Introducción a la Teoría de conjuntos. Kepler C k Ikastegia

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de conjuntos Kepler C k Ikastegia 2005

2 2 Kepler C k Ikastegia

3 Índice general 1. Breves nociones de Lógica Proposiciones y conectores proposicionales Tablas de verdad Ejercicios Sobre los conjuntos Conceptos básicos Intersección y unión de conjuntos Partición de un conjunto Ejemplos de conjuntos Producto cartesiano de conjuntos Relaciones o correspondencias Aplicaciones entre conjuntos Ejercicios Leyes de composición u operaciones Leyes de composición internas y externas Estabilidad respecto de una relación de equivalencia R Propiedades Ejercicios Retículos y álgebras de Boole Definiciones Ejemplos Ejercicios

4 4 Kepler C k Ikastegia

5 Índice de figuras 1.1. Triángulo de Tartaglia Intersección de A con B Unión de A con B Diferencia de A con B Complementario de A Puerta AND Puerta OR Puerta NOT Retículo pentagonal

6 6 Kepler C k Ikastegia

7 Prólogo Los apuntes que siguen constituyen tan sólo una base teórica recomendable y útil para comprender y manipular mejor los conceptos de las diversas ramas de Matemáticas que se presentan y estudian en los primeros cursos universitarios de cualquier carrera de ciencias. Están extraídos fundamentalmente de dos libros: E. ESPADA BROS: Problemas resueltos de álgebra EDUNSA Ediciones y Distribuciones Universitarias S.A. 5 a edición. Barcelona, A. VERA LÓPEZ y F. VERA LÓPEZ: Introducción al Álgebra Tomo I Editorial Ellacuria Lab. S.A. Bilbao,

8 8 Kepler C k Ikastegia

9 Capítulo 1 Breves nociones de Lógica 1.1. Proposiciones y conectores proposicionales Definición 1.1 Se llama proposición a cualquier enunciado o aserto del que se puede afirmar sin ambigüedad si es verdadero (V) o falso (F). Mediante los llamados conectores proposicionales es posible construir nuevas proposiciones a partir de unas dadas. Éstos son: disyuntor, conjuntor, negador, que se leen respectivamente o, y, no. En matemáticas el conector disyuntor se emplea siempre en sentido no exclusivo. Así, si p es la proposición Hoy es lunes, y q representa la proposición Está lloviendo, entonces es posible formar otras proposiciones como, por ejemplo: p q: Hoy es lunes o está lloviendo. p: Hoy no es lunes. p q: Hoy es lunes y está lloviendo. q: No está lloviendo Tablas de verdad Dando a p y a q todos los posibles valores, V o F, se obtienen las siguientes tablas, llamadas tablas de verdad: p q p q p q p p V V V V V F V F V F F V F V V F F F F F La proposición p q es falsa únicamente cuando p y q son falsas simultáneamente; en 9

10 cualquier otro caso es verdadera. La proposición p q únicamente es verdadera cuando lo son p y q simultáneamente, pues en cualquier otro caso es falsa. Definición 1.2 Se llama tautología a una proposición que siempre es verdadera. Se denota por t. La proposición t es siempre falsa y se suele denotar por k. p p p ( p) p ( p) V F V F F V V F Así, dada una proposición arbitraria p, la proposición t p ( p) es una tautología. Otra de las formas de crear proposiciones nuevas es mediante el conector implicador. Definición 1.3 Dadas dos proposiciones p y q, se llama implicación a la proposición ( p) q. Se denota por p = q y se lee p implica q o también si p entonces q o también p sólo si q. La tabla de verdad correspondiente al conector implicador es: p q ( p) q p = q V V V V V F F F F V V V F F V V Si tanto la proposición p como la implicación p = q son verdaderas se dice que constituye un teorema, y se llama hipótesis a la proposición p y tesis o conclusión a la proposición q. También se expresa diciendo que p es una condición suficiente de q (ya que de p se deduce q) o que q es una condición necesaria para p. Las implicaciones que se utilizan en matemáticas son siempre de este tipo. Definición 1.4 Se dice que dos proposiciones son equivalentes si se implican mutuamente, es decir, si la proposición (p = q) (q = p) es verdadera, lo cual se expresa habitualmente así: p q Son, por tanto, mutuamente condición necesaria y suficiente. Observemos que si dos proposiciones son equivalentes son simultáneamente verdaderas o simultáneamente falsas. A la proposición q = p se le llama recíproca de la implicación p = q la cual recibe el nombre de implicación directa. Se llama contraria a la implicación p = q. 10 Kepler C k Ikastegia

11 Ejemplo 1.1 Un importante ejemplo de proposiciones equivalentes es el siguiente: Dada una implicación p = q la implicación q = p, denominada contrarrecíproca, es equivalente a ella, es decir, (p = q) ( q = p). Esta equivalencia proposicional es el fundamento de la denominada demostración por reducción al absurdo que consiste precisamente en probar que es verdadera la implicación contrarrecíproca de una implicación directa dada. Por otro lado, ( p = q) (q = p), es decir, la contraria y la recíproca son también equivalentes. El conjunto de proposiciones con las operaciones y constituye un álgebra de Boole. Leyes del álgebra de proposiciones Idempotencia p p p p p p Asociativa p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r Conmutativa p q q p p q q p Simplificación p (p q) p p ((p q) p Distributiva p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) Elemento neutro p k p p t p Complementario p ( p) t p ( p) k Además se cumplen: 1. Ley de absorción: p t t; p k k 2. Leyes de De Morgan: (p q) ( p) ( q); (p q) ( p) ( q) 3. Ley de la doble negación: ( p) p 4. k t t k Por cumplir las primeras cuatro propiedades se dice que el conjunto de proposiciones, con las operaciones y es un retículo. Por cumplir la quinta propiedad se dice que es un retículo distributivo, y por cumplir las dos últimas propiedades se dice que es un álgebra de Boole. Todo esto se recordará en el capítulo 4. Cuantificadores Tanto en Lógica como en Teoría de conjuntos se emplean frecuentemente los llamados cuantificadores: el existencial, que se lee existe, y el universal, que se lee para todo o cualquiera que sea. Cuando sólo hay un elemento que cumple una determinada proposición se expresa! y se lee existe un único. En Matemáticas son frecuentes las proposiciones en las que intervienen variables, así si la 11 Kepler C k Ikastegia

12 proposición p(x) se cumple para ciertos valores x de E se escribe ( x E) p(x). Si E es el dominio de una proposición p(x) se tienen las siguientes equivalencias: [( x E) p(x)] [( x E) p(x)] [( x E) p(x)] [( x E) p(x)] Método de inducción Para probar la verdad de proposiciones en las que las variables que intervienen son números naturales, del tipo p(n), se emplea el denominado método de inducción. Consiste en: 1. Probar que existe n 0 IN p(n 0 ) (base de inducción). 2. Probar que p(k) = p(k + 1) es verdadera k n 0. Con esas dos pruebas se deduce que la proposición p(n) es verdadera n n 0. Habitualmente n 0 = 1. A la proposición p(k) se le llama hipótesis de inducción. Existe otro método equivalente al anterior denominado método de inducción completa que consiste en sustituir la segunda condición por ésta otra: Probar que p(n 0 ) p(n 0 + 1)... p(k) = p(k + 1) donde es n 0 < k. En cada caso se aplica uno u otro según convenga. Ejemplo 1.2 Sea p(n) la proposición (2n 1) = n 2. Veamos que es cierta n IN. 1. Si n = 1 se cumple, pues 1 = 1 2, luego se cumple p(1). 2. Si se cumple p(k) con k 1 entonces p(k + 1) también se cumple; en efecto, (2k 1)+(2(k+1) 1) = k 2 +(2(k+1) 1) = k 2 +2k+1 = (k+1) 2. Por tanto p(n) es V n IN Ejercicios 1. Demostrar, aplicando el método de inducción, los siguientes ejercicios: 12 Kepler C k Ikastegia

13 i) n 1 i=1 i(i + 1) = ii) n (2i 1) 2 = i=1 n n + 1 iii) n x i = xn+1 1 i=0 x 1 ( iv) n n ) 2 i 3 = i=1 v) n i = i=1 i i=1 n(n + 1) 2 n(2n 1)(2n + 1) 3 (x 1) 2. Demostrar con el mismo método que: a) n 1 i=1 n i 3 < n4 4 < i=1 i 3 b) n(2n + 1)(7n + 1) = 6 (múltiplo de 6) n IN c) 2 n > 2n + 1, n > 2. ( ) n i 1 d) = 1 i n i=2 3. Demostrar que el producto de tres números naturales consecutivos es múltiplo de Sea n 1 el menor número natural n para el que la desigualdad (1 + x) n > 1 + nx + nx 2 es cierta x > 0. Calcular n 1 ; demostrar que la desigualdad es cierta n n Encontrar una fórmula para las siguientes expresiones y demostrarla por inducción: a) n (2i 1) = i=1 b) n 1 c) i=0 i=2 2 i = n (1 1i ) = 2 6. Probar que n IN se cumple: n 7 i = 7 n+1 i=0 13 Kepler C k Ikastegia

14 7. Demostrar por el método de inducción el llamado binomio de Newton: ( ) n (x + y) n n = x n i y i i i=0 Relacionado con este último ejercicio se halla el conocido triángulo de Tartaglia: ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( ) 2 2 ) ( ) 3 ) 2 ( ) 3 ( ) es decir Figura 1.1: Triángulo de Tartaglia 14 Kepler C k Ikastegia

15 Capítulo 2 Sobre los conjuntos 2.1. Conceptos básicos La palabra conjunto es uno de los términos básicos que en Matemáticas no está definido, y se acepta como válida la idea intuitiva que se tiene de él. Así, un conjunto es, como bien nos dice la intuición, una colección, lista o reunión de objetos cualesquiera bien definidos, y que denominaremos elementos del conjunto. En este contexto denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas, A, B, C,... y los elementos con letras minúsculas, a, b, c,... Para indicar que un objeto a es un elemento de un conjunto A, escribiremos a A y leeremos a pertenece al conjunto A. Por el contrario, si el objeto a no es elemento del conjunto A, se escribe a / A y se lee a no pertenece al conjunto A. Existen dos maneras de definir un conjunto: 1. Por extensión o explícitamente, es decir, indicando o enumerando todos sus elementos; por ejemplo, el conjunto A consta de los elementos 1, 2, 3, 4. Se escribe así: A = {1, 2, 3, 4}. 2. Por comprensión o implícitamente, es decir, expresando propiedades que cumplen todos sus elementos; por ejemplo, el conjunto anterior también se puede definir así: A = {x x es un número natural menor que 5} o bien A = {x x IN, x < 5}. Nota: El símbolo se lee tal(es) que. Definición 2.1 El conjunto A se dice subconjunto del conjunto B, se denota por A B, y se lee A está contenido en B o A está incluido en B, si cada elemento de A lo es también de B, simbólicamente, a A = a B. 15

16 Definición 2.2 Diremos que dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si tienen los mismos elementos, es decir, si A B y B A. Definición 2.3 Es conveniente introducir el concepto de conjunto vacío, es decir, un conjunto que carece de elementos y que se denota por Ø. Definición 2.4 Dado un conjunto A, se dice que un subconjunto C de A es un subconjunto propio si C A y C Ø. Definición 2.5 Se sobreentenderá que todos los conjuntos que intervengan en un cierto problema son subconjuntos de un cierto conjunto U que se denomina conjunto universal o conjunto de referencia. Definición 2.6 Dados un conjunto A y B A, un subconjunto suyo, se define el conjunto complementario de B en A, y se denota por B c, al conjunto B c = {x A x / B} Definición 2.7 Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes, Booleano o conjunto potencia de A y se denota por P(A) al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A, es decir, P(A) = {S U S A} Así pues, S P(A) S A. Definición 2.8 El número de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del conjunto A y se designa por A o por Card(A). Proposición 2.1 Si A = n < entonces P(A) = 2 n Demostración: ( ) n El número de subconjuntos de A con k elementos es para cada 1 k n; por k tanto, si contamos el conjunto vacío, pues siempre es Ø A, es decir, Ø P(A), tenemos que ( ) n n P(A) = = (1 + 1) n = 2 n k k=0 16 Kepler C k Ikastegia

17 2.2. Intersección y unión de conjuntos Teoría de conjuntos Definición 2.9 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto intersección de A y B y se denota por A B al conjunto formado por los elementos comunes a A y a B, es decir A B = {x U x A x B} A B U Figura 2.1: Intersección de A con B. Definición 2.10 Se dice que dos conjuntos A, B son disjuntos si A B = Ø. Definición 2.11 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto unión de A o B y se denota por A B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, es decir A B = {x U x A x B} A B U Figura 2.2: Unión de A con B. 17 Kepler C k Ikastegia

18 Definición 2.12 Si A B = Ø se dice que A B es la unión disjunta de A o B, y se denota por A B. Definición 2.13 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto diferencia de A y B y se denota por A B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B, es decir A B = {x U x A x / B} A B U Figura 2.3: Diferencia de A con B. Definición 2.14 Dado un conjunto A se llama conjunto complementario de A y se denota por A c o por U A al conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A, es decir A c = {x U x / A} A U Figura 2.4: Complementario de A. Nota: Las representaciones gráficas utilizadas reciben el nombre de diagramas de Venn Euler. 18 Kepler C k Ikastegia

19 Leyes del álgebra de Boole o de las partes de un conjunto Idempotencia A A = A A A = A Asociativa A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Conmutativa A B = B A A B = B A Simplificación A (B A) = A A (B A) = A Distributiva A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Elemento neutro A Ø = A A U = A Complementario A A c = U A A c = Ø Por cumplir las primeras cuatro propiedades se dice que el conjunto de las partes de un conjunto U o Booleano de U, P(U) = {A A U}, con las operaciones y es un retículo. Por cumplir la quinta propiedad se dice que es un retículo distributivo, y por cumplir las dos últimas propiedades se dice que es un álgebra de Boole. Además se cumplen las llamadas Leyes de De Morgan (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c, la denominada ley de Absorción A U = U A Ø = Ø, la ley de la doble negación y la propiedad (A c ) c = A U c = Ø Ø c = U 2.3. Partición de un conjunto Dado un conjunto A y {A i i I} P(A) {Ø} una colección de subconjntos no vacíos de A, se dice que forma una partición de A si se verifica: 1. A = i I A i 2. A i A j = Ø, i j, i, j I Si {A i i I} es una partición de A se denota por A = A i. i I 19 Kepler C k Ikastegia

20 2.4. Ejemplos de conjuntos Algunos ejemplos de conjuntos importantes son: 1. El conjunto de los números naturales IN = {1, 2, 3, 4, 5,...} 2. El conjunto de los números enteros Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} 3. El conjunto de los números racionales IQ = { a } a Z, b Z {0} b 4. El conjunto de los números reales: IR 5. El conjunto de los números complejos IC = {a + bi a, b IR} 2.5. Producto cartesiano de conjuntos Definición 2.15 Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama producto cartesiano de A por B y se denota por A B al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) cuya primera componente a A y cuya segunda componente b B, es decir, A B = {(a, b) a A, b B} Esta definición es generalizable a n conjuntos: n A i = A 1 A n = {(a 1,..., a n ) a i A i, i = 1,..., n} i=1 También es posible dar otra generalización de producto cartesiano en la que los conjuntos factores pueden pertenecer a una familia arbitraria; se volverá sobre esto una vez visto el concepto de aplicación entre conjuntos. 20 Kepler C k Ikastegia

21 2.6. Relaciones o correspondencias Sean A y B dos conjuntos no vacíos: Definición 2.16 Una relación binaria o correspondencia R entre A y B es un criterio o ley que permite decir si, dado cualquier par ordenado (a, b) A B, el elemento a está relacionado con el elemento b mediante R. Si a está relacionado con b mediante R, se escribe arb y en caso contrario a/rb. Debido a que hay una biyección entre la totalidad de relaciones binarias entre A y B y el Booleano de A B, se suele dar con frecuencia la siguiente definición de relación binaria o correspondencia entre dos conjuntos A y B: Definición 2.17 Dados dos conjuntos A y B no vacíos se llama relación binaria o correspondencia entre A y B a todo subconjunto no vacío R de A B. Así, dado (a, b) A B si (a, b) R se dice que a está relacionado con b y se escribe arb, o también que R hace corresponder el elemento b B al elemento a A y se escribe b = R(a). A es el conjunto de partida, original o inicial, B es el conjunto de llegada, conjunto final o codominio. Se llama dominio de f al conjunto Dom R = {a A R(a) Ø}. Se llama imagen de R al conjunto Im f = {b B a A, b = R(a)}. Se llama grafo de la relación o correspondencia al conjunto R = {(a, b) A B b = R(a)}, si bien, este concepto no se distingue del de relación en la segunda definición dada. En particular, cuando A = B se dice simplemente que R es una relación en A. Las principales propiedades que puede tener una relación R en A son: 1. Reflexiva: R se dice reflexiva si a A ara. 2. Antirreflexiva: R se dice antirreflexiva si a A a/ra. 3. Simétrica: R se dice simétrica si a, b A con arb entonces bra. 4. Antisimétrica: R se dice antisimétrica si a, b A con a b y arb entonces b/ra; o equivalentemente, si a, b A tales que arb y bra entonces a = b. 5. Transitiva: R se dice transitiva si a, b, c A con arb y brc entonces necesariamente arc. 21 Kepler C k Ikastegia

22 Definición 2.18 Sea A un conjunto, una relación de equivalencia en A es una relación binaria o correspondencia en A que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Definición 2.19 Dada una relación de equivalencia R en A, a A se define la clase de equivalencia de a respecto de R al conjunto [a] = {b A arb}. Teorema 2.1 Sea R una relación de equivalencia en A, entonces la colección {[a]} a A es una partición de A. Recíprocamente si {A i } i I es una partición de A, ésta origina una relación de equivalencia R en A dada por ar b i I a, b A i, siendo las clases de equivalencia de R precisamente los conjuntos A i que forman la partición. Así, existen tantas relaciones de equivalencia definidas en A como particiones podamos hacer en A. Demostración: Sea R una relación de equivalencia en A; veamos que {[a]} a A es una partición en A. En efecto, a A, por la propiedad reflexiva se tiene ara luego a [a] y así A = [a]. Por otro lado, dadas dos clases de equivalencia [a], [b] tales que [a] [b] Ø, entonces c A tal que c [a] [b] luego arc y brc. Por la propiedad simétrica crb y por la propiedad transitiva arb y así [a]=[b]; en efecto, sea x [a] entonces arx, pero como bra se tiene brx, es decir, x [b]. Esto prueba la inclusión [a] [b]. La otra inclusión es análoga. En definitiva, [a] = [b] y, por tanto, dadas dos clases de equivalencia distintas éstas tienen intersección vacía. Recíprocamente, si {A i } i I es una partición de A automáticamente se origina una relación de equivalencia R en A dada por ar b i I tal que a, b A i. En efecto, dado a A por ser {A i } i I una partición, existe i I tal que a A i luego a, a A i ar a y R es reflexiva. Si ar b entonces i I tal que a, b A i b, a A i br a y R es simétrica. Finalmente si ar b y br c = i I tal que a, b A i y j I tal que b, c A j luego b A i A j, por lo que A i = A j ya que la unión de los A i es disjunta. Así pues, a, c A i y ar c implica que R es transitiva. Veamos ahora que las clases de equivalencia de R son precisamente los A i de la partición; en efecto, sea a A entonces i I tal que a A i y así [a] = A i ya que [a] = {b A ar b} = {b A a, b A i } = A i. Observación: a, b A ar b [a] = [b]. Definición 2.20 El conjunto {[a]} a A se denomina conjunto cociente de A módulo R, se denota por A/R, y tiene por elementos precisamente las clases de equivalencia de R. 22 Kepler C k Ikastegia a A

23 Ejemplos 2.1 Consideremos la relación R en IN IN dada por (a, b)r(a, b ) a + b = b + a. IN IN Es una relación de equivalencia y el conjunto cociente se identifica con el conjunto R de los número enteros Z, siendo [(a, b)] el número entero a b. Consideremos en el conjunto Z ( Z {0}) la relación dada por (a, b)r(a, b ) ab = ba R es una relación de equivalencia y el conjunto cociente Z ( Z {0}) se identifica con R el conjunto de los números racionales IQ siendo [(a, b)] el número racional a b. Consideremos en el conjunto F de todos los vectores fijos del espacio ordinario la relación dada por ABRCD AB y CD son equipolentes, es decir, tienen la misma dirección, el mismo sentido y el mismo módulo. R es una relación de equivalencia y el conjunto cociente F/R es el conjunto de los vectores libres del espacio ordinario. Definición 2.21 Dado un conjunto A y una relación R en A, se dice que es una relación de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Cuando en A hay definida una relación de orden se dice que A es un conjunto ordenado. Si a, b A distintos se tiene que son comparables, es decir, arb o bra, entonces se dice que el orden en A es total o que A está totalmente ordenado. En caso contrario se dice que el orden es parcial o que A está parcialmente ordenado. Cuando R es una relación de orden suele representarse por. Definición 2.22 Sea (A, ) un conjunto ordenado y sea X A. Se dice que X está acotado superiormente (resp. inferiormente) si existe un k A tal que x k (resp. k x) x X. A k se le denomina una cota superior (resp. cota inferior) de X. Si un conjunto X está acotado superior e inferiormente se dice que está acotado. Se llama supremo (resp. ínfimo) de X, a la menor (resp. mayor) de las cotas superiores (resp. inferiores). Definición 2.23 Sea (A, ) un conjunto ordenado. Si existe un elemento a en A tal que a b para todo elemento de A se dice que a es el primer elemento. Se dice que el conjunto A está bien ordenado o que el el orden en A es bueno si cualquier subconjunto X de A tiene primer elemento. 23 Kepler C k Ikastegia

24 2.7. Aplicaciones entre conjuntos Definición 2.24 Sean dos conjuntos A y B, una aplicación f de A en B es una relación binaria o correspondencia f de A en B que asocia a cada elemento de A un elemento y sólo uno de B; se denota por f : A B o A f B. Equivalentemente, una relación o correspondencia f A B es una aplicación si x A! y B y = f(x), lo que también se indica por (x, y) f. También es muy usual el diagrama sagital: f : A B x y = f(x) para indicar el funcionamiento de una aplicación. En toda aplicación el conjunto inicial coincide con el Dom f. x Dom f se llama imagen de x al elemento de B que le corresponde a x y se denota por f(x). Dado un subconjunto Y B se llama imagen inversa o recíproca de Y y se denota por f 1 (Y ) al subconjunto de A siguiente: f 1 (Y ) = {x A f(x) Y }. Dado un subconjunto X A se llama imagen de X al subconjunto de B siguiente: Tipos de aplicaciones: f(x) = {y B x X, y = f(x)}. Sea f : A B una aplicación entre los conjuntos A y B; por tanto Dom f = A. f se dice inyectiva si no hay dos elementos en A distintos que tengan la misma imagen, simbólicamente, si x, x A tales que f(x) = f(x ) necesariamente x = x. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva si y B x A y = f(x), es decir, si f 1 (B) = A. Si la aplicación f es inyectiva y suprayectiva se dice que f es biyectiva. Dados dos conjuntos A y B se dice que el cardinal de A es menor o igual que el de B y se escribe así Card A Card B si existe una aplicación inyectiva de A en B. Se dice que el cardinal de A es mayor o igual que el de B y se escribe así Card A B si existe una aplicación suprayectiva de A sobre B. Definición 2.25 Dadas dos aplicaciones f : A B y g : B C se define la aplicación compuesta de f y g como la aplicación g f : A C dada por (g f)(x) = g(f(x)) x A. La composición de aplicaciones no es conmutativa. 24 Kepler C k Ikastegia

25 Ejemplo 2.1 Sean las aplicaciones f : IR IR g : IR IR x f(x) = x 2 x g(x) = x + 1 g f : IR IR x (g f)(x) = x luego (f g) (g f). f g : IR IR entonces es x (f g)(x) = (x + 1) 2 Pasemos ahora a dar otra definición equivalente de producto cartesiano de conjuntos. Definición 2.26 Sea {A i } i I una familia arbitraria de conjuntos; se llama producto cartesiano generalizado de los A i al conjunto A i = {x : I A i x es aplicación y x(i) A i i I}. i I i I Esta definición es equivalente a la definición dada de producto cartesiano de un número finito de conjuntos, pues hay una biyección entre los conjuntos {x : {1,..., n} n A i x es aplicación y x(i) A i i = 1,..., n} y i=1 {(x 1,..., x n ) x i A i, i = 1,..., n} Ejercicios 1. Sean X e Y dos conjuntos y f : X Y una aplicación. Demostrar las siguientes afirmaciones: a) f(a B) = f(a) f(b) A, B X. b) f(a B) f(a) f(b) A, B X. c) f(a) f(b) f(a B) A, B X. d) A B = f(a) f(b) A, B X. e) A f 1 (f(a) A X. f ) C D = f 1 (C) f 1 (D) C, D Y. g) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) C, D Y. h) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) C, D Y. i) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D) C, D Y. 25 Kepler C k Ikastegia

26 j ) f 1 (D c ) = (f 1 (D)) c D Y. 2. Sean X e Y dos conjuntos y f : X Y una aplicación. Demostrar las siguientes afirmaciones: a) Si f es inyectiva entonces f(a B) = f(a) f(b) A, B X. b) Si f es inyectiva A = f 1 (f(a) A X. 3. Analizar de qué tipo son las siguientes aplicaciones: f : IR IR x f(x) = x 2 g : IR IR x g(x) = x 2 + x 1 h : IR {1} IR x h(x) = x + 1 x 1 4. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g} el conjunto de referencia. En él se consideran los conjuntos Calcular: A = {1, 2, 4, 6, 8, b, c, d, f}, B = {1, 4, 7, a, d, g}, C = {3, 5, 9, a, e} A B, B C, (A B) C, A C, (A B) C, A c, (A B) c, (A B) c, P(C), P(A C). 5. En un bazar hay más televisores que videos, más videos con programador que televisores con mando a distancia, más videos con parada de imagen y sin programador que televisores en blanco y negro y sin mando a distancia. Demostrar que hay menos videos sin programador y sin parada de imagen que televisores en color y sin mando a distancia. 6. Probar si las siguientes afirmaciones son V o F: a) A X y B Y = A B X Y. b) Sean A, B, C conjuntos; entonces A C = B C = A = B. c) A (B C) = (A B) (A C). d) A (B C) = (A B) (A C). 7. Sea R la relación definida en IQ {0} por xry a, b IQ {0} tales que y = axb 1. Probar que R es una relación de equivalencia en IQ {0} y determinar el conjunto cociente módulo R. 26 Kepler C k Ikastegia

27 Capítulo 3 Leyes de composición u operaciones 3.1. Leyes de composición internas y externas Definición 3.1 Sea A un conjunto no vacío. Una ley de composición interna u operación interna en A es una aplicación f : A A A. (a, b) f(a, b) La imagen del elemento (a, b) A A mediante la aplicación f suele representarse mediante algún signo, por ejemplo,, +,,, etc.; así, se escribe f(a, b) = a b y se llama el transformado de (a, b) respecto de la operación. Definición 3.2 Sean A, X dos conjuntos no vacíos. Una ley de composición externa u operación externa en A es una aplicación f : X A A. (λ, a) f(λ, a) La imagen del elemento (λ, a) X A mediante la aplicación f suele representarse también mediante algún signo, por ejemplo,, +,,, etc.; así, se escribe f(λ, a) = λ a y se llama el transformado de (λ, a) respecto de la operación Estabilidad respecto de una relación de equivalencia R Definición 3.3 Sean R y una relación de equivalencia y una ley de composición interna respectivamente definidas en el conjunto A; se dice que es estable respecto de R cuando se cumple: a 1 Ra 2, b 1 Rb 2 = (a 1 b 1 )R(a 2 b 2 ) 27

28 Se dice también, en este caso, que la relación de equivalencia R es compatible con la ley de composición interna. Teorema 3.1 Sean R y una relación de equivalencia y una ley de composición interna respectivamente definidas en el conjunto A; si es estable respecto de R entonces la correspondencia f : (A/R) (A/R) A/R ([a], [b]) f(([a], [b])) = [a b] es una ley de composición interna en el conjunto cociente A/R. Demostración: Hay que probar que f es aplicación, es decir, que la clase [a b] no depende de los representantes a y b; en efecto, si [a ] = [a] y [b ] = [b] entonces a [a] y b [b] luego ara y brb. Pero por la estabilidad de (a b)r(a b ) y así [a b] = [a b ]. Nota: La ley de composición interna en A/R así definida se suele denotar con el mismo signo; en el ejemplo anterior sería [a] [b] = [a b]. Ejemplo 3.1 Si consideramos la relación de equivalencia R definidida en IN IN por (a, b)r(a, b ) a + b = b + a y la ley de composición interna en IN IN dada por + : (IN IN) (IN IN) IN IN ((a, b), (c, d)) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) entonces + es estable respecto de R. Se identifica ((IN IN)/R,+)con el conjunto ( Z, +) de los números enteros con la adición ordinaria Propiedades Las posibles propiedades que puede tener una ley de composición interna en un conjunto A son: 1. Asociativa: a (b c) = (a b) c a, b, c A 2. Conmutativa a b = b a a, b A 28 Kepler C k Ikastegia

29 3. Elemento neutro e A es un elemento neutro en A respecto de si e x = x = x e x A. Si existe un elemento neutro e A, éste es único; en efecto, si e A es otro elemento neutro en A entonces, en particular, e e = e = e e, por ser e neutro. Pero por ser e neutro es e e = e = e e, luego e = e. Cuando la notación es aditiva, +, el elemento neutro se denota por 0, y cuando es multiplicativa,, por Elemento simétrico Si e A elemento neutro respecto de la operación, y a, a A verifican a a = e = a a se dice que a y a son simétricos. Cuando la notación es aditiva, se habla de elemento opuesto o contrario respecto de + y se denota por a, y cuando la notación es multiplicativa se habla de elemento inverso y se escribe a Idempotente a a = a, a A. 6. Absorbente Se llama así a todo elemento a A a x = a = x a x A. 7. Distributiva Dadas dos leyes de composición internas en A, y, se dice que la ley es distributiva a izquierda respecto de, si a (b c) = (a b) (a c) a, b, c A y se dice que es doblemente distributiva a izquierda si además a (b c) = (a b) (a c) a, b, c A La distributividad a derecha se define de forma análoga, y si se verifica a ambos lados se dice que es distributiva o doblemente distributiva respectivamente. Proposición 3.1 Sea A un conjunto en la que hay definida una ley de composición interna. Dado a A, el simétrico de a, si existe, es único. Pruébese como ejercicio. Teorema 3.2 Sea A un conjunto en el que hay definidas una relación de equivalencia R y una ley de composición interna, estable respecto R. Entonces la ley de composición interna inducida en el conjunto cociente A/R tiene las mismas propiedades que la operación definida en A. Pruébese como ejercicio. 29 Kepler C k Ikastegia

30 Definición 3.4 Se dice que un elemento a A es regular o simplificable a derecha (resp. a izquierda) si b a = c a = b = c (resp. a b = a c = b = c), b, c A. Finalmente se dice que el elemento es regular o simplificable si lo es a ambos lados. Proposición 3.2 Sean A un conjunto y, una operación en A asociativa y con elemento neutro, entonces a A tal que tiene simétrico, a es simplificable. Pruébese como ejercicio Ejercicios 1. Sea A = {a, b, c, d, e}. Se define en A una ley de composición interna a través de la siguiente tabla: a b c d e a a b c d e b b c d e a c c b c d e d d a b c e e e c b d a Como es de suponer, para determinar el transformado del par (a, b), ha de buscarse el elemento que está en la primera fila y en la segunda columna, y con los demás pares se procede de igual forma. Analizar las propiedades que verifica la ley de composición interna dada en A. 2. Calcular el número de leyes de composición internas que se pueden definir en un conjunto finito de n elementos. 3. En el conjunto IN se definen las siguientes leyes de composición: a) a b = a 2 b b) a b = a + b 2 c) a b = 2ab d) a b = a + b 1 + ab Decir cuáles de ellas son internas y analizar sus propiedades. 4. Estudiar si la relación binaria R definida en IN por x, y IN, xry x y (x divide a y) es compatible con la suma y el producto de números naturales. 30 Kepler C k Ikastegia

31 Capítulo 4 Retículos y álgebras de Boole 4.1. Definiciones Definición 4.1 Sea C un conjunto no vacío en el que hay definidas dos leyes de composición internas y ; se dice que la terna (C,, ) es un retículo si ambas operaciones verifican las propiedades idempotente, asociativa, conmutativa y simplificativa. Si además cumplen ambas la propiedad distributiva se dice que (C,, ) es un retículo distributivo. Definición 4.2 Si en un retículo distributivo (C,, ) existen elementos neutros: a 0 = a = 0 a a C a 1 = a = 1 a a C y elemento complementario de uno dado a C ā C a ā = 1 y a ā = 0 se dice entonces que (C,, ) es un álgebra de Boole Ejemplos Ya se ha visto que el álgebra de proposiciones y el álgebra de las partes de un conjunto son claros ejemplos de álgebras de Boole. Veamos otro: Interruptores en serie y en paralelo Si en un circuito eléctrico hay conectados en serie dos interruptores A y B, se observa que cuando ambos están cerrados el circuito también lo está y, por tanto, la bombilla permanece encendida. En cualquier otro caso el circuito está abierto y la bombilla, por tanto, apagada. Análogamente, si los interruptores están conectados en paralelo, sólo cuando ambos interruptores estén abiertos el circuito estará abierto, y la bombilla permanecerá apagada; en cualquier otro caso el circuito está cerrado y la bombilla se encenderá. 31

32 Si indicamos con 1 el estado cerrado, con 0 el estado abierto y representamos por A B la conexión en serie y por A B la conexión en paralelo se tienen las tablas: A B A B A B A B A B Figura 4.1: Puerta AND A B Figura 4.2: Puerta OR Es interesante considerar un interruptor que funcione al revés que los demás, es decir, que al levantar la palanca del interruptor el circuito se cierre y al bajarla se abra. La correspondiente tabla es: A Ā Kepler C k Ikastegia

33 Ā Figura 4.3: Puerta NOT Proposición 4.1 El conjunto de todos los interruptores con estas operaciones de conexión, y, tienen estructura de álgebra de Boole. Pruébese como ejercicio Ejercicios 1. Dado el retículo pentagonal 1 a c b 0 Figura 4.4: Retículo pentagonal con las operaciones y, definidas por: x y = sup(x, y) x y = ínf(x, y) Demostrar que no es un álgebra de Boole. 2. Demostrar que en un retículo (C,, ) distributivo, se verifica la implicación: a b = a c y = b = c a b = a c 33 Kepler C k Ikastegia

34 3. En una habitación de tres estudiantes demócratas, se desea instalar un circuito de interruptores para la luz de modo que ésta se encienda solamente cuando lo desee la mayoría, es decir, si dos o tres de los estudiantes pulsan su interruptor. Realizar el montaje. 4. Encontrar la expresión correspondiente al circuito que se da a continuación y hallar su expresión más simple utilizando las propiedades del álgebra de Boole. Ā A B B Por tanto, al Rey de los siglos, inmortal, invisible, al único y sabio Dios, sea honor y gloria por los siglos de los siglos. Amén. 1 Timoteo 1:17 34 Kepler C k Ikastegia