibles Sueso ontrario o omlementario Dado un sueso el sueso ontrario o omlementario de es aquel que exresa lo ontrario que el sueso. Se reresenta or o también or. El sueso está formado or los elementos del esaio muestral que no están en Por ejemlo en el lanzamiento de un dado si salir número ar { 6} entones el sueso ontrario es no salir número ar salir número imar { } Probabilidad del sueso ontrario Diferenia de dos suesos. Dados dos suesos y se define omo el sueso que exresa: ourre y no ourre. Es deir. Los elementos de se obtienen tomando los elementos de que no estén en. Probabilidad de la diferenia de suesos: - Página -

4 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio En el exerimento aleatorio onsistente en lanzar un dado equilibrado on las aras numeradas del al 6 y observar el resultado se onsideran los siguientes suesos: : obtener un número mayor que : obtener un número ar. a Esribe los elementos de ada uno de los siguientes suesos: ; ; U ; ; b Calula las robabilidades y U a { 6 } { 6 } U { 6 } { } { } { } b. Luego 6 U { }. Luego U 6.- PROILIDD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOS Probabilidad ondiionada Dados dos suesos y on se llama robabilidad de ondiionada a a la robabilidad de que ourra sabiendo que ha ourrido. La robabilidad de ondiionada a se reresenta or / y se uede alular usando la fórmula: / Si desejamos de la fórmula anterior se obtiene: /. Razonando de forma análoga ara ondiionado a : / /. Suesos indeendientes Dos suesos y son indeendientes si / y / Por tanto si y son indeendientes. Se uede demostrar que si y son indeendientes entones también son indeendientes y y y - Página -

5 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Teorema de la robabilidad total Si son suesos inomatibles on U E y es un sueso ualquiera P P. P/ + P. P/ P P + P Luego: P P. P/ + P. P/ Fórmulas de ayes Si son suesos inomatibles tales que U E y es un sueso de robabilidad no nula entones se umle: P / P.P / P P / P.P / P donde según el teorema de la robabilidad total P P. P/ + P. P/ Ejeriio Sean y dos suesos aleatorios indeendientes de los que se onoe que. a Dí razonadamente si y son suesos inomatibles. b Cuál es la robabilidad de que sueda y no sueda? Calula / a Como son indeendientes... Luego Ø Por tanto y NO son inomatibles es deir son omatibles b También se odría alular teniendo en uenta que y son también indeendientes. 7 / Luego... 7 que es igual a ues y son indeendientes. Ejeriio De los suesos aleatorios indeendientes y se sabe que.. b / Calula las siguientes robabilidades: a U a Como son indeendientes.. 7. Luego U / b que es igual a ues y son también indeendientes. - Página -.

6 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES y /. Ejeriio Sean dos suesos y tales que a Calula la robabilidad de que ourran ambos suesos a la vez /.. b Halla la robabilidad de U U Razona si y son indeendientes o no Como.. los suesos no son indeendientes Son suesos deendientes Ejeriio Se onsideran dos suesos y asoiados a un exerimento aleatorio. Se sabe que.8.7 U.9 a Son y suesos indeendientes? b Calula / a Como U + + U Por otra arte Luego y son indeendientes orque / b que es igual a ues y son indeendientes Ejeriio 6 Sean y dos suesos aleatorios tales que:.. y. a Calula las siguientes robabilidades: U / y / b Razona si y son suesos inomatibles. Razona si y son indeendientes. 6 / a U / b No son inomatibles orque Es deir son omatibles y... Luego y son indeendientes orque.. Ejeriio 7 Sean dos suesos y tales que.. y /. / / a Halla la robabilidad de que se verifique alguno de los dos suesos... U % 6 6 / b Calula la robabilidad de que no se verifique si se ha verifiado. Son indeendientes los suesos y? Razone la resuesta. y... Luego y son indeendientes orque.. - Página 6 -

7 verde en dado º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio 8 Se tienen dos dados uno on dos aras rojas y uatro verdes y otro on dos aras verdes y uatro rojas. Se lanza una moneda; si sale ara se arroja el dado y si sale ruz el dado. a Halla la robabilidad de obtener una ara de olor rojo. b Si sabemos que ha salido una ara de olor verde en el dado uál es la robabilidad de que en la moneda haya salido ara? a ara roja on dado + ara roja on dado b ara en moneda y verde ara en moneda /ara verde endado endado Ejeriio 9 Una ersona lanza dos vees onseutivas un dado equilibrado on las aras numeradas del al 6. a Determina el número de resultados del esaio muestral de este exerimento aleatorio. b Sea el sueso la mayor de las untuaiones obtenidas es menor que y el sueso la rimera untuaión es imar. Halla la robabilidad de y la de. Son indeendientes y? a Número de resultados: b { } 6 ues orresonde a la mitad de los resultados 6 { } Luego y NO son indeendientes orque.. Ejeriio Laura tiene un dado on tres aras intadas de azul y las otras tres de rojo. María tiene otro dado on tres aras intadas de rojo dos de verde y una de azul. Cada una tira su dado y observan el olor. a Desribe el esaio muestral asoiado y las robabilidades de los suesos elementales. b Si salen los dos olores iguales gana Laura; y si sale el olor verde gana María. Calula la robabilidad que tiene ada una de ganar. a E {R V RR RV R } R 6. 6 V RR 6. 6 RV R 6. 6 b gane Laura + RR + gane María V + RV 6+ 6 Las dos tienen la misma robabilidad de ganar - Página 7 -

8 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio Un dado tiene seis aras tres de ellas maradas on un dos maradas on una X y la otra marada on un. Se lanza tres vees ese dado. a Cuál es la robabilidad de obtener tres vees el? b Cuál es la robabilidad de obtener dos X y un en ualquier orden? Cuál es la robabilidad de obtener tres resultados diferentes? Lanzamos el dado. Sea saar un Saar una x Saar un Según el enuniado Hay que tener en uenta que el resultado en un lanzamiento no deende del resultado en el lanzamiento anterior. Luego todos los resultados los del exerimento de lanzar el dado vees son indeendientes y también son inomatibles a.. [] 8.. b U U U U U U U U Ejeriio Se lanza una moneda tres vees y se onsideran los suesos: : Obtener al menos dos vees ara y : Obtener ara en el segundo lanzamiento. a Desribe el esaio muestral asoiado al exerimento. Calule P y P U. b Los suesos y son indeendientes? son inomatibles? a Esaio muestral: E { x x xx x xx xx xxx } { x x x } { x x xx } 8 8 b Como { x x } Ø y NO son inomatibles es deir son omatibles demás omo { x x } 8 y.. y NO son indeendientes orque.. Ejeriio Se sabe que el 8% de los visitantes de un determinado museo son andalues y que el % son andalues y adultos. demás el 7% de los visitantes son no andalues y adultos. Se elige al azar un visitante del museo: a Cuál es la robabilidad de que no sea adulto? b Si es adulto uál es la robabilidad de que sea andaluz? ser andaluz ser adulto Según el enuniado 8 7 a Como Por tanto 7 8 8% % b / 7 - Página 8 -

9 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio Se sabe que dos alumnos de la asignatura de Matemátias asisten a lase de forma indeendiente el rimero a un 8% de las lases y el segundo a un %. Tomado al azar un día de lase alula la robabilidad de ada uno de los siguientes suesos: a Que los dos hayan asistido a lase ese día. b Que alguno de ellos haya asistido a lase ese día. Que haya asistido a lase el segundo sabiendo que el rimero no ha asistido. asistir a lase el rimer alumno asistir a lase el segundo alumno Según los datos: y son indeendientes 8 a % % 7 9 / b U % que es igual a ues y son también indeendientes. Ejeriio El 6% de la oblaión esañola adulta no fuma el % fuma oasionalmente y el resto fuma habitualmente. Elegidos al azar dos adultos esañoles alula las robabilidades de los siguientes suesos: a Los dos sean no fumadores. b Uno de ellos sea no fumador y el otro sea fumador oasional. Fumar Fumar oasionalmente C Fumar habitualmente Según el enuniado 6 C 6+ a 6. 6 % b % Lógiamente hay indeendenia de suesos Ejeriio 6 En un Instituto de Eduaión Seundaria el % de los alumnos juegan al fútbol el % juegan al balonesto y el % ratian ambos deortes. a Si un alumno elegido al azar juega al fútbol uál es la robabilidad de que no juegue al balonesto? b Son indeendientes los suesos jugar al fútbol y jugar al balonesto? jugar al fútbol jugar al balonesto % / a Según el enuniado b y... Luego y NO son indeendientes orque.. Ejeriio 7 Se ree que hay una vuelta haia estilos de baile más oulares or lo que se realiza una enuesta a estudiantes de bahillerato resultando que al % les gusta la salsa al % les gusta el merengue y al % les gusta tanto la salsa omo el merengue. a Cuál es la robabilidad de que a un estudiante le guste el merengue si le gusta la salsa? b Y la de que a un estudiante le guste el merengue si no le gusta la salsa? Son indeendientes los suesos gustar la salsa y gustar el merengue? Son omatibles? Le gusta la salsa Le gusta el merengue Según el enuniado - Página 9 -

10 / º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES a % 6 / b % Son inomatibles orque y... Luego y NO son indeendientes orque.. Ejeriio 8 En una loalidad hay solamente dos suermerados y. El 8% de los habitantes omra en el el % en el y el % omra en ambos. Si se elige un iudadano al azar alula la robabilidad de que: a Comre en algún suermerado. b Comre solamente en un suermerado. Comre en el suermerado sabiendo que no omra en. Comrar en Comrar en Según el enuniado 8 a U % % / b % Ejeriio 9 En una iudad el % de la oblaión onsume aeite de oliva el % de girasol y el % ambos tios de aeite. Se esoge una ersona al azar: a Si onsume aeite de oliva uál es la robabilidad de que onsuma también aeite de girasol? b Si onsume aeite de girasol uál es la robabilidad de que no onsuma aeite de oliva? a b % % / / Consumir aeite de oliva Consumir aeite de girasol Según el enuniado Ejeriio la Junta General de ionistas de una emresa asisten aionistas de los uales tienen menos de años y 8 más de 6 años. Sometida a votaión una rouesta es rehazada or la terera arte de los menores de años or la terera arte de los que están entre y 6 años y or ersonas mayores de 6 años; los demás la aetan. a Calula la robabilidad de que elegida una ersona al azar tenga menos de años y haya aetado la rouesta. b La rensa afirmó que la rouesta había sido aetada or el 8% de los asistentes es orreta la afirmaión? Si una ersona esogida al azar ha rehazado la rouesta qué robabilidad hay de que tenga más de 6 años? - Página -

11 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES a 87 87% Podemos usar una tabla de ontingenia < de años > de 6 años Resto Total eta la rouesta 8 7 Rehaza la rouesta Total 8 de de 7 b etarla rouesta %. Luego la afirmaión de la rensa es inorreta % Ejeriio Una omañía de seguros ha heho un seguimiento durante un año a ohes de la mara a de la mara y a de la C que tenía asegurados obteniendo que de ellos habían tenido aidente 6 ohes de la mara de la y de la C. la vista de estos datos: a Cuál de las tres maras de ohes tiene menos roorión de aidentes? b Si elegido al azar uno de los ohes observados ha tenido un aidente uál es la robabilidad de que sea de la mara C? Podemos usar una tabla de ontingenia 6 a teneraidentelamara % tener aidentelamara % teneraidentelamarac %. Resuesta: La mara C b sea mara C /tiene aidente % Mara Mara Mara C Total Tiene aidente 6 No tiene aidente Total Ejeriio En IES de alumnos el % son hios. También se sabe que hay 8 hios que arueban el urso y 77 hias que susenden. a Haz la tabla de ontingenia b Si se elige una ersona al azar halla la robabilidad de que esté susenso sabiendo que hemos elegido un hio a hios hias total arueban 8 susenden total 8 % de 8 b susender/hio 7 8 % - Página -

12 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio En un ongreso de jóvenes rofesionales se asa una enuesta ara onoer los hábitos en uanto a ontratar los viajes or internet. Se observa que son hombres y que de estos 8 ontratan los viajes or internet mientras que de las mujeres no emlean esa vía. Elegido un ongresista al azar alula la robabilidad de que: a No ontrate sus viajes or internet. b Use internet ara ontratar los viajes si la ersona elegida es una mujer. Sea hombre sabiendo que ontrata sus viajes or internet. Podemos usar una tabla de ontingenia Hombres Mujeres Total Contrata or Internet 8 6 No ontrata or Internet 6 6 Total a noontrate or int ernet % b ontrata or int ernet / sea mujer 7% 8 8 sea hom bre / ontrata orint ernet 6% Ejeriio Un libro tiene uatro aítulos. El rimer aítulo tiene áginas el segundo el terero y el uarto. El % de las áginas del rimer aítulo el % del segundo y el % del terero tienen algún error. Las áginas del uarto aítulo no tienen errores. a Cuál es la robabilidad de que al elegir una ágina al azar tenga algún error? b Suongamos que elegimos una ágina al azar y observamos que no tiene ningún error uál es la robabilidad de que sea del segundo aítulo? Podemos usar una tabla de ontingenia Caítulo I Caítulo II Caítulo III Caítulo IV Total Tiene errores 7 No tiene errores Total % de 7 % de % de 96 a 8 8% b % 6 Ejeriio El % de los alumnos de un entro doente utiliza en su deslazamiento transorte úblio el % usa vehíulo roio y el resto va andando. El 6% de los que utilizan transorte úblio son mujeres el 7% de los que usan vehíulo roio son hombres y el % de los que van andando son mujeres. a Elegido al azar un alumno de ese entro alula la robabilidad de que sea hombre. b Elegido al azar un hombre alumno de ese entro uál es la robabilidad de que vaya andando? Podemos usar una tabla de ontingenia de robabilidades Transorte úblio Vehíulo roio ndando Total Hombres 9% % 7% 7% Mujeres 7% 9% 78% % Total % % % % 6% de % 7% 7% de % % % de% 78% 7% 7% a 7 7 % b 7 7% % 7 % - Página -

13 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio 6 De las 8 ersonas que asisten a un ongreso médio son mujeres. Observando las eseialidades de los ongresistas vemos que de las 6 ersonas que son ediatras son mujeres. Se elige al azar una ersona asistente al ongreso. a Cuál es la robabilidad de que sea mujer y ediatra? b Cuál es la robabilidad de que no sea hombre ni sea ediatra? Cuál es la robabilidad de que sea ediatra? Podemos usar una tabla de ontingenia Mujeres Hombres Total Pediatra 6 No ediatra 8 Total a % b % % Ejeriio 7 El % de los réstamos que onede un bano son ara vivienda el % ara industria y el % ara onsumo. No se agan el % de los réstamos ara vivienda el % de los réstamos ara industria y el 7% de los réstamos ara onsumo. a Si se elige al azar un réstamo alula la robabilidad de que se ague. b Se elige un réstamo al azar que resulta imagado uál es la robabilidad de que sea un réstamo ara onsumo? nte un réstamo imagado el diretor del bano afirma que es más robable que sea ara vivienda que ara onsumo lleva razón el diretor? Podemos usar una tabla de ontingenia de robabilidades Vivienda Industria Consumo Total Se aga % % 6% 7% No se aga % % % 8% Total % % % % % de % % % de % % 7% de% % 7 % % a 7 7% b 9 9% % 8% % % vivienda / nose aga 9 9% onsumo / nose aga 9 9% 8% 8% No llevarazón Ejeriio 8 Un olideortivo disone de bolas de ádel y bolas de tenis. Se sabe que 6 bolas son nuevas. demás 7 bolas de ádel son usadas. Por un error todas las bolas se han mezlado. a Calula la robabilidad de que si elegimos al azar una bola de tenis ésta sea usada. b Calula la robabilidad de que si elegimos al azar una bola sea nueva. Podemos usar una tabla de ontingenia Pádel Tenis Total Nuevas 6 Usadas 7 8 Total 8 6 a % b 9 9 % - Página -

14 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio 9 Se sabe que el % de la oblaión ativa de ierta rovinia está formada or mujeres. También se sabe que de ellas el % está en aro y que el % de los hombres de la oblaión ativa también están en aro. a Elegida al azar una ersona de la oblaión ativa de esa rovinia alula la robabilidad de que esté en aro. b Si hemos elegido al azar una ersona que trabaja uál es la robabilidad de que sea hombre? Podemos usar una tabla de ontingenia de robabilidades Mujeres Hombres Total En aro % % % Trabajando % 8% 778% Total % 6% % % de% % % de 6% % % 8% a % b % % 778% Ejeriio En un serviio ténio eseializado en ámaras fotográfias el 7% de las ámaras que se reiben son del modelo y el resto del modelo. El 9% de las ámaras del modelo son rearadas mientras que del modelo sólo se rearan el 8%. Si se elige una ámara al azar: a Calula la robabilidad de que no se haya odido rearar. b Si se observa que no ha sido rearada uál es la robabilidad de que sea del modelo? Podemos usar una tabla de ontingenia de robabilidades Modelo Modelo Total Se reara 66% % 9% No se reara % 6% 9% Total 7% % % 9% 6% a 9 9% b 66 66% % 9% 9% de 7% 66% 8% de % % Ejeriio Una omañía aseguradora realiza oeraiones de seguros médios y de seguros de vida. El % de las oeraiones orresonde a seguros médios y el resto a seguros de vida. El orentaje de oeraiones en las que no se roduen retrasos en los agos es del % en los seguros médios y del % en seguros de vida. a Halla el orentaje de oeraiones en las que no se roduen retrasos en los agos. b De las oeraiones que han sufrido retrasos en los agos qué orentaje orresonde a los seguros de vida? Podemos usar una tabla de ontingenia de robabilidades Seguros médios Seguros de vida Total retrasos en los agos 8% 68% 86% sin retrasos en los agos % % % Total % 8% % % del % % % del 8% % 68% a % b % 86% - Página -

15 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio En una rimera bolsa se han oloado bolas blanas y negras y en una segunda bolsa blanas y negras. Se saa una bola de la rimera y sin verla se introdue en la segunda. ontinuaión se saa una bola de la segunda. Halla la robabilidad de que: a La bola extraída de la segunda bolsa sea negra. b La bola extraída de la rimera bolsa sea negra si sabemos que la bola extraída de la segunda ha sido blana. Podemos usar un diagrama de árbol. la ª bolaesblana N la ª bolaesnegra Sean los suesos: la ª bolaesblana N la ª bolaesnegra 6 8 a N N + N N b N / N Ejeriio Una bolsa ontiene tres bolas azules y uatro rojas y otra bolsa ontiene dos bolas azules dos rojas y dos negras. Se elige una bolsa al azar y sin mirar se saa una bola. a Haz el diagrama de árbol de robabilidades b Si la bola extraída resulta ser azul uál es la robabilidad de que roeda de la bolsa?. y z / z z Página -

16 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio na y las deiden jugar on un dado de la siguiente forma: na lanza el dado y si saa un 6 gana y se aaba el juego. En aso ontrario lanza las que gana si saa un o un y también se aaba el juego. De no ourrir esto la artida se aaba sin ganador. Halla la robabilidad de los siguientes suesos: gana na gana las ninguno gana. Podemos usar un diagrama de árbol. gane na ganelas. noganeninguno Ejeriio En una emresa el 6% de sus emleados habla inglés y de éstos el % habla también alemán. De los que no hablan inglés el % habla alemán. Se esoge un emleado al azar: a Cuál es la robabilidad de que hable ambos idiomas? b Cuál es la robabilidad de que hable alemán? Cuál es la robabilidad de que sabiendo que habla alemán hable también inglés? Podemos usar un diagrama de árbol. a hable inglés y alemán % b hable alemán % hableinglés yalemán 6 hable inglés / habla alemán % hable alemán 7 Ejeriio 6 En una urna hay bolas verdes y rojas y en otra urna hay verdes y rojas. Se lanza un dado de forma que si sale múltilo de se extrae una bola de la urna y en el resto de asos se extrae una bola de la urna. a Calula la robabilidad de que la bola extraída sea roja. b Si la bola extraída resulta ser de olor verde uál es la robabilidad de que roeda de la urna? - Página 6 -

17 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Podemos usar un diagrama de árbol.. 6 a R. +. b nomúltilode / V 6 6 Ejeriio 7 Una bolsa ontiene bolas blanas rojas y negras. na y Manolo ratian el siguiente juego: na saa una bola anota su olor y la devuelve a la bolsa a ontinuaión Manolo extrae una bola y anota su olor. Si las dos bolas extraídas tienen el mismo olor gana na si sólo hay una bola blana gana Manolo y en otro aso hay emate. a Calule la robabilidad de que gane na. b Calule la robabilidad de que gane Manolo. Calule la robabilidad de que haya emate. Podemos usar un diagrama de árbol ara determinar todas las osibilidades. la bolade naesblana la bolademanoloesblana Seanlossuesos : R la bolade naesroja R la bolademanoloesroja N la bolade naesnegra N la bolademanoloesnegra R R N N Como la bola se devuelve a la bolsa hay indeendenia de suesos a gane na + R R + N N + + 7% b gane Manolo R + N + R + N % ematen R N + N R % - Página 7 -

18 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES.- CONCEPTO DE VRILE LETORI. TIPOS Una variable aleatoria v.a. es una funión que le hae orresonder a ada resultado de un exerimento aleatorio un número real. En las v.a. la media se reresenta or μ la varianza or μ y la desviaión tíia or μ. Las v.a. se lasifian en: Variables aleatorias ontinuas Son aquellas que ueden tomar todos los valores de un intervalo. Por ejemlo son v.a. ontinuas la estatura o el eso de una ersona la longitud de un tornillo el nivel de agua de un embalse la temeratura en una iudad a lo largo del día et Variables aleatorias disretas Son aquellas que toman valores aislados x x. x n. Ejemlos: Tiramos un dado dos vees y sumamos los untos obtenidos. Entones X suma de los untos. es una v.a. disreta Lanzamos una moneda vees y anotamos el número de aras que han salido. Entones X número de aras es una v.a. disreta También son v.a. disretas or ejemlo el número de hijos de un matrimonio el número de asignaturas susensas de un alumno el número de libros vendidos en una librería la edad de una ersona et.- VRILES LETORIS CONTINUS. Consideremos la variable aleatoria ontinua X estatura de los hios de 7 años de Granada. Suongamos que vamos reguntando a muhos hios or su estatura y el más alto mide 8 m y el más bajo m. Dibujamos el histograma de freuenias tomando lases o intervalos de m El olígono de freuenias se ajusta a una urva. La funión fx uya gráfia es esa urva se llama funión de densidad de X. En este ejemlo se han tomado intervalos de amlitud m. El área de ada retángulo es la robabilidad de que un hio tomado al azar tenga estatura en el intervalo orresondiente. Por ejemlo el área del rimer retángulo orresonde aroximadamente a < X < La funión Fk X < k se llama funión de distribuión de X - Página 8 -

19 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES 6.- DISTRIUCIÓN NORML La mayoría de las variables aleatorias ontinuas tienen una funión de densidad fx uya gráfia tiene forma de amana. esta gráfia se le llama amana de Gauss. La gráfia de la funión de densidad amana de Gauss tiene la siguiente forma: La gráfia es simétria reseto de la reta vertial de euaión x µ. Se uede demostrar que en el intervalo μ μ μ + μ se enuentran aroximadamente el 68% de los datos. Cuando la urva de densidad tiene esta forma diremos que X sigue una distribuión normal de media µ y desviaión tíia σ. Se esribe así: X Nµ σ La fórmula de la funión de densidad de una distribuión normal es fx. σ. π x. e µ σ Las distribuiones de este tio son muy orrientes en la vida real. Proiedades elementales de la distribuión normal: < X < El área entre la amana de Gauss y el eje X vale. Luego el área a la izda de μ y a la dha de μ son iguales y ada una vale PX a área del segmento vertial que asa or a. Luego en las v.a. ontinuas X a X < a X a el área que hay a la izquierda de X a Distribuión N Si en una distribuión normal X Nµ σ la media es µ y la desviaión tíia es σ resulta entones la distribuión Z N. Esta variable se llama distribuión normal tiifiada y la gráfia de su funión de densidad es la amana de Gauss entrada en - Página 9 -

20 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Uso de la tabla de la distribuión N En la distribuión normal Z N. Llamaremos fk Z < k Z k Para hallar fk en lugar de alular el área a la izquierda de k se usa la siguiente tabla: Usando la tabla se uede determinar fk on k entre y 9. Fíjate que si k 9 la robabilidad se toma igual a. Ejemlo: Para hallar f busamos en la ª olumna el número y en la ª fila. La interseión nos da el valor 89. Por tanto f 89 También se uede usar la tabla en orden inverso ara hallar el valor de k. Ejemlos: Suongamos que fk 79. usamos 79 dentro de la tabla y vemos que le orresonde en la ª olumna y 8 en la ª fila. Por tanto a 8 Suongamos que fk 976. En este aso 976 no está en la tabla; los valores más róximos son 97 que orresonde a k y 98 que orresonde a k. Como 976 está rátiamente a la misma distania de los valores enontrados tomaremos omo valor de k el unto medio de y es deir k - Página -

21 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Reglas útiles ara alular robabilidades en la distribuión N Cálulo de PZ > k PZ > k Área a la dha de k Toda el área Área a la izda de k PZ < k Ejemlo: Z > Z < Cálulo de PZ < k PZ < k Área a la izda de k Área a la dha de k PZ > k PZ < k Ejemlo: Z < 8 Z < Cálulo de PZ > k PZ > k Área a la dereha de k Área a la izquierda de k PZ < k Ejemlo: Z > 8 Z < Página -

22 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Cálulo de Pa < Z < b Pa < Z < b Área entre a y b Área a la izda de b Área a la izda de a PZ < b PZ < a Ejemlo: < Z < 76 Z < 76 Z < Cálulo de P b < Z < a P b < Z < a Área entre b y a Área entre a y b Pa < Z < b PZ < b PZ < a Ejemlo: < Z < 99 Z < Z < Cálulo de P a < Z < b P a < Z < b Área entre a y b Área a la izda de b Área a la izquierda de a PZ < b PZ < a Z < b [ Z < a ] Z < a + Z < b Ejemlo: < Z < Z < + Z < Página -

23 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio 8 Usando la tabla de la distribuión N alula las siguientes robabilidades: a Z < 89 φ b Z > φ 8 87 Z > φ 6 d 78 < Z < φ φ e < Z < 9 φ φ f 7 < Z < 77 φ7 + φ g Z 7 h 9 < Z < φ9 + φ i Z < 7 φ7 67 j < Z < 79 φ + φ Tiifiaión de una distribuión normal Nµ σ X µ Se uede demostrar que si X Nµ σ entones la variable Z N. σ este roeso se le llama tiifiaión de la variable. La tiifiaión nos ermite hallar robabilidades en una distribuión X Nµ σ transformándola en una variable Z N. a µ X µ b µ a µ b µ Por ejemlo a < X < b < < < Z < σ σ σ σ σ Esta robabilidad la odemos alular usando las reglas vistas anteriormente. Ejemlo: Si X N entones < X < 7 < X < 7 < Z < Z < + Z < Ejeriio 9 En una distribuión X que sigue una N8 alula: a PX b PX PX < 7 d X > 6 e P X < 9 f P7 < X 8 X 8 [ Z N ] X 8 8 X 8 8 a Z φ 8 b Z φ 9 X < Z < φ 8 X d > Z > 7 φ X e < Z < φ + φ X f < < Z < φ φ Página -

24 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio lo largo de diferentes ruebas de seletividad se ha enontrado que la distribuión de las alifiaiones sigue una ley normal de media 6 untos y desviaión tíia 7. Calula la robabilidad de que la nota de un estudiante de seletividad elegido al azar esté omrendida entre 6 y 7 untos. X 6 X nota del alumno X N6;7 Z N 7 Nos iden 6 < X < < X 6 7 < < Z < Z < + Z < % Ejeriio En un roeso fotográfio el tiemo de revelado de las imresiones uede onsiderarse una variable aleatoria normal ara la ual μ 9 minutos μ minutos. Determina la robabilidad de que el tiemo de revelado: a Tarde entre 6 y 6 min. b Se lleve al menos 6 min. Se lleve a lo más 6 min. X 9 [ X tiemo de revelado; X N9 ; ; Z N ] 6 9 X a 6 < X < 6 < < < Z < 8 φ8 φ X b X 6 Z 6 φ X X 6 Z 7 φ 7 98 Ejeriio En un estudio sobre niveles de emisión de sustanias ontaminantes la variable X reresenta la antidad de óxido de nitrógeno emitida. Se sabe que ara los vehíulos de ierto tio X tiene una distribuión normal on media 6 y desviaión tíia. a Calula la robabilidad de que la antidad de óxido de nitrógeno emitida sea menor que 8. b Halla la robabilidad de que X esté entre y. Obtener un valor de ontaminaión tal que la robabilidad de que un vehíulo emita una antidad menor que sea igual a 99. X 6 [ X N6 ; ; Z N ] X a X < 8 < Z < φ 69 6 X 6 6 b < X < < < < Z < φ φ X X < 99 < 99 Z < 99 Luego. + 6 ; - Página -

25 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio El eso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente on una media de kg y desviaión tíia kg. Si la ganadería tiene toros alula uántos esarán: a más de kg b menos de 8 kg entre 9 y kg X [ X esodelostoros; X N ; ; Z N ] X a X > > Z > 89 φ % Elnúmerodetorosque esanmásde kges 8 67% de 7 7toros X 8 b X < 8 < Z < φ % El número de toros que esan menos de 8 kg es 6% de 68 6 toros 9 X 9< X < < < < Z <. φ. 87 7% El número de toros que esan entre 9 kg y kg es 7 % de 8 8 toros 7.- VRILES LETORIS DISCRETS. Distribuión de robabilidad de una variable aleatoria disreta Se llama distribuión de robabilidad de una v.a. disreta X que toma valores x x x n al onjunto de robabilidades: X x X x. n X x n Para alular la distribuión de robabilidad se uede haer una tabla de robabilidades omo la siguiente: x i i X x i x x.. x n n artir de la tabla se uede dibujar un diagrama de barras llamado gráfio de robabilidades reresentando en el eje horizontal los valores x i y en el eje vertial los valores i Parámetros de una variable aleatoria disreta Los arámetros más utilizados en una v.a. disreta son: Media aritmétia o eseranza matemátia: μ x i i Varianza: Desviaión tíia: i i σ σ x μ - Página - σ xii μ Nota: La varianza también se uede alular on la fórmula σ x i µ i Ejemlo: En el exerimento aleatorio de lanzar un dado dos vees. Sea X nº de vees que sale el 6. X es una variable aleatoria disreta ues X sólo toma los valores x i : y Los resultados del exerimento los odemos obtener mediante esta tabla:

26 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES La distribuión de robabilidad es: x i i X x i Total 69 69% % % 6 % i Por ejemlo si queremos alular la robabilidad de que salga el 6 menos de vees: PX < X % que oinide on X + X 6 El gráfio de robabilidades sería: En todas las distribuiones de robabilidad disreta se umle: i Vamos a alular los arámetros de la distribuión: x i i x i i x i i Total Media o eseranza matemátia de X: μ x i i 6 Varianza de X: 7 i i σ x μ Desviaión tíia de X: σ σ Página 6 -

27 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio Sea X una variable aleatoria que exresa el número de ersonas que habitan en una vivienda elegida al azar. La distribuión de robabilidad de X es la siguiente: x i 6 7 i a Comrobar que es una distribuión de robabilidad. Si ues i b Hallar la robabilidad de que el nº de ersonas que viven en un hogar sea menor o igual que uatro Calular la robabilidad de que al menos dos ersonas vivan en una vivienda. 77 d Obtener el número medio de ersonas que habitan en una vivienda. µ x DISTRIUCIÓN INOMIL Si realizamos n vees el mismo exerimento y le llamamos X número de vees que ourre un sueso entones X uede tomar los valores:. n. Llamamos. X es una v.a. disreta on n + valores. Deimos que la variable aleatoria X tiene distribuión de robabilidad binomial n. Se reresenta así: X n Ejemlos de distribuiones binomiales: Si tiramos un dado vees y X número de vees que sale el. Entones X 6 Suongamos que en un arto la robabilidad de naer una niña es del 6%. Si observamos naimientos y X número de niñas. Entones X ; 6 La robabilidad de que al lanzar a anasta un jugador de balonesto es del 7%. Si lanza a anasta vees y X número de aiertos. Entones X ; 7 Lanzamos una moneda vees; X número de rues. Entones X ; Fatorial de un número n Es el roduto de n or todos los números naturales menores que él. El fatorial de n se reresenta or n! y se lee n fatorial. n! n.n.n Ejemlos:!!.!.. 6!... et! or onvenio El fatorial de un número también se uede hallar on la aluladora ientífia usando la funión x! Por ejemlo si queremos alular! el roeso es el siguiente: x! Nos da omo resultado: Este resultado oinidiría on la multiliaión: Número ombinatorio Dados dos números naturales n y m on n m se define el número ombinatorio n sobre m así: n n! m m!.n m! n El número ombinatorio se uede hallar on la aluladora ientífia usando la funión ncr m i i Por ejemlo si queremos alular el roeso es el siguiente: ncr Nos da omo resultado:. - Página 7 -

28 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Probabilidad en una n k X k n k Por ejemlo Si X ; X k. n k k n Parámetros de una distribuión binomial n Sea X una variable disreta que sigue una distribuión binomial X n Entones: Media aritmétia o eseranza matemátia de X: μ n Varianza de X: σ n Desviaión tíia de X: σ σ n Ejeriio En una distribuión binomial ; 6 alula: a x b x x d x e x f x g x < X k 6 k. 6 k 6 k. k k k a X b X 6... X uesesel suesoseguro d X X > X [ 6. ] e X X < [ X + X ] [+ 6. ] [ ] 96 f X X g X < uesesel suesoimosible Ejeriio 6 Una enuesta revela que el % de la oblaión es favorable a un olítio y el resto es desfavorable. Se eligen 6 ersonas al azar. Usando la distribuión binomial alula la robabilidad de que exatamente sean las ersonas favorables X nº de ersonas favorables al olítio la ersona es favorable al olítio n 6 ; X 6 ; 6 Nos iden X % Ejeriio 7 Una emresa vendedora de automóviles reibe el ago al ontado del % de sus ventas. En un determinado día ha vendido automóviles. Halla la robabilidad de que: a l menos automóviles se hayan vendido al ontado b Haya un máximo de automóviles que se hayan vendido a lazos X nº deventasalontado ; X ; X k k.8 k k a X X < [ X + X ] [.8.8 ] [ ] 67 b X > X X Página 8 -

29 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio 8 Un jugador de tenis tiene una robabilidad de ganar una artida de. Si juega 8 artidos alula la robabilidad de que gane: a sólo uno b al menos uno más de la mitad. 8 k 8 k X nº de artidosganados ; X 8 ; X k.7 k a X b X X < X X > X + X 6 + X 7 + X Ejeriio 9 La robabilidad de que salga ara on una moneda truada es. Se lanza la moneda 7 vees. Calula la robabilidad de que salgan: a aras b al menos aras a lo sumo aras 7 k 7 k X nº dearas ; X 7 ; X k. k 7 a X b X X < [ X + X ] [.. 6 ] [ ] 8976 X X + X + X + X Teorema de De Moivre de la binomial Sea una v.a. X que sigue una distribuión binomial n siendo n y n. Entones la distribuión binomial se uede sustituir or otra v.a. X que sigue una distribuión normal X N n n De esta forma odemos alular robabilidades de una n de forma más senilla y ráida. Se umle: X a a < X < a + X < a X < a X a X < a + X > a X > a + X a X > a a < X < b a + < X < b a X b a < X < b + a X < b a < X < b a < X b a + < X < b + - Página 9 -

30 º CHILLERTO LOMCE MTEMÁTICS II TEM.- PROILIDD Y ESTDÍSTIC INFERENCIL PROFESOR: RFEL NÚÑEZ NOGLES Ejeriio Un examen de tio test onsta de reguntas ada una de las uales se aomaña de uatro resuestas una de ellas orreta y erróneas las otras tres. Un estudiante ontesta al azar a Cuál es la robabilidad de que aierte más de reguntas? b Y menos de? Cuál es la robabilidad de que aruebe? X nº de aiertos ; X ; ; ; n n. n. 7 7 Por tan to se uedealiarelteoremadedemoivre. Sustituimos X orotrava.. X N n n N ; X a X > X > > Z > 7 φ7 898 X b X < X < < Z < φ X 9 X X > 9 > Z > 66 φ66 Ejeriio El % de los tornillos fabriados or una máquina resentan defetos. Si tenemos un lote de tornillos uál es la robabilidad de que haya más de defetuosos? X nº de tornillos defetuosos ; X ; ; n n. 6 n Por tan to se uedealiarelteoremadedemoivre. Sustituimos X orotrava.. X N n n N6 ; X 6 6 X > X > > Z > 86 φ Ejeriio En una iudad una de ada tres familias osee teléfono. Si se eligen al azar 9 familias alula la robabilidad de que entre ellas haya or lo menos tengan teléfono. X nº defamiliasonteléfono ; X 9; 9;; n 9 n n Por tan to seuedealiarelteoremadedemoivre. Sustituimos X orotrava.. X Nn n N97; 6 X X X > 9 > Z > φ Ejeriio El % de los libros restados en una bibliotea de un entro esolar son ténios. Si se toman los últimos réstamos alula la robabilidad de que se hayan restado entre y libros ténios. X nº delibrosténi os ; X ; ; n n. n. 9 7 Por tan to se uedealiarelteoremadedemoivre. Sustituimos X orotrava.. X N n n N; 87 X 9 < X< < X < 9 < < < Z< 9 φ9 φ Ejeriio El % de los habitantes de una determinada iudad son diabétios. Se toma una muestra de 6 habitantes. Usando el teorema de De Moivre alula la robabilidad de que en esa muestra haya menos de ersonas diabétias X nº dediabéti os ; X 6 ; ; n 6 n 6. 9 n 6. 8 Por tan to seuedealiarelteoremadedemoivre. Sustituimos X orotrava.. X N n n N9;87 Z X µ σ X 9 87 N X Nos iden X < X < 99 < Z < % Página -