Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

2 Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) es un conjunto de n ecuaciones diferenciales todas ellas de 1er orden: 1 = f1( x, y1, y,... yn ) = f( x, y1, y,... yn) [1]... n = fn( x, y1, y,... yn) donde las funciones y k (x), (k = 1,,, n) dependen sólo de una única variable x. La solución de este problema consiste en calcular el conjunto de las funciones y k (x), que verifican las condiciones de contorno dadas: y 1 (x 0 )=y 0 0, y (x 0 )=y 0, y n (x 0 )=y 0 n Nos vamos a restringir a sistemas de la forma [1]. y 1 (x k )=y 0 k, k =1,,n El sistema [1] no es la forma más general de SEDO. El caso general sería G 1 (y 1,y,,y n,y 1,y,,y n,x)=0 G (y 1,y,,y n,y 1,y,,y n,x)=0 Gn(y 1,y,,y n,y 1,y,,y n,x)=0

3 Teorema de existencia y unicidad El sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden (SEDO) 1 = f1( x, y1, y,... yn ) = f( x, y1, y,... yn)... n = fn( x, y1, y,... yn) con las condiciones de contorno dadas, y 1 (x 0 )=y0, 0 y (x 0 )=y, 0 y n (x 0 )=yn 0, tiene una única solución si las funciones f k (x, y 1,y,,y n ), (k =1,,,n) verifican en un entorno del punto x 0,y1,y 0 1, 0,yn 0 las siguientes dos condiciones 1.- Son continuas en un entorno del punto x 0,y1,y 0 1, 0,yn 0..- Todas las derivadas parciales f k y j, k, j, =1,,,n existen y están acotadas en un entorno. x 0,y 0 1,y 0 1,,y 0 n La segunda es una condición más restrictiva de la condicion de que las funciones verifique la llamada condición de Lipschitz. [1]

4 Integración por reducción a ecuaciones desacopladas de orden superior. El metodo consiste básicamente en eliminar en cada ecuación del sistema las otras variables. Para ello cambiamos el orden de la ecuación diferencial. Ejemplo I Sea el sistema de ecuaciones = z = y con las condiciones iniciales y(x 0 )=y 0,z(x 0 )=z 0 Derivando las ecuaciones [1] podemos desacoplar las funciones: [] es un par de ED lineales desacopladas. Sin embargo no es totalmente equivalente al sistema de par<da. La solución general de [] es: y(x) =Ae x + Be x z(x) =Ce x + De x Debemos imponer las ecuaciones de par<da [1] a esta solución: = Aex Be x = z = Ce x + De x [1] A = C que sólo depende de dos constantes de integración, A y B. A y B se pueden obtener de las conciones iniciales. En x = x 0 Ae x 0 + Be x 0 = y 0 A = y 0 + z 0 e x 0 Ae x 0 Be x 0 = z 0 B = y 0 z 0 e x 0 d y = d z = = y = z d y = y d z = z [] que depende de 4 constantes; las condiciones iniciales dadas resultan insuficientes. B = D y(x) = y 0 + z 0 z(x) = y 0 + z 0 y(x) =Ae x + Be x z(x) =Ae x Be x e (x x 0) + y 0 z 0 e (x x 0) y 0 z 0 e (x x 0) e (x x 0) 4

5 Problemas propuestos Encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales =y z =y z con las condiciones iniciales y(0) =, z(0) = 1 5

6 Generalización a sistemas de mas de dos ED de 1 er orden Encontrar la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales =z [1] = w dw =9y es un sistema de ED con tres funciones y(x), z(x), w(z) Se puede desacoplar el sistema de forma análoga al caso de dos ecuaciones: =z = w dw =9y derivando d y =w = d z =9y = dw d w = 7z =9 derivando d y = 7y =dw d z = 7z =9 d w = 7w = 7 De forma que el problema se reduce a tres ED ordinarias con una única función: d y = 7y d z = 7z d w = 7w [] 6

7 Hemos conver<do el sistema [1] de ED de 1 er orden en un conjunto de tres ecuaciones de er orden =z = w dw =9y [1] d y = 7y d z = 7z d w = 7w pero ambos sistemas no son estrictamente equivalentes. La solución del sistema [1] depende de tres constantes arbitarias, mientras que la del conjunto [] de ecuaciones <ene 9 constantes indeterminadas. Buscamos la solución general de una ecuación de []; por ejemplo de la primera y 7y =0 Probamos la solución y(x) =e px, la ecuación caracterís<ca se reduce a p 7 = 0 Buscamos las raíces del polinomio caracterís<co: p 7 = (p )(p +p + 9) Por lo tanto las raices son y la pareja de conjugadas p 1 = p, = ± = ± i La solución general de la 1ª ecuación es por tanto y G (x) =A y e p1x + B y e px + C y e p x donde son constantes arbitrarias. A y,b y,c y Las otras funciones de [] verifican la misma ecuación diferencial, por lo tanto la solución general de es [] : y G (x) =A y e p1x + B y e px + C y e p x z G (x) =A z e p 1x + B z e p x + C z e p x w G (x) =A w e p 1x + B w e p x + C w e p x [] 7

8 La solución de las ecuaciones d y = 7y d z = 7z d w = 7w =z = w [] están desacopladas. y G (x) =A y e p 1x + B y e p x + C y e p x z G (x) =A z e p 1x + B z e p x + C z e p x w G (x) =A w e p 1x + B w e p x + C w e p x Si imponemos que verifiquen el sistema de ecuaciones de par<da A y p 1 e p 1x + B y p e p x + C y p e p x =A z e p 1x +B z e p x +C z e p x A z p 1 e p 1x + B z p e p x + C z p e p x = A w e p 1x + B w e p x + C w e p x =z = w dw =9y A z = p 1 A y, B z = p B y, C z = p C y [a] A w = p 1 A z, B w = p B z, C w = p C z [1] subs<tuyendo los valores [a] : A w = p 1 A y, B w = p B y, C w = p C y [b] vemos que todas las constantes de integración quedan determinadas por tres de ellas (en nuestro caso hemos elegido, pero podrían ser otras) A y,b y,c y 8

9 La ª ecuación del sistema dw =9y A w p 1 e p 1x + B w p e p x + C w p e p x =9A y e p 1x +9B y e p x +9C y e p x A w = 9 p 1 A y, B w = 9 p B y, C w = 9 p C y [c] conduce a los valores que habíamos obtenido en la ecuación [b]: A w = p 1 A y, B w = p B y, C w = p C y [b] ya que dado que y son soluciones de la ec. caracterís<ca: p 1,p, p p = 7 los coeficientes de [b] y [b] son iguales Así: 9 p 1 = 9 p 1 p 1 p 1 = 9p 1 7 = p 1 y lo mismo ocurre con los otros coeficientes de y B w C w La solucion general del sistema sólo depende de tres constantes arbitrarias. A A y,b B y,c B y y G (x) =Ae p 1x + Be p x + Ce p x z G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x w G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x [4] donde y p 1 = p, = ± i 9

10 La solución del sistema de ecuaciones [] y G (x) =Ae p 1x + Be p x + Ce p x z G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x w G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x donde y p 1 = p, = ± i si buscamos soluciones del sistema reales, elegimos las constantes de integración de forma que los términos complejos asociados a las raíces complejas y den un valor real. p p [4a] [4b] [4c] Par<mos por ejemplo de [4ª] donde α = A β = B + C γ = i(b C) y G (x) =Ae p1x + Be px + Ce px = Ae x + Be +i x + Ce i x = Ae x + e x [Be i x + Ce i x ] = Ae x + e x {B[cos( x)+isin( = Ae x + e x [cos( = αe x + βe x cos( x)+γe x sin( B = 1 (β iγ) C = 1 (β + iγ) x)] + C[cos( x) i sin( x)]} x)(b + C)+isin( x)](b C)] x) La solución y G (x) =αe x + βe x cos( x)+γe x sin( x) es equivalente a [4ª], y si las constantes y son reales, también lo es la función [5ª]. α, β γ En este caso B = C y la suma de los dos úl<mos términos de [4ª] es la suma de dos complejos conjugados, que es real. [5a] 10

11 y G (x) =Ae p 1x + Be p x + Ce p x z G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x w G (x) = p1 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x [4a] [4b] [4c] Hemos visto que con el cambio A = α, B= 1 (β iγ), C= 1 (β + iγ) donde y son reales, la solucion α, β γ y G (x) es una función real. Escribimos la ec. [4b] con las constantes y α, β γ z G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x = p 1α = αe x + p (β iγ) 6 e x x e i = αe x + ( +i )(β iγ) 1 = αe x + e x x x + p (β + iγ) 6 e x x e i 1 [( +i )(β iγ)e i ep 1x + p (β iγ) 6 e x x e i x x + ( i )(β + iγ) 1 e px + p p (β iγ) x e x +( i )(β + iγ)e i p 1 =, p, = ± i e x x e i x los dos úl<mos términos son complejos conjugados, de forma que su suma real z + z =Real(z) Operando x ] z G (x) =αe x + e x x [( β + γ) cos( x) ( β + γ) sin( )] [5b] que tambien es real si las constantes de integración lo son. 11

12 yg (x) = Aep1 x + Bep x + Cep x p1 p p zg (x) = Aep1 x + Bep x + Cep x 1 p1 p1 x p p x p p x wg (x) = Ae + Be + Ce [4a] Hemos visto que con el cambio 1 1 [4b] A = α, B = (β iγ), C = (β + iγ) donde α, β y γ son reales, las soluciones yg (x) [4c] y wg (x) son funciones reales, para los valores calculados de ± i Escribimos la ec. [4c] con las constantes α, β y γ p1 =, p, = p11 p1 x p p x p p x p β iγ p x p β + iγ p x x wg (x) = Ae + Be + Ce = αe + e + e Teniendo en cuenta que p = [p ] y [z1 z ] = z1 z p (β + iγ)ep x = [p (β iγ)ep x ] 1 1 wg (x) = αex + p (β iγ)ep x + [p (β iγ)ep x ] = αex + 1 Real[p (β iγ)ep x ] 6 6 ± i 9 p = p = (1 + i ) 4 x x = αex Real[(1 + i )(β iγ)e x [cos( ) + i sin( )] 4 x e x x = αex Real{[β + γ + i(β γ)][cos( ) + i sin( )} 4 x e x x = αex [(β + γ ) cos( ) (β γ) sin( )] 4 la solución es también real x e x x wg (x) = αex [(β + γ ) cos( ) (β γ) sin( )] 4 [5c] 1

13 Conclusión =z = w dw =9y Hemos visto que la solución general del sistema [1] era y G (x) =Ae p 1x + Be p x + Ce p x y donde p 1 =, p = ± i Esta es la solución general del sistema, que depende de tres constantes arbitrarias A, B y C. Con el cambio de constantes, A = α, B= 1 (β iγ), C= 1 (β + iγ) esta es la solución se puede reescribir como z G (x) = p 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x w G (x) = p1 1 Aep 1x + p Bep x + p Cep x [4] y G (x) =αe x + βe x cos( x)+γe x sin( z G (x) =αe x + e x x w G (x) =αe x e x 4 x) [( β + γ) cos( x) ( β + γ) sin( [(β + γ ) cos( x )] [5] ) (β γ) sin( x )] Ambas soluciones son totalmente equivalentes. [5] es otra forma de escribir la solución general del sistema, en términos de funciones reales. Se ve que si elegimos las constantes y la solución es también real, como uno esperaria. α, β, γ 1