1. Para cada uno de los lenguajes siguientes, describe un autómata a pila que acepte el lenguaje. (a) ( ) L = {a n b 2n n 0}.

Transcripción

1 Universidad Rey Juan Carlos Curso Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Ingeniería Técnica en Informática de Sistemas Hoja de Problemas 11 Autómatas a pila Nivel del ejercicio : ( ) básico, ( ) medio, ( ) avanzado. 1. Para cada uno de los lenguajes siguientes, describe un autómata a pila que acepte el lenguaje. (a) ( ) L = {a n b 2n n 0}. AP =({a, b}, {A, Z}, {q 0,q 1,q f },Z,q 0,f,{q f }) Donde f, la función de transición, viene definida como: f(q 0,λ,Z) = {(q f,λ)} f(q 0,a,Z) = {(q 0,AAZ)} f(q 0,a,A) = {(q 0,AAA)} f(q 0,b,A) = {(q 1,λ)} f(q 1,b,A) = {(q 1,λ)} f(q 1,λ,Z) = {(q f,λ)} (b) ( ) L = {xcx 1 x {a, b} + }. (c) ( ) L = {a n b m n m 3n}. Este es un caso parecido al lenguaje {a n b n },conladiferenciadequecadavez que leamos una letra a, debemos insertar en la pila de uno a tres contadores A. Así, por cada letra a, habrá deunaatres b. El autómata a pila es el siguiente : AP := ({a, b}, {S, A}, {p, q},s,p,f, ) f(p, λ, S) = {(p, λ)} f(p, a, S) = {(p, A), (p, AA), (p, AAA)} f(p, a, A) = {(p, AA), (p, AAA), (p, AAAA)} f(p, b, A) = {(q, λ)} f(q, b, A) = {(q, λ)} f(q, b, A) = {(q, λ)} Página 1 de 11

2 (d) ( ) L = {xcy x, y {a, b}, n o subcadenas ab enx =n o subcadenas ba eny}. Este autómata tendrá cuatroestados{p, q, r, s}. Losdosprimeros,{p, q} se utilizarán para el reconocimiento de la parte de la palabra que está a la izquierda de la c, mientras que los otros son para la parte derecha. En concreto, {p, q}se utilizarán para reconocer las cadenas ab. El estado p indicará quenosehacomenzadoaleerdichacadena,mientrasqueelestado q sirveparaanotarquehemosleído la primera letra de la cadena (en este caso, una a ). Si, estando en el estado q, leemos en la cinta una b, entonces volvemos al estado inicial p y añadimos a la pila un contador X. Así, el símbolo de la pila X indicará la cantidad de subcadenas ab que hemos leído por el momento. El comportamiento de los estados {r, s} es análogo, pero ahora con el objetivo de que cada vez que se lea la subcadena ba sequitedelapilauncontador X. Así, el autómata resultante es el siguiente : AP := ({a, b, c}, {S, X}, {p, q, r, s},s,p,f, ) f(p, a, S) = {(q, S)} f(p, a, X) = {(q, X)} f(p, b, S) = {(p, S)} f(p, b, X) = {(p, X)} f(q, a, S) = {(q, S)} f(q, a, X) = {(q, X)} f(q, b, S) = {(p, XS)} f(q, b, X) = {(p, XX)} f(q, b, X) = {(p, XX)} f(p, c, S) = {(r, S)} f(p, c, X) = {(r, X)} f(q, c, S) = {(r, S)} f(q, c, X) = {(r, S)} f(r, a, S) = {(r, S)} f(r, a, X) = {(r, X)} f(r, b, S) = {(s, S)} f(r, b, X) = {(s, X)} f(s, a, X) = {(r, λ)} f(r, λ, S) = {(r, λ)} f(s, λ, S) = {(s, λ)} (e) ( ) L = {xcy x, y {a, b} +, n o subcadenas ab enx =n o subcadenas ba eny}. Vamos a aprovechar que tenemos resuelto el caso en el que las palabras x e y pueden ser vacías. Para ello, añadiremos un par de estados extra u y v, que indicarán que la palabra x (respectivamente y) es vacía. En el momento en que se lea una letra en la cinta, transitaremos al estado correspondiente. Por lo tanto, los cambios a realizar son mínimos. La descripción del autómata se cambiaría por esta nueva : AP := ({a, b, c}, {S, X}, {p, q, r, s, u, v},s,u,f, ) Página 2 de 11

3 Hay que añadir las siguientes transiciones : f(u, a, S) = {(q, S)} f(u, a, X) = {(q, X)} f(u, b, S) = {(p, S)} f(u, b, X) = {(p, X)} f(v, a, S) = {(r, S)} f(v, a, X) = {(r, X)} f(v, b, S) = {(s, S)} f(v, b, X) = {(s, X)} También hay que cambiar las siguientes transiciones : f(p, c, S) = {(v, S)} f(p, c, X) = {(v, X)} f(q, c, S) = {(v, S)} (f) ( ) L = {a n b m c n+m n, m 0}. (g) ( ) L = {a n b m c t a m+t b n m, n > 0,t 0}. (h) ( ) L = {x {a, b} n a (x) =n b (x)}. AP =({a, b}, {0, 1,Z}, {q 0,q f },Z,q 0,f,{q f }) Donde f, la función de transición, viene definida como: f(q 0,λ,Z) = {(q f,z)} f(q 0,a,Z) = {(q 0, 0Z)} f(q 0,b,Z) = {(q 0, 1Z)} f(q 0,a,0) = {(q 0, 00)} f(q 0,b,1) = {(q 0, 11)} f(q 0,a,1) = {(q 0,λ)} f(q 0,b,0) = {(q 0,λ)} (i) ( ) L = {x {a, b} n a (x) =n b (x)+1}. Este es un caso parecido al lenguaje {n a (x) =n b (x)}, conlasalvedadde que en algún momento, el autómata indeterminísticamente insertará en la Página 3 de 11

4 pila un contador B ypasaráaotroestado.así, habrá dosestados:un estado p en el que no se habrá insertado dicho contador y un estado q en el que se habrá realizadodichainsercción. El resto del comportamiento del autómata es evidente : AP := ({a, b}, {S, A, B}, {p, q},s,p,f, ) f(p, a, S) = {(p, AS)} f(p, a, A) = {(p, AA)} f(p, a, B) = {(p, λ)} f(p, b, S) = {(p, BS)} f(p, b, B) = {(p, BB)} f(p, b, A) = {(p, λ)} f(p, λ, S) = {(q, BS)} f(p, λ, A) = {(q, BA)} f(p, λ, B) = {(q, BB)} f(q, λ, S) = {(q, λ)} f(q, a, S) = {(q, AS)} f(q, a, A) = {(q, AA)} f(q, a, B) = {(q, λ)} f(q, b, S) = {(q, BS)} f(q, b, B) = {(q, BB)} f(q, b, A) = {(q, λ)} (j) ( ) L = {x {a, b} n a (x) =2n b (x)}. (b, S, BBS) (b, B, BBB) (a, B, λ) (b, A, λ) (λ, S, λ) p (a, A, A) (a, S, S) (a, B, λ) (a, S, AS) (a, A, AA) q (b, A, λ) (b, S, BS) (b, B, BBB) (k) ( ) L = { a max{0,n m} b n a m n, m 0 } A =({a, b}, {S, A, M},S,{q 0,q 1,q 2,q 3 },q 0,f,{}) Página 4 de 11

5 f(q 0,λ,S) = {(q 0,λ),(q 1,MS)} f(q 0,a,S) = {(q 1,AS)} f(q 0,b,S) = {(q 2,MS)} f(q 1,a,A) = {(q 1,AA)} f(q 1,b,A) = {(q 2,λ)} f(q 1,λ,M) = {(q 1,MM)} f(q 1,b,M) = {(q 2,MM)} f(q 1,a,M) = {(q 3,λ)} f(q 2,b,A) = {(q 2,λ)} f(q 2,b,M) = {(q 2,MM)} f(q 2,a,M) = {(q 3,λ)} f(q 2,b,S) = {(q 2,MS)} f(q 2,λ,S) = {(q 2,λ)} f(q 3,a,M) = {(q 3,λ)} f(q 3,λ,S) = {(q 3,λ)} (l) ( ) L = {a n+m b m+t a t b n n, t > 0,m 0} A =({a, b}, {S, A, B, C},S,{q 0,q 1,q 2,q 3 },q 0,f,{}) f(q 0,a,S) = {(q 0,A)} f(q 0,a,A) = {(q 0,AA),(q 0,BA)} f(q 0,a,B) = {(q 0,BB)} f(q 0,b,B) = {(q 1,λ)} f(q 0,b,A) = {(q 1,CA)} f(q 1,b,B) = {(q 1,λ)} f(q 1,b,A) = {(q 1,CA)} f(q 1,b,C) = {(q 1,CC)} f(q 1,a,C) = {(q 2,λ)} f(q 2,a,C) = {(q 2,λ)} f(q 2,b,A) = {(q 3,λ)} f(q 3,b,A) = {(q 3,λ)} 2. Obtén autómatas a pila que acepten los lenguajes generados por las gramáticas siguientes : (a) ( ) S ::= aa A ::= aabc bb a B ::= b C ::= c Página 5 de 11

6 (b) ( ) Nota: Comprueba que la palabra aaabc está en el lenguaje generado por el autómata. A ::= 2BC 1B λ B ::= 1D 1C 1 C ::= 2 D ::= 2D 2C Vamos a resolver este ejercicio mediante un autómata a pila reconocedor por estado final. Para ello, lo primero que debemos hacer es encontrar el autómata a pila reconocedor por vaciado de pila equivalente a la gramática. Vamos a aplicar el Algoritmo número 2 de los apuntes: AP =({1, 2}, {A, B, C, D, 1, 2}, {q},a,q,f, ) Donde f, la función de transición, viene definida como: f(q, λ, A) = {(q, 2BC), (q, 1B), (q, λ)} f(q, λ, B) = {(q, 1D), (q, 1C), (q, 1)} f(q, λ, C) = {(q, 2)} f(q, λ, D) = {(q, 2D), (q, 2C)} f(q, 1, 1) = {(q, λ)} f(q, 2, 2) = {(q, λ)} Ahora, transformaremos este autómata pila a uno con reconocimiento por estado final. AP =({1, 2}, {A, B, C, D, 1, 2,A 0 }, {q, r, s},a 0,s,f, {r}) Donde f, la función de transición, viene definida como: f (s, λ, A 0 ) = {(q, SA 0 )} f (q, λ, A) = {(q, 2BC), (q, 1B), (q, λ)} f (q, λ, B) = {(q, 1D), (q, 1C), (q, 1)} f (q, λ, C) = {(q, 2)} f (q, λ, D) = {(q, 2D), (q, 2C)} f (q, 1, 1) = {(q, λ)} f (q, 2, 2) = {(q, λ)} f (q, λ, A 0 ) = {(r, A 0 )} Página 6 de 11

7 (c) ( ) S ::= aab abbb ab abb λ A ::= aab ab B ::= abbb abb (d) ( ) S ::= AB BA 0A1 1A0 0 A ::= 0A1 1A0 0 B ::= 0B1 1B (e) ( ) S ::= aabb aaa A ::= abb a B ::= bbb A 3. Obtén gramáticas que generen el lenguaje aceptado por los autómatas a pila siguientes : (a) ( ) AP 1 =({a, b}, {A, B}, {p, q},a,p,f, ) f(p, a, A) = {(p, BA)} f(p, a, B) = {(p, BB)} f(p, b, B) = {(q, λ)} f(q, b, B) = {(q, λ)} f(q, λ, B) = {(q, λ)} f(q, λ, A) = {(q, λ)} La gramática de este apartado definela en Forma Normal de Greibach. Partiendo del autómata: AP 1 =({a, b}, {A, B}, {p, q},a,p,f, ) sabemos cómo construir una gramática equivalente, esa gramática estará formada por: Página 7 de 11

8 T = N = {S} {[q iaq j ] q i,q j Q, A Γ} Según lo anterior, nuestra gramática se define como: G AP 1 = ({a, b}, {S, [paq], [pbq], [pap], [pbp], [qap], [qbp], [qaq], [qbq]},s,p) Donde el conjunto de producciones P,eselsiguiente: S ::= [paq] [pap] [pap] ::= a[pbp][pap] a[pbq][qap] [paq] ::= a[pbp][paq] a[pbq][qaq] [pbp] ::= a[pbp][pbp] a[pbq][qbp] [pbq] ::= a[pbp][pbq] a[pbq][qbq] b [qbq] ::= b λ [qaq] ::= λ De forma que si renombramos (para que quede más clara): [pap] = A [paq] = B [pbp] = C [pbq] = D [qaq] = E [qbq] = F [qap] = G [qbp] = H La gramática resultante nos queda: S ::= B A A ::= aca adg B ::= acb ade C ::= acc adh D ::= acd adf b F ::= b λ E ::= λ Para pasarla a F.N.G., primero debemos asegurarnos que estébienformada, para ello, recordamos que debemos: Eliminar reglas innecesarias (A ::= A). Eliminar reglas no generativas (A ::= λ). Eliminar reglas unitarias (A ::= B). Eliminar símbolos inútiles. Lo que nos produce la siguiente gramática bien formada equivalente: G AP 1FNG =({a, b}, {S, D, F },S,P ) Donde P está definidocomo: Página 8 de 11

9 S ::= ad D ::= ad adf b F ::= b Que además, ya se encuentra en Forma Normal de Greibach. (b) ( ) AP 2 =({a, b}, {A, z}, {q 0,q 1 },z,q 0,f,{q 1 }) f(q 0,a,z) = {(q 0,Az)} f(q 0,b,A) = {(q 0,AA)} f(q 0,a,A) = {(q 1,λ)} En primer lugar, hay que transformar el autómata a pila en un autómata a pila por vaciado de pila equivalente : AP 2 := ({a, b}, {A, z, B}, {q 0,q 1,s,r},B,s,f, ) f (s, λ, B) = {(q 0,zB)} f (q 0,a,z) = {(q 0,Az)} f (q 0,b,A) = {(q 0,AA)} f (q 0,a,A) = {(q 1,λ)} f (q 1,λ,A) = {(r, λ)} f (q 1,λ,z) = {(r, λ)} f (q 1,λ,B) = {(r, λ)} f (r, λ, A) = {(r, λ)} f (r, λ, z) = {(r, λ)} f (r, λ, B) = {(r, λ)} Ahora, simplemente aplicamos el algoritmo para calcular la gramática equivalente a AP 2 : G 2 := ({a, b}, {S, S, P), [q 0 Aq 0 ], [q 0 Aq 1 ], [q 0 As], [q 0 Ar], [q 0 zq 0 ], [q 0 zq 1 ], [q 0 zs], [q 0 zr], [q 0 Bq 0 ], [q 0 Bq 1 ], [q 0 Bs], [q 0 Br], [q 1 Aq 0 ], [q 1 Aq 1 ], [q 1 As], [q 1 Ar], [q 1 zq 0 ], [q 1 zq 1 ], [q 1 zs], [q 1 zr], [q 1 Bq 0 ], [q 1 Bq 1 ], [q 1 Bs], [q 1 Br], [raq 0 ], [raq 1 ], [ras], [rar], [rzq 0 ], [rzq 1 ], [rzs], [rzr], [rbq 0 ], [rbq 1 ], [rbs], [rbr], [saq 0 ], [saq 1 ], [sas], [sar], [szq 0 ], [szq 1 ], [szs], [szr], [sbq 0 ], [sbq 1 ], [sbs], [sbr]}, donde P son las producciones S ::= [sbs] [sbq 0 ] [sbq 1 ] [sbr] [sbq 0 ] ::= [q 0 zq 0 ][q 0 Bq 0 ] [q 0 zq 1 ][q 1 Bq 0 ] [q 0 zr][rbq 0 ] [q 0 zs][sbq 0 ] [sbq 1 ] ::= [q 0 zq 0 ][q 0 Bq 1 ] [q 0 zq 1 ][q 1 Bq 1 ] [q 0 zr][rbq 1 ] [q 0 zs][sbq 1 ] [sbr] ::= [q 0 zq 0 ][q 0 Br] [q 0 zq 1 ][q 1 Br] [q 0 zr][rbr] [q 0 zs][sbr] [sbs] ::= [q 0 zq 0 ][q 0 Bs] [q 0 zq 1 ][q 1 Bs] [q 0 zr][rbs] [q 0 zs][sbs] [q 0 zq 0 ] ::= a[q 0 Aq 0 ][q 0 zq 0 ] a[q 0 Aq 1 ][q 1 zq 0 ] a[q 0 Ar][rzq 0 ] a[q 0 As][szq 0 ] [q 0 zq 1 ] ::= a[q 0 Aq 0 ][q 0 zq 1 ] a[q 0 Aq 1 ][q 1 zq 1 ] a[q 0 Ar][rzq 1 ] a[q 0 As][szq 1 ] [q 0 zr] ::= a[q 0 Aq 0 ][q 0 zr] a[q 0 Aq 1 ][q 1 zr] a[q 0 Ar][rzr] a[q 0 As][szr] Página 9 de 11

10 [q 0 zs] ::= a[q 0 Aq 0 ][q 0 zs] a[q 0 Aq 1 ][q 1 zs] a[q 0 Ar][rzs] a[q 0 As][szs] [q 0 Aq 0 ] ::= b[q 0 Aq 0 ][q 0 zq 0 ] b[q 0 Aq 1 ][q 1 zq 0 ] b[q 0 Ar][rzq 0 ] b[q 0 As][szq 0 ] [q 0 Aq 1 ] ::= b[q 0 Aq 0 ][q 0 zq 1 ] b[q 0 Aq 1 ][q 1 zq 1 ] b[q 0 Ar][rzq 0 ] b[q 0 As][szq 1 ] [q 0 Ar] ::= b[q 0 Aq 0 ][q 0 zr] b[q 0 Aq 1 ][q 1 zr] b[q 0 Ar][rzr] b[q 0 As][szr] [q 0 As] ::= b[q 0 Aq 0 ][q 0 zs] b[q 0 Aq 1 ][q 1 zs] b[q 0 Ar][rzs] b[q 0 As][szs] [q 0 Aq 1 ] ::= a [q 1 Ar] ::= λ [q 1 zr] ::= λ [q 1 Br] ::= λ [rar] ::= λ [rzr] ::= λ [rbr] ::= λ Una gramática bien formada equivalente a la dada es G 2 := ({a, b}, {S, [q 0Ar]},S,P ), donde P son las producciones S ::= a[q 0 Ar] aa [q 0 Ar] ::= b[q 0 Ar] ba (c) ( ) AP 3 =({0, 1}, {A, B}, {p, q},a,p,f, ) f(p, 1,A) = {(p, BA)} f(p, 1,B) = {(p, BB)} f(p, 0,B) = {(q, λ)} f(q, 0,B) = {(p, λ)} f(q, λ, A) = {(q, λ)} G 3 := ({0, 1}, {S, [pap], [paq], [pbp], [pbq], [qap], [qaq], [qbp], [qbq]},s,p), donde P son las producciones S ::= [pap] [paq] [pap] ::= 1[pBp][pAp] 1[pBq][qAp] [paq] ::= 1[pBp][pAq] 1[pBq][qAq] [pbp] ::= 1[pBp][pBp] 1[pBq][qBp] [pbq] ::= 1[pBp][pBq] 1[pBq][qBq] [pbq] ::= 0 [qbp] ::= 0 [qaq] ::= λ Página 10 de 11

11 (d) ( ) AP 4 =({0, 1}, {A, S}, {p, q},s,p,f, ) f(p, 0,S) = {(p, AS)} f(p, 0,A) = {(p, AA)} f(p, 1,A) = {(q, λ)} f(q, 1,A) = {(q, λ)} f(q, λ, A) = {(q, λ)} f(q, λ, S) = {(q, λ)} G 4 := ({0, 1}, {T,[pAp], [paq], [psp], [psq], [qap], [qaq], [qsp], [qsq]},t,p), donde P son las producciones T ::= [psp] [psq] [psp] ::= 0[pAp][pSp] 0[pAq][qSp] [psq] ::= 0[pAp][pSq] 0[pAq][qSq] [pap] ::= 0[pAp][pAp] 0[pAq][qAp] [paq] ::= 0[pAp][pAq] 0[pAq][qAq] [paq] ::= 1 [qaq] ::= 1 λ [qsq] ::= λ Página 11 de 11