1.5 Familias de curvas

Transcripción

1 4 Ecuaciones diferenciales 4. e d C.e C / d D 0; con.4/ D 0I e C D C: 5. d D d C C d; con.0/ D I ln D C: 6.. C sen / d cos d D 0; con./ D p I cos D C: ( ) 7. Œsen sen e d D Œe C cos cos d; con D 0I e C sen cos D C: ( C ln / d C ) d D 0; con./ D I 3. C ln / D C: d C d D 0; con./ D I Œ4 D C: C 4 D 0; con 0./ D &./ D 3I D C C C ln :.5 Familias de curvas Para continuar con el estudio de las soluciones de las ED, daremos en esta sección una interpretación gráfica del conjunto de soluciones para una ED de primer orden dada. Es conveniente anotar que suponemos que una ED de primer orden en algunos casos se puede escribir: 0 D d D f.; /; d es decir, donde la derivada de la función incógnita ha sido despejada. A esta forma de escribir la ED se llama forma normal..5. Interpretación gráfica de 0 D f.; / En esta sección haremos algunas consideraciones de tipo geométrico con el objetivo de audar a comprender mejor las ED sus soluciones. Para lograr este propósito, es indispensable recordar que la derivada de una función D './ al evaluarse en 0 representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de dicha función que pasa por el punto Œ 0 ; '. 0 / : Recta tangente a la gráfica en Œ 0; '. 0/. Tiene pendiente m D ' 0. 0/. '. 0/ Œ 0; '. 0/ D './ 0

2 .5 Familias de curvas 5 Esto ocurre siempre que la derivada eista en ese punto, es decir, que el límite que la define se pueda calcular en 0. Más aún, conocida la pendiente el punto por el que pasa la tangente, siempre se puede escribir su ecuación como: o mejor: 0 0 D m; es decir: D '. 0 / C ' 0. 0 /. 0 /: '. 0 / 0 D ' 0. 0 /; Tendremos muchas oportunidades de referirnos a estos hechos en lo que sigue, pero de momento basta con comentar que si se conociera solamente la derivada ' 0./ de una función, esto no sería suficiente para recuperar la función D './, pues sólo se tendría la inclinación (pendiente) de las rectas tangentes, pero no la ubicación de los puntos de la curva. Cuando resolvemos una ED nos encontramos en la misma situación, como se puede apreciar en el siguiente ejemplo. Ejemplo.5. Analizar las soluciones de la ecuación diferencial 0 D. H Cuando D, tenemos que 0 D, es decir, la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.; / es m D. Considere la curva D, que es una solución de la ecuación diferencial 0 D, D Se observa que la pendiente de la recta tangente a la curva D en el punto ; es m D. D

3 6 Ecuaciones diferenciales Otras curvas soluciones de la ED 0 D son las siguientes: D C 3 D C D D 4 Observe que en todos los puntos con abscisa D sobre las curvas, las pendientes de las rectas tangentes son iguales, es decir, cuando D ) 0 D D m. D C 3 D C D D 4 Una solución de la ecuación diferencial 0 D es una función D g./ que, cuando pasa por el punto.; / del plano, el valor 0 D f.; / D proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la solución en dicho punto. Si tomamos el punto.; 5/, por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la solución que pasa por este punto es 0 D f.; 5/ D. Este punto se encuentra sobre la recta D. En un punto arbitrario sobre esta recta, la solución que pasa por este punto,.; /, tiene recta tangente con pendiente 0.; / D f.; / D :

4 .5 Familias de curvas 7 Sobre la recta vertical D, todas las soluciones tiene la misma pendiente m D. D Se ha visto en el curso de Cálculo Integral que la solución general de la ecuación diferencial 0 D es D d D C C : Si dibujamos la gráfica de la única solución (solución particular), que pasa por el punto.0; para la cual C D, tenemos: /, es decir D En la intersección con la recta «D, es decir, en el punto ;, la recta tangente a la gráfica de la solución D tiene pendiente. Los segmentos de línea mostrados en las dos últimas figuras pretenden dar una idea de cómo se verían las rectas tangentes a cualquier curva solución de la ED; denominamos a estas figuras campo de direcciones, a que muestran las inclinaciones que deben tener dichas rectas tangentes. Una idea que podría ser fructífera para visualizar las soluciones de una ED es la de trazar de manera aproimada curvas que tengan las tangentes del campo de direcciones. Dada la ecuación diferencial 0 D f.; /. Se llama isoclina al conjunto de los puntos del plano en donde las rectas tangentes a las gráficas de las soluciones de la ecuación diferencial tienen la misma pendiente. Estos puntos son aquellos que satisfacen 0 D f.; / D C. En el ejemplo anterior, la recta vertical D representa una isoclina.

5 8 Ecuaciones diferenciales Aplicaremos el concepto recién definido en el siguiente ejemplo: Ejemplo.5. Describir el campo de direcciones, las isoclinas la solución que pasa por el punto.0; / de la ecuación diferencial: 0 D C. H Una solución de esta ecuación diferencial es una función D g./ tal que, si pasa por el punto.; / del plano, el valor 0 D f.; / D C proporciona la pendiente de la recta tangente de la gráfica de la solución en dicho punto. Así, si tomamos el punto del plano.0; /, en ese punto pasa una solución cua recta tangente tiene como pendiente 0.0; / D f.0; / D C 0 D. Los puntos del plano en donde la pendiente de la recta tangente de las soluciones es igual a son aquellos que satisfacen 0.; / D f.; / D C D, es decir, se encuentran sobre la recta D C. Sobre la recta D C las rectas tangentes a las gráficas de las soluciones tienen la misma pendiente m D Como se ha mencionado, más adelante se epondrán los métodos para encontrar la solución general de la ecuación diferencial 0 D C ; por ahora vamos a aceptar que ésta es D. / C Ce. Si dibujamos la gráfica de la única solución que pasa por el.0; /, es decir C D 3, tenemos: En la intersección con la recta D C, es decir, en el punto.0; /, la recta tangente de la solución D. / C 3e tiene pendiente. En la figura se ve que la recta D es una asíntota oblicua de la gráfica de la solución: lím D lím Œ. / C 3e D lím. /:!!! en otras palabras, para suficientemente grande,.

6 .5 Familias de curvas 9 Ejemplo.5.3 Analizar las isoclinas de la ED 0 D f.; / D C ; bosquejar algunas curvas solución. H Las isoclinas son simplemente las líneas rectas C D C o bien D C C; todas con pendiente el parámetro C nos da sus ordenadas al origen. Escogiendo algunos puntos en cada isoclina, podemos marcar en esos puntos pequeños segmentos que serán tangentes a las curvas solución:

7 0 Ecuaciones diferenciales Ahora podemos trazar algunas curvas solución: Desde luego, una de las isoclinas, D es también una curva solución, pues para ella se cumple 0 D D C. Esta situación no es mu común, pero llega a ocurrir. Observaciones:. Como se mencionó anteriormente, intentar resolver una ED de la manera descrita nos dará solamente una idea aproimada de cómo se ven las soluciones. En el capítulo siguiente se describen métodos analíticos para resolver algunas ED de forma sistemática.. En los ejemplos mostrados sobre isoclinas, éstas tienen formas relativamente simples (rectas, círculos, parábolas, etc.) Sin embargo, si las isoclinas se describen mediante ecuaciones más complicadas, un análisis gráfico de las soluciones de una ED puede resultar mu difícil. 3. Aún en los casos sencillos en que se pueden usar las isoclinas con cierta facilidad, ha que prestar especial atención a los casos en que se tiene 0 D 0 o bien 0 queda indefinida, pues entonces las soluciones pueden tener una conducta etraordinaria (como perder la continuidad). Ejemplo.5.4 Analizar mediante isoclinas algunas soluciones de la ED 0 D. H Las isoclinas son D C o bien D C; esto es, simplemente líneas rectas que pasan por el origen.

8 .5 Familias de curvas Sin embargo, ( notemos que ninguna de ellas se puede definir para D 0, pues esto nos daría una indefinición 0 D ). Por tanto ninguna curva solución debería cruzar el eje. De forma análoga, cuando 0 C D 0, obtenemos como isoclina D 0, el eje. La siguiente figura muestra el campo de direcciones algunas curvas solución. Ninguna de ellas cruza los ejes coordenados. Ejemplo.5.5 Analizar gráficamente algunas soluciones de la ED: d d D para > 0. H Como en este caso el valor de 0 depende sólo de, las isoclinas son rectas horizontales ( ) C 4 5 D C ) D ; para C 0; 5 se ve que las isoclinas son simétricas con respecto al eje horizontal. La gráfica a continuación muestra las isoclinas correspondientes a C D 0; ; 5; 0; 5 5. Notemos que: ( ) 4 D. C/ 5 ) 0 D 5. C/ 4 [ 5 D 5. C/ 5 D 5. C/ 5 ] 4 5 D 5Œ 4 5 : Es decir, D. C/ 5 es una familia de soluciones de la ED 0 D

9 Ecuaciones diferenciales La figura siguiente muestra algunas curvas solución D. direcciones: C/ 5 para C D ; 4; 6; 8; 0 el campo de Aquí ha que observar necesariamente que cuando una curva solución entra al eje puede continuar su traectoria indefinidamente en ese eje o bien salir de él en un punto posterior. La siguiente figura representa este caso para la solución:. / 5 si < I b D 0 si 4I. 4/ 5 si > 4: Para esta ED lo que sucede es que las soluciones no están definidas de manera única para toda > 0. En la siguiente sección se discutirá un poco más detalladamente esta clase de conducta indeseable de las soluciones. Ejercicios.5. Interpretación gráfica de 0 D f.; /. Soluciones en la página 457. Considere la ED: d d D 4. a. Encuentre sus isoclinas trace su campo de direcciones. b. Verifique que las rectas D son curvas solución siempre que 0. c. Trace aproimadamente la curva solución que cumple la condición inicial./ D. También trace la curva solución que cumple con./ D 3. d. Analice lo que sucede con las curvas solución del inciso anterior cuando!.

10 .5 Familias de curvas 3. Algunos modelos en ED de la velocidad de un cuerpo en caída libre toman en cuenta la resistencia del aire al movimiento (esta resistencia opone una fuerza proporcional a alguna potencia de la velocidad v), se representa por una ED de la forma donde a, b, k son constantes. dv dt D a bvk ; a. Haga un esbozo del campo de direcciones para a D k D b D 0. b. Con el campo de direcciones anterior, esboce las soluciones que corresponden a las condiciones iniciales v.0/ D 0; 5; 0 5, respectivamente. El valor v D 0 se llama a menudo velocidad terminal o bien límite. Puede ver porqué?.5. Curva solución de un PVI Como comentamos al hablar sobre las soluciones generales particulares de una ED, ocurre que las soluciones generales contienen una o más constantes arbitrarias. Para encontrar valores determinados de esas constantes se requiere de una o más condiciones iniciales. Recordemos que llamamos problema de valor inicial (PVI) al formado por una ED una condición inicial, por ejemplo: d d D f.; /; con la condición. 0/ D 0 : Discutiremos algunos aspectos relacionados con la eistencia de soluciones de los PVI en la siguiente sección. De hecho, todas las ED PVI que se presentan en este libro tienen solución, a menos que se indique epresamente lo contrario. Puede apreciarse algo con respecto a las soluciones de ED PVI si consideramos las ED de primer orden más simples que puede haber, aquellas en las que f depende sólo de la variable : d d D f./; con la condición. 0/ D 0 : La solución de la ED es d d D f./ ) D f./ d: Es claro que la integral indefinida que está indicada debe contener una constante C aditiva arbitraria, si la condición. 0 / D 0 puede cumplirse para una elección adecuada de C, ella nos dará la solución al PVI. Ejemplo.5.6 Encontrar la solución del PVI: 0 D C I con la condición.0/ D : H Esta ecuación diferencial se puede resolver por integración: 0 D C ) D. C / d ) D C C C :

11 4 Ecuaciones diferenciales Sin la condición inicial, la solución general de la ecuación diferencial es la familia de parábolas que se obtienen al trasladar hacia arriba hacia abajo a la parábola D C : Familia de curvas D CCC. Tomando en cuenta la condición inicial, la única solución que cumple.0/ D es aquella que pasa por el punto.0; / del plano cartesiano. Para obtener esta solución sustituimos D 0 & D en la familia de curvas D C C C obtenemos un valor de C : D C C C ) D 0 C 0 C C ) C D ) ) D C es la única curva que pasa por el punto.0; / ) ) D C es la única solución del problema: 0 D C ; sujeta a la condición.0/ D :.0; / Solución única: D C. Pasa por el punto.0; /. Ejemplo.5.7 Encontrar la solución del PVI 0 D C con la condición. / D 5: H Como se mencionó en el ejemplo.5., hemos aceptado que la solución general de la ecuación diferencial 0 D C es D. / C Ce :

12 .5 Familias de curvas 5 Familia de curvas D. /CCe. De todas estas curvas sólo eiste una que pasa por el punto. ; 5/: D & D 5. Sustituendo D & D 5 en la ecuación de la familia para obtener el valor de C tenemos: D. / C Ce ) 5 D. / C Ce ) 5 D C Ce ) Ce D 3 ) C D 3e ) ) D. / 3e e es la única curva que pasa por el punto. ; 5/ ) ) D. / 3e. / es la única solución del problema 0 D C I. / D 5: La única función de la familia que pasa por el punto. ; 5/: D. / 3e. 5 Observaciones:. Si bien hemos escrito antes que la solución de d Z d D f./ es D f./ d, debe quedar entendido que la solución la podemos obtener de forma Z eplícita enz el supuesto caso de que se pueda sen realizar la integral. Algunas integrales, como e d o bien d no se pueden epresar en términos de funciones elementales, es decir, como sumas, productos, cocientes, potencias de las funciones: constantes,, e, ln, sen, cos, etc. En casos como ésos tenemos que recurrir como último recurso a la evaluación de dichas integrales mediante métodos numéricos. El capítulo siete de este libro presenta algunos métodos utilizados para la solución de PVI.

13 6 Ecuaciones diferenciales. La especificación de una condición inicial para una ED no puede ser completamente arbitraria. Por ejemplo, si a la ED 0 D le añadimos la condición.0/ D 5, entonces como la solución general es D ln C C, vemos que no se puede cumplir.0/ D 5 D ln 0 C C, pues ln 0 no está definido, como tampoco estaría definida la derivada 0.0/ D. Se deben cumplir ciertos 0 requisitos, que describiremos en la siguiente sección, para que una condición inicial determine una solución particular de la ED. De los ejemplos previos lo discutido sobre soluciones generales de ED, podemos concluir que la solución general de una ED es una familia de curvas. En general, podemos definir una familia de curvas con un parámetro como el conjunto de soluciones de una ecuación de la forma F.; ; C/ D 0; donde, son coordenadas C representa un parámetro, que es un valor numérico que se mantiene constante para cada curva. Ejemplo.5.8 Presentamos varios ejemplos de familias de curvas. H. La familia de todas las rectas que pasan por.0; 0/, ecepto la vertical, se puede representar por la ecuación: D m; donde la pendiente m es un parámetro. La siguiente gráfica muestra las curvas de la familia para algunos valores de m:. La familia de todos los círculos con centro.0; 0/ se puede escribir como: C D r ; donde el valor de r (el cuadrado del radio) se puede tomar como parámetro. La gráfica siguiente muestra algunas curvas de esta familia para diferentes valores de r:

14 .5 Familias de curvas 7 3. La familia de todas las parábolas con vértice en.0; 0/ el eje como eje de simetría se epresa como: D c ; donde el parámetro c indica hacia dónde abren las parábolas (arriba o abajo). 4. La familia de las curvas que representa la ecuación: D c; donde c es el parámetro, con c R, es la familia de hipérbolas cuo centro es el origen con asíntotas oblicuas las rectas D, las cuales también forman parte de esa familia (para el valor c D 0). La gráfica siguiente muestra varias curvas de esta familia. Las rectas D (no dibujadas) son las asíntotas. Las hipérbolas cuas ramas cruzan el eje son las que corresponden a c D ; ; 3; 4;, mientras que las que tienen ramas que cortan al eje corresponden a c D ; ; 3;.

15 8 Ecuaciones diferenciales 5. La familia de todos los círculos en el plano que se encuentran en el primer tercer cuadrante, tangentes a los ejes coordenados,. Para cada círculo de la familia debe suceder que el centro se encuentre en un punto de la forma C D.a; a/ toque a los ejes en.a; 0/.0; a/, por lo que su radio será r D j a j la ecuación será. a/ C. a/ D a ; con a como parámetro. Otra forma de escribir esta ecuación es desarrollando los binomios cancelando el término a : a C a C a C a D a ) C a. C / C a D 0: En los ejemplos anteriores nos fue posible escribir una ecuación (algebraica) con sólo un parámetro que representa a la totalidad de curvas de la familia. Una observación mu interesante es que también eiste una ED que representa a las curvas de la familia, en el sentido de que las curvas solución de la ED son precisamente las curvas de la familia con la cual iniciamos. Para obtener esa ED lo que se hace es derivar (implícitamente por lo regular) la ecuación original de la familia, usando ambas ecuaciones, eliminar el parámetro arbitrario. Ilustramos este procedimiento con las ecuaciones del ejemplo anterior. Ejemplo.5.9 Usar las familias del ejemplo anterior para obtener la ED asociada a cada familia. H. Partiendo de la ecuación D m obtenemos al derivar d D m, de donde, al sustituir esto último en d la primera ecuación: ( ) d d D o bien d d D : Cualquier función de la forma D m satisface a esta ED, como se puede apreciar de inmediato por sustitución: D m ) d d D m & D m ) D m para 0:. Al derivar implícitamente la ecuación C D r, obtenemos C d D 0, de donde d d d D : Es claro que la familia de círculos definida por C D r es solución de d d D.

16 .5 Familias de curvas 9 3. Si derivamos la ecuación D c, obtenemos d d D c; de la ecuación original podemos despejar c para obtener c D d (suponiendo 0) al sustituir este valor de c en d resulta: d ( ) d D D ; suponiendo 0: Las funciones D c son soluciones de la ED 0 D, pues: D c & 0 D c ) 0 D c D D : 4. De manera análoga a los ejercicios anteriores, al derivar D c, implícitamente obtenemos: d d D 0; o sea d d D. 0/: 5. Al derivar implícitamente la ecuación de la familia obtenemos: C 0 a a 0 D 0 ). a/ 0 C. a/ D 0 ) 0 D a a : La ED anterior aún contiene al parámetro a que falta eliminar. Para ello podemos audarnos de la ecuación original de la familia: C a. C / C a D 0 ) a a. C / C. C / D ) ) Œa C. C / D ) a D. C / : Por tanto, la ED de la familia es d d D p. C / C. C / p D C p C p : Observaciones:. Podemos concluir que cualquier familia de curvas con un parámetro puede representarse por una ED, siguiendo el procedimiento descrito anteriormente: derivar implícitamente eliminar el parámetro.. Si la familia de curvas depende de dos o más parámetros, es de esperarse que se tengan que calcular derivadas de orden superior para eliminar los parámetros. Obtendríamos así una ED de orden maor que. Ejemplo.5.0 Encontrar una ED cuas soluciones sean todas las curvas de la familia de dos parámetros A B dada por D A cos C B sen : H Derivando: 0 D A sen C B cos 00 D A cos B sen ; de manera que la suma de con 00 nos da 00 C D. A cos B sen / C.A cos C B sen / D 0; o simplemente 00 C D 0:

17 30 Ecuaciones diferenciales Note que en los dos últimos ejemplos estamos partiendo de una familia de curvas o funciones dadas para obtener una ED de la cual todas ellas son soluciones. Esto equivale a comenzar con la respuesta de un problema para terminar con la pregunta del mismo, lo cual tiene un interés meramente teórico. Lo que nos ocupará en los capítulos siguientes es cómo hacer para encontrar las soluciones de una ED dada. Ejercicios.5. Curva solución de un PVI. Soluciones en la página 458. Para las siguientes familias de curvas: a. La familia de todas las elipses con centro en.0; 0/ tales que el semieje horizontal sea el doble del semieje vertical. b. La familia de todas las rectas no verticales que pasan por el punto.; /. c. La familia de todas las parábolas que abren hacia arriba que son tangentes al eje. d. La familia de todas las hipérbolas cuas asíntotas son los ejes,. e. La familia de todos los círculos que pasan por los puntos. ; 0/.; 0/. Determinar: (i) La epresión algebraica que las describe. (ii) La ecuación diferencial de la cual son soluciones.. Dado el círculo C D, considere la familia de todas las rectas que son tangentes a dicho círculo. Determine la ecuación F.; ; C/ D 0 que satisfacen todas esas rectas..6 Eistencia unicidad de soluciones * Hasta el momento hemos hablado de las ED sus soluciones sin preocuparnos sobre el problema de la eistencia de dichas soluciones. Es de esperarse que las ED que consideraremos en la maoría de los casos tengan solución, de otra forma el tiempo esfuerzo que se inviertan en buscar una solución estarían irremediablemente perdidos. Por otra parte, el hecho de que para una ED en particular una persona no pueda encontrar su solución no significa que la ED no tenga solución. De aquí resulta mu deseable conocer algún criterio que nos permita decidir si una ED o bien un PVI tiene solución. En esta sección vamos a enunciar, sin demostración, un resultado de gran importancia, conocido como el teorema de Eistencia Unicidad de Picard-Lindelöf, que proporciona algunas condiciones que garantizan que un PVI tenga solución única. Antes de enunciar un resultado importante de esta sección, hagamos eplícitas las siguientes afirmaciones que damos por sentadas:. Toda ED de primer orden se puede escribir en la forma normal: d D f.; /; d donde f es una función de dos variables (aunque bien puede darse el caso que dependa solamente de una de ellas), definida en todo el plano o bien en una parte del plano llamada el dominio de f.. Recordemos que al par formado por una ED condiciones iniciales se le llama un problema de valor inicial o PVI. Es decir, un PVI de primer orden es de la forma: d d D f.; /; con. 0/ D 0 : (.) Dicho lo anterior, si una función D './ es solución del PVI (.), entonces por la segunda parte del teorema Fundamental del Cálculo: ' 0.t/ dt D '.t/ D './ '. 0 /I 0 0