Matemáticas Discretas 2 - Taller 2 Aritmética modular G. Padilla

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1 Matemáticas Discretas 2 - Taller 2 Aritmética modular G Padilla 1 EQUIVALENCIAS Y RELACIONES DE ORDEN (1) Decide cuáles de las siguientes relaciones son equivalencias En caso afirmativo, halla el conjunto cociente X/R y las clases de equivalencia: (a) X es el conjunto de todos los colores xry si y solo si x es más claro que y (b) X es el conjunto de todos los estudiantes de la UNAL xry si y solo si x, y poseen el mismo promedio de notas (c) X es el conjunto de todas las personas; xry si y solo si x es madre de y (d) X es el conjunto de todas las personas vivas o muertas; xry si y solo si x es algún ancestro de y (e) X es el conjunto de todos los oficiales de la fuerza naval; xry si y solo si x posee mayor rango que y (f) X es el conjunto de todos los números enteros; xry si y solo si y es múltiplo de x (g) X = P(Y) es el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto Y xry si y solo si x y (2) Del ejercicio anterior; Cuáles relaciones son de orden? Cuáles son órdenes lineales? (3) Si R es una relación de equivalencia en X; muestra que el conjunto X/R = {x : x X} de clases de equivalencia x = {y X : xry} es una partición de X (4) Si X f Y es cualquier función, muestra que la relación [x y f (x) = f f (y)] es una equivalencia (5) Si U = {A i : i I} es una partición de un conjunto X = ; muestra que la relación (xry) i I(x A i ) (y A i ) es una equivalencia (6) Muestra que toda equivalencia se escribe como para alguna f adecuada f Ayuda: Considera la proyección canónica X π X/R, π(x) = x (7) Sea φ una fórmula en el lenguaje de los números enteros N Demuestra el principio de inducción: Si (a) φ(0) es cierta; y (b) n[φ(n) φ(n + 1)] es cierta; entonces φ(n) es cierta para todo n N Ayuda: Usa el principio del buen orden en N (8) Algoritmo de Euclides: Si m, n Z y m = 0 muestra que siempre existen c, r Z tales que (a) n = cm + r (b) 0 r < m Ayuda Demuéstralo primero para m, n > 0 ambos, uysando el principio del buen orden Para el caso general, usa la regla de los signos 1

2 2 ALT4 En el último ejercicio de esta sección; los números n, m, c, r se llaman respectivamente dividendo, divisor, cociente y resto Para m > 0 decimos que m divide a n (o n es múltiplo de m, o m es factor o divisor de n) si y solo si r = 0; es decir, si y solo si existe c Z tal que n = cm Si m divide a n, escribimos m n Dados x, y Z, x = 0, y = 0; el máximo común divisor de x, y es (x, y) = max{m N + : (m x) (m y)} 2 CONGRUENCIA MÓDULO UN ENTERO Fijamos un entero positivo m N, m > 0 En el conjunto de los números enteros Z; la relación (x y) m (y x) es la congruencia módulo m Si x y, en adelante, escribimos x y (m) y diremos que x es congruente con y módulo m Al conjunto de clases de equivalencia Z/ = {x : x Z} lo escribimos en adelante como Z m ; este es el conjunto de enteros módulo m Escribiremos [x] m para denotar el resto que deja x al ser dividido por m Cuando no haya duda posible, omitimos el subíndice y escribimos [x] Notemos que [x] Z es un entero, mientras que x es una clase de equivalencia Verifica las siguientes propiedades: (1) La relación (mrn) (m n) es un orden en N + (2) (m x) ([x] = 0) (x = 0) (3) x y (m) si y solo si [x] = [y] (4) Z f {0,, m 1} dada por f (x) = [x] satisface f (x) = f (y) x y (m) (5) [x + y] = [[x] + [y]], [x y] = [[x] [y]] (6) Si x = x, y = y entonces x + y = x + y y xy = x y (7) x [x] (8) Calcular (a) [27] 5 (b) [37 14 ] 6 (c) [1084] 2 [ (d) (12) 11] 21 [ (e) ( 17) 1437] 4 (9) Escriba explícitamente todas las palabras posibles de cuatro letras diferentes a, b, c, d (10) Cuántas palabras de seis letras diferentes pueden escribirse? Cuántas pueden escribirse si se permite repetir letras? (11) Dado un entero m > 0, Cuántas palabras de m letras diferentes pueden escribirse?

3 (12) Dados 0 k < m enteros; muestra que ALT4 3 f k : {0, m 1} {0, m 1} f k (x) = [x + k] m es una biyectiva Escribe todas las f k posibles para m = 10 (13) Abre una sesión de R y usa la función floor (parte entera) para escribir el siguiente código: resto=function(dividendo,divisor) (divisor*((dividendo/divisor)-floor(dividendo/divisor))) Calcula resto( ,18) resto(1:30,6) (14) Use la función resto definida en el ejercicio anterior para escribir las funciones f k del ejercicio (12) en código de R Por ejemplo, para m = 12 la función f 3 se escribe como sigue: x=1:12 f3=resto(x+3,12) f3 Escribe todas las funciones f k, para 0 k, m = 24 Cuántas funciones diferentes hay? A partir de cuándo se repiten? (15) Demuestra que las funciones definidas arriba satisfacen las siguientes propiedades: (a) f 0 = id = f m (b) f j f k = f j+k (c) f 1 k = f m k (16) Deduce a partir del ejercicio anterior que la composición de funciones de la forma f k no proporciona funciones de mayor complicación lógica 3 ENCRIPTAR VS DESENCRIPTAR Encriptar es un proceso sencillo desde que se conoce a f La propia función f es la clave de la encriptación Desencriptar, conociendo la clave f, equivale a aplicar f 1 Si no se conoce la clave, entonces desencriptar implica resolver dos problemas: (1) Buscar las posibles candidatas a f (2) Aplicar f 1 en cada caso y decidir si la secuencia de caracteres desencriptados tienen algún sentido Una completa solución algorítmica del ambos problemas requiere de un proceso de conjetura y decisión, por ejemplo, a través de una red neuronal ( 1 ) Sin entrar por el momento en la parte decisoria de la solución; es de notar que las posibilidades para buscar f crecen de manera exponencial con el tamaño del alfabeto empleado, véase de nuevo el ejercicio (11) de la Sección 2 Por ejemplo; si se emplea toda la tabla de 1 El primer problema no trivial consiste en decidir si una secuencia de caracteres es o no un mensaje ecriptado Esta decisión implica un proceso de reconocimiento del texto en cuestión

4 4 ALT4 caracteres ASCII hay 256! posibilidades En lugar de recorrer las m! posibilidades de modo exhaustivo; una primera estrategia consiste en Clasificar todas las biyecciones f de acuerdo a la complicación lógica de la definición de f Por ejemplo; la biyección más sencilla es la identidad f = id que no cambia a nadie Recorrer las biyecciones f de modo ascendente, en relación a su complicación lógica (1) Traduce la siguiente secuencia de caracteres EBCBMF!BSSP[!B!MB![PSSB!FM!BCBE sabiendo que para encriptarla se empleó la función f 1 en Z 256 sobre la tabla de caracteres ASCII (2) Encripta la misma secuencia del ejercicio anterior usando f 17 4 IDENTIDAD DE BEZOUT (1) Dados x, y Z, ambos diferentes de cero; muestra que existen a 0, b 0 Z únicos, tales que (x, y) = a 0 x + b 0 y Ayuda: Considera el conjunto A = {q N : (q > 0) a, b Z(q = ax + by)} Demuestra que (a) A = (b) (x, y) q para todo q A (c) Sea q 0 = min(a) Muestra que q 0 x, y (d) Muestra que q 0 x Ayuda: Escribe a x = cq 0 + r y muestra que, si r > 0, entonces r = (x cq 0 ) A lleva a una contradicción (e) Deduce que (x, y) = q 0 (2) Escribe en código de R las funciones Z m g k Z m definidas como sigue g k ([x]) = [kx]; m = 24, k 0 Cuáles de estas funciones son biyectivas? Cuántas funciones diferentes hay? A partir de cuándo se repiten? (3) Demuestra que g k es biyectiva si y solo si (k, m) = 1 Ayuda: Es suficiente demostrar que g k es inyectiva Por qué? (4) Escribe en código de R las funciones h k ([x]) = [x k] Cuántas funciones diferentes hay? A partir de cuándo se repiten? (5) Demuestra que las funciones definidas arriba satisfacen las siguientes propiedades: (a) g 0 = 0 (b) g 1 = id (c) g j f k = g jk = g [jk] m (d) Si (k, m) = 1; muestra que g 1 = g k j para algún 0 j < m Ayuda: Usa la identidad de Bézout (e) h 0 = 1

5 (f) h 1 = id (g) h j h k = h h+k (h) Si m es primo; entonces h m 1 = id y h 1 ALT4 5 5 ALGORITMO RSA, PRIMERA PARTE k = h m k 1 para 1 k m 1 (Rivest, Shamir y Adleman) es un sistema criptográfico de clave pública desarrollado en 1977 Es el primer y más utilizado algoritmo de este tipo y es válido tanto para cifrar como para firmar digitalmente Su seguridad radica en el problema de la factorizacin de números enteros Los mensajes enviados se representan mediante números, y el funcionamiento se basa en el producto, conocido, de dos números primos grandes elegidos al azar y mantenidos en secreto Actualmente estos primos son del orden de , y se prevé que su tamaño crezca con el aumento de la capacidad de clculo de los ordenadores Como en todo sistema de clave pública, cada usuario posee dos claves de cifrado: una pública y otra privada Cuando se quiere enviar un mensaje, el emisor busca la clave pública del receptor, cifra su mensaje con esa clave, y una vez que el mensaje cifrado llega al receptor, este se ocupa de descifrarlo usando su clave privada Se cree que RSA ser seguro mientras no se conozcan formas rápidas de descomponer un número grande en producto de primos La computacin cuántica podría proveer de una solución a este problema de factorización (Tomado de Descripción: A debe calcular dos primos gigantescos p, q y formar m = pq Para ello A consigue (usando los primos que conoce p, q) un par de números c, d (codificador, decodificador) A solo da a conocer los números m, c; esta es la parte pública de la clave Si B quiere enviarle a A un mensaje secreto, puede usar la función h(x) = [x c ] N Cuando llega un mensaje encriptado y=h(x); A lo descifra (obtiene el vector numérico original x) usando su funcin secreta g(x) = [X d ] pues estas fueron armadas de manera tal que g( f (x)) = x (Fuente, Tarea: Busque en wikipedia y en la biblioteca del CyT referencias sobre (1) Función de Euler (2) Grupos cíclicos (3) Teorema chino del resto