SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

Transcripción

1 Pág. Página PRACTICA Fracciones y decimales Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes: 0 b) Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones. 0 ; ; b) 0 Simplifica: 0 b) c) d) 0 e) 0 0 b) c) d) 0 e) Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figuras y ordénalas. Unidad. Los números y sus utilidades

2 Pág. < < < Escribe una fracción equivalente a / y otra equivalente a /, pero que tengan el mismo denominador. m.c.m. (, ) 0 ; 0 Transforma en decimal estas fracciones: Efectuamos la división en cada caso: 0, ; ) ) 0,; 0,; 0,; 9,; 0, ; 0, ; ) 0, ) 9 Clasifica los siguientes números racionales en decimales eactos y decimales periódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división). 0 Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales eactos cuando en el denominador solo estén como factores primos el y el. En otro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto: Decimales eactos,,,,. 0 Decimales periódicos,,. 9 Epresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada de estas figuras: b) c) 9 9 0, b) 9 0, c) 0, 0 Unidad. Los números y sus utilidades

3 Pág. Epresa en forma de fracción:, b), ) c), d),0 ) e) 0, ), 9 0 b) 00N, N, 99N N c), 00 d) 000N 0, 00N 0, 900N N e) 000N, N 0, N N Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales: 0, y 0, b) 0, y 0, c) 0,9 y d)0,99 y e), y, f), y, Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Por ejemplo, podemos poner: 0,; 0,; 0, b) 0,; 0,; 0, c) 0,9; 0,9; 0,9 d) 0,99; 0,99; 0,99 e),;,;, f),;,;, 0 Ordena las fracciones, y a forma: Epresamos las fracciones en forma decimal: 0, 0, 0,0 0 0 Por tanto: < < a forma: Reducimos a común denominador: ; ; 0 Por tanto: < < Unidad. Los números y sus utilidades

4 Pág. Ordena de menor a mayor estos números:,;, ) ;, ) ;, ),,,, ),, ),, ) <, <, ) <, ) Cuáles de estos números pueden epresarse como fracciones? 0,, ) 0,00 ), Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible. 0, 00 00N, N, 99N N 000N, 00N 0, 900N N , no se puede epresar como fracción; no es un número decimal eacto ni periódico. Es un número irracional. Cálculo mental Calcula mentalmente: b) ( ) c) ( ) d) e) f) ( ) g) ( ) h) ( ) ( ) 9 b) ( ) c) ( ) 9 d) 9 e) f) ( ) g) ( ) 0 h) ( ) ( ) 0 Calcula mentalmente: La cuarta parte de 00, 00, 00 y 000. b) Los cuadrados de los números del al. c) Los cubos de los números del al. d) Las potencias de base hasta 0. Unidad. Los números y sus utilidades

5 Pág., 0, 0 y 0, respectivamente. b),, 9,,,, 9,,, 00, y, respectivamente. c),,, y, respectivamente. d),,,,,,,, y 0, respectivamente. Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción: 0,; 0,; 0,; 0,; 0,; 0, Calcula mentalmente: () b) () c) () 0 d) () () b) () c) () 0 d) () Página 9 Calcula mentalmente: 0 (0) b) c) () d) 0 e) 0 f) 0 0 (0) 000 b) c) () 00 d) 0 0 e) 0 00 f) Calcula mentalmente: de 0 b) de 00 c) de d) La mitad de. e) La tercera parte de. f) La mitad de la quinta parte de. 0 b) c) d) e) f) 9 Calcula mentalmente: Los tres cuartos de un número valen. Cuál es el número? b) Los dos tercios de un número valen 0. De qué número se trata? c) Los / de una cantidad son. Cuál es esa cantidad? Unidad. Los números y sus utilidades

6 Pág. de b) de 0 0 c) de 0 Calcula y simplifica: b) c) : d) e) : f) : b) 9 c) : 0 d) e) : f) : Calcula mentalmente: b) c) d) e) f) b) c) d) e) f) Operaciones con números racionales Calcula: b) 9 c) d) b) 0 9 c) d) Unidad. Los números y sus utilidades

7 Pág. Calcula: ( ) b) ( ) ( ) c) d) ( ) ( ) 9 b) ( ) ( ) c) 9 d) ( ) ( ) 0 Calcula: de b) de 0 de b) de 0 0 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: b) c) d) e) 0 b) c) d) e) 0 El valor medio entre el 0 y el es. Calcula el valor medio comprendido entre cada pareja de números: y b) y c) y 0 Unidad. Los números y sus utilidades

8 Pág. b) c) (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). Reduce a una sola fracción las epresiones: b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d) ( ) [ ( ) ] b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) d)( ) [ ( ) ] ( ) [ ] Unidad. Los números y sus utilidades

9 Pág. 9 Página 0 9 Reduce: ( ) ( ) b) : ( ) ( : ) ( ) ( ) b) : ( ) : ( ) : : Reduce a una fracción: b) c) b) c) Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero: ( ) ( ) ( ) b) : ( ) ( ) : c) [ ( ) ( 0 )] d) [( ) ( ) ] ( : ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 b) : ( ) : ( ) : : 0 Unidad. Los números y sus utilidades

10 Pág. 0 c) [ ( ) ( )] [ ( ) ( ) [ ] [ ] 0 d)[( ) ( ) ] ( : ) [ ] ( ) : : : Calcula las siguientes potencias: () b) () c) d) e) () f) () () b) () c) d) / e) () f) () () () A qué número entero es igual cada una de estas potencias? b) () c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) 0 b) () c) ( ) d)( ) () e) ( ) () f) ( ) 0 9 Escribe en forma de potencia de base ó : b) 9 c) d) e) b) 9 c) d) e) 0 Epresa con potencias de base 0: b) mil millones c) 0,0000 d) una milésima e) 0, f) una millonésima 0 b) 0 9 c) 0 d) 0 e) 0 9 f) Unidad. Los números y sus utilidades

11 Pág. Epresa como potencia única: ( ) : ( ) b) ( ) : ( ) c) d) ( ) e) f) ( ) : ( ) ( ) b) ( ) : ( ) ( ) c) d) ( ) ( ) e) f) ( ) Reduce: () b) ( ) : ( ) c) ( ) ( ) d) () e) ( ) : ( ) f) [( ) ] () b) ( ) : ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) () 9 e) ( ) : ( ) : f)[( ) ] ( ) 9 9 Simplifica: () b) Unidad. Los números y sus utilidades

12 Pág. () 9 b) Calcula: [( ) ] b) [( ) ] c) ( ) ( ) [( ) ] ( ) b) [( ) ] ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Calcula pasando a fracción: 0, ) 0, ) 0, ) b),0 ), ) c) 0, ), ) d) 0, ), ) 0, ) 0, ) 0, ) 9 b),0 ), ) , c) 0, ) , ) 99, 0 ) d)0, ), ) , ) Calcula: (0, 0, ) ) b) ( 0,)( ) ) ( 0,) 0, ) (0, 0, ) ) ( ) ( ) b) ( 0, ) )( ) ( 0,) 0, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Unidad. Los números y sus utilidades

13 Pág. Raíces Calcula cuando sea posible: b) c) d) e) / f) b) () c) d) no eiste e) / / f) Página Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales: b) c) d) 00 e) 00 f) / racional b) racional c) irracional d) 00 0 racional e) 00 irracional f) / racional Calculadora Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cuadrado para que se verifique la igualdad: ; b) 90; c) b) 90 c) Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estas igualdades sean verdaderas: 9 b) ( ) 00 9 b) ( ) 00 Con los dígitos,, y, forma dos números de dos cifras de modo que al multiplicarlos obtengas el mayor producto posible. Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que buscamos, y nos quedan dos opciones: 9 0 El producto mayor es. Unidad. Los números y sus utilidades

14 Pág. Pon los paréntesis necesarios para que cada epresión dé el resultado que indica la flecha: b) c) 9 d) 0 ( ) b) ( ) c) ( ) 9 d) ( ) ( ) 0 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, cómo podrías conseguir que apareciese en la pantalla cada uno de estos números? 0 b) 0 c) 00 d) b) 0 c) 00 d) Si en la pantalla de tu calculadora está el número, qué operación harías para transformar el en un 0? Y para que en lugar del hubiera un? Para transformar el en un cero, basta con restar 00: 00 0 Para transformar el en un, basta con sumar 000: Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas? 0. 00??? Qué aparecerá en pantalla si introduces 0? 0. 00?? Si introducimos 0 aparecerá. (Se multiplica 0, 0). Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia? 09 Unidad. Los números y sus utilidades

15 Pág. Para dividir 0 : 9 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia: 9 0 Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y párate cuando el resultado sea menor que 9. Ese es el resto de la división. El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla. Razona el porqué del proceso anterior. Al introducir la secuencia: 9 0 obtenemos veces Por tanto, el cociente de la división 0 : 9 es y el resto. Cuando introducimos 9 0, vamos restando 9 (en primer lugar de 0) cada vez que pulsamos. Si lo pulsamos veces, hemos efectuado: 0 9, y hemos obtenido ; es decir, 0 9. Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientes entradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero. 9 b) 9 c) d)9 b) c) d) 0, Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones con la calculadora. Estima previamente el resultado. 0 b), (, 0) 0,,, 0 Por tanto: 0, b)... 0 Por tanto:, 0, (, 0) c) d) ( ) Unidad. Los números y sus utilidades

16 Pág. c).. Por tanto:, 0,9, d) Página Por tanto: ( ) PIENSA Y RESUELVE EJERCICIO RESUELTO De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún litros. Cuál es la capacidad del bidón? Resolución Sacamos la mitad. Dividimos la otra mitad en partes. Sacamos de la mitad, que es, y nos quedan, 0 0 que son litros. La capacidad es de 0, litros. Comprueba la solución. Comprobamos que la capacidad es de, litros: Sacamos la mitad, :, litros sacamos, litros quedan. Después la quinta parte, : 0, litros sacamos litros quedan. En efecto, quedan litros. En un depósito lleno de agua había 000 litros. Un día se gastó / del depósito, y otro, 0 litros. Qué fracción queda? de litros se gastaron primero litros se han gastado en total litros quedan. 0 litros de 000 que había representan la fracción: del depósito quedan. Unidad. Los números y sus utilidades

17 Pág. De otra forma: 0 del depósito se gastan en segundo lugar. 000 del depósito se gastan en total. Por tanto, quedan del depósito. De un solar se vendieron los / de su superficie, y después, los / de lo que quedaba. El Ayuntamiento epropió los 00 m restantes para un parque público. Cuál era su superficie? Se venden queda Después, de se venden. En total se han vendido: 9 Queda, que son 00 m Por tanto, la superficie era de: m. En un puesto de frutas y verduras, los / del importe de las ventas de un día corresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fruta, los / corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a 9, qué caja ha hecho el establecimiento? La fracción del total correspondiente a las naranjas es: de, que son 9. Por tanto, el total es: 9, 9 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta / del capital, el segundo / y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unos beneficios de Cuánto corresponde a cada uno? Al primero le corresponderá de Al segundo, de Y, al tercero, el resto: ( ) Unidad. Los números y sus utilidades

18 Pág. 0 Una pelota pierde en cada bote / de la altura a la que llegó en el bote anterior. Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después de cuatro botes? Después de bote alcanza de la altura inicial. Después de botes alcanza de ( ) de la altura inicial. Después de botes alcanza de ( ) ( ) de la altura inicial. Después de botes alcanza de ( ) ( ) de la altura inicial. Se adquieren 0 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduce en / su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdiéndose en la cocción / de su peso. Cuántos kilos de mermelada se obtienen? Al deshuesarlas se reduce el peso quedan de 0 kg kg. Se cuecen los kg de ciruelas con kg de azúcar; es decir, kg de mezcla. Se pierde en la cocción del peso se obtienen: de kg de mermelada Un campo rectangular de 0 m de largo se pone a la venta en dos parcelas a razón de 0 el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los / del campo, sale por Cuánto mide la anchura del campo? del total Total A 0 /m : 0 00 m tiene el campo en total. 00 : 0 0 m mide la anchura del campo. Compro a plazos un equipo de música que vale 00. Hago un pago de 0, después los / de lo que me queda por pagar, y luego / de lo que aún debo. Cuánto he devuelto cada vez? b) Qué parte de la deuda he pagado? c) Cuánto me queda por pagar? er pago 0 me quedan por pagar: o pago de 0 9, me quedan por pagar: 0 9,, Unidad. Los números y sus utilidades

19 Pág. 9 er pago de, 9, me quedan por pagar:, 9,, La - a vez he devuelto 0, la - a vez 9,, y la - a vez, 9,. b) er pago 0 del total me faltan o pago de en total llevo pagado. Me faltan. er pago de en total he pagado. La parte de deuda que he pagado son del total. c) Me quedan por pagar del total, que son,. Un ciclista, yendo a una velocidad de km/h, tarda h 0 min en recorrer los / de la distancia entre dos ciudades, A y B. Qué distancia hay entre esas ciudades? b) Si salió de A a las 0 h, a qué hora llegará a B? En, horas recorre, km. Si llamamos a la distancia entre A y B, tenemos que: de 0 km hay entre A y B b) A km/h tarda en recorrer 0 km: 0 :, horas Por tanto, si salió de A a las 0 h, llegará a B a las doce y media, es decir, a las h 0 min. Al lavar una tela, su longitud se reduce en /0 y su anchura, /. Qué longitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, después de lavada, 0, m de tela? 0,90 m Después de lavar 0, m de 0,90 0, m La superficie de tela, después de lavada, es: 0,9 0, 0, m 9 de 0,9 0 Unidad. Los números y sus utilidades

20 Pág. 0 Hallamos la anchura inicial, : 0, 0, 0,,9 m 0, Un taista cambia el aceite de un vehículo cada 00 km y le hace una revisión general cada 000 km. Cada cuántos kilómetros coinciden las dos operaciones? m.c.m. ( 00, 000) 000 Entonces cada 000 km coinciden las dos operaciones. En una cooperativa tienen 0 litros de un tipo de aceite y litros de otro. Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. Qué capacidad tendrá cada garrafa? M.C.D. (0, ) Cada garrafa ha de tener litros. Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 0 cm de ancho por 90 cm de largo. Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lo más grandes posible y no se quiere cortar ninguna? M.C.D. (0, 90) 0 Las baldosas han de ser de 0 cm 0 cm. Página REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 9 Representa cada número en su lugar:,0 b), c),000 d),00,,,,0,0,0,00,00,00,000,000,000 0 Demuestra que,9 ) y, se epresan mediante la misma fracción. Epresamos en forma de fracción cada uno de los dos números: N,9 ) 00N 9,999 0N,999 90N N 90 0 Unidad. Los números y sus utilidades

21 Pág.,9 ) 0, 0 Se epresan mediante la misma fracción. Demuestra que 0, ) 0, ). Busca otros dos decimales periódicos cuya suma sea un decimal eacto. Epresamos 0, ) y 0, ) en forma de fracción: 0N, 0M, N 0, M 0, 9N N 9M M 9 9 Por tanto: 0, ) 0, ) Otro ejemplo sería: 0, ) 0,. ) Veámoslo: 00N, N 0, 99N N 99 00M, M 0, 99M M 99 Por tanto: 0, ) 0, ) Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves. Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades: < < 9 < Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo? Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un número positivo, por ejemplo: < < < 9 < < < Siguen siendo ciertas. Unidad. Los números y sus utilidades

22 Pág. Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Por ejemplo: < > < 9 < > () 0 > Cambia la desigualdad. Pon ejemplos, refleiona, responde y opina: Qué condición debe cumplir n para que n/ sea periódico? b) Cuál es el máimo número de cifras del periodo de ese número? n no debe ser múltiplo de. b) El máimo número de cifras del periodo es 0, ya que los restos al dividir entre, si la división no es eacta, pueden variar entre y 0. Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones: a y b a y a b y b c c b c a c a c > b ; a < a ; b < c b c a b c Calcula en forma decimal el valor de la siguiente epresión: b) Escribe el resultado en forma de fracción. 0, 0,0 0,00 0, ) b) 0, ) Divide por varios números menores que 0 y observa los resultados. Qué puede ocurrir cuando dividimos por? Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 0,,? La parte decimal del cociente a : es Cuál será la parte decimal de (a ) : y de (a ) :? Unidad. Los números y sus utilidades

23 Pág. 0, ) 0, ), ), ), ), ) 9 Hay tres posibilidades: Decimal periódico de periodo. Decimal periódico de periodo. Decimal eacto. 0 0 Eacto (pues 0 es múltiplo de ) Periódico de periodo ( 0 0, ) ) Periódico de periodo ( 0 0, ) ) (a ) : será una división eacta. La parte decimal de (a ) : será periódica de periodo. Si divides entre, da 0,. Utiliza tu calculadora para obtener decimales mayores y menores que 0,. Qué característica deben tener las fracciones que dan decimales mayores que 0,? Y las que dan decimales menores que 0,? Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darán decimales mayores que 0,. Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, darán decimales menores que 0,. PROFUNDIZA Divide por los números del al 0 y anota los resultados. Cuántos decimales distintos pueden salir? Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre? Puedes predecir el resultado de : y de :? Cuál será el número a si a : 0,? 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 0, ) 9, ), ), ) 0 Unidad. Los números y sus utilidades

24 Pág. Pueden salir decimales distintos. (Pues al dividir entre, si la división no es eacta, podemos obtener restos distintos:,,,,, ). a ), ), 0, ) 0 0, ) 0 a 9 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por. Después de dividir por los números,,, y, cree que tiene ya el periodo completo, que supone que tiene cifras. Compruébalo usando la calculadora hasta donde te sea necesario. Podrías escribir el resultado de dividir entre con veinte cifras decimales? b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 0 entre con veinte cifras decimales. 0,09 0,09 0,09 0,90 0,90,09 Con veinte cifras decimales sería:,09 b) 0 9,9090 Con veinte cifras decimales sería: 9, Investiga en qué cifra termina el número. Observa antes en qué cifra terminan las sucesivas potencias de y busca una regla que te permita saber la última cifra de cualquier potencia de base. En qué número termina la potencia de eponente 00 y bases,, y? Potencias de 9 9 Unidad. Los números y sus utilidades

25 Pág. Si dividimos el eponente entre y el resto es: 0 la potencia acaba en la potencia acaba en la potencia acaba en 9 la potencia acaba en Como el resto es, entonces acaba en. ( Potencias de Como 00 Resto 0 00 acaba en 0 0( Potencias de Por lo dicho anteriormente, 00 acaba en. Potencias de Eponente impar acaba en Eponente par acaba en 00 acaba en. Potencias de acaba en Unidad. Los números y sus utilidades

26 Pág. Página 9 PRACTICA Traducción a lenguaje algebraico Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las epresiones algebraicas: A un número se le quita. 0, b)el doble de un número más su cuadrado. c) Un múltiplo de menos. d)el 0% de un número., e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios. f) El precio de un pantalón aumentado en un 0%. g) Un número impar. b) c) d) 0, e) f), g) Llama al ancho de la pizarra y epresa su altura en cada caso: La altura es la mitad del ancho. b)la altura es 0 cm menos que el ancho. c) La altura es los tres cuartos del ancho. d)la altura es un 0% menor de su ancho. b) 0 c) d) 0, Epresa con un monomio: El perímetro de esta figura. b)el área de la misma. c) El volumen del cubo que se puede formar con esos seis cuadrados. b) c) Unidad. El lenguaje algebraico

27 Pág. Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita: Los tres quintos de un número menos. b)la suma de tres números consecutivos. c) Un múltiplo de más su doble. d)la suma de un número y su cuadrado. e) El producto de un número por su siguiente. b) ( ) ( ) c) () 9 d) e) ( ) (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO). Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas: Un número más la mitad de otro. b)el cuadrado de la suma de dos números. c) La diferencia de los cuadrados de dos números. d)el doble del producto de dos números. e) La semisuma de dos números. y b) ( y) c) y d) y e) y Operaciones con polinomios Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son semejantes: b) c) ( ) d) e) f) g) grado b) grado c) grado d) grado e) grado f) grado g) grado Son semejantes: c) y f) b) y d) e) y g) Unidad. El lenguaje algebraico

28 Pág. Página 9 Efectúa: b) 0 c) d) e) f) b) 0 c) 0 d) ( ) e) ( ) f) ( ) 9 Simplifica estas epresiones: b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) d) ( ) ( ) 0 Efectúa y reduce: ( ) b) ( ) c) d) ( ) 9 b) ( ) c) ( ) d) 0 Unidad. El lenguaje algebraico

29 Pág. Opera y simplifica: () () ( ) b) ( ) () ( ) c) ( )( ) d) ( )( ) () () ( ) 9 b) ( ) () ( ) c) ( ) ( ) 9 9 d)( ) ( ) 0 Considera estos polinomios: A ; B ; C. Calcula: A B, A C, A B C, A B, C B. A A B C A B A C A B A C B A B C A B C B C B Multiplica: ( ) ( ) b)( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( ) Unidad. El lenguaje algebraico

30 Pág. b) ( ) ( ) 0 c) ( ) ( ) Desarrolla los siguientes cuadrados: ( ) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( ) ( ) 9 b) ( ) c) ( ) d) ( ) 9 e) ( ) f) ( ) Etrae factor común: 0 b) c) 9 d) e) a( ) b( ) c( ) f) ( ) ( ) ( ) g) ( y ) ( y ) ( y ) 0 ( ) b) ( ) c) 9 ( ) Unidad. El lenguaje algebraico

31 Pág. d) ( ) e) a( ) b( ) c( ) ( ) (a b c) f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g) (y ) (y ) (y ) (y ) Desarrolla los siguientes productos notables: y ( y) b) ( ) c) ( ) d) ( ) e) ( ) f) ( y) ( y) y 9y b) ( ) c) ( ) 9 d) ( ) e) ( ) f) ( y) y y Multiplica: ( )( ) b) ( )( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) f) ( )( ) ( ) ( ) 9 b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) 9 d) ( ) ( ) e) ( )( ) f) ( )( ) 9 Transforma en diferencia de cuadrados: ( )( ) b) ( )( ) c) ( y)( y) d) ( )( ) ( )( ) 9 b) ( ) ( ) c) ( y)( y) y d) ( )( ) y 9 9 y y Unidad. El lenguaje algebraico

32 Pág. Página 99 9 Reduce la siguiente epresión: ( ) ( ) Quitamos paréntesis: Reducimos a común denominador: ( ) 0( ) 0 Efectuamos las operaciones indicadas: Reduce las siguientes epresiones: ( ) ( ) ( ) b) c) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) Reduce las siguientes epresiones: ( ) ( ) ( ) ( ) b)( ) ( ) ( ) c) Unidad. El lenguaje algebraico

33 Pág. d) ( ) ( ) ( ) e) ( )( ) ( ) f) ( ) ( )( ) g) ( ) ( ) ( ) h) ( ) i) [ ( ) ] ( )( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) 9 ( 9) 9 9 c) d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e) ( )( ) ( ) f) ( ) ( )( ) ( ) 9 9 Unidad. El lenguaje algebraico

34 Pág. 9 g) ( ) ( ) ( ) h) ( ) ( ) i) [ ( ) ] [ ] 0 Fracciones algebraicas Suma estas fracciones algebraicas: El denominador común será ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Reduce a denominador común, suma y simplifica si es posible: b) c) d) ( ) e) f) g) h) Unidad. El lenguaje algebraico

35 Pág. 0 b) 0 c) d) ( ) ( ) ( ) e) f) ( ) g) ( ) h) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: b) ( ) ( ) c) d) e) ( ) f) b) ( ) ( ) c) ( ) d) ( ) e) f) ( ) ( ) PIENSA Y RESUELVE Epresa como cuadrado de una suma o de una diferencia: b) 0 c) 9 d) 9 e) f) 9 g) 9 h) Unidad. El lenguaje algebraico

36 Pág. ( ) b) 0 ( ) c) 9 ( ) d) 9 ( ) e) ( ) f) 9 ( ) g) 9 ( ) h) ( ) Epresa como producto de una suma por una diferencia: 9 b) c) 9 d) e) f) 9 9 ( )( ) b) ( )( ) c) 9 ( )( ) d) ( )( ) e) ( )( ) f) 9 ( )( ) Página 00 Transforma en producto esta epresión:. Sacamos factor común: ( ) El polinomio es el cuadrado de una suma. Por tanto, ( ) ( ) Transforma en producto: 9 b) c) d) ( ) ( ) e) f) 9 ( 9) ( ) b) ( ) ( )( ) c) ( ) ( ) d)( ) ( ) ( ) ( ) e) ( ) ( )( ) f) ( ) ( ) 9 Descompón en producto de dos factores: 9 b) a c) 9 d) 9 ( )( ) b) a ( ( c) 9 ( )( ) d) ( )( ) Unidad. El lenguaje algebraico

37 Pág. 0 Simplifica: b) c) d) e) 9 f) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( )( ) d) ( )( ) e) ( ) 9 ( )( ) f) ( ) ( )( ) Epresa con un monomio el área de la parte coloreada en esta figura. Es un triángulo de base y de altura. Su área es Podemos resolverlo de otra forma: Dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales. El área del triángulo es la mitad de la del cuadrado: Epresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras: b) c) b) c) 9 Unidad. El lenguaje algebraico

38 Pág. Escribe el área y el perímetro de estas figuras utilizando la y los números que aparezcan en ellas: b) Perímetro ( ) ( ) Área b) Perímetro 0 Área 9 Comprueba que el área de este trapecio es A y. y Sabemos que el área del trapecio es: A B b h En esta fórmula, sustituye B por, b por, h por y, y simplifica para obtener la epresión dada. A y y y Página 0 En el trapecio del problema anterior, epresa la diagonal mayor del trapecio utilizando e y. La diagonal, d, es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos e y. Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos y d que: d () y 9 y Unidad. El lenguaje algebraico

39 Pág. Calcula el área y la diagonal mayor del trapecio anterior en estos casos:, y b),; y, Área y 0 Diagonal mayor 9 y 9 9 9,0 b) Área y,, Diagonal mayor 9 y 9,,,,,9,0 Epresa cada enunciado con una identidad y pon ejemplos para comprobarlas: La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores. b) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con esa misma base, que tiene como eponente la diferencia de los eponentes del dividendo y del divisor. c) La suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de los números. y y Por ejemplo:, y m n b) m n y 00 0 y 0 Por ejemplo: m, n, c) ( y)( y) y Por ejemplo:, y ( y)( y) ( )( ) y 9 Halla, en cada caso, cuál es el polinomio Q() que hay que sumar a P() para obtener como resultado R(): R() b) R() c) R() 0 d) R() P() Q() R() Q() R() P() Q() ( ) ( ) b) Q() ( ) 9 Unidad. El lenguaje algebraico

40 Pág. c) Q() 0 ( ) 0 d) Q() ( ) ( ) PROFUNDIZA 9 Cuánto debe valer para que al sustituirla en cada una de las casillas sea este un cuadrado mágico? ( ) 0 ( ) La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma. Las filas suman ª-) ª-) ª-) Y han de valer todas lo mismo. Por eso, debemos tener. Comprobando con las filas, con las columnas y con las diagonales, vemos que se cumple que su suma es siempre. 0 Epresa el área de estas figuras mediante un polinomio: b) 0 Unidad. El lenguaje algebraico

41 Pág. El área del triángulo es: El área del cuadrado es: Luego el área total es: A b) I II El área de I es: 0 El área de II es: Por tanto, el área total será: A Epresa el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos mediante un polinomio: Área ( ) Volumen ( ) ( ) b) Área ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Volumen ( ) ( ) Unidad. El lenguaje algebraico

42 Pág. Página PRACTICA Comprueba cuál de los números, ó es la solución de las siguientes ecuaciones: ( ) ( ) ( ) b) c) ( ) 9 d) : ( ) ( ) ( ) no es solución. : ( ) ( ) 0 ( ) 0 no es solución. : 9 9 ( ) ( ) 0 9 ( ) 0 sí es solución. b) : no es solución. : sí es solución. : no es solución. Unidad. Ecuaciones

43 Pág. c) : ( ) 9 no es solución. : ( ) 9 sí es solución. : ( ) 9 no es solución. d) : 0 no es solución. : no es solución. : sí es solución. Resuelve mentalmente la siguiente ecuación y eplica el proceso seguido: ( ) ( ) tiene que ser igual a (ya que ). Las soluciones son: puede ser igual a puede ser igual a ( ) tiene que ser igual a ( porque ). Resuelve mentalmente y eplica el proceso seguido: b) c) d) ( ) e) ( ) f) 0 g) 9 h) 0 i) j) Unidad. Ecuaciones

44 Pág. 9 b) c) d) ( ) e) ( ) 9 9 f) 0 0 g) 9 h) 0 i) j) 9 0 Resuelve la ecuación ( )( ) 0. Para que un producto sea 0, es necesario que alguno de los factores sea 0. Las soluciones son: Resuelve, como en el ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones: ( )( ) 0 b) ( ) 0 c) ( ) 0 d) ( ) 0 ( )( ) b) ( ) / c) ( ) 0 ( ) 0 0 d) ( ) 0 ( ) 0 0 Unidad. Ecuaciones

45 Pág. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución: b) ( ) ( ) ( ) c) [ ( )] d) ( ) ( ) ( ) Comprobación: 0 Coinciden es solución. b) ( ) ( ) ( ) Comprobación: ( ()) ( ()) ( () ) ( ) Coinciden es solución. c) [ ( )] [ ] [ ] Comprobación: [ ( )] [ ()] [ ] [] 0 () 0 Coinciden es solución. d) ( ) ( ) ( ) Comprobación: ( ) ( ) () () 9 () ( ()) ( 9) 9 Coinciden es solución. Unidad. Ecuaciones

46 Pág. Resuelve las siguientes ecuaciones: b) c) ( ) ( ) ( ) d) e) 9 Unidad. Ecuaciones

47 Pág. f) Página Resuelve estas ecuaciones: ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) Unidad. Ecuaciones

48 Pág. c) [ ( ) ] ( ) [ ] [ ] [ ] Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución: ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( ) ( ) ( ) 9 ( )( ) ( ) ( ) 0 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( 9) 9 9 Unidad. Ecuaciones

49 Pág. c) ( )( ) ( ) ( ) d) ( ) ( )( ) 9 ( ) Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin utilizar la fórmula de resolución: 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) f) 0 g) 0 h) 0 i) 00 0 j) ( ) b) 0 ( ) 0 0 Unidad. Ecuaciones

50 Pág. 9 c) 0 ( ) 0 d) 0 ( ) e) 0 ( ) f) ± g) 0 ± h) 0 ± i) ± j) ± No tiene solución. Resuelve las siguientes ecuaciones: 9 0 b) 0 c) 0 0 d) ( ) e) ( ) Unidad. Ecuaciones

51 Pág. 0 f) ( )( ) ( ) g) ( ) ( )( ) h) ( ) ( ) i) ( ) ( ) ( ) j) ( ) ± 9 ± 9 ± b) 0 ± ± 0 c) 0 0 ± 0 ±. No tiene solución d) ( ) 0 ± ± 9 ± e) ( ) 0 ± ± 9 ± f) ( )( ) ( ) 9 0 ± ± 9 ± g) ( ) ( )( ) 0 ± ± ± Unidad. Ecuaciones

52 Pág. h) ( ) ( ) ( ) 0 ± 0 ± 9 ± i) ( ) ( ) ( ) ± ± ± 0 j) ( ) ( ) 0 ± 9 ± ± Resuelve las siguientes ecuaciones: 0,,, 0, b),,, 0, 0, c) ( ) 00 0 Unidad. Ecuaciones

53 Pág. d) ( ) 9 9 e) (,) ( 0,) 0 f), 0 g) ( ) h) 0, 0 i) 0,, 0 j) 0 0,,, 0, 0,, 0,,,,,, b),,, 0,(,,) 0,(,) 0, 0, 0,, 0, 0, 0, 0,, 0, 0,,,,, 0, c) ( ) 00 0 ( ) 00 ( ) 00 ( ) d) ( ) Unidad. Ecuaciones

54 Pág. e) (,)( 0,) 0, 0, 0, 0 0, f), 0 (,) 0 0, 0, g) ( ) ( ) 0 0 h) 0, 0 0, 0, 0, 0, ± 0, 0, i) 0,, 0, ±,,, ±,, ±, 0, 0, 0, 0 j) 0 0 ± ± ± Busca, por tanteo, una solución eacta de las siguientes ecuaciones: b) 9 c) ( ) d) 9 b) 9 c) ( ) d) 9 Unidad. Ecuaciones

55 Pág. Busca, por tanteo, una solución aproimada de las siguientes ecuaciones: b) c) d) e) 0, f) 0, La solución está entre y.,,9,, La solución está entre, y,.,,,,0 b) Tomamos como solución,., La solución está entre y.,,,99,9,9, La solución está entre, y,9.,,,00. Tomamos como solución,. c) 9 La solución está entre y 9.,, La solución está entre, y,., 9,0,,. Tomamos como solución,. d) 0 La solución está entre y.,,, La solución está entre, y,.,,,09,9,9,9. Tomamos como solución,0. e) 0, 0 0, La solución está entre y 0. 0, 0, 0, 0, La solución está entre 0, y 0,. 0, 0,9. Tomamos como solución 0,. Unidad. Ecuaciones

56 Pág. f) 0, 0,,9 0,,0, 0,,99, 0,,0, 0,,999, 0,,00 La solución está entre y. La solución está entre, y,. Tomamos como solución,. PIENSA Y RESUELVE Calcula un número cuya mitad es 0 unidades menor que su triple. El número: Si sumamos 0 a su mitad, Su mitad: obtenemos su triple: 0 Su triple: Solución: El número es el. Página Si a un número le restas, se reduce a su tercera parte. Cuál es ese número? Llamamos al número que buscamos. Tenemos que: Solución: El número es el. Calcula tres números sabiendo que: El primero es 0 unidades menor que el segundo. El tercero es igual a la suma de los dos primeros. Entre los tres suman 0. Primero 0 Segundo Tercero 0 0 ( 0) ( 0) Unidad. Ecuaciones

57 Pág Solución: El primer número es 0, el segundo 0 y el tercero 0. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor. De qué números se trata? Llamamos al menor de los tres números. El siguiente es y el siguiente. Tenemos que: ( ) ( ) Solución: Los números son, y. 9 Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo. Cuál es ese número? Llamamos al número que buscamos. Tenemos que: 0 ( ) 0 Solución: Hay dos soluciones: 0 y. 0 La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es. Halla esos números. El número par es, el que le sigue es y el anterior es. Tenemos que: ( ) ( ) 9 Solución: El número par es el 9, el que le sigue, el 9; y el anterior el 9. Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado,0. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado. Cuál era el precio de cada artículo? Precio videojuego Precio cómic Precio helado 0 0,,,,,, 0 Solución: El videojuego costaba, el cómic, y el helado,. 0 0 Unidad. Ecuaciones

58 Pág. Me faltan, para comprar mi revista de informática preferida. Si tuviera el doble de lo que tengo ahora, me sobrarían. Cuánto tengo? Cuánto cuesta la revista? Llamamos al dinero que tengo (la revista cuesta,0). Tenemos que:,0,0,0,0,0 Solución: Tengo,0. La revista cuesta,0. Con que tengo, podría ir dos días a la piscina, un día al cine y aún me sobrarían,. La entrada de la piscina cuesta, menos que la del cine. Cuánto cuesta la entrada del cine? Precio entrada de cine Precio entrada piscina,0 Tenemos que: (,0),0,0,0 0, 0,,,, Solución: La entrada del cine cuesta,. (La de la piscina, ). María tiene años más que su hermano Luis, y su padre tiene años. Dentro de años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. Qué edad tiene cada uno? EDAD DE HOY DENTRO DE AÑOS LUIS MARÍA PADRE La suma de las edades de los dos hermanos debe ser igual a. 0 0 Solución: Luis tiene años, María tiene 0 y su padre. Antonio tiene años, su hermano Roberto,, y su padre,. Cuántos años han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre? Llamamos a los años que han de transcurrir. AHORA DENTRO DE X AÑOS ANTONIO ROBERTO PADRE Unidad. Ecuaciones

59 Pág. ( ) ( ) Solución: Han de transcurrir años. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 0 años. El padre tiene años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los años. Qué edad tiene cada uno? Edad de cada hijo (son dos hijos) Edad de la madre Edad del padre Tenemos que: ( ) ( ) Solución: La madre tiene años, el padre y cada uno de los hijos tiene años. Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus / partes, el martes se gastan / de lo que quedaba, y el miércoles, 00 litros. Si aún quedó /0, cuál es su capacidad? HABÍA SE GASTA QUEDA LUNES MARTES MIÉRCOLES ( ) 00 litros litros 0 Solución: La capacidad del depósito es de 000 litros. En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los / de su capacidad. En septiembre, no llovió y se gastó / del agua que tenía. En octubre se recuperaron m, quedando lleno en sus tres cuartas partes. Cuál es su capacidad? HABÍA SE GASTÓ O RECUPERÓ QUEDA SEPTIEMBRE OCTUBRE m ( ) Unidad. Ecuaciones

60 Pág m Solución: La capacidad del depósito es de, aproimadamente, 9 9 m. 9 Dos albañiles que trabajan asociados reciben 00 como pago de cierto trabajo. Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintas partes que el otro? Primero Le corresponden Segundo Le corresponden Suma Solución: Al primero le corresponden 000, y al segundo, Roberto y Andrés compran una camisa cada uno, ambas del mismo precio. Roberto consigue una rebaja del %, mientras que Andrés solo consigue el %. Así, uno paga, más que el otro. Cuánto costaba cada camisa? Llamamos al precio inicial de la camisa. Roberto paga 0, Andrés paga 0,9 Tenemos que: 0,, 0,9, 0,9 0,, 0,0, 0,0 Solución: La camisa costaba. Página Si un número aumenta en un 0%, resulta unidades mayor que si disminuye en un %. Cuál es ese número? Llamamos al número que buscamos. Tenemos que:, 0,9, 0,9 0, 0 0 0, Solución: El número es el 0. Unidad. Ecuaciones

61 Pág. 0 Calcula el capital que, colocado al % durante dos años, se convierte en 900 (los intereses se suman al capital al final de cada año). Llamamos C al capital. Tenemos que:,0 C 900, C 900 C 900,., Solución: El capital es de,. Durante cuántos años se ha de colocar un capital de 0, con un interés anual del %, para conseguir un beneficio de? Al cabo de un año produce un interés de 0 0,0,. Al cabo de t años produce un interés de (,t). Tenemos que hallar t para que:,t t t años., Solución: Durante años. Un inversor pacta la compra de un terreno, valorado en 000, mediante dos pagos: el primero, de 000, a la firma de las escrituras, y el segundo, de 00, seis meses más tarde. Con qué interés se penaliza la demora? Pago inicialmente 000. Por tanto, la deuda que me quede por pagar es de Llamando al interés con que se le penaliza por pagar meses más tarde, tenemos: , 000 El interés con que se me penaliza es del, % en meses % anual. Un inversor que dispone de 000, coloca parte de su capital en un banco al %, y el resto, en otro banco, al %. Si la primera parte le produce anualmente 0 más que la segunda, cuánto colocó en cada banco? er banco Coloca interés 0,0 º- banco Coloca ( 000 ) interés 0,0( 000 ) Tenemos que: 0,0 0,0( 000 ) 0 Unidad. Ecuaciones

62 Pág. 0,0 0 0,0 0 0, , Solución: Colocó 00 en el primer banco y 00 en el segundo. Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de, /litro, en una tinaja que contenía 00 litros de aceite de oliva de, /litro. Sabiendo que el litro de la mezcla cuesta,0 /litro, cuántos litros había en el bidón? ORUJO OLIVA MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE ( ),, 00, 00, 0 00,,(00 ), 0,(00 ), 0,, litros Solución: Había 0 litros de aceite de orujo en el bidón. Cuántos litros de agua del grifo, a C, hay que añadir a una olla que contenía litros de agua a 0 C, para que la mezcla quede a C? Llamamos a los litros que hay que añadir. Tenemos que: 0 0 ( ) litros 0 Solución: Hay que añadir litros. Mezclando kg de arroz de /kg con kg de arroz de otra clase, se obtiene una mezcla que sale a /kg kg,0 /kg. Cuál será el precio de la segunda clase de arroz? kg /kg,0 /kg ª- CLASE ª- CLASE MEZCLA CANTIDAD (kg) PRECIO/kg COSTE TOTAL ( ) 0, 0, 0,, /kg. Solución: El precio de la segunda clase de arroz es de, /kg. Unidad. Ecuaciones

63 Pág. 9 Se han mezclado 0 litros de aceite barato con litros de aceite caro, resultando la mezcla a,0 /l. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendo que el de más calidad es el doble de caro que el otro. BARATO CARO MEZCLA CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL ( ) 0 0 0,0,0 0 0, , /l. 0,, /l. Solución: El aceite barato cuesta, /l y el caro, /l. 0 Un ciclista que va a km/h tarda minutos en alcanzar a otro, que le lleva una ventaja de km. Qué velocidad lleva el que iba delante? Llamamos a la velocidad del que va delante. km km/h km/h Se aproiman a una velocidad de: ( ) km/h. Tiempo que tarda en alcanzarlo ( min ) hora : t d ( ) v 0 km/h Solución: El que iba delante lleva una velocidad de 0 km/h. Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de km/h. Qué velocidad deberá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar al primero en hora y media? Llamamos a la velocidad del otro ciclista. km/h, km km/h El que va a km/h recorre en media hora :, km. Se aproiman a una velocidad de: ( ) km/h. Tiempo que tarda en alcanzarlo (, horas): t d,,,( ), v Unidad. Ecuaciones

64 Pág.,,,,,,, km/h, Solución: Deberá llevar una velocidad de 0 km/h. Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante km, a una velocidad de 0 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda en cruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. Cuál era la velocidad del camión? Llamamos a la velocidad del camión. A km B 0 km/h km/h Se aproiman a una velocidad de: ( 0) km/h. t d ( 0) 0 v Tiempo que tardan en cruzarse ( h min h h h ) : km/h. Solución: La velocidad del camión era de km/h. El producto de un número natural por su siguiente es unidades mayor que el quíntuplo de la suma de ambos. Cuál es ese número? Llamamos al número que buscamos, el siguiente es. Tenemos que: ( ) ( ) ( ) ± 9 ± 9 ± (no vale) ( no es válida, pues es un número natural). Solución: El número es el. Unidad. Ecuaciones

65 Pág. Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca a cada uno. Si hubieran sido cuatro amigos y amigas más, hubieran tocado a menos. Cuántos eran para repartir? Llamamos al número de amigos que son. amigos a cada uno Premio Si hubieran sido ( ) amigos y amigas hubieran tocado a cada uno Premio ( ) Por tanto: ( ) Solución: Eran amigos. amigos Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo. Si el autobús se hubiera llenado, cada uno habría pagado,0 ; pero quedaron plazas vacías, y el viaje costó 9. Cuántas plazas tenía el autobús? Llamamos al número de plazas del autobús. Si viajan personas, cada una paga, Precio total, Si viajan ( ) personas, cada una paga 9 Precio total 9( ), 9( ), 9 9, 0, plazas 0, Solución: El autobús tenía plazas. Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide cm menos que la altura y la diagonal mide 0 cm. 0 cm BASE ALTURA Llamamos a la longitud de la altura, la base medirá ( ) cm. Aplicamos el teorema de Pitágoras: 0 ( ) ± 9 ± 9 ± Solución: La base mide cm y la altura cm. (no vale) Unidad. Ecuaciones

66 Pág. Página En las dos orillas de un río hay dos palmeras. La más alta mide 0 codos; la otra, 0 codos, y la distancia entre ambas es de 0 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. Al descubrir los dos pájaros un pez en la superficie del río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo. A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez? 0 codos d d 0 codos Llamamos a la distancia que buscamos (distancia del tronco de la palmera más alta a donde apareció el pez). 0 Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos: d 0 d 0 (0 ) 0 0 (0 ) (0 ) Solución: La distancia buscada es de 0 codos. Al aumentar en m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en m. Calcula el lado del cuadrado. l A A l A l A (l ) l (l ) l l 0l 0l 0 0l l 0 m 0 Solución: El lado del cuadrado mide m. REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA 9 Comprueba que entre las siguientes ecuaciones de primer grado, unas tienen infinitas soluciones (0 0) y otras no tienen solución (0 b). ( ) ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) ( ) Unidad. Ecuaciones

67 Pág. c) d) ( ) ( ) ( ) Tiene infinitas soluciones b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 No tiene solución c) 0 9 No tiene solución d) Tiene infinitas soluciones 0 Inventa una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean y. Si queremos que las soluciones sean y, haremos: ( ) ( ) 0 0 Inventa una ecuación de segundo grado que tenga: Dos soluciones, y. b) Una solución,. c) Ninguna solución. d) Dos soluciones, 0 y. Por ejemplo: ( )( ) b) ( ) c) 0 d) ( ) 0 0 Unidad. Ecuaciones

68 Pág. En la ecuación a 0: Qué valores ha de tomar a para que las dos soluciones sean iguales? b) Y para que sean distintas? c) Y para que no tenga solución? Las soluciones de la ecuación a 0 son: ± a. El discriminante es a. Para que las dos soluciones sean iguales, ha de ser: a 0 a a 9 a 9 b) Para que las dos soluciones sean distintas, ha de ser: a > 0 > a a < 9 c) Para que no tenga solución, ha de ser: a < 0 < a a > 9 PROFUNDIZA Resuelve la ecuación. 0 Multiplicamos los dos miembros por 0( ). 0( ) 0 ( ) ± ± Comprobamos las soluciones: es solución 0 es solución 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: b) c) d) ( ) Unidad. Ecuaciones

69 Pág. b) ± c) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) d) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) Página 9 Resuelve la ecuación. Dejamos solo el radical en el primer miembro y elevamos al cuadrado los dos miembros: ± 0 ± 0 Unidad. Ecuaciones

70 Pág. 9 Comprobamos las soluciones: 9 9 ( ) Solo hay una solución: Resuelve: b) 0 c) 0 d) e) f) 0 0 ( ) ( ) 0 9 ( 9) 0 Comprobamos las soluciones: sí es solución. 9 9 ( ) 9 9 no es solución Solución: 0 b) 0 ( ) ( ) ± 9 0 ± Comprobamos las soluciones: Coinciden. sí es solución No coinciden no es solución 0 sí es solución Unidad. Ecuaciones

71 Pág. 0 0 sí es solución Hay dos soluciones: ; c) 0 Comprobamos la solución: 0. No tiene solución d) ( ) ( ) 0 ± Comprobamos la solución: sí es solución Hay una solución: e) ( ) ( ) ± 9 ± 9 9 ± Comprobamos las soluciones: 0 Hay una solución: f) ( ) ( 0) No coinciden. no es solución 0 ( 0) ( ) 9( 0) 9 90 Coinciden. sí es solución 0 Unidad. Ecuaciones

72 Pág ± ± 9 0 ± 0 Comprobamos las soluciones: 0 0 no es solución. 0 0 sí es solución. Hay una solución: Resuelve la ecuación (ecuación bicuadrad. Hacemos y y. Sustituimos en la ecuación: y 0y 9 0 y 9 9 ± 9 y ± Hay cuatro soluciones: ; ; ; Resuelve, como en el problema anterior, las ecuaciones siguientes: 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0 0. Cambio: y y y ± ± 9 y 0 ± y ± y ± / / y y Unidad. Ecuaciones

73 Pág. b) 0. Cambio: y y y ± 9 y 0 y ± La ecuación no tiene solución y y y ± No tiene solución y ± No tiene solución c) 0. Cambio: y y y ± 9 y 0 y ± y 9 9 ± 9 y ± y 9 y d) 0. Cambio: y y y ± ± 9 y 0 y ± y 9 9 ± 9 y ± No tiene solución Hay dos soluciones: ; y 9 y e) 0. Cambio: y y y y 0 ± 900 ± y ± y ± y 9 9 ± 9 f) 0. Cambio: y y y ± 9 y 0 y ± y y 9 y y 9 Unidad. Ecuaciones

74 Pág. y ± y ± / / / / 9 Dos albañiles tardan horas y minutos en levantar un tabique, trabajando juntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado horas en hacer el mismo trabajo. Cuánto habría tardado el más viejo sin la ayuda de su compañero? El más joven Tarda horas Hace del trabajo en hora. El más viejo Tarda horas Hace del trabajo en hora. 0 Hacen del trabajo en hora. Por tanto: Solución: El más viejo habría tardado horas Entre los dos Tardan h min ( ) h ( ) h h 0 Un coche tarda horas en cubrir el trayecto entre A y B. Un camión, que ha salido a la misma hora, y realiza el trayecto B-A, tarda horas y minutos en cruzarse con el coche. Cuánto durará el viaje completo del camión? Coche Tarda horas Recorre del camino en hora. Camión Tarda horas Recorre del camino en hora. 0 h en hora recorren del camino. Entre los dos Tardan en cruzarse h min ( ) h ( ) h Unidad. Ecuaciones

75 Pág. Por tanto: Solución: El viaje completo del camión durará horas. Una piscina tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. Si se abre el grifo, la piscina se llena en 9 horas. Si, además del grifo, se abre el desagüe, entonces el tiempo de llenado es de horas. Cuánto tiempo tardará el desagüe en vaciar la piscina llena, estando cerrado el grifo? Grifo Tarda 9 horas en llenarla Llena de piscina en hora. 9 Desagüe Tarda horas en vaciarla Vacía de piscina en hora. Juntos Tarda horas en llenarse Se llena de piscina en hora. Por tanto: 9 Solución: El desagüe tardará horas en vaciar la piscina, estando cerrado el grifo. Un usurero que cobra un interés del % mensual reclama a una víctima el pago de 0 para saldar una deuda contraída hace 0 días. Qué cantidad le prestó? Interés por los 0 días 0 % 0 % 0 Si le prestó, tiene que devolver: ( 0 ) Solución: Le prestó 00. Unidad. Ecuaciones

76 Pág. Se ha fundido un lingote de oro de kg de peso y 0% de pureza, junto con otro lingote de oro de kg de peso. Cuál era la pureza del segundo, si la de la mezcla resultante es del %? CANTIDAD (kg) PUREZA CANTIDAD DE ORO (kg) er LINGOTE º- LINGOTE MEZCLA 0% 0,, % 0,0 00 % 0,, 0,0 0,, 0,0,, 0,0,, 0,0 0, 0,0 0, % 0,0 Solución: El segundo lingote tiene un % de pureza. Cuántos gramos de oro puro hay que mezclar con gramos de 0 quilates para obtener oro de, quilates? Recordamos que una ley de kilates significa que es oro puro; así, una ley de 0 kilates significa que 0 partes del lingote son de oro. CANTIDAD (kg) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g) º- º- MEZCLA 0 0 0,, ( ) 0 ( ), 0,, 0,, 0, 0,,,, gramos, Solución: Hay que mezclarlo con gramos de oro puro. Se ha fundido un pendiente de oro de gramos con una cadena de oro de gramos, para fabricar una pulsera. Si el pendiente era de oro puro y la pulsera ha resultado ser de, quilates, cuál era la ley de la cadena? Recuerda que una ley de kilates significa que es oro puro; así, una ley de, kilates significa que, partes son de oro. Unidad. Ecuaciones

77 Pág. PESO (g) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g) PENDIENTE CADENA PULSERA (mezcl 0,, 0 0, kilates Solución: La cadena era de 0 kilates. Unidad. Ecuaciones

78 Pág. Página PRACTICA Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la solución, y. y y b) y Sustituimos en cada ecuación, y y operamos: y b) y 0 Comprueba si, y es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones: y y b) y y Sustituimos los valores en cada ecuación y vemos si se cumplen: () () Se cumplen las ecuaciones:, y es solución del sistema. b) No se cumple. No es solución. y y y Resuelve por sustitución: y b) y 9 y c) d) y 9 y y y y y y 9 Solución: ; y (y ) y 9 y y 9 y y y Unidad. Sistemas de ecuaciones

79 y 9. Solución: ; y Solución: 0; y Resuelve por igualación: y b) y 9 y c) d) y y e) f) y 9 Solución: ; y Solución: ; y y y y y 0 0 y 0 y y c) y y y y y y y y y Solución: ; y Pág. b) y y Solución: ; y c) y y 9 y 9 ( 9) 9 9 d) y y 0 0 y y y y y y y y y y 9 y y 9 y 0y y y y b) y y y y Unidad. Sistemas de ecuaciones

80 Pág. d) y y y Solución: ; y y y y y 0 e) f) y y 9 9 y. Solución: ; y y y y y y y y. Solución: ; y y 9 y y 9 y y y y y 0 0y y y y Resuelve por reducción: y b) y 9 0 y c) d) 0 y y 9 y y y y y 9 Sumando: y Solución: ; y b) y 9 y () 0y y Sumando: y y 9 y. Solución: ; y Unidad. Sistemas de ecuaciones

81 d) y () y y y Sumando: y y y 0 Solución: 0; y Pág. c) 0 y 0 y Sumando: 0 0 Restando: y y Solución: ; y Resuelve por el método que consideres más adecuado: y b) y c) d) y y e) f) y y y, 0,y 0,y, y 0 y y Solución: ; y y y 0 y y b) y y y 0 y Sumando: y. Solución: ; y Unidad. Sistemas de ecuaciones

82 Pág. c) d) e) f) y. Solución: ; y, 0,y 0,y,y, y,,, 0,y,. Solución:,; y Sumando: y Sumando: 9 y 9 Solución: ; y Resuelve los sistemas: y y, 0,y 0,y, y y y y 9 Solución: 9 ; y y 0 y y ( ), 0,y,(, 0,y) 0,y y y y y 0 ( ) (y ) ( y) 9 y 0 y y y y b) c) d) y ( y) 9 ( ) (y ) 9 y 0,,y,, 0,y, Unidad. Sistemas de ecuaciones

83 Pág. ( ) ( y ) ( y) 9 y y y 9 y y y y Sumando: y 0 y 0 Solución: ; y 0 b) y ( y) 9 y y 9 y 9 y y 9 y y y y y y Solución: ; y c) ( ) ( y ) 9 y y 9 y 0 y y 9 y 0 y Sumando: 9 9 y Solución: ; y d) 0,,y,, 0,y, 0,, Sumando:, 0,,y,,09,y,,, y,,, 0, Solución: ; y Unidad. Sistemas de ecuaciones

84 Pág. PIENSA Y RESUELVE Calcula dos números cuya suma sea 9 y su diferencia. Llamamos e y a los números que buscamos. Tenemos que: Sumando: 9 y 9 Solución: 9; y 9 Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan,0. Cinco kilos de peras y cuatro de manzanas cuestan,0. A cómo está el kilo de peras? Y el de manzanas? Llamamos al precio del kilo de peras e y al precio del kilo de manzanas. Tenemos que: y, y, Sumando:,,,, y,, y, Solución: El kilo de peras cuesta, y el de manzanas,,. 0 Para pagar un artículo que costaba, he utilizado nueve monedas, unas de 0 céntimos y otras de 0 céntimos. Cuántas monedas de cada clase he utilizado? Llamamos al número de monedas de 0 céntimos e y al número de monedas de 0 céntimos. Tenemos que: y 9 0 0y 00 y 9 y () y 9 y 0 y, y 9, (9 ) 0 0 ; y 9 Solución: Hemos utilizado monedas de 0 céntimos y monedas de 0 céntimos. Página Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0, por cada pieza que sale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0, por cada pieza defectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 00 bombillas, obteniendo unos beneficios de,. Cuántas bombillas válidas y cuántas defectuosas se han fabricado en ese día? Unidad. Sistemas de ecuaciones

85 Llamamos al número de bombillas válidas e y al número de bombillas defectuosas. Tenemos que: Pág. y 00 0, 0,y, y 00 0, 0,( 00 ), 0, 0 0,, 0,,, 9 y , Solución: Se han fabricado 9 bombillas válidas y 0 defectuosas. Una empresa aceitera ha envasado 000 litros de aceite en 00 botellas de dos y de cinco litros. Cuántas botellas de cada clase se han utilizado? litros l l Llamamos al número de botellas de dos litros e y al número de botellas de cinco litros. Tenemos que: y 00 y 000 y Solución: Se han utilizado 000 botellas de dos litros y 00 botellas de cinco litros. En un bar se venden bocadillos de jamón a, y bocadillos de tortilla a. En una mañana vendieron bocadillos y la recaudación final fue de 9. Cuántos se vendieron de cada clase? Llamamos al número de bocadillos de jamón e y al número de bocadillos de tortilla. Tenemos que: y, y 9 y y, ( ) 9, 0 9, /, 0 Solución: Se vendieron 0 bocadillos de jamón y de tortilla. y 00 ( 00 ) Unidad. Sistemas de ecuaciones

86 Pág. 9 En un test de 0 preguntas se obtienen 0, puntos por cada respuesta correcta y se restan 0, puntos por cada error. Si mi nota ha sido 0,, cuántos aciertos y cuántos errores he tenido? Llamamos al número de aciertos e y al número de errores. Tenemos que: y 0 0, 0,y 0, y 0 0, 0,(0 ) 0, 0,, 0, 0, y 0 Solución: He tenido aciertos y errores. Una empresa de productos plásticos recibe el encargo de fabricar cierto número de macetas para un día determinado. Al planificar la producción, el gerente advierte que si fabrican 0 macetas diarias, faltarían 0 macetas al concluir el plazo que les han dado. Si fabrican 0 macetas diarias, entonces les sobrarían 0 macetas. Cuántos días de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron? Llamamos a los días de plazo que tenían e y al número de macetas que encargaron. Tenemos que: 0 0 y 0 0 y y Solución: Tenían días de plazo y les encargaron 900 macetas. Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del modelo A, se necesitan kg de acero y kg de aluminio, y para una del modelo B, kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 0 kg de acero y 0 kg de aluminio, cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar? Llamamos al número de bicicletas del tipo A e y al número de bicicletas del tipo B. Tenemos que: Acero y 0 Aluminio y 0 Restando: y 0 Solución: Puede fabricar 0 bicicletas del tipo A y 0 del tipo B. Unidad. Sistemas de ecuaciones

87 La base mayor de un trapecio es cm más larga que la menor; la altura del trapecio es cm y su área cm. Cuánto miden las bases? Llamamos a la base mayor e y a la base menor: y y y 0 y y Solución: La base mayor mide cm y la menor, cm. Pág. 0 y y ( y) Área cm y y ( y) y En una parcela rectangular de m de perímetro se hace un jardín rectangular bordeado por un camino de m de ancho. Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de m. Llamamos e y a las dimensiones de la parcela: y y Perímetro y y Área jardín ( )(y ) y ( )( ) ( )( ) 0 ± ± ± y 9 9 y Solución: Las dimensiones de la parcela son m 9 m. 9 María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un %. Marta ha comprado otro abrigo más caro, pero ha conseguido una rebaja del 0%, con lo que solo ha pagado más que María. Cuál era el precio de cada abrigo? Llamamos al precio (sin rebajar) del abrigo de María e y al precio (sin rebajar) del abrigo de Marta. Tenemos que: Unidad. Sistemas de ecuaciones

88 Pág. y 0,0y 0, Solución: El abrigo de María costaba 0 y el de Marta,. 0 Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficio de 00. El beneficio habría sido el mismo si el capital se hubiera aumentado en 000 y el interés anual se hubiera disminuido en un punto (en un %). A cuánto asciende el capital y a qué tanto por ciento ha estado colocado? Llamamos al capital (en euros) e y al tanto por ciento al que ha estado colocado. Tenemos que: y y ( 000) ( ) ( )( ) ± ±, 0,0( ) 0, 0,0 0 0, 0,0 0 y 0,0,, (no vale) y 0 000,% Solución: El capital es de, y el tanto por ciento,,%. Por un pantalón y unos zapatos he pagado. Si el precio del pantalón aumentara en un %, entonces sería el % del precio de los zapatos. Cuánto pagué por cada uno? y ( 000)(y ) y Pantalón Aumenta un %, Zapatos y El % de y 0,y y, 0,y y, 0,( ), 9, 0,,9 9, 9,/,9 0 y Solución: El pantalón costaba 0 y los zapatos,. Unidad. Sistemas de ecuaciones

89 Pág. Página He pagado 90,0 por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos, 0. En la camisa me han rebajado un 0% y en el jersey, un %. Cuál era el precio original de cada artículo? Llamamos al precio original de la camisa e y al precio original del jersey. Tenemos que: y 0 0,0 0,y 90, 0,0 9, 0, 90, 0,0 0 y 0 0,0 Solución: La camisa costaba 0 y el jersey, 0. En un centro escolar hay matriculados 9 estudiantes entre los dos cursos de Bachillerato. El % de primero y el % de segundo son mujeres, lo que supone un total de alumnas entre los dos cursos. Cuántos estudiantes hay en cada curso? Llamamos al número de estudiantes de º- de Bachillerato e y al número de estudiantes de º- de Bachillerato. Tenemos que: y 9 0, 0,y y 9 0, 0,(9 ) 0,, 0, 9, 0,0 9, 0 y 9 0,0 Solución: Hay 0 estudiantes en º- y estudiantes en º-. Dos comerciantes emprenden un negocio para cuya realización fue necesario invertir A la hora de repartir beneficios, el primero cobró 0 y el segundo, 0. Qué cantidad invirtió cada uno? Llamamos a la cantidad que invirtió el primero e y a la cantidad que invirtió el segundo. Total invertido Beneficio total : ,0 de beneficio corresponden a cada euro invertido. Al primero le corresponden 0, Al segundo le corresponden 0,0y 0 y Solución: El primero invirtió y el segundo, y 0 0,0 0,(0 ) 90, Unidad. Sistemas de ecuaciones