El Tensor de Deformación

Transcripción

1 El Tensor de Deformación

2 Pensemos qué pasa cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo, es posible que éste se deforme (cambie de forma) Cambio en el desplazamiento rela1vo durante la deformación No deformado Q d dx d dd P P d dx d Q Deformado

3 Consideremos la posición de un punto: P(x 1, x 2, x 3 ) le llamaremos el radio vector Si un sólido se deforma, todos los puntos que lo consdtuyen cambian de posición a una nueva: P (x 1, x 2, x 3) El desplazamiento de este punto es entonces la diferencia de sus posiciones final e inicial: P (x 1, x 2, x 3) - P(x 1, x 2, x 3 ) Y a este nuevo vector le denominamos como u u = x i x i Este vector se conoce como el vector de desplazamiento

4 Consideremos dos puntos muy cercanos entre sí, P y Q el radio vector entre ellos antes de deformarse es: dx i El radio vector después de la deformación es: dx i = dx i + du i La primera derivada es conjnua y muy pequeña y usando la regla de la cadena: du i = u i x 1 dx 1 + u i x 2 dx 2 + u i x 3 dx 3 du i = u i x k dx k

5 Notar que u i x k relaciona dos vectores du i y dx j Por lo que es un tensor de orden 2

6 La distancia entre los puntos antes de deformarse es entonces: La distancia entre los puntos después de deformarse es: Usando la regla de la notación de subíndices repeddos (regla de la sumatoria):

7 SusDtuyendo expresar a: du i = u i x k dx k podemos Como la sumatoria del segundo término de la derecha se exdende sobre los subíndices i y k, podemos escribir:

8 En el tercer témino intercambiamos los subíndices i y l para escribir la distancia entre los puntos una vez deformado el cuerpo: En donde hemos introducido un concepto que es el llamado Tensor de Deformación:

9 Este tensor, debido a su definición es simétrico: Notar que en la definición anterior se ha escrito: En la forma: que es claramente simétrica

10 Tarea 1 a) descomponer (expandir) el segundo término de la derecha : Y demostrar que es posible escribir:

11 b) descomponer (expandir) el tercer término de la derecha de: Para llegar a: siendo:

12 El Tensor de Deformación 2a parte

13 Habíamos escrito El Tensor de Deformación de forma general como: ε ik Sin embargo, en nuestro caso (y en muchos otros) estaremos tratando con deformaciones muy pequeñas, por lo que podemos despreciar el tercer miembro de la ecuación (son términos de segundo orden, o muldplicaciones de diferenciales) de manera que: ε ik

14 Ahora bien, los subíndices son mudos y no importa cómo los denominemos (i, j, k, l, pedro o lupe), mientras seamos congruentes en lo que significan. Además, para no confundir los desplazamientos con los elementos del tensor (la notación anterior es la del libro de Landau y Lifshitz), cambiemos el nombre, así que podemos re-escribir el tensor de deformación : Veamos nuevamente alguna propiedades de las diferenciales involucradas en este tensor. Recordemos que una diferencial parcial, no es otra cosa que la variación de una función con respecto a una de las coordenadas (o variable dependiente).

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16 Para poder describir la deformación usamos vectores de desplazamiento: Desplazamiento del punto x Cambio en el desplazamiento con respecto al eje x j La diferencial δu i la podemos descomponer en dos partes, si sumamos y restamos : Al hacer esto estamos en efecto desacoplando la parte de deformación rígida (ω ij ) de la de distorsión (e ij ). reconoces alguna parte de la ecuación?

17 La parte que llamamos ω ij corresponde a una rotación rígida. La parte que produce distorsión es lo que habíamos llamado tensor de deformación: cuyos elementos son (escribirlos): Fijarse que los elementos son variaciones (tasas) de cada componente del vector de desplazamiento con respecto a los ejes coordenados.

18 Ejemplos de posibles deformaciones para un elemento de dos dimensiones

19 La traza o suma de la diagonal del tensor de deformación nos da lo que se llama la dilatancia: Para un volumen inicial dx 1 dx 2 dx 3 el volumen que resulta después de la deformación es: Si el volumen inicial es V=dx 1 dx 2 dx 3,el volumen final es V+dV=(1+q)V, por lo que:

20 Supongamos una deformación uniaxial, en dirección al eje 1. Cuál sería la forma del tensor de deformación?