TEMA 3: PROBLEMAS ORDINARIOS DEL VALOR INICIAL EN INGENIERÍA QUÍMICA: ESTUDIO Y COMPARACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN.

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1 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. TEMA : PROBLEMAS ORDINARIOS DEL VALOR INICIAL EN INGENIERÍA QUÍMICA: ESTUDIO Y COMPARACIÓN DE MÉTODOS NUMÉRICOS DE RESOLUCIÓN.. MÉTODOS NUMÉRICOS APLICABLES A PROBLEMAS ODE-IVP: PRESENTACIÓN Y GENERALIDADES. MÉTODOS EXPLÍCITOS APLICABLES A ODE-IVP.. Métodos de na etapa... Algortmo de Eler eplícto... Métodos eplíctos de orden speror: Algortmos de Rnge- Ktta... Métodos de Etapas Múltples. MÉTODOS IMPLÍCITOS APLICABLES A ODE-IVP.. Algortmo de Eler mplícto.. Algortmo del trapeco (método de Eler modcado). ESTRATEGIAS DE CONTROL DEL ERROR EN LAS APROXIMACIONES 5. ESTABILIDAD Y EXACTITUD EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS IVP 6. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Asgnatra: Ttlacón: Crso: Catrmestre: Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. Ingenería Qímca Carto Prmero Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

2 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.. MÉTODOS NUMÉRICOS APLICABLES A PROBLEMAS ODE-IVP: PRESENTACIÓN Y GENERALIDADES. Dentro del área de Ingenería Qímca los problemas del tpo ODE-IVP representan casos de sstemas en los qe UNA sola propedad (Temperatra concentracón etc.) varía en ncón de UNA sola varable (normalmente tempo anqe tambén pede ser poscón por ejemplo longtd de n reactor). En estos problemas se conoce: a) cómo es la varacón de la propedad respecto a la varable: y' (t y) y b) el valor de la propedad en el prmer valor de la varable (pnto ncal del ntervalo de ntegracón): y() y. Se bsca la ncón qe relacone el valor de la propedad con cada valor de la varable: y (t). Ejemplo.. El modelado matemátco de reactores qímcos es n área de I.Q. en la qe generalmente se conoce la concentracón de los reactvos al comenzo de la reaccón (dscontnos) o a la entrada del reactor y se bsca la concentracón de salda. Ejemplos de este tpo de problemas son: Reactores batc o sem-batc en estado dnámco en los qe se lleven a cabo reaccones sotermas (Rggs 99): dn a dt n a Q C a n a Q t v Reactor ljo pstón sotermo y sn dspersón en estado estaconaro en el qe se lleva a cabo na reaccón con velocdad r=-c (Rce 995): dc C dz C() C Reactor de leco jo sotermo y sn dspersón en estado estaconaro con velocdad de reaccón: Q E r P K T ep C (Davs 98): R g T dc P K T ep dz C() C Q E R g T C Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

3 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Los problemas relaconados con el control de procesos qímcos tambén se modelan medante ecacones ODE-IVP ya qe se bsca la ncón qe dene el comportamento de na varable desde el momento en qe es sometda a na pertrbacón. Este tpo de problemas mplca a ODEs tanto de prmer como de segndo orden ( y' ' ( t y y' ) ) por lo qe se verán en el tema. Esten múltples métodos nmércos aplcables a problemas ordnaros del valor ncal (ODE-IVP) sn embargo todos ellos deben cmplr na sere de característcas comnes:. Se aplcan sempre sobre ecacones de prmer orden. Las ecacones de orden speror a no deben transormarse en sstemas de ecacones de prmer orden para poder ser reseltas.. Se aplcan sobre la ecacón ( o ecacones) epresada en orma y' ( y). Es necesaro conocer el valor eacto de la varable dependente en el prmer pnto del ntervalo de ntegracón. Este valor es conocdo como condcón ncal.. Las condcones y denen la orma qe debe tener n problema ODE-IVP para poder ser reselto nmércamente: y' ( y) y( ) y 5. Los métodos nmércos aplcables a ODE-IVP se clascan en dos grandes grpos: a) Métodos eplíctos. b) Métodos mplíctos. En los métodos eplíctos se tlza normacón conocda y determnar la apromacón en n nevo pnto y. y para En los métodos mplíctos se tlza normacón no conocda ( y y ) para determnar la apromacón correspondente a n nevo pnto y. El objetvo de este tema es presentar los ndamentos de los algortmos tlzados para la resolcón nmérca de na ecacón del tpo ODE-IVP. Con estos conocmentos báscos en el tema se presentarán las característcas de los algortmos comercales tlzados para la resolcón de sstemas de ecacones ODEs y para ODEs de orden mayor de. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

4 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.. MÉTODOS EXPLÍCITOS APLICABLES A ODE-IVP.. MÉTODOS EXPLÍCITOS DE UNA ETAPA Los métodos de na etapa tlzan eclsvamente normacón contenda entre el nodo y el nodo (+) para calclar el valor de la apromacón en el nodo (+).... Algortmo de Eler eplícto Este algortmo es el más sencllo de los métodos para problemas IVP pero tene nla aplcacón para problemas de dcltad meda y no aparece en sbrtnas comercales. Sn embargo se encentra en todos los lbros de teto ya qe s mecánca es smlar a la de otros algortmos IVP más sostcados pero más senclla y por lo tanto permte na mayor comprensón de las ormas de trabajo de estos algortmos con menor eserzo. y' ( y) Para aplcar el algortmo de Eler partmos de na ecacón de la orma: y( ) y Trabajamos en n ntervalo n y asmmos qe es contna en el ntervalo n lo qe nos garantza qe este na únca solcón. S y() es la solcón eacta s gráca será na crva en el plano y qe pase por el pnto y. Una solcón nmérca de esta ecacón será n conjnto de pntos n donde y es na apromacón al pnto y de la crva solcón eacta (la solcón nmérca es sólo n conjnto de pntos y no proporcona normacón sobre el ntervalo de pntos). La gra.. mestra el sgncado gráco de esta nterpretacón. y cada pnto. El prmer paso para encontrar la solcón apromada medante el método de Eler consste en dvdr el ntervalo n en n sbntervalos tales qe: n n ( )... n donde = tamaño de paso. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

5 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.. En cada pnto se cmple qe s y() es la solcón eacta de y =(y) tlzando la epresón de Taylor en el pnto se tene : y y ' y! y' '( ) sendo como: y ' y ( ) y y ( y ) ' ( y ). El algortmo de Eler se obtene al trncar esta epresón despés del segndo térmno: y Algortmo de Eler Eplícto En este método nmérco el error qe se comete en el cálclo de n nevo pnto spesto qe el anteror es eacto (error de trncamento local) es proporconal a ya qe el térmno qe elmnamos de la epresón de Taylor para obtener la apromacón es proporconal a : e. La notacón denota térmnos del orden ndcado entre paréntess. Se dce qe n método es eacto de orden P s s error de trncamento local cmple: p e por tanto el algortmo de Eler es n método eacto de orden no lo qe es lo msmo tene na precsón de prmer orden. Fgra.. Relacón entre la solcón eacta y nmérca de n problema ODE-IVP. [Reelaborado a partr de Rggs 99]. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 5

6 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.... Métodos eplíctos de orden speror: Algortmos de Rnge-Ktta. Los métodos de Rnge-Ktta (RK) son algortmos eplíctos qe comprenden la evalacón de la ncón en varos pntos comprenddos entre dos nodos consectvos. La sere de métodos RK son los algortmos más sados para la ntegracón de ODEs. La órmla general de los algortmos RK es: Donde: c j v j w c w j= constantes qe ponderan la nlenca de cada evalacón (pendentes). j = pendentes determnadas en dversos pntos del ntervalo. v = orden del método de Rnge Ktta empleado (s valor determna la eacttd y complejdad de cálclo del método empleado). c j = constantes a jl = constantes = tamaño de paso j j j j l a jl l Ejemplo..: Un método de RK de orden dos consstrá en n algortmo en el qe: v= j= l= Por lo tanto: w w El valor de se determna a partr del valor de más DOS evalacones de valores de la ncón (pendentes ) en dos pntos ntermedos del ntervalo de ntegracón. Dcas pendentes contrbyen medante los actores de ponderacón w w al valor de. El valor de las pendentes se determna: c a Se necesta determnar constantes ( w w c a ) para aplcar n método de RK de orden. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 6

7 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Los derentes algortmos de RK provenen de realzar apromacones a la epansón en seres de Taylor de la solcón eacta: y y! y ' y ( ) Para crear n método de RK:. Apromar la epansón de Taylor cortando la epansón en derentes térmnos. El pnto de corte determna el orden del método de RK.. Determnar los coecentes w c a. Para ello se galan los térmnos de la epansón de Taylor a los de la epresón de RK. Se obtenen así sstemas de n ecacones con m ncógntas donde m>n por lo tanto para resolverlo es necesaro dar valores arbtraros a algnas ncógntas para qe n=m. De esta orma se peden generar múltples algortmos de RK del msmo orden de eacttd en ncón de los valores arbtraros desgnados. Ejemplo..: Obtener las epresones correspondentes a los algortmos de RK de orden para los casos a) (c =.5) y b) (c =) así como la nterpretacón gráca de los msmos. Epresón RK para orden w w c a ' Sere de Taylor trncada en el º térmno: y y y Coecentes a determnar: w w c a '' y!.. Para determnar estos coecentes se galan los térmnos del algortmo general a la epansón de Taylor trncada en el segndo térmno obtenéndose tras n tratamento matemátco (qe sobrepasa los objetvos de n crso de aplcacón) n sstema de la orma: w w w c 5 w a 5 ecacons y ncógntas se caso a) se asgna c 5 entonces: asgnan valores arbtraros a na de ellas. w w a 5 entonces el algortmo se epresa: Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 7

8 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 8 y La nterpretacón gráca de este algortmo de RK se mestra en la gra..: caso b) se asgna c entonces: a 5 w 5 w el algortmo se epresa: y Fgra.. Interpretacones grácas de algortmos de RK de orden casos a) y b). [Reelaborado a partr de Davs 99].

9 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 9 Los algortmos de RK más tlzados son los orden y los de orden. Los prmeros presentan bastante smplcdad de so y scente eacttd para problemas no ecesvamente complcados los segndos presentan my bena eacttd para problemas egentes y no tenen ecesvo coste de cálclo. En los algortmos de orden speror a no se compensa el amento de eacttd ya qe el cálclo se complca y amenta el coste de comptacón. La orma general de los algortmos de RK de orden es: a a a c a a c a c sendo y w w w w Emparejando estos coecentes con los correspondentes a la epansón de Taylor (y tras operacones matemátcas) se obtene n sstema de ecacones con ncógntas se ace necesaro dar valores arbtraros a dos de las ncógntas. De los mcos algortmos de RK de orden a los qe se pede llegar por combnacón de valores arbtraros se presentan los dos de mayor so en algortmos comercales: Algortmo : 5 6 sendo y

10 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. Algortmo : Rnge-Ktta-Gll d - c - b a d c b a sendo y d b 6 El so de las órmlas de RK mejora la eacttd del algortmo pero la establdad tambén se ve lmtada a n rango de valores: RK º orden : real RK º orden: real 8 Se peden encontrar ejemplos de algortmos de RK de otros órdenes de eacttd en derentes tetos y lbrerías matemátcas.

11 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso... MÉTODOS EXPLICITOS DE ETAPAS MÚLTIPLES. Todos los métodos vstos asta aora pertenecen al grpo denomnado de paso smple o de n sólo paso porqe para el cálclo de cada nodo se tlza úncamente normacón del nodo prevo. Sn embargo na vez calclados varos nodos sería posble tlzar la normacón de más de n nodo prevo para obtener el valor de la apromacón en el sgente nodo. Como ejemplo se descrbe el método de los catro pasos de Adams-Basort-Molton: En este algortmo se necestan los valores de para calclar Al comenzo necestaremos conocer por adelantado los prmeros catro pntos para poder generar la scesón :. Para ello se pede empezar aplcando n método de orden smlar (por ejemplo RKG) para obtener las catro prmeras apromacones para pasar despés a aplcar el método ABM. Este método además es n método predctor-corrector. En este tpo de métodos la apromacón en cada nodo se realza en dos etapas en la prmera se obtene na apromacón para el nodo denomnada valor predctor p qe se tlza en la segnda para obtener la apromacón dentva denomnada valor corrector. El par de algortmos de este método es: p p El método ABM se clasca entonces como: De etapas múltples: porqe emplea normacón de más de n nodo anteror al qe bscamos. Predctor-corrector: porqe para cada nodo tlza dos etapas en vez de na. Con la prmera se obtene na apromacón qe se tlza en la segnda para obtener la apromacón dentva. Segmos dentro de los métodos eplíctos qe tenen lmtacones en el rango de establdad Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

12 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.. MÉTODOS IMPLICITOS APLICABLES A ODE-IVP Los métodos mplíctos evalúan la ncón en nodos posterores al nodo qe se está calclando por lo tanto se complca la resolcón de las ecacones algebracas a las qe dan lgar los algortmos en ncón del tpo de ecacón derencal de partda (lneal o no lneal) las ecacones algebracas qe tendremos qe resolver serán a s vez lneales o no lneales y podrán reqerr de métodos teratvos para s resolcón lo qe amentará mco el coste de cálclo en cada nodo del ntervalo de ntegracón. A cambo de este amento en la dcltad de cálclo estos métodos amentan la ESTABILIDAD rente a los métodos eplíctos... Algortmo de Eler mplícto Partendo de la epresón de Taylor trncada en el segndo térmno: y y ' y y''( ) sendo! llegamos a: Esta apromacón se conoce como órmla de Eler mplícta. Es mplícta porqe para determnar el valor de es necesaro evalar la ncón en el pnto. El método mplícto no amenta la eacttd del método de Eler ya qe el error sge sendo proporconal a pero amenta la establdad del método ya qe n método mplícto es ncondconalmente estable... Algortmo del trapeco (método de Eler modcado) Otro método mplícto tlzado abtalmente es el denomnado método del trapeco. El algortmo de este método es: y Este método además de ser estable (por mplícto) presenta orden de eacttd porqe se genera a partr de la derenca entre las epansones de Taylor correspondentes a y e y trncadas en el térmno. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

13 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso.. ESTRATEGIAS DE CONTROL DEL ERROR EN LAS APROXIMACIONES Hasta aora emos lstrado los métodos nmércos aplcándolos a problemas qe tenen na solcón analítca por lo qe ss errores son reconocbles y cantcables. En n problema práctco no se conoce la solcón analítca por lo qe no peden acerse comparacones para determnar el error de cálclo. Deben constrrse estrategas alternatvas para calclar el error. Un método nttvo para la estmacón del error local pede ser el cálclo de la derenca entre y donde se calcla sando n tamaño de paso y n tamaño /. Como la eacttd del método nmérco depende del tamaño de paso será na mejor apromacón de y( ) por tanto: y y por lo tanto e y y Para las órmlas de RK el so del procedmento de na etapa más dos medas etapas pede resltar my costoso por lo tanto se a desarrollado n mejor procedmento el método de Felberg el cal calcla para cada paso y con el msmo tamaño de paso pero sando na órmla de RK de orden de eacttd más elevado para calclar qe la qe se sa para calclar. De esta manera tene mayor eacttd qe.el par de órmlas del método RKF de carto orden es: e 6 e 6 ( ) Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

14 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Donde: Una prmera mrada a la apromacón RKF lo mestra como complcado pero se pede programar de na manera my senclla. Utlzando esta apromacón en cada nodo se realzarán 6 evalacones de las ncones mentras qe por ejemplo con el método RKG qe es del msmo orden de eacttd y controlando el error en cada paso se necestan evalacones en cada etapa. La orma de tlzar la apromacón de RKF en n algortmo consste en calclar para cada nodo las apromacones y y comprobar s la derenca es mayor o menor qe la toleranca establecda. S el error es menor se pasa al sgente nodo s el error es mayor volveremos a calclar las apromacones en ese nodo con n tamaño de paso menor. Estrategas de control del error: Trabajar con derentes tamaños de paso y el msmo orden de eacttd en el método. Se tomará como control del error la apromacón realzada con el menor tamaño de paso. Trabajar con métodos de derente eacttd tlzando el msmo tamaño de paso. Se tomará como control del error la apromacón realzada con el mayor orden de eacttd. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C.

15 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. 5. ESTABILIDAD Y EXACTITUD EN LOS MÉTODOS NUMÉRICOS IVP La aplcacón práctca de los algortmos para problemas IVP mplca na sere de errores:. Error de redondeo: se prodce cando y ( e ). Este error se da cando el ordenador o el lengaje de programacón tlzado redondea las cras decmales.. Error de trncamento local: error qe se prodce en cada paso spesto qe el anteror es eacto e. Es n error ntrínseco al método nmérco y depende de: a) orden de precsón del método. b) Tamaño de paso tlzado ().. Error global: Derenca entre la solcón eacta y la calclada con el método para el nodo correspondente. La gra.. mestra grácamente la nlenca de los derentes tpos de error en n método nmérco. Fgra.. Eecto de los errores local y global en la resolcón de n problema IVP medante n algortmo nmérco. [Reelaborado a partr de Rce y Do ] El OBJETIVO a cmplr en calqer problema es qe el error global no amente en cada paso. S esto se cmple el algortmo se consdera ESTABLE. Las condcones para qe n problema sea estable son derentes en cada caso pero se pede acer n estdo general para el caso más smple: problema lneal reselto medante el método de Eler: Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 5

16 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Ejemplo.: Consderemos el problema y' y y( ) y donde es n número real. Este problema tene solcón analítca (eacta): y y e y e. y y e para n pnto Aplcando el algortmo de Eler podemos obtener na apromacón nmérca de la orma: Comparando ambas solcones se observa qe al aplcar el algortmo de Eler lo qe se ace es apromar: y e como y e Esta apromacón es el error nerente al método. No es posble trabajar sn este error al aplcar el método de Eler. Spongamos además qe será entonces: y entonces: y e el error global y y e - y e e - y A reordenando: e B A = Error qe reslta de la apromacón del método de Eler. B = Eecto de propagacón del error ncal. Caso : S el térmno B crecerá con cada térmno >(-) porqe está elevado a (+) y sn mportar cal sea el valor de e se convertrá en el térmno domnante al llegar al nodo (+). Caso : S El térmno B dsmnrá con cada nodo > (-) y por tanto el térmno B será menos mportante qe A al llegar al nodo (+). Por lo tanto para mantener ndos los eectos de propagacón de errores se reqere qe para el algortmo de Eler. Se dene la REGIÓN DE ESTABILIDAD ABSOLUTA por el conjnto de tamaños de paso (real no negatvo) y los valores de para los cales na pertrbacón en n smple valor prodcrá en los sgentes nodos n cambo qe no amenta paso a paso. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 6

17 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. S es real la regón de establdad (para el algortmo de Eler) será: Dentro de esta regón s el error global osclará de sgno. El estdo anteror es aplcable a ecacones lneales en las qe es constante en el ntervalo de ntegracón. Para poder aplcar el msmo estdo en na ecacón no lneal el abría qe lnealzar la ecacón en cada nodo. En resmen el algortmo de Eler presenta dos problemas qe peden mejorarse: a) Eacttd b) Establdad. Implícto en estas categorías está el costo del cálclo para mejorar la establdad y la eacttd. Con este método se reqeren tamaños de paso my peqeños lo qe lleva a n gran número de evalacones de la ncón ncrementando así el coste del cálclo. Las estrategas para mejorar estos problemas son: a) amentar el orden de eacttd del método mantenendo el carácter eplícto del msmo. b) Utlzar n método mplícto. En la Tabla.. se presentan las regones de establdad de algnos algortmos nmércos para problemas IVP. Los límtes recogdos en esta Tabla solo son váldos para ecacones lneales con reales pero ndcan na reerenca de las regones de establdad para cada método en calqer tpo de problema. Tabla.. Regones de establdad para algnos algortmos de ODE-IVP Método Orden de apromacón Regón de establdad Eler eplícto Eler mplícto No límte Eler modcado No límte Rnge-Ktta º orden Rnge-Ktta º orden 5 Rnge-Ktta º orden 78 Rnge-Ktta 5º orden 5 57 Adams-Molton 8 Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 7

18 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. Ejemplo.5: La Fgra.. permte comparar ) la nlenca del orden de eacttd y ) del tamaño de paso de la ntegracón de los algortmos IVP aplcados a n problema ejemplo: y ' y y ( ) Fgra.. Comparacón de los métodos Eler eplícto Rnge-Ktta y Trapezodal. [Reelaborado a partr de Rggs 99]. En la gra se mestra la relacón entre el número de operacones realzadas y la derenca entre la solcón analítca y la respectva apromacón alcanzada para el problema IVP. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 8

19 Ingenería Qímca Cálclo Avanzado de Procesos Qímcos. TEMA º crso. 6. BIBLIOGRAFÍA RELACIONADA Davs M.E.; Métodos y Modelos Nmércos para Ingeneros Qímcos. CAPÍTULO. Compañía Edtoral Contnental de C.V. Méco Méco D.F. 99. Rggs J.B.; An Introdcton to Nmercal Metods or Cemcal Engneers. CAPÍTULO. Teas Tec Unversty Press Lbboc Teas. 99. Rce R.G. Do D.D.; Appled Matematcs and Modelng or Cemcal Engneers nd Edton. CAPÍTULO 7. Jon Wley & Sons Hoboen New Jersey USA.. Zll D.G. Ecacones Derencales con Aplcacones de Modelado. TeEd Int. Tomson 6ªEd Btcer J.C. Nmercal Metods or Ordnary Derental Eqatons. Wley Ccester UK.. Grts D.F. Hgam D.J. Nmercal Metods or Ordnary Derental Eqatons. Sprnger Berlín Alemana.. Departamento de Ingenería Qímca y Qímca Inorgánca U.C. 9