Relación de los IPC históricos de transporte alimentación y combustibles para el caso colombiano

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1 XXVI Simposio Internacional de Estadística 2016 Sincelejo, Sucre, Colombia, 8 al 12 de Agosto de 2016 Relación de los IPC históricos de transporte alimentación y combustibles para el caso colombiano Poster Julian Alonso Cárdenas 1,a, Luis Jorge Garcia 1,b 1 Departamento de Estadística, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia Resumen El IPC por la definición dada por el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE 2009), es un indicador que mide la variación de precios de una canasta de bienes y servicios representativos del consumo de los hogares del país. La importancia de este indice radica en que comprime toda la información sobre muchos de los items de la canasta familiar, tanto globalmente como para cada clase de gasto 1 que se tiene dentro del mercado. Este indice es calculado mensualmente y sus orígenes vienen remontados a los años 50, pero la metodología vigente para el calculo del indice se estableció desde el año 2009 y en base a esta información se toman muchas decisiones por parte tipo económico de entidades publicas como privadas. La idea de este estudio planteado es buscar la relación entre los cálculos marginales del IPC para las canastas de bienes de combustibles (desde la canasta general de vivienda), transportes y alimentación. Por relación se va entender el buscar la dinámica implícita conjunta de estos tres indices, buscar la estructura que tiene esta relación e incluso encontrar predicciones para cada uno de los indices teniendo en cuenta la información histórica para cada uno de los indices. Para lograr este objetivo se buscará un modelo de índole estadístico que permita entender conjuntamente los movimientos de estos índices. En virtud de esto se hará uso de las bondades del análisis de series de tiempo multivariadas, que tienen como objetivo describir la relación en determinado lapso de una serie de variables. Este tipo de modelos nos brindara instrumentos para identificar un modelo que pueda darnos a entender la relación entre los tres índices. Por consiguiente que el ajuste de este modelo nos ayude a comprender la estructura de esta relación y sus características mas importantes y como ya se indicó hallar predicciones para períodos futuros de cada uno de los índices haciendo uso de toda la información que se dispone. La información que se utilizara es el calculo de este indice hecho por el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) para cada uno de las canastas de bienes de interés en este estudio, teniendo en cuenta ademas que el DANE cambió la metodología del cálculo para este índice desde el año Por lo tanto, el periodo muestral que se va a contemplar es el comprendido entre el mes de enero del año 2009 hasta julio de 2016, teniendo cada valor del índice en periodos mensuales igualmente espaciados, lo cual es requerido para utilizar los métodos que se van a usar para alcanzar los objetivos planteados. a Estudiante pregrado estadística. juacardenasca@unal.edu.co b Estudiante pregrado estadística. ljgarciac@unal.edu.co 1 Último nivel de desagregación del IPC en Colombia. 1

2 2 Julian Alonso Cárdenas & Luis Jorge Garcia Metodología Para encontrar la relación dinámica existente entre los índices analizados a través del tiempo se usa un método del análisis de series de tiempo multivariadas conocido como análisis de cointegración, el cual pretende encontrar una relación de equilibrio entre las variables analizadas, donde los cambios a través del tiempo de una de ellas dependen de los desvíos de dicha relación, lo que quiere decir que las variables en estudio tendrán una tendencia estocástica común. A continuación se exponen los términos mas importantes. Modelos VAR Cointegrados Sea {Y t } un proceso estocástico k-dimensional tal que: Y t = ν + A 1 Y t 1 + A 2 Y t A p Y t p + U t Donde t Z, ν R k, A 1,, A p son matrices reales kxk y {U t } RB(0, Σ u ). Entonces decimos que {Y t } es un proceso VAR(P ), notado {Y t } V AR(P ). Sea {Y t } V AR(P ), {Y t }. Tal proceso se dice que es estable si I k A 1 z A p z p = 0 en z 1 Sea {Y t } un proceso estocastico k-dimensional. {Y t } es integrado de orden d, si { d Y t } es estable y { d 1 Y t } no lo es. Notado como {Y t } I(d) De aquí se puede comprobar que para que un proceso sea cointegrado debe ser inestable, en consecuencia es una de las hipótesis a verificar sobre el modelo. Sea {Y t } I(d). {Y t } es cointegrado si existe una combinación lineal de {Y t }, digamos {cy t }, que es integrado de orden menos que d, donde c R k. Llamemos al proceso k-dimensional {Y t } V AR(P ), cointegrado de rango r, con r k, si: Y t = ν + A 1 Y t 1 + A 2 Y t A P Y t P + U t Y t = ν ΠY t 1 + F 1 Y t F p 1 Y t p+1 + U t Tal que, la matriz: Π = I k A 1 A P, tiene rango r y además, Π = HC. Donde C es llamada la matriz de cointegración y H la matriz de pesos. Para el ajuste del modelo se tendrán en cuenta las cuatro etapas de ajuste de un modelo estadístico de la siguiente manera:

3 XXVI Simposio Internacional de Estadística Identificación: Orden de integración: Para verificar la existencia de cointegración el primer paso es probar estadísticamente con una prueba de raíz unitaria de Dickey-Fuller, es importante comprobar que las series sean NO estacionarias y trabajar sobre las mismas sin necesidad de diferenciar. Las pruebas marginales a cada serie se presentan a continuación: Serie marginal Valor crítico Estadística T - Serie en niveles Estadística T- Serie diferenciada Alimentos Transporte Vivienda Los resultados anteriores apoyan la hipótesis que el proceso en forma multivariada es integrado de orden 1, I(1). Orden del proceso autorregresivo: Para seleccionar el orden autorregresivo, hacemos uso de los criterios AIC, BIC y HQ; con base en estos resultados se decide seleccionar p = 2. Orden AR AIC BIC HQ * * * Orden de cointegración: La prueba de selección de orden de cointegración proporcionada por el software CATS es el siguiente: r Valor Propio Traza Frac95 P-valor Para la hipótesis nula H 0 : r = r 0 vs H a : r 0 < r r 1 no rechazamos para r = 1, entonces el orden de cointegración en este caso es 1. Estimación Modelo en forma VAR: En la sección anterior se determinó que {Y t } V AR(2) de acuerdo a: A t A t A t 2 u 1t Y t = B t = B t B t 2 + u 2t V t V t V t 2 u 3t

4 4 Julian Alonso Cárdenas & Luis Jorge Garcia Modelo en forma de corrección de errores La estimación de este modelo es: u 1t Y t = Y t Y t 1 + u 2t u 3t La descomposición de la matriz Π = HC queda determinada por: H = C = [ ] Donde el espacio de cointegración de las variables estará dado por el conjunto generado por la fila de la matriz de cointegración (C). Verificación: Las pruebas de verificación del modelo VAR(2) cointegrado se hacen sobre el proceso de residuales estimados resultante del ajuste del modelo. Tal proceso debe reflejar las siguientes características: El proceso multivariado de residuales será homocedástico y en consecuencia los procesos marginales también lo serán. El proceso debe ser un proceso de ruido blanco multivariado. El proceso debe cumplir con ser gaussiano multivariadamente. Por último, se debe comprobar que el proceso es inestable. Cada una de las pruebas estadísticas necesarias para verificar estos supuestos se efectuaron. Las pruebas utilizadas fueron las siguientes: Si hablamos de homocedastidad del proceso utilizamos la prueba CusumSquare, una prueba de tipo gráfica que nos muestra si existen cambios bruscos en la varianza de cada uno de los procesos marginales. Podemos estar tranquilos ya que cada uno de los procesos marginales cumple esta característica. Ahora si vamos a comprobar la blanquitud del proceso multivariado recurrimos a (Hosking 1981) con una variante de la prueba Q para blanquitud, pero en este caso multivariada. De igual manera el proceso de residuales pasa a cabalidad esta prueba. Por otro lado cada uno de los procesos marginales cumple con ser Gaussiano, esto se comprobó a través de la prueba Jarque-Bera, que puede ser consultada en (de Rivera 2005). Multivariadamente las pruebas son muy estrictas, en consecuencia el proceso no cumplió con este requisito. Por último, hay que decir que se comprobó que el proceso fuera inestable, lo cual fue evidente a través de la segunda definición dada en este artículo.

5 XXVI Simposio Internacional de Estadística Uso En la fase de uso del modelo, se planean hacer predicciones 8 pasos adelante, teniendo en cuenta la teoría del mejor predictor lineal, así mismo, para cada serie se calcula el intervalo de predicción haciendo uso del error cuadrado medio del predictor h pasos adelante, como se muestra a continuación: Figura 1: Predicción 8 pasos adelante serie A t Figura 2: Predicción 8 pasos adelante serie B t

6 6 Julian Alonso Cárdenas & Luis Jorge Garcia Figura 3: Predicción 8 pasos adelante serie V t Es evidente ver que para cada una de las series se mantiene la tendencia que se observo en el periodo muestral y se estabiliza alrededor del quinto o sexto horizonte de predicción en todos los casos. Es evidente ver que los intervalos de predicción crecen de una manera descontrolada, pero en este tipo de modelos se recomienda no predecir muchos pasos adelante en virtud de que la medida de incertidumbre asociada a las predicciones crece rápidamente. Por lo demás las primeras predicciones, hablando de los dos o tres primeros pasos de predicción son los importantes y a medida que vaya surgiendo nueva información ir actualizando el modelo para hacer mas fiable los demás horizontes de predicción. Conclusiones La relación de cointegración entre las tres variables que fueron trabajadas, sacan a la luz que el comportamiento dinámico de estos indices es conjunto a lo largo del tiempo. Como se puede ver en (Lütkepohl 2005) la idea que refleja la cointegración es un equilibrio a largo plazo entre las variables analizadas con un término de error que será interpretado como el desequilibrio de la relación existente en cada punto del tiempo. La hipótesis desarrollada durante este escrito fue la de la existencia de una relación entre estos indices y por medio de las bondades de la cointegración se encontró tal relación. La relación encontrada se mostró anteriormente, pero siguiendo el enfoque de (Johansen 1988), al hacer uno de los coeficientes igual a 1 (para nuestro caso la variable que representa al indice de alimentos) lo que se conoce como ecuación de cointegración es la siguiente: A t = 6.576B t 3.050V t + ϵ t donde ϵ t representa las desviaciones del sistema de equilibrio en cada punto del tiempo. Esta ecuación muestra que el indice de los alimentos se ve ampliamente influenciado de manera directa por el de transporte y se ve inversamente influenciado por el de vivienda, que recordemos, contiene la información del precio de combustibles. Si se pretende analizar esta relación descrita por la ecuación anterior, en particular se puede decir que el indice de alimentos sube si el indice de transporte sube, y por otro lado el indice de alimentos sube si el indice de vivienda baja; todo lo anterior bajo el sistema de equilibrio descrito por el modelo encontrado. Naturalmente, si el precio en los transportes sube el precio de los alimentos también lo va a hacer, lo que concuerda por la ideas que se apoyan en el modelo. Mientras que contrario a lo que se pensaría, la relación entre los indices de alimentos y vivienda fue inversa. Es un hecho bastante curioso, pero simplemente puede deberse a la agregación que hay del indice de combustibles dentro del indice de vivienda y otro productos o servicios que estén calculados dentro de este indice pueden perturbar esta relación.

7 XXVI Simposio Internacional de Estadística Referencias DANE (2009), Metodología Indice de Precios al Consumidor, DANE-Departamento Administrativo Nacional de Estadística, Bogotá-Colombia. de Rivera, D. P. S. (2005), Análisis de series temporales, Alianza Editorial. Hosking, J. (1981), Equivalent forms of the multivariate portmanteau statistic, Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological) pp Johansen, S. (1988), Statistical analysis of cointegration vectors, Journal of economic dynamics and control 12(2), Lütkepohl, H. (2005), New introduction to multiple time series analysis, Springer Science & Business Media.