Numeración Maya Un sistema posicional de base 20

Transcripción

1 Numeración Maya Un sistema posicional de base Edgar Anibal Cifuentes Anléu Departamento de Física Universidad de San Carlos de Guatemala Enero de,6. La notación posicional del sistema decimal El sistema numérico decimal que usamos cotidianamente es posicional y de base eso significa que por ejemplo el número 785 es la abreviación del número p7 q p8 q p5 q 785 () es decir 7 cientos mas 8 decenas mas cinco unidades. Ser de base significa que tenemos símbolos diferentes que podemos colocar en cada posición y éstos son: Ser un sistema posicional significa que la posición que los números tienen cuando son escritos es importante siendo las unidades las primeras que aparecen a la derecha, luego las decenas, a continuación las centenas, los millares, etc. El número 54 tiene 5 cifras y se escribe explícitamente así: y es equivalente por supuesto a,54 en su representación habitual La suma Una suma escrita de manera completa se vería asi: () 5 7 () p q p 5q p4 7q pq p7q pq en el primer paréntesis (de derecha a izquierda) hemos obtenido que no es ninguno de los símbolos base del sistema decimal; entonces decimos que ponemos y llevamos. En la siguiente línea sumamos el que llevabamos a la cifra siguiente p7 q. pq p7 q pq pq p8q pq 8

2 ... Resta La resta es un caso particular de la suma, como puede notarse en el siguiente ejemplo. Realice la operación p q p q p5 7q Acá hemos usado el algoritmo usual como no podemos restar 7 de 5 y obtener un número positivo entonces tomamos prestada una decena de la cifra anterior y realizamos la operación p5 7q eso significa que debemos restar uno a la decena que se convierte en p 4q p q p 4q p5 7q p q p 4q p8q pero como aca de nuevo necesitamos prestar a la cifra superior entonces repetimos el procedimiento, prestando uno a la centena que se queda en cero y las decenas quedan en p 4q. p q p 4q p8q pq 8 p8q El sistema binario El sistema numérico mas simple es el sistema binario, su base es y los únicos símbolos que necesitamos son y las posiciones representan potencias de como sigue Los números de al se presentan a continuación tanto en el sistema decimal como el binario los números del al 5 están expresados en forma completa y luego del 6 al solo en forma parcial. Ahora comencemos por desglosar el mayor de estos números como lo hicimos en la ecuación es decir (binario) es equivalente a (decimal) p binario decimal q Como un segundo ejemplo veamos el número que según la tabla es equivalente a Los números grandes tienen una enorme cantidad de cifras escribamos por ejemplo

3 resumiendo El sistema binario que alguna vez se pensó que solo era un juego matemático interesante es la base del funcionamiento de los sistemas digitales desde una simple llave electrónica hasta la mas sofisticada computadora... La suma Por ejemplo una computadora para sumar 7 sigue la siguiente secuencia p q p q p q pq pq pq pq p q pq pq pq pq p q pq pq pq pq pq pq pq pq pq hemos seguido una táctica semejante a la que usamos en la operación decimal de la ecuación. En la tercera línea obtuvimos que no es parte de los símbolos base del sistema binario por lo que escribimos y llevamos uno. En la cuarta línea agregamos el que llevabamos a la cifra siguiente y obtenemos tres, por lo que ahora escribimos uno y llevamos. En la línea siete de nuevo obtenemos dos entonces escribimos cero y agregamos una cifra mas.... Resta binario binario decimal 7 decimal binario decimal La resta también es un caso particular de la suma p q p q p q p q p q p q p q p q en notación decimal es Cómo convertimos decimal a binario? Para convertir un numero en sistema decimal a binario procedemos como sigue: Ejemplo Convertir 67 a binario. En la siguiente tabla están las sucecivas potencias de vemos que 8 5 entonces empezamos realizando las operaciones a partir de 7

4 Ñ 5mod Ñ mod Ñ 59mod Ñ 7mod Ñ mod8 4,75 Ñ,5 Ñ mod Ñ 5 decimal Por supuesto que es mejor pensar que es decir uno menos de 56. Ahora si le quitamos 4 a significa quitar el tercer uno, desde la derecha, que como ya sabemos corresponde a 4 de alli 5. Sin embargo hemos usado la forma completa para ejemplificar el procedimiento general.. El sistema de numeración El sistema de numeración usa el en lugar del como base y los símbolos diferentes en cada posición son: Que corresponden a: note que en este caso solo tenemos simbolos p, 5, q p, 5, q pero los símbolos de la base no son estos tres sino los veinte que aparecen en la tabla. La tabla siguiente presenta los primeros veinte números de la numeración Que corresponden a: Otra diferencia entre el sistema y el decimal es que las cifras posicionales no son horizontales sino verticales como puede notarse en y en la siguiente tabla con los números del al 4. Primero en la notación original y luego en la notación moderna que hemos preferido hacerla posicional horizontal r,s, r,s, r,s, r,4s, r,5s, r,6s, r,7s, r,8s, r,9s, r,s, r,s, r,s, r,s, r,4s, r,5s, r,6s, r,7s, r,8s, r,9s, r,s el número el número 55 r, s es r,s es Ahora un número de cifras r,,s 4

5 al sistema decimal decimal otro ejemplo ahora de 5 cifras 55 r4,,,,s La suma 4 6 decimal Para sumar solo sumamos los valores de las cifras correspondiente r4,8,5s r,7,4,s rp q. p4 7q. p8 4q. p5 qs r,,,6s en notación clásica 5 5 en el sistema decimal con lo que confirmamos que la operación es correcta. Otro ejemplo r4,,s r,4,s rp4 q. p 4q. p qs rp6q. p7q. pqs rpq. p6q. p8q. pqs note que en el pasaje a al ultima línea el se redujo a y le agregamos una unidad a la cifra siguiente y el 6 pasó a 6 agregando una cifra mas; de la misma forma como acostumbramos hacer en la notación decimal confirmando en notación decimal Transformación de decimal a Para transformar un número en sistema decimal a procedemos de manera semejante a como lo hicimos en el caso de decimal a binario. Por ejemplo transformemos el número,579 a notación. Primero recordemos a cuanto corresponden las primeras potencias de, 4 8, 4 6 por lo tanto es evidente que solo serán necesarias 4 5

6 cifras; empecemos entonces Ñ 579mod Ñ 4579mod Ñ 8 79mod 9 Ñ r,,8,9s 55 5 Ahora hagámoslo para el número 8. Es suficiente con tres cifras para escribir el número y será entonces Ñ 4 8mod4,5 Ñ mod Ñ 8 r4,,s 4. La numeración en el calendario La cuenta larga del calendario hace una modificación a la regla del uso del como base. Esta modificación se debe a que la duración del año es poco mas de 65 días y 4 es mucho mas grande en tanto que 6 es mucho mas cercano a 65. Por lo tanto se usa entonces el número 8 es: Ñ 5 8mod6. 5 Ñ mod Ñ r5,,s Usualmente los números de la cuenta larga son de 5 cifras pues el inicio hipotético del calendario es muy remoto como es el caso de que resulta equivalente a entonces a notación decimal Ñ 846 5mod Ñ 6 8 5mod Ñ 9 mod Ñ 7mod Ñ r,6,9,,s Para hacer la operación inversa se procede así: Convertir r,9,9,7,9s

7 los dos días siguientes no son,9,9,8, 555,,9,9,8, como sería en la notación numérica habitual sino,,,, 55,,,,, 55 debido a que 6 no lo anotamos como 8 en la segunda cifra sino como 6 en la tercera cifra. Siendo por supuesto ésta la diferencia entre la notación habitual y la notación calendárica. El número es el número de días transcurridos desde el inicio del calendario y corresponde aproximadamente a años. 7