DERIVADAS E INTEGRALES EN R APLICACIONES POLINOMIOS DE TAYLOR

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1 DERIVADAS E INTEGRALES EN R APLICACIONES POLINOMIOS DE TAYLOR Taylor Series Approximation T N (x) = -x 7 /3 Asignatura: CÁLCULO Titulación: GRADO EN INGENIERÍA Curso PROFESORES: Mª CRISTINA SUAREZ RIESTRA PEDRO FORTUNY AYUSO

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3 Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG DERIVADAS E INTEGRALES EN R. APLICACIONES. POLINOMIOS DE TAYLOR Curso DERIVADAS EN INTEGRALES EN R APLICACIONES POLINOMIOS DE TAYLOR 3.1 CÁLCULO DE LÍMITES CON MATLAB. El límite de una función real de variable real en un punto sólo requiere la declaración de la variable en uso como simbólica con syms y la orden limit a continuación. >> syms x 1) Con la orden limit (f, x, x ) se calcula lim fx. 2) Con limit (f, x, x, right ) se calcula el límite lateral lim fx por la derecha. 3) Por fin, con limit (f, x, x, left ) se calcula el límite lateral lim fx por la izquierda Ejemplo: >> limit(sin(x),x,pi, left ) % calcula el límite de sin(x) cuando x tiende a π por la izquierda. Ejercicio 3.1. Calcúlese el límite L= lim fx para las funciones y puntos que se indican a continuación y guárdese el resultado en un fichero. 1) f(x) = (1+1/x) x, cuando x x = 2) f(x) = cuando x x = 3) f(x) = 4) f(x) = cuando x x = cuando x x = 3

4 5) f(x) = cuando x x = 6) f(x) = cuando x x = 7) f(x) = cuando x x = 8) f(x) = cuando x x = 9) f(x) = cuando x x = + y cuando x x = - Tiene límite en x =? 1) f(x) = x sen(x) cuando x x = DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL DERIVADAS UTILIZANDO MATLAB Dada una función simbólica, MATLAB nos permite encontrar la función derivada de cualquier orden, y evaluarla si fuera necesario. Esta operación, se hace de forma simbólica utilizando el comando diff(.), pero hay que resaltar que no actúa sobre funciones definidas inline, sólo lo hace sobre EXPRESIONES SIMBÓLICAS en sí mismas. diff (' f ', 'x', n) % calcula la derivada de f respecto de x de orden n, sin declaración previa de variables syms x diff (f, x, n) %calcula la derivada de f respecto de x de orden n, con declaración previa variable simbólica Así: >> diff( ' log(x+1) ', ' x ', 8) DARÁ EL MISMO RESULTADO QUE >> syms x, diff( log (x + 1), x, 8) Si se desea EVALUAR LA DEDIVADA EN UN PUNTO se utilizará el comando subs (f, x, valor_x), pero para que lo reconozca es necesario tener declarada la variable simbólica Ejercicio Calcúlense las derivadas indicadas a continuación: 1) f (x) para f(x) = sen(x 2 ) 2) f (x) para f(x) = 2 x cos 3 (x 2 ) y evalúese en π 3) f (6 (t) para f(t) = 2 + t 6 4) f (y) para f(y) = y 2 +1 y evalúese en y = 1 CUIDADO! si no se tiene declarada la variable simbólica es necesario utilizar comillas Ejercicio Realícense las operaciones indicadas: 4

5 Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG DERIVADAS E INTEGRALES EN R. APLICACIONES. POLINOMIOS DE TAYLOR Curso a) Si f(x) = x 2 sen(3x) hállese la función primera derivada y evalúese en x = (Sol: ) b) Si f(x) = hállese la función primera derivada y evalúese en x = 2 y x = (Sol: , ) c) Si f(x) = e x hállese la función derivada de orden 1 y evalúese en x = (Sol: 1) x sen si x d) Si f(x) = si x hállese, si existen, f + (), f - () y f (). Véase la NOTA adjunta. x cos si x NOTA para el apartado d): Recuérdese la forma de calcular la derivada de una función f(x) en un punto x = a aplicando la definición, que será lo que se tendrá que aplicar en este caso, es la siguiente: f (a) = lim lim ( Def. de derivada en un punto) f + (a) lim ; f - (a) = lim (Def. de derivadas laterales) (Sol: Calculado ese límite se ve que no existe, Si se calculan las derivadas laterales, se comprueba que por la derecha no existe) INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN REAL UTILIZANDO MATLAB Dada una función simbólica, MATLAB nos permite encontrar la familia de primitivas o la integral definida, entre otras muchas utilidades que nos ofrece. Esta operación, se hace de forma simbólica utilizando el comando int(.), pero hay que resaltar que no actúa sobre funciones definidas inline, sólo lo hace sobre EXPRESIONES SIMBÓLICAS en sí mismas. int (' f ', 'x', n) syms x, int ( f, x) syms x, int (f, x, a, b) int ( f, x, a, b) % calcula la, SIN declaración previa de variables % calcula la, CON declaración precia de la variable simbólica % calcula la, CON declaración previa de variables % calcula la, SIN declaración previa de variables NOTA: Conviene eliminar las variables que se vayan utilizado, para que las que se manejen se respeten con sus propiedades. Úsese algún tipo de orden de limpieza, según interese. Ejercicio Utilizando las posibilidades que nos ofrece el programa MATLAB, realícense las operaciones indicadas: a) Calcúlese una primitiva de las siguientes funciones: f(x) = cos 5 (x) ; f(x) = 1/(1+x) 4 ; f(x) = 1x ; f(x) = (x +1) 2 e - x g(t) = t 3 sen(t 2 ) ; h(x) = x n con n positivo ; k(x) = x n con n real 5

6 / b) cos xdx / c) dx d) cosx senx dx e) f) senx cosx dx 3.3. APLICACIONES DE LA DERIVADA. CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL Entre las aplicaciones que vamos TRABAJAR en este momento de la derivada nos encontramos con el cálculo de la recta tangente a la curva en un punto y el cálculo de la recta normal, Si tenemos una función derivable, en x = a, se sabe que las rectas tangente y normal a su gráfica en un punto (a, f(a)) vienen dadas por: y = f(a) + f (a) (x-a) (Ecuación de la recta tangente) y = f(a) - x a (Ecuación de la recta normal; se necesita que f (a), para existir) Ejercicio Dibújese la curva f(x) = 2 e x + e -x en color rojo, calcúlense la recta tangente y la normal en el punto x = 1 y dibújense sobre la curva la tangente de color azul y la recta normal de color verde. INDICACIONES PARA REALIZAR LA SOLUCIÓN: UtilIzando 4 subplots en la misma figura, primero se pintan de forma individual curva, luego curva y tangente y luego curva y normal y posteriormente, en el último gráfico, todas juntas. Utilícese para los colores el comando set(la_función, color, red ), rojo o el que se elija exp(x)+ exp(-x) -5 5 x x x x x -1 1 x -1 1 x Fig. SOL: Ejercicio 3.5 6

7 Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG DERIVADAS E INTEGRALES EN R. APLICACIONES. POLINOMIOS DE TAYLOR Curso Ejercicio Considérese la función definida en los reales no nulos f (x) = x 2 sen(1/x) + 3 cos(x) + x. Se pide: 1ª) Compruébese que el lim f(x) vale 3, cuando x tiende a cero, para poder extender la definición de f con continuidad a todo R, considerando f() = 3. 2º) Calcúlese la función derivada f '(x). Compruébese que al intentar calcular f '(1), f '(3) y f ' () en este último caso NO sale un número. 3º) A pesar de lo ocurrido en el apartado anterior, compruébese, recurriendo a la definición de derivada, que f es derivable en x = y que el valor de la derivada es 1. 4º) Calcúlese el punto de corte de la función, con el eje de abscisas (y = ) y dibújese la gráfica de la tangente a la función en ese punto encontrado, junto con la gráfica de la función. 5º) Hágase lo mismo que en el apartado anterior pero con el corte de la curva con el eje de las ordenadas POLINOMIOS DE TAYLOR Si se tiene una función f(x) derivable hasta el orden n-1 en un entorno de a y de orden n en a. En el entorno de dicho punto x = a se puede tratar de aproximar por medio de un polinomio. El criterio que se elige para la construcción del polinomio, es el de hacer coincidir el valor de la función y el de sus derivadas en dicho punto x = a. Este es el denominado Polinomio de Taylor de orden n de una función f en un punto a. Su forma es la que sigue: T(f, a, n) = f(a) + f (a) (x - a) +! + +! =! modo: Con MATLAB se pueden hacer este tipo de aproximaciones, utilizando diferentes comandos del siguiente taylor(f, a, n) (la variable simbólica por defecto es x) taylor(f, n) (por defecto de a, se la toma a = y se le llama Polinomio de Mac-Laurin) f es la función simbólica, n es el orden del polinomio, que será un entero positivo (por defecto n = 5), a es el punto en cuyo entorno se trabaja v es la nueva variable simbólica que se desea utilizar (hay que especificarla) Ejercicio SE RECUERDA QUE LAS VARIABLES SIMBÓLICAS TIENEN QUE ESTAR DECLARADAS. a) Escríbanse los desarrollos de MacLaurin de la función f(x) = e x de grados 4, 6 y 2. b) Escríbanse los desarrollos de Taylor entorno al punto x = 1 de la función f(x) = e x de grados 4, 6 y 2. 7

8 c) Escríbase el desarrollo de MacLaurin de la función f(x) = de grado 5. d) Hágase el mayor desarrollo posible de MacLaurin de la función f(x) = 4x 5 + x x Qué particularidades tiene el resultado? e) Determínese una aproximación lineal de la función f(x) = 1 + sen (x) + sen 2 (x) en torno al punto x =. Ejercicio Calcúlese el Polinomio de Taylor de grado 8, en torno al punto a =, para la función f(x) = e x sen(x). Encuéntrese en el punto x =.12 el valor de la función y el valor del polinomio, primero con 4 decimales (format short) y luego con formato más largo (format long). Coinciden ambos valores? Cómo se acotaría la diferencia entre ellos? Sol: (f(.12) ; PT(.12) ) Ejercicio Sea la función f(x) = x cos(3x) y sus polinomios de Taylor de orden 2, 4 y 6, calculados. Hágase un plot con todos ellos sobre el plot de la función, utilizando diferentes colores y siendo el trazo de f(x) más grueso que el de los polinomios. Elíjase un rango adecuado para que se vean bien las aproximaciones. Ejercicio Sería capaz de programar la obtención del polinomio de Taylor: PT(f(x), x,, n) mínimo necesario para la función f(x) = de forma que se cumpla que f(x) - PT(f(x), x,, n) <.1 para todo punto del intervalo [-.3,.3]? Hágase el ejercicio en un fichero, perfectamente identificado por su autor, en el que se vayan introduciendo comentarios aclaratorios para la resolución del problema DESARROLLOS Y APROXIMACIONES CON TAYLORTOOL Quién y qué es Taylortool? Es una calculadora interactiva de POLINOMIOS de Taylor contenida en MATLAB. Taylor Series Approximation T N (x) = - x 7 /72 + x 5 /24 - x 3 /2 + x SU SINTAXIS: en la ventana de MATLAB se escribe taylortool y se inicializa ese utensilio que nos representa la función y el polinomio de Taylor en torno al punto x = a que se desee, con gran cantidad de propiedades a utilizar. Cuando se evoca aparece con valores por defecto, una función f = x*cos(x), el grado del polinomio N = 7, el punto a =, y el intervalo de representación gráfica [-2*pi,2*pi], respectivamente. Si se escribe taylortool( 'f ') se inicia con la función elegida entre paréntesis y comillas, que es este caso es la f. Por ejemplo: taylortool('sin(tan(x)) - tan(sin(x))') arrancaría con esa función. Pruébese. 8

9 Asignatura: Cálculo. Titulación: Grado en Ingeniería. EPSIG DERIVADAS E INTEGRALES EN R. APLICACIONES. POLINOMIOS DE TAYLOR Curso Taylor Series Approximation T N (x) = -x 7 /3 Es de señalar, que en determinadas situaciones, este utensilio da los mismos problemas de ajuste que manualmente. Practíquese con diferentes funciones, diferentes órdenes y puntos de desarrollo, para ver su utilidad: f(x) = sen(x), f(x) = cos(x), f(x) = log(x+1), f(x) = 1/(x-1), f(x) = arcsen(x), f(x) = tg(x),. 9