SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Transcripción

1 Pág. Página PRACTICA Fracciones y decimales Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes: 0 Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones. 0 ; ; 0 Simplifica: 0 0 e) e) Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figuras y ordénalas. Unidad. Los números y sus utilidades

2 Pág. < < < Escribe una fracción equivalente a / y otra equivalente a /, pero que tengan el mismo denominador. m.c.m., ) 0 ; 0 Transforma en decimal estas fracciones: Efectuamos la división en cada caso: 0, ; ) ) 0,; 0,; 0,;,; 0, ; 0, ; ) 0, ) Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimales periódicos. Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división). 0 Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exactos cuando en el denominador solo estén como factores primos el y el. En otro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto: Decimales exactos,,,,. 0 Decimales periódicos,,. Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada de estas figuras: 0 0 0, 0, 0, 0 Unidad. Los números y sus utilidades

3 Pág. Expresa en forma de fracción:,, ),,0 ) e) 0, ), 0 00N, N, N N, N 0, 00N 0, 00N N e) 000N, N 0, N N 00 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales: 0, y 0, 0, y 0, 0, y 0, y e), y, f), y, Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Por ejemplo, podemos poner: 0,; 0,; 0, 0,; 0,; 0, 0,; 0,; 0, 0,; 0,; 0, e),;,;, f),;,;, 0 Ordena las fracciones, y a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal: 0, 0, 0,0 0 0 Por tanto: < < a forma: Reducimos a común denominador: ; ; 0 Por tanto: < < Unidad. Los números y sus utilidades

4 Pág. Ordena de menor a mayor estos números:,;, ) ;, ) ;, ),,,, ),, ),, ) <, <, ) <, ) Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones? 0,, ) 0,00 ), Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible. 0, 00 00N, N, N N 000N, 00N 0, 00N N 00, no se puede expresar como fracción; no es un número decimal exacto ni periódico. Es un número irracional. Cálculo mental Calcula mentalmente: ) ) e) f) ) g) ) h) ) ) ) ) e) f) ) g) ) 0 h) ) ) 0 Calcula mentalmente: La cuarta parte de 00, 00, 00 y 000. Los cuadrados de los números del al. Los cubos de los números del al. Las potencias de base hasta 0. Unidad. Los números y sus utilidades

5 Pág., 0, 0 y 0, respectivamente.,,,,,,,,, 00, y, respectivamente.,,, y, respectivamente.,,,,,,,, y 0, respectivamente. Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción: 0,; 0,; 0,; 0,; 0,; 0, Calcula mentalmente: ) ) ) 0 ) ) ) ) 0 ) Página Calcula mentalmente: 0 0) ) 0 e) 0 f) 0 0 0) ) e) 0 00 f) Calcula mentalmente: de 0 de 00 de La mitad de. e) La tercera parte de. f) La mitad de la quinta parte de. 0 e) f) Calcula mentalmente: Los tres cuartos de un número valen. Cuál es el número? Los dos tercios de un número valen 0. De qué número se trata? Los / de una cantidad son. Cuál es esa cantidad? Unidad. Los números y sus utilidades

6 Pág. de x x de x 0 x 0 de x x 0 Calcula y simplifica: : e) : f) : : 0 e) : f) : Calcula mentalmente: e) f) e) f) Operaciones con números racionales Calcula: Unidad. Los números y sus utilidades

7 Pág. Calcula: ) ) ) ) ) ) ) ) ) 0 Calcula: de de 0 de de 0 0 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: e) 0 e) 0 El valor medio entre el 0 y el es. Calcula el valor medio comprendido entre cada pareja de números: y y y 0 Unidad. Los números y sus utilidades

8 Pág. ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). Reduce a una sola fracción las expresiones: ) ) ) ) ) ) [ ) ] ) ) ) ) ) ) ) ) [ ) ] ) [ ] Unidad. Los números y sus utilidades

9 Pág. Página 0 Reduce: ) ) : ) : ) ) ) : ) : ) : : Reduce a una fracción: Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero: ) ) ) : ) ) : [ ) 0 )] [ ) ) ] : ) ) ) ) ) : ) : ) : : 0 Unidad. Los números y sus utilidades

10 Pág. 0 [ ) )] [ ) ) [ ] [ ] 0 [ ) ) ] : ) [ ] ) : : : Calcula las siguientes potencias: ) ) e) ) f) ) ) ) / e) ) f) ) ) ) A qué número entero es igual cada una de estas potencias? ) ) ) e) ) f) ) 0 ) ) ) ) e) ) ) f) ) 0 Escribe en forma de potencia de base ó : e) e) 0 Expresa con potencias de base 0: mil millones 0,0000 una milésima e) 0, f) una millonésima e) 0 f) Unidad. Los números y sus utilidades

11 Pág. Expresa como potencia única: ) : ) ) : ) ) e) f) ) : ) ) ) : ) ) ) ) e) f) ) Reduce: ) ) : ) ) ) ) e) ) : ) f) [ ) ] ) ) : ) ) ) ) ) e) ) : ) : f)[ ) ] ) Simplifica: ) Unidad. Los números y sus utilidades

12 Pág. ) Calcula: [ ) ] [ ) ] ) ) [ ) ] ) [ ) ] ) ) ) ) ) ) ) ) 0 Calcula pasando a fracción: 0, ) 0, ) 0, ),0 ), ) 0, ), ) 0, ), ) 0, ) 0, ) 0, ),0 ), ), 0, ) 0 0 0, ), 0 ) 0, ), ) 0 0, ) Calcula: 0, 0, ) ) 0,) ) ) 0,) 0, ) 0, 0, ) ) ) ) 0, ) ) ) 0,) 0, ) ) ) ) ) ) Unidad. Los números y sus utilidades

13 Pág. Raíces Calcula cuando sea posible: e) / f) ) no existe e) / / f) Página Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales: 00 e) 00 f) / racional racional irracional 00 0 racional e) 00 irracional f) / racional Calculadora Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad: ; 0; 0 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas igualdades sean verdaderas: ) 00 ) 00 Con los dígitos,, y, forma dos números de dos cifras de modo que al multiplicarlos obtengas el mayor producto posible. Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que buscamos, y nos quedan dos opciones: 0 El producto mayor es. Unidad. Los números y sus utilidades

14 Pág. Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que indica la flecha: 0 ) ) ) ) ) 0 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, cómo podrías conseguir que apareciese en la pantalla cada uno de estos números? Si en la pantalla de tu calculadora está el número, qué operación harías para transformar el en un 0? Y para que en lugar del hubiera un? Para transformar el en un cero, basta con restar 00: 00 0 Para transformar el en un, basta con sumar 000: Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas? 0. 00??? Qué aparecerá en pantalla si introduces 0? 0. 00?? Si introducimos 0 aparecerá. Se multiplica 0, 0). Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia? 0 Unidad. Los números y sus utilidades

15 Pág. Para dividir 0 : halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia: 0 Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y párate cuando el resultado sea menor que. Ese es el resto de la división. El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla. Razona el porqué del proceso anterior. Al introducir la secuencia: 0 obtenemos veces Por tanto, el cociente de la división 0 : es y el resto. Cuando introducimos 0, vamos restando en primer lugar de 0) cada vez que pulsamos. Si lo pulsamos veces, hemos efectuado: 0, y hemos obtenido ; es decir, 0. Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientes entradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero. 0, Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones con la calculadora. Estima previamente el resultado. 0,, 0) 0,,, 0 Por tanto: 0,... 0 Por tanto:, 0,, 0) ) Unidad. Los números y sus utilidades

16 Pág... Por tanto:, 0,, Página Por tanto: ) PIENSA Y RESUELVE EJERCICIO RESUELTO De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún litros. Cuál es la capacidad del bidón? Resolución Sacamos la mitad. Dividimos la otra mitad en partes. Sacamos de la mitad, que es, y nos quedan, 0 0 que son litros. La capacidad es de 0, litros. Comprueba la solución. Comprobamos que la capacidad es de, litros: Sacamos la mitad, :, litros sacamos, litros quedan. Después la quinta parte, : 0, litros sacamos litros quedan. En efecto, quedan litros. En un depósito lleno de agua había 000 litros. Un día se gastó / del depósito, y otro, 0 litros. Qué fracción queda? de litros se gastaron primero litros se han gastado en total litros quedan. 0 litros de 000 que había representan la fracción: del depósito quedan. Unidad. Los números y sus utilidades

17 Pág. De otra forma: 0 del depósito se gastan en segundo lugar. 000 del depósito se gastan en total. Por tanto, quedan del depósito. De un solar se vendieron los / de su superficie, y después, los / de lo que quedaba. El Ayuntamiento expropió los 00 m restantes para un parque público. Cuál era su superficie? Se venden queda Después, de se venden. En total se han vendido: Queda, que son 00 m Por tanto, la superficie era de: m. En un puesto de frutas y verduras, los / del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los / corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a, qué caja ha hecho el establecimiento? La fracción del total correspondiente a las naranjas es: de, que son. Por tanto, el total es:, Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta / del capital, el segundo / y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unos beneficios de Cuánto corresponde a cada uno? Al primero le corresponderá de Al segundo, de Y, al tercero, el resto: ) Unidad. Los números y sus utilidades

18 Pág. 0 Una pelota pierde en cada bote / de la altura a la que llegó en el bote anterior. Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después de cuatro botes? Después de bote alcanza de la altura inicial. Después de botes alcanza de ) de la altura inicial. Después de botes alcanza de ) ) de la altura inicial. Después de botes alcanza de ) ) de la altura inicial. Se adquieren 0 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduce en / su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdiéndose en la cocción / de su peso. Cuántos kilos de mermelada se obtienen? Al deshuesarlas se reduce el peso quedan de 0 kg kg. Se cuecen los kg de ciruelas con kg de azúcar; es decir, kg de mezcla. Se pierde en la cocción del peso se obtienen: de kg de mermelada Un campo rectangular de 0 m de largo se pone a la venta en dos parcelas a razón de 0 el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los / del campo, sale por Cuánto mide la anchura del campo? del total Total A 0 /m : 0 00 m tiene el campo en total. 00 : 0 0 m mide la anchura del campo. Compro a plazos un equipo de música que vale 00. Hago un pago de 0, después los / de lo que me queda por pagar, y luego / de lo que aún debo. Cuánto he devuelto cada vez? Qué parte de la deuda he pagado? Cuánto me queda por pagar? er pago 0 me quedan por pagar: o pago de 0, me quedan por pagar: 0,, Unidad. Los números y sus utilidades

19 Pág. er pago de,, me quedan por pagar:,,, La - a vez he devuelto 0, la - a vez,, y la - a vez,,. er pago 0 del total me faltan o pago de en total llevo pagado. Me faltan. er pago de en total he pagado. La parte de deuda que he pagado son del total. Me quedan por pagar del total, que son,. Un ciclista, yendo a una velocidad de km/h, tarda h 0 min en recorrer los / de la distancia entre dos ciudades, A y B. Qué distancia hay entre esas ciudades? Si salió de A a las 0 h, a qué hora llegará a B? En, horas recorre, km. Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que: de x x 0 km hay entre A y B A km/h tarda en recorrer 0 km: 0 :, horas Por tanto, si salió de A a las 0 h, llegará a B a las doce y media, es decir, a las h 0 min. Al lavar una tela, su longitud se reduce en /0 y su anchura, /. Qué longitud debe comprarse de una pieza de 0,0 m de ancho para tener, después de lavada, 0, m de tela? 0,0 m Después de lavar 0, m de 0,0 0, m x La superficie de tela, después de lavada, es: 0,x 0, 0, m de x 0, x 0 Unidad. Los números y sus utilidades

20 Pág. 0 Hallamos la anchura inicial, x: 0,x 0, x 0,, m 0, Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 00 km y le hace una revisión general cada 000 km. Cada cuántos kilómetros coinciden las dos operaciones? m.c.m. 00, 000) 000 Entonces cada 000 km coinciden las dos operaciones. En una cooperativa tienen 0 litros de un tipo de aceite y litros de otro. Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. Qué capacidad tendrá cada garrafa? M.C.D. 0, ) Cada garrafa ha de tener litros. Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 0 cm de ancho por 0 cm de largo. Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lo más grandes posible y no se quiere cortar ninguna? M.C.D. 0, 0) 0 Las baldosas han de ser de 0 cm 0 cm. Página REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA Representa cada número en su lugar:,0,,000,00,,,,0,0,0,00,00,00,000,000,000 0 Demuestra que, ) y, se expresan mediante la misma fracción. Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números: N, ) 00N, 0N, 0N N 0 0 Unidad. Los números y sus utilidades

21 Pág., ) 0, 0 Se expresan mediante la misma fracción. Demuestra que 0, ) 0, ). Busca otros dos decimales periódicos cuya suma sea un decimal exacto. Expresamos 0, ) y 0, ) en forma de fracción: 0N, 0M, N 0, M 0, N N M M Por tanto: 0, ) 0, ) Otro ejemplo sería: 0, ) 0,. ) Veámoslo: 00N, N 0, N N 00M, M 0, M M Por tanto: 0, ) 0, ) Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves. Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades: < < < Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo? Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un número positivo, por ejemplo: < < < < < < Siguen siendo ciertas. Unidad. Los números y sus utilidades

22 Pág. Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Por ejemplo: < > < < > ) 0 > Cambia la desigualdad. Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina: Qué condición debe cumplir n para que n/ sea periódico? Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número? n no debe ser múltiplo de. El máximo número de cifras del periodo es 0, ya que los restos al dividir entre, si la división no es exacta, pueden variar entre y 0. Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones: a y b a y a b y b c c b c a c a c > b ; a < a ; b < c b c a b c Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión: Escribe el resultado en forma de fracción. 0, 0,0 0,00 0, ) , ) Divide por varios números menores que 0 y observa los resultados. Qué puede ocurrir cuando dividimos por? Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 0,,? La parte decimal del cociente a : es Cuál será la parte decimal de a ) : y de a ) :? Unidad. Los números y sus utilidades

23 Pág. 0, ) 0, ), ), ), ), ) Hay tres posibilidades: Decimal periódico de periodo. Decimal periódico de periodo. Decimal exacto. 0 0 Exacto pues 0 es múltiplo de ) Periódico de periodo 0 0, ) ) Periódico de periodo 0 0, ) ) a ) : será una división exacta. La parte decimal de a ) : será periódica de periodo. Si divides entre, da 0,. Utiliza tu calculadora para obtener decimales mayores y menores que 0,. Qué característica deben tener las fracciones que dan decimales mayores que 0,? Y las que dan decimales menores que 0,? Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darán decimales mayores que 0,. Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, darán decimales menores que 0,. PROFUNDIZA Divide por los números del al 0 y anota los resultados. Cuántos decimales distintos pueden salir? Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre? Puedes predecir el resultado de : y de :? Cuál será el número a si a : 0,? 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ), ), ), ) 0 Unidad. Los números y sus utilidades

24 Pág. Pueden salir decimales distintos. Pues al dividir entre, si la división no es exacta, podemos obtener restos distintos:,,,,, ). a ), ), 0, ) 0 0, ) 0 a Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por. Después de dividir por los números,,, y, cree que tiene ya el periodo completo, que supone que tiene cifras. Compruébalo usando la calculadora hasta donde te sea necesario. Podrías escribir el resultado de dividir entre con veinte cifras decimales? De la misma manera, halla el resultado de dividir 0 entre con veinte cifras decimales. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0,0 Con veinte cifras decimales sería:,0 0,00 Con veinte cifras decimales sería:,00 0 Investiga en qué cifra termina el número. Observa antes en qué cifra terminan las sucesivas potencias de y busca una regla que te permita saber la última cifra de cualquier potencia de base. En qué número termina la potencia de exponente 00 y bases,, y? Potencias de Unidad. Los números y sus utilidades

25 Pág. Si dividimos el exponente entre y el resto es: 0 la potencia acaba en la potencia acaba en la potencia acaba en la potencia acaba en Como el resto es, entonces acaba en. Potencias de Como 00 Resto 0 00 acaba en 0 0 Potencias de Por lo dicho anteriormente, 00 acaba en. Potencias de Exponente impar acaba en Exponente par acaba en 00 acaba en. Potencias de acaba en Unidad. Los números y sus utilidades