Electrostática. tica. Campo electrostático tico y potencial

Transcripción

1 Electrostática tica Campo electrostático tico y potencial

2 1. Carga eléctrica Electrostática tica = estudio de las cargas eléctricas en reposo repulsión atracción Unidad de carga = el electrón e= x C

3 3.1 Ley de Coulomb. Fenomenología La fuerza entre cargas puntuales está dirigida a lo largo de la línea l que las une. La fuerza varía inversamente proporcional con el cuadrado de la distancia que los separa y es proporcional al producto de las cargas. La fuerza es repulsiva si las cargas son del mismo signo y atractiva si son de signo diferente. r 1 r q F 1 + F 1 = 0 r 1 - r = r 1 q1 F 1 r 1 F 1

4 3. Ley de Coulomb.. FórmulaF Fuerza ejercida por q 1 sobre q F = k q q ˆr 1 r k constante de 9 Coulomb k = Nm ε 0 Permitividad del 1 vacío ε =.85 C 1 k = 4πε 0 8 C Nm r 1 r q F 1 + F 1 = 0 r 1 - r = r 1 q1 F 1 r 1 F 1

5 4. Campo eléctrico La fuerza eléctrica supone una acción n a distancia. Ejemplo: carga A y carga B La carga A causa una modificación n de las propiedades del espacio en torno a ella. La carga (prueba) B percibe esta modificación n y experimenta una fuerza qq A B F ( ˆ AB = k u ) BA r r Consideremos que B puede estar en cualquier punto y tener cualquier valor qa F ( ˆ A = q k u ) A r r La fuerza es ejercida sobre la carga prueba por el campo La fuerza eléctrica sobre un cuerpo cargado es ejercida por el campo eléctrico creado por otros cuerpos cargados F = q A E A B A A

6 4.1 Campo eléctrico cargas puntuales Carga positiva = fuente + Carga negativa = sumidero - q Er () = k r ˆ r q Er () = k r ˆ r Radiales Proporcionales a la carga Inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia

7 4.4 Líneas L de campo eléctrico Campo = deformación n del espacio causada por un cuerpo cargado. Se puede representar mediante líneas. l El vector campo en un punto es tangente a la línea l de campo Dos líneas l de campo nunca pueden cruzarse. La densidad de líneas l es proporcional a la intensidad del campo eléctrico. A grandes distancias las líneas l son las de una carga puntual.

8 Líneas de campo en esferas y planos Esfera con carga negativa Simetría esférica Plano positivo Simetría planar

9 Líneas de campo para dipolos Dos cargas positivas Carga positiva y carga negativa Dipolo eléctrico

10 Flujo del campo eléctrico El producto de la intensidad del campo eléctrico por el área de superficie perpendicular al campo se denomina flujo del campo a través de la superficie: φ = EA φ ˆn la superficie no es perpendicular al campo.:el número de línea que atraviesa a A es el mismo que a A. Las áreas se relacionan mediante: A cosθ = A donde θ es el ángulo que forma el campo y el vector unitario perpendicular a A. = EnA ˆ = EAcosθ = E A n E

11 Flujo del campo eléctrico Podemos generalizar la definición n de flujo para superficies curvas,, en las cuales el campo eléctrico puede variar (en módulo m y dirección) dividiendo las superficies en un gran número n de elementos muy pequeños. Si cada elemento es muy pequeño, puede considerarse como plano. Sea n un vector unitario perpendicular a dicho elemento de superficie y A su área (si la superficie es curvada los vectores tendrán n direcciones diferentes de un elemento a otro. El flujo a través s de cada elemento: El flujo total se obtendrá sumando los flujos obtenidos par cada elemento de superficie. Tomando el límite l de que el número de elementos se aproxime a (el área de cada elemento tiende a 0), la suma pasa a una integral: Δ φ ˆ i = EniΔAi φ = lim ΣEnˆ iδ Ai = ΔAi 0 i φ = EndA ˆ

12 Flujo del campo eléctrico Consideremos ahora una superficie cerrada. En esta superficie se define en cada punto el vector unitario normal a la superficie de tal modo que está dirigido hacia fuera. En un punto donde la fuerza entra a la superficie (el campo E apunta hacia adentro) es negativo. El flujo neto, φ net, a través s de la superficie es positivo o negativo según n sea predominantemente hacia fuera o hacia adentro. El flujo neto de una superficie cerrada se representa como: φ = EndA ˆ = net E da n

13 Ejemplo: Una carga eléctrica q está dentro de una superficie esférica de radio R.. Calcular Фnet a través s de esta superficie. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es radial a ella y vale: E = Kq R ˆn es también radial, por lo que Kq Enˆ = R En ˆ El Ф net será sumar para toda la superficie, cuya área es 4πR φ kq kq q ˆ net = EndA = da = 4 R 4 kq R R π = π = ε o

14 5.3 Ley de Gauss El flujo del vector campo eléctrico a través s de una superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en su interior dividida por la permitividad del medio. Q enc Φ= EdA = = ε0 4π kq La superficie gaussiana no es una superficie real ( es matemática, tica, y se elige según n la simetría a del problema). La ley de Gauss simplifica los cálculos c de campo eléctrico en casos de gran simetría. enc

15 5.4 Cálculos C con ley de Gauss Carga puntual Simetría a esférica + da r Φ = E da E da = Q enc ε 0 = E( r)(4π r ) Q E( r) = 4πε 0 r rˆ

16 6. Conductores en equilibrio En un conductor existen cargas con libertad de movimiento. Una carga eléctrica es capaz de moverse al aplicar un campo. Si el campo E = 0 se produce una redistribución n de cargas en el interior hasta E = 0 la situación n de equilibrio electrostático tico.

17 Conductores en equilibrio electroestático tico Debido a la enorme variación en la capacidad para conducir la electricidad es posible y conveniente clasificar la mayor parte de los materiales en conductores aislantes La capacidad de un material para conducir la electricidad se mide por su conductividad. La conductividad de un conductor típico es del orden de veces la de un aislante típico.

18 Conductores en equilibrio electrostático tico en los conductores las cargas están libres para moverse. Esta carga está constituida por electrones que no están ligados a ningún átomo. Los electrones más exteriores están más débilmente al ligados al núcleo debido a una mayor distancia al núcleo y a la repulsión electrostática provocada por los electrones internos (este efecto se llama apantallamiento). En presencia de un campo eléctrico externo, la carga libre del conductor se distribuye de tal modo que crea un campo eléctrico que tiende a cancelar o contrarrestar al campo exterior dentro del conductor. Si existe un campo dentro del conductor, existirá una fuerza q sobre esta carga que, si está libre para moverse, se acelerará. Así pues, el equilibrio electrostático es imposible en el conductor, a no ser que el campo eléctrico sea cero en todas las partes de su interior.

19 Los electrones libres están n originalmente distribuidos de modo uniforme por la lámina. l Si el campo apunta hacia la derecha, los electrones se moverán hacia la izquierda. Pero si no es muy intenso los electrones quedarán sobre la superficie de la placa. El resultado es una densidad superficial de carga negativa en la cara izquierda de la lámina y a una positiva en el lado derecho, debido a la eliminación de algunos electrones libres. Estas densidades crean un campo en el interior de la lámina que es opuesto al externo, de tal modo que el campo neto es cero en cualquier punto interior del conductor. No existe ninguna fuerza neta que actúe sobre los electrones libres y, en consecuencia, se tiene un equilibrio electrostático. Cuando se aplica un campo externo, la carga se distribuye rápidamente hasta alcanzar un valor de equilibrio de tal modo que el campo eléctrico neto es cero en el interior del conductor. El tiempo necesario para que se alcance el equilibrio suele ser del orden de s. (a efectos prácticos, el equilibrio se alcanza instantáneamente).

20 Consideremos un conductor y una superficie gaussiana que quede justo en el interior de la superficie del conductor. Como en el equilibrio electrostático el campo es cero en todos los puntos del conductor, también lo será sobre la superficie gaussiana. Puesto que E n es cero en todos los puntos de la superficie gaussiana, el flujo neto también es cero, por la ley de Gauss este flujo es proporcional a la carga neta dentro de la superficie. No existe carga neta en el interior del conductor. El campo en la superficie del conductor debe ser perpendicular a la superficie del conductor. Si el campo tuviera una componente tangencial, las cargas se moverían sobre la superficie en respuesta a esta fuerza tangencial, y no estaríamos en situación estática. Por tanto E t= 0, en la superficie de un conductor en equilibrio electrostático el campo eléctrico sólo tiene componente normal E n. E n es positivo si es saliente, y negativo si el campo está dirigido hacia adentro del conductor.

21 Sea una superficie gaussiana en forma de pequeño o cilindro con sus caras paralelas a la superficie del conductor. El cilindro es pequeño o por lo que se puede despreciar las variaciones de E en la curvatura de la superficie del conductor El flujo en la superficie lateral del cilindro es cero porque E es perpendicular a esa superficie. En la cara dentro del conductor el flujo es cero porque E es cero dentro del conductor. El flujo en la cara plana externa, de superficie S,, será,, considerando que E que es paralelo al vector unitario normal a la superficie: por la ley de Gauss, dentro de la superficie gaussiana Si hay una densidad superficial EΔ S = 4π kq = 4πkσΔS q = σδs Superficie externa del conductor con carga Superficie gaussiana EndS EndS E = = EΔS q neta ε = 4πkσ = σ ε E n = E E n = 0

22 Resumiendo, en los conductores en equilbrio electrostático tico El campo eléctrico es cero en el interior del conductor en equilibrio electrostático. Cualquier exceso de carga que posea el conductor debe residir en la superficie del mismo. El campo eléctrico justo en el exterior de la superficie del conductor es perpendicular a dicha superficie y vale, E n σ = Et = ε 0 donde σ es la densidad superficial de carga (que puede variar de un punto a otro). 0

23 Comentario Es importante darse cuenta de que el campo eléctrico producido por la carga situada en la superficie del conductor queda determinada por completo por la distribución n de cargas. No tiene importancia el hecho de que la carga esté sobre un conductor. Esta misma distribución n sobre un aislante o en el espacio crearía a el mismo campo eléctrico. Como es natural, la presencia del conductor influye en la distribución n original de carga: se distribuye de forma que el campo es nulo en su interior.

24 Energía a del campo electrostático tico El trabajo que realiza una fuerza al mover una partícula de un punto a hasta otro b es: W a b b = FdS la fuerza eléctrica es conservativa, existe la energía potencial U W = U U El trabajo que realiza la fuerza eléctrica depende sólo de los puntos inicial y final, no del camino Que la fuerza sea conservativa implica también du = FdS a a b a b F = gradu En una dimensión du = FdS F = du ds

25 Veámoslo para el caso de un campo creado por una carga puntual q en reposo. Sea E este campo de fuerza. La fuerza que experimenta una carga puntual q en este campo es: F = qe ' Carga de prueba q 0 que se mueve del punta a la b El trabajo realizado sobre q durante un desplazamiento arbitrario desde a hasta el punto b es: b b W = a b q' EdS = q' EcosφdS = r b b dr q' Edr = kqq' = r r a a r r a kqq ' = kqq ' ra rb rb ra a Sólo depende de a y b cosφ ds = dr

26 Potencial elétrico La variación n de energía a potencial por unidad de carga q se denomina diferencia de potencial: b W = q' EdS = U U ( ) a b b a a b Vb Va = EdS a dv du = q' EdS du = = EdS q ' la diferencia de potencial es el trabajo necesario por unidad de carga para mover una carga de a hasta b sin aceleración. La unidad de diferencia de potencial ΔV en el S.I. es el voltio (1V=1J/C).

27 Potencial eléctrico Al igual que para la energía potencial U, sólo tiene importancia la variación de V, el valor de la función V en cualquier punto queda determinado eligiendo arbitrariamente v de modo que sea cero en un punto adecuado. Si V y U son cero en el mismo punto, el potencial eléctrico en cualquier punto coincide con la energía potencial de una carga q en ese punto, dividido por q. kq Para un campo creado por una carga puntual: E = r r kq V = EdS = + cte Tomando V( )=0, cte=0, kq r El potencial eléctrico V es el trabajo por unidad de carga que debe hacerse para llevar una carga de prueba positiva desde el infinito hasta el punto r sin aceleración. V = r

28 Superficies equipotenciales Una superficie sobre la cual el potencial eléctrico es cte se denomina superficie equipotencial. En el caso del potencial producido por una carga puntual q, situada en el origen, el potencial es kq r Las superficies r=cte (superficies esféricas concéntricas) ntricas) son las superficies equipotenciales. V = V= constante Si damos a una carga de prueba un pequeño desplazamiento, ds, sobre una superficie equipolencial, dv=0 indicando que ds es un desplazamiento perpendicular a E. Las líneas de fuerza son siempre perpendiculares a E.

29 Superficies equipotenciales Como el campo eléctrico en la superficie de un conductor en equilibrio es perpendicular a la superficie, la propia superficie del conductor es equipotencial. Como el capo eléctrico es cero en el interior del conductor (en equilibrio electrostático), el potencial es constante en todas las partes situadas sobre y en el interior del conductor.

30 Ejemplos de cálculo c de potencial Conductor plano (con densidad uniforme) Sobre la superficie de un conductor E σ = n σ = Q ε S siendo S la superficie del conductor: σ Q E = = ε ε S Q V = Edr = r ε S E ˆn

31 Esfera cargada uniformemente de radio r0 y carga neta Q a) r<r 0 b) r>r 0 dv = E dr r E = E = Q 4πε r 3 0 Q 4πε r rn n kq R kq r V = 3 R R kq V = R b) a) Q kq r V = rdr C 4πε r = r Q Q V = dr k 4πε r = r (tomando origen de potencial r= ) Para hallar C se impone la condición de continuidad del potencial en la superficie de la esfera: kq r Q 3k + C = k C = Q r r R V 3 k kqr kq = Q = 3 r R R R R

32 Capacidad y condensadores El condensador es uno de los diferentes tipos de elementos que interviene en los circuitos eléctricos de los aparatos de radio, ordenadores, etc. Están n hechos para almacenar y ceder carga y energía a eléctrica de acuerdo con las necesidades del circuito. La propiedad que caracteriza las posibilidades de almacenamiento de un condensador es la capacidad.

33 Capacidad El cociente entre la carga Q y el potencial, V de un conductor aislado se denomina capacidad del conductor C = Q V Puesto que V siempre es proporcional a Q,, este cociente no depende de Q ni de V La capacidad de un conductor esférico es proporcional a R. La unidad de capacidad en el Sistema Internacional es el Faradio, F.

34 Ejemplo El potencial (relativo a un cero en el infinito) de un conductor aislado que posee una carga Q es proporcional a la carga y depende del tamaño o y forma del conductor. Por ejemplo, el potencial de un conductor esférico con carga Q y radio R es Q 1 Q V = k = R 4 πε R La capacidad de un conductor esférico es Q Q R C = = = = 4πε R V kq/ R k

35 Condensadores Un sistema de dos conductores que poseen cargas iguales y opuestas o condensador es un dispositivo para almacenar carga y energía. La capacidad de un condensador se define como el cociente entre el valor de la carga (sobre uno de los conductores) y el valor de la diferencia de potencial existente entre los conductores. Los condensadores comunes se componen de dos láminas l paralelas muy próximas o de dos cilindros concéntricos. ntricos.

36 Condensador de láminas l plano paralelas Está formado por láminas l paralelas de conductor muy próximas. Supongamos que una tiene una carga Q y la otra una carga Q,, y sus áreas son A,, la distancia de separación n entre las láminas es d.. La densidad de carga σ y el campo será uniforme entre las dos láminas l (despreciando los efectos de borde) Q El campo es E = nˆ ε 0 A El potencial es d Q dv = Eds = Edx = d ε A La capacidad es 0 Q 0 A C = =ε 0 V d

37 Condensadores en paralelo Las láminas superiores de los dos condensadores se conectan entre sí mediante un conductor, y por lo tanto están al mismo potencial en condiciones electrostáticas. Las láminas inferiores están también unidas y están a un mismo potencial. Si las capacidades de los condensadores son C 1 y C se tiene que las cargas almacenadas en las láminas serán Q 1 y Q dadas por Q 1 = C 1 V Para n condensadores, la capacidad equivalente es Q = C V V es la diferencia de potencial entre las láminas de cada uno de los condensadores. La carga total es Q = Q 1 + Q = C 1 V + C V = (C 1 + C ) V La capacidad efectiva o equivalente de la asociación en paralelo de condensadores es Q C = = C1+ C V n C = C El efecto de añadir un condensador es aumentar la capacidad, el área aumenta, permitiendo almacenar más carga a una misma diferencia de potencial V = V a V b. i= 1 i

38 Condensadores en serie Hay una diferencia de potencial V = V a V b entre la lámina superior del 1º condensador y la lámina inferior del º. Este puede materializarse uniendo a y b a los terminales de una pila. Si hay una carga Q en la placa superior, se induce una carga Q en la inferior. Esta carga procede de los electrones que se retiran de la lámina superior del º condensador. existirá una carga igual +Q en la lámina superior del º condensador y otra Q en su lámina inferior. Para n condensadores en serie V a V = b Q C 1 V c V = V V = V V + ( V V ) a v a c c b 1 1 b Q C Q Q 1 1 Q V = Vc Vb = + = Q( + ) = C C C C C n 1 1 = C Sea la capacidad de la asociación de los dos condensadores en serie. ef i= 1 C i CC = + C = C C C C C e 1 e 1 1+ e

39 Energía a electrostática tica en un condensador Se puede cargar un condensador por transferencia de carga de un conductor a otro. En el proceso, se aumenta el potencial de la carga transferida, y se realizarse un trabajo para cargar el condensador. Parte de este trabajo, (o todo, según el proceso de carga) se almacena en forma de energía potencial. Elijamos el cero de potencial en la placa negativa del condensador. Al comenzar el proceso de carga ninguna de las dos láminas esta cargada. No existe campo y las dos placas están al mismo potencial. Cuando se haya transferido una cara Q 0 de una placa a otra, la diferencia de potencial es V 0 = Q 0 /C, siendo C la capacidad. Habrá una carga Q 0 en la placa negativa. Sea q la carga transferida en un instante del proceso. La diferencia de potencial es V = q/c, si se transfiere a continuación una pequeña carga dq desde la placa q a potencial cero a la placa con +q a potencial V, su energía potencial q du = Vdq = dq C El aumento de la energía potencial durante la carga desde q = 0 hasta q = Q 0 es la energía almacenada en el condensador q U = du = dq= C Q 0 1 Q0 C 0 Con C=Q 0 /V 0 1 Q0 1 1 U = = QV = CV C 0 0

40 Dieléctricos Un material no conductor, como por ejemplo, el vidrio o la madera se denomina dieléctrico. Cuando el espacio entre dos conductores es ocupado por un dieléctrico, la capacidad aumenta en un factor κ, característico del dieléctrico, y que se denomina constante dieléctrica. cargamos un condensador de capacidad C 0 mediante una pila que lo carga a V 0, poniendo una carga Q 0 = C 0 V 0 en las placas. Si se desconecta la pila e introduce un dieléctrico entre las placas, rellenando todo el espacio, la diferencia de potencial disminuye hasta V Puesto que Q 0 continúa en las placas, la nueva capacidad es C Q V = V 0 κ κq V 0 0 = = =κ 0 Si se inserta el dieléctrico mientras la pila sigue conectada al condensador, ésta deberá suministrar más carga para mantener la diferencia de potencial. La carga total en las placas será Q = κq 0, y la capacidad vuelve a aumentar en κ C 0

41 Las moléculas del dieléctrico se polarizan y alinean en la dirección n del campo en presencia de un campo no El efecto neto consiste en producir una densidad de carga superficial positiva contigua a la lámina l cargada negativamente y una densidad superficial negativa contigua a la lámina l de condensador con carga positiva. Llamemos a esta densidad σ l.

42 La carga del dieléctrico no está libre para moverse como ocurre en los conductores. Se llama carga ligada. El campo creado en la superficie del dieléctrico por σ l es σ es la densidad superficial en las láminas del condensador. El campo neto será Si definimos κ= E 0 /E σ l E ' = ε E σ σ 1 κ 1σ E = E E' = = E' = E (1 ) = κ = 0 l 0 0 κ ε0 κ κ ε0 σ σ σ l σ l l = σ σ = κ 1 σ κ σ κ E 0 = σ κ E 0 Permitividad del medio La capacidad será C ε = κ E 0 ε A A = κc = ε = ε d d 0 0 ε 0

43 Cualquier material dieléctrico sometido a un campo muy intenso se hace conductor, fenómeno conocido como ruptura del dieléctrico. En el inicio de la conducción n se pueden producir descargas violentas en forma de chispas o un arco, lo cual puede quemar y romper el condensador. Los dieléctricos tienen una mayor resistencia a la ruptura que el aire, de aquí que ésta sea otra de las funciones de los dieléctricos en los condensadores. Resumiendo, la función n del dieléctrico es: 1º Proporciona un medio mecánico que separa los conductores de condensador que deben estar muy próximos para que C sea grande (para el condensador de láminas l paralelas C=εA/d /d) º Aumenta la diferencia de potencial máxima m que soporta el condensador sin que se rompa (sin que haya ruptura del dieléctrico). 3º Aumenta la capacidad.