Análisis de las inversiones

Transcripción

1 Colección Finanzas F-8 Análisis de las inversiones Pablo García Estévez Diciembre ISNN: Definición de una inversión Una inversión es el desembolso de una cantidad cierta por la esperanza de una renta futura. En esta definición subyace una de las principales características de las inversiones: el riesgo. Toda inversión conlleva riesgo, puesto que la renta futura se puede materializar, o no. La manera de representar una inversión es la siguiente: -A / FCL1 / FCL2 / / FCLn Donde A es del desembolso inicial y FCLi es el flujo de caja libre del periodo i. 2. El cálculo de los Flujos de Caja Para poder calcular el flujo de caja libre hay que tener en cuenta que sólo podemos utilizar los ingresos y pagos incrementales que provoca la inversión. Dicho de otra manera; para calcular los flujos de caja de una inversión hay que partir de las ventas incrementales que provoca esa inversión y restarle los costes incrementales. Por ejemplo, imaginemos que la inversión consiste en comprar una furgoneta. Si el conductor de esta furgoneta es un empleado de nuestra empresa, no habría que tener en cuenta el sueldo del mismo, pues ya era un concepto que teníamos en cuenta antes de hacer la inversión. Si para convencer al empleado de su nuevo destino decidimos ofrecerle una ampliación de salario, en la inversión debemos tener en cuenta sólo la ampliación del salario, pues es lo que ha provocado la compra de la furgoneta. A la hora de analizar una inversión debemos separar ésta de su financiación. Las inversiones deben ser analizadas por lo buenas que son, en sí mismas. Esto significa que debemos analizar la parte operativa de la inversión independientemente de la financiación. El beneficio operativo, del que partiremos es el EBIT. Por debajo de éste, ya estaríamos utilizando conceptos financieros como son los intereses. Pero al EBIT debemos quitar la parte operativa de los impuestos: EBIT x t De este modo: EBIT -EBIT x t NOPAT 1

2 NOPAT son lassiglas de Net Operating Profit After Taxes. A partir de aquí, seguimos la misma metodología que hemos usado para calcular el Flujo de Caja Neto. Es decir, NOPAT + Amortización +- Variación del NOF +- CAPEX = FCL En este caso introducimos el concepto de CAPEX. CAPitalEXpenditures son inversiones de capital que crean beneficios. Una Capex se realiza cuando un negocio invierte tanto en la compra de un activo fijo como para añadir valor a un activo existente con una vida útil que se extiende más allá del año imponible. Los CAPEX son utilizados por una compañía para adquirir o mejorar los activos fijos tales como equipamientos, propiedades o edificios industriales. En contabilidad, un CAPEX es añadido a una cuenta de activos (capitalización) y por ende incrementando el valor base del activo (el coste o valor de un activo ajustado por motivos impositivos) A fines impositivos, los CAPEX son costes que no pueden ser deducidos en el año en el cual son efectuados y deben ser capitalizados. La regla general es que si la propiedad adquirida tiene una vida útil más larga que el año imponible, el coste debe ser capitalizado. Los desembolsos relacionados con los CAPEX son amortizados o depreciados a lo largo de la vida útil del activo en cuestión. Generalmente se realizan para: 1. Adquirir activos fijos 2. Solucionar problemas con un activo que existían antes de su adquisición 3. Preparar un activo para ser utilizado en un negocio 4. Los costes legales de establecer o mantener los derechos de propiedad sobre un determinado activo 5. La restauración de una propiedad o la adaptación a un nuevo uso 6. Comenzar un nuevo negocio 3. El FCL del último año Una de las primeras cuestiones que se debe que resolver cuando se analiza una inversión es el horizonte temporal de la misma. Parece lógico pensar que el vencimiento de la inversión debería coincidir con la vida del activo que se adquiere. Sin embargo, la prudencia nos indica que en la mayoría de los casos, deberemos agregarle un periodo más. Es decir, si el activo tuviera cinco años de vida, por ejemplo, la inversión se analizará en seis años. Por qué? La 2

3 respuesta es que en ese último periodo añadido se recupera el circulante pendiente y a veces, se puede vender el activo fijo, generando en ambos casos un flujo de caja que hay que tener en cuenta. En efecto, si la inversión ha generado una cuenta de clientes, a 31 de diciembre del último año de la vida del activo, habrá una cantidad de esos que no nos han pagado. Es de suponer que abonarán esas cantidades en el año n+1, sin olvidar que pudiera ser que nosotros debamos pagar a nuestros proveedores que nos han quedado pendientes; por lo que en este año se produce un flujo de caja proveniente del circulante que hay que tener en cuenta. En algunas inversiones, los responsables de las mismas saben que en la realidad siempre hay un tanto por ciento de los clientes que, al final, no pagan. Esto se tiene en cuenta en este último año añadido. Si esto sucediese, se crearía una pérdida, pero no para la inversión, si no para la empresa. Ésta vería reducido sus beneficios operativos, al asumir la pérdida de la inversión, y tendría como efecto que se le reduciría la base impositiva y por tanto pagaría menos impuestos. Por lo que habría un ahorro fiscal. Este ahorro fiscal es un flujo de caja positivo de la inversión y como tal hay que tenerlo en cuenta. Cómo se calcula? La empresa tenía previsto ganar un BAIT determinado, y los impuestos que tendría que pagar por él sería de BAIT x t. Si la inversión genera una pérdida, el BAIT quedaría reducido por ésta y el impuesto a pagar se calcularía como (BAIT pérdida) x t. Que es lo mismo que BAIT x t pérdida x t. El ahorro fiscal que se produce es la pérdida x t. En el caso que la inversión generase un beneficio extraordinario, por ejemplo, con la venta del activo cuando está completamente amortizado, generará una plusvalía que aumenta la base impositiva de la empresa y provoca un incremento de la cuantía del impuesto. Esto se atribuye a la inversión y con la misma lógica de lo comentado más arriba, su cálculo sería: plusvalía x t 4. El VAN La herramienta más utilizada para analizar inversiones es el Valor Actual Neto o VAN. La ecuación que lo define es la siguiente: Donde k es el coste de oportunidad de la inversión. Es decir, es la rentabilidad que el inversor puede obtener en el caso de no realizar esta inversión. En el análisis de las inversiones se suele utilizar el Coste Medio Ponderado del Capital (WACC), pero siempre que la inversión esté encuadrada dentro de las actividades típicas de la empresa. En caso contrario se deberá buscar la k adecuada para el proyecto. El VAN se basa en el principio de las matemáticas financieras que nos dice que no podemos comparar dos capitales en diferentes momentos del tiempo. Para poder comparar dos capitales hay que traerlos al momento actual, actualizándolos a un tipo de descuento adecuado. Al dividir el FCL del año i entre (1 + k) i estamos calculando el equivalente financiero 3

4 en euros actuales. Al realizarlo con todos los flujos de caja y al sumarlos después, obtenemos lo que la inversión nos ofrece en euros actuales. Al compararlo con el desembolso inicial, A, calculamos cual es la plusvalía, en euros actuales, que obtenemos si realizamos la inversión. Una inversión es efectuable si su VAN es positivo; en caso contrario es mejor no hacerla, pues un VAN negativo indica que el VAN va a destruir valor en la empresa: el valor actual de los flujos de caja prometidos es inferior a lo pagado. Supongamos que tenemos una inversión como la siguiente: -100 / 60 / 50 Si k fuese del 5%, el VAN sería Lo que nos indica que esta inversión sí es efectuable, puesto que el valor de los flujos futuros en dinero actual sobrepasa en 2,49 lo desembolsado. Esta inversión sí que crea valor. 5. EL WACC Generalmente, para calcular el VAN se emplea como tasa de descuento, k, el WACC. Éste es el coste ponderado del capital de la empresa. Se calcula realizando la suma ponderada de los costes de los diferentes recursos financieros de la empresa. El VAN se basa en el principio de que los flujos de caja son reinvertidos a la tasa de descuento utilizada: la k. Es de suponer que los flujos de caja de la inversión deberán ser invertidos, al menos, al coste del capital de la empresa. Es decir el WACC. Supongamos que el coste del dinero para la empresa (el WACC) es del 8%. Los flujos de caja que obtiene la empresa al realizar una inversión deberán ser reinvertidos, al menos, al 8%, pues de lo contrario estaríamos obteniendo rentabilidades inferiores a lo que le cuesta a la empresa el dinero. La ecuación general del WACC es la siguiente: Donde: Ke es el coste de los recursos propios de la empresa E son los recursos propios de la empresa (Equity) D es la deuda de la empresa Kd es el coste de la deuda 4

5 tes la tasa impositiva del impuesto de sociedades 6. La TIR La TIR se define como la tasa de descuento (la k) que hace que el VAN sea cero. Matemáticamente: Donde r es la TIR. La TIR es un proxy de la rentabilidad de la inversión. Si un inversor desembolsa la cantidad prefijada y obtiene esos flujos de caja y, además los reinvierte al tipo r, obtendrá como rentabilidad la TIR. Por ejemplo, Si calculamos r, obtenemos que la TIR es del 6,81%. La TIR se basa en el supuesto de que los flujos de caja se reinvierten al tipo TIR. Esto condiciona totalmente el concepto de la TIR como medida de la rentabilidad de la inversión. Veámoslo con un ejemplo: Supongamos una inversión como la siguiente: -100 / 5 / 105. Si le calculamos la TIR, obtenemos un 5%. Pero esto sólo es cierto en el caso de que reinvertamos los flujos de caja al 5%. Si al recibir el primer flujo de caja en el primer año lo guardamos y ni lo reinvertimos y ni lo gastamos, la inversión se habrá convertido en: -100 / 0 / Si calculamos la TIR, esta será de 4,88% Para conseguir el 5%, al recibir el primer flujo de caja de 5, deberíamos reinvertirlo al 5%. Así, la inversión habrá quedado como: -100 / 0 / x (1,05) Ahora sí, la TIR es del 5%. Ahora imagínese el lector una inversión de 20 años con una TIR del 30%. Es muy difícil aceptar que el inversor va a ser capaz de reinvertir cada uno de los flujos de caja durante los próximos 20 años al 30%. Por eso, es más consistente el VAN que la TIR. El VAN supone que los flujos de caja se reinvierten al tipo WACC, y si la empresa no es capaz de hacer eso, es que el negocio no 5

6 tiene sentido; si no es capaz de conseguir una rentabilidad superior al coste del dinero, la empresa está abocada al fracaso. Por esto mismo, desde un punto académico, se aconseja utilizar el VAN en vez de la TIR. Sin embargo, en el mundo empresarial se utiliza más la TIR que el VAN, puesto que es más fácil entender una rentabilidad que una plusvalía. Es más fácil entender que una inversión ofrece un 12% de rentabilidad que nos digan que el VAN es de euros. 7. Representación de las inversiones Representemos el VAN Puntos de corte: Cuando k = 0, el VAN es igual a A + FCL 1 + FCL 2 + FCL n Cuando VAN = 0, la k es igual a la TIR La primera derivada del VAN respecto k, es negativa, por lo que la ecuación es monótonamente decreciente. La segunda derivada del VAN respecto a k es positiva, por lo que ecuación es convexa. El límite del VAN cuando k tiende a infinito es igual a A La representación es la siguiente: 6

7 Supongamos una inversión que tuviera una TIR del 12%. Si el coste de capital de la empresa fuese del 8% la empresa estaría consiguiendo el dinero al 8% para invertirlo al 12%. Merece la pena. Y tanto es así que el VAN es positivo, como se puede observar en el gráfico. Sin embargo, si con el mismo TIR del 12% el coste de capital de la empresa fuese del 16%, la empresa estaría consiguiendo el dinero al 16% para invertirlo al 12%. No merece la pena y como se puede ver en el gráfico, el VAN es negativo. Esto nos da una idea de los que realmente significa la TIR. Es el máximo coste de capital que la inversión puede soportar. Si el WACC está por debajo de la TIR, la empresa creará valor, si por el contrario el WACC está por encima de la TIR, la empresa destruirá valor. La representación de las inversiones en un gráfico nos permite poder jerarquizarlas. Cuando la línea que representa una inversión se sitúa por encima de la línea que representa otra, la primera es superior a la segunda, pues para cualquier coste de capital, ofrecerá más VAN. Lo podemos ver en el gráfico. 7

8 Para un coste de los recursos financieros de la empresa de k1, la inversión a ofrece mayor VAN que la inversión b. Como esto se cumple para todos los posibles k del gráfico, podemos declarar que la inversión a es superior a la inversión b. Sin embargo podemos encontrarnos que las inversiones se crucen, como en el siguiente gráfico. Como podemos observar, cuando el coste de los recursos financieros de la empresa se sitúan a la izquierda del punto F, es mejor la inversión b, mientras que si se sitúa a la derecha, es mejor la inversión a. Este punto se le denomina Punto de Intercesión de Fisher. Para calcularlo hay que igualar las ecuaciones de la TIR de ambas inversiones. 8

9 Hagamos un ejemplo. Sean dos inversiones: Inversión a: -100 / 50 / 60 Inversión b: -150 / 8 / 158 La TIR de la inversión a es de 6,39%, mientras que la TIR de la inversión b es de 5,33%. Representemos ambas en el mismo gráfico 9

10 Vemos que se produce un punto de Fisher. Para calcularlo igualamos las ecuaciones de TIR de ambas inversiones. Despejamos r y tomamos la raíz positiva: r = 4,16%. Es decir, que el punto F tiene el valor de 4,16%. Esto significa que cuando el WACC esté por debajo de 4,16% es preferible la inversión b, mientras que si está por encima del 4,16% es preferible la inversión a. 8. La inflación Se suele definir a la inflación como la subida generalizada de los precios en una economía. Sin embargo, hay otra definición que se ajusta mejor al punto de vista de las finanzas. La inflación es la pérdida de la capacidad de compra del dinero. Cuando en una economía hay inflación, ésta implica que los flujos de caja de las inversiones tendrán menor capacidad de compra. Si la empresa no hace nada, los flujos de caja tendrán cada vez menor capacidad de compra y esto se refleja de la manera siguiente: Donde es la tasa de inflación. La consecuencia de meter la inflación es que el VAN y la TIR se hacen más pequeños. Si la empresa quiere minimizar la inflación deberá alterar el precio de venta de sus productos, pero teniendo en cuenta que lo más seguro es que, al subir los precios, reducirá el número de clientes pudiendo bajar la facturación. Supongamos la siguiente inversión con una k = 8%: -100 / 50 / 80 En la siguiente tabla se ha calculado el VAN para diferentes tasas de inflación. π VAN 0% 14,88 1% 13,07 2% 11,31 10

11 3% 9,60 4% 7,93 5% 6,30 6% 4,72 7% 3,17 Como se puede observar, el Valor Actual Neto baja a medida que sube la inflación. Si la empresa no adopta medidas correctivas, la inversión puede llegar a no ser efectuable. 9. Inversiones con flujos de caja negativos A veces podemos encontrarnos con inversiones en el que uno o varios flujos de caja libres sean negativos. Esto representa un gran problema pues si aplicamos la regla de los signos de Descartes, en un polinomio habrá tantas raíces positivas como cambios de signo. Trasladado a las inversiones, estaríamos diciendo que hay tantas TIR positivas como cambios de signo, llevándonos al absurdo. Para paliar esto, en el mundo financiero se utiliza la TIR modificada. Para calcular ésta, se deben realizar los siguientes pasos. 1. Llevar los flujos negativos al momento actual, actualizándolos al tipo k. 2. Llevar los flujos positivos al año n, capitalizándolos al tipo k. 3. Calcular la TIR Veámoslo con un ejemplo. Supongamos la siguiente inversión -100 / 40 / -30 / 60 / -35 / 80 con una k = 5% Primer paso: [30 / 1,05 2 ] [35 / 1,05 4 ] = -156,01 Segundo paso: 40 x (1,05 4 ) + 60 x (1,05 2 ) + 80 = 194,77 La inversión se ha transformado en -156,01 / 0 / 0 / 0 / 0 / 194,77 Tercer paso: Calculamos la TIR. 0 = -156,01 + [194,77 / (1 + r) 5 ] TIR = 4,54% 10. Análisis de Escenarios El Talón de Aquiles del análisis de inversiones es la predicción futura; el intentar saber los flujos de caja libres de los años venideros. No es descabellado describir este método como una bola de cristal. Para paliar este problema, la mayoría de los analistas, cuando se enfrentan al análisis de una inversión en ambiente de riesgo, suelen emplear tres escenarios: el escenario pesimista, el caso base y el optimista. De éste modo reducen las infinitas posibilidades futuras a tres permitiendo el uso de herramientas estadísticas. El objetivo es obtener el VAN esperado. Para ello se calcula la Esperanza Matemática del VAN 11

12 Esperanza matemática del VAN La esperanza matemática del VAN será Donde E[FCL i ]es la esperanza matemática del flujo de caja del año i. Para realizar este cálculo tenemos tres alternativas: 1. Usar una distribución equiprobable 2. Usar una distribución beta 3. Usar una distribución triangular Distribución equiprobable La esperanza matemática de los flujos de caja se calcula como: La distribución Beta En el caso de la distribución Beta la esperanza matemática de los flujos de caja se calcularía con la siguiente ecuación La distribución triangular En el caso de utilizar la distribución triangular la esperanza matemática de los flujos de caja se calcularía: La desviación típica del VAN Cuando se calcula la esperanza matemática del VAN se está calculando el VAN más esperado. Pero al ser una media, se puede incurrir en un error. Imagínese el lector dos jugadores de dardos que han estado tirando cien dardos durante todo el día, cada uno. El jugador 1 asegura que ha hecho una media de 60 puntos, y que ha llegado a dar al 100 pero también al cero. El jugador 2 dice que también ha tendido una media de 60 puntos, pero que lo máximo que ha hecho son 70 puntos siendo el mínimo 50. Si tuviéramos que apostar por uno de los dos en el caso de que tirasen el último dardo, seguramente nos decantaríamos por el segundo, pues tiene los tiros más agrupados a su media. El segundo tiene los tiros más dispersos. Deducimos entonces que cuando nos dan una media, es importante que nos digan la dispersión respecto a esa media de los datos utilizados, para determinar la consistencia de la misma. Esa medida la ofrece la desviación típica. Por ello, vamos a calcular la desviación típica del VAN. Esta se calcula con la siguiente ecuación. 12

13 Como observamos, utiliza las varianzas de los flujos de caja de cada año. Igual que con la esperanza matemática, tenemos tres modos de calcularlas. Obviamente, si decidimos utilizar un modo determinado con la esperanza matemática, debemos utilizar el mismo para la varianza. Distribución equiprobable Distribución beta La varianza de los flujos de caja con la distribución beta se calcula con la siguiente ecuación Distribución triangular Empleamos la siguiente ecuación: 11. El uso de distribuciones de probabilidad La distribución normal Una vez que tenemos la esperanza matemática y la desviación típica del VAN podemos utilizar distribuciones de probabilidad para calcular la probabilidad de que la inversión alcance un nivel de VAN u otro. El profesor Andrés Suarez explica La variable aleatoria VAN es igual a la suma de varias variables aleatoria. En virtud del teorema central del límite, la suma de variables aleatorias independientes tiende a la distribución normal cuando el número de sumandos tiende a infinito. La convergencia de este teorema límite es bastante rápida, y por ello cuando el número de sumandos es igual o superior a diez ya se puede utilizar la aproximación normal. ( ) Es bastante frecuente que el analista de inversiones acepte la hipótesis de normalidad sin más Supongamos que el valor esperado del VAN es de 66,23 y la desviación típica es de 30,41. En la figura siguiente podemos observar la distribución de probabilidad de nuestra inversión asumiendo una distribución normal. Observamos la media en la campana de Gauss y hemos sumado y restado a ésta, la desviación típica 13

14 Utilizando unas tablas estadísticas o una hoja de cálculo podemos calcular la probabilidad de que el VAN supere ciertos niveles. Por ejemplo: P(VAN > 0) = 98,53% P(VAN>25) = 91,24% P(VAN>30) = 88,32% P(VAN>60) = 58,12% P(VAN>100) = 13,34% A veces, al analista le interesa calcular la probabilidad de obtener una TIR determinada. Para ello asociamos el VAN que se obtendría con esa TIR y se calcularía la probabilidad del VAN, pero teniendo en cuenta que la relación probabilística del VAN es inversa a la de la TIR. Es decir, la probabilidad de que TIR sea mayor a r es igual a la probabilidad de que el VAN sea menor al valor del VAN obtenido con r%. En nuestro ejemplo, la probabilidad de que la inversión tenga una TIR > 10% es igual a la probabilidad de que el VAN sea menor al valor del VAN al 10%. El valor del VAN al 10% es 58,53. P(VAN<58,53) = 39,33% Por lo que P(TIR>10%) = 1-39,33% = 60,67% Empleo de la Distribución Triangular para obtener la probabilidad Para utilizar esta distribución la metodología es fácil. Primero debemos calcular el VAN del caso pesimista, el VAN del caso base y el VAN del caso optimista. 14

15 Segundo, dibujamos un triangulo y situamos en los vértices inferiores y en la bisectriz los valores obtenidos. El tercer paso es localizar dónde está el cero. Éste puede estar a la izquierda o a la derecha de VAN(C. B.). Cero a la izquierda Si en el cero está a la izquierda del VAN(Caso Base) entonces tenemos el siguiente gráfico: El triángulo grande representa la distribución triangular, y como toda distribución su área es igual a uno. La probabilidad de que el VAN sea mayor a cero es el área a la derecha del cero. Para calcular ésta, es igual 1 menos el área izquierda que como se puede ver es un triángulo rectángulo, cuya área se calcula como base por altura dividido entre dos. Sabemos la base, que es el valor absoluto del VAN pesimista. La altura se calcula como: Por lo que la P(VAN>0) = 1 altura x abs[van(pesimista)]/2 15

16 Cero a la derecha Si el cero está a la derecha del VAN(Caso base), el gráfico será entonces: En este caso, la probabilidad de que el VAN sea mayor a cero es el área a la derecha del cero, que es el área del rectángulo sombreado. La base es el VAN(Opt) y la altura se calcula como Entonces el P(VAN>0) = VAN(Opt) x altura / 2 Por ejemplo, si los datos fuesen los siguientes: VAN Pesimista: -30 VAN Más probable: 60 VAN Optimista: 150 fig. 1 Como cero está entre pesimista y caso base, la altura en cero se calcula como 16

17 El área sombreada sería A = 30 x 0,0037 /2 = 0,055 La probabilidad de que el VAN se sitúe por debajo de cero es del 5,5% mientras que la probabilidad de ser superior a cero es del 94,5% El Método de MonteCarlo en las inversiones Von Neuman En 1903 nació en Budapest una de las más brillantes mentes matemáticas que ha vislumbrado el siglo XX: John Von Neuman. El joven John (Janos en húngaro) destacó en su infancia por ser un niño prodigio, con una memoria asombrosa que le hacía sobresalir en la escuela por encima de sus compañeros. Ya con cinco años era capaz de realizar mentalmente operaciones con números de más de ocho cifras. De origen aristocrático, curso en los mejores institutos de Hungría destacando en matemáticas, por lo que no fue sorprendente que acabase como profesor de matemáticas aplicadas en la Universidad de Berlín, cargo que ejerció desde 1937 hasta 1930, fecha en la cual viajó como profesor invitado a la Universidad de Pricenton, en los Estados Unidos y, ahí, decidió fijar su residencia cuando Hitler subió al poder en También fue en este momento cuando cambia su nombre, Janos, por la traducción inglesa de John, nombre por el cual ha sido conocido posteriormente. Precisamente, en Pricenton, coincide con las mentes más preclaras de las matemáticas del siglo XX, pues ahí toma contacto con Albert Einstein y Alan Turing entre otros. Amigo de la comunicación, los que le conocieron lo describen como una persona afable y brillante, con una mente muy rápida en los análisis y siempre dispuesta a colaborar con otros investigadores, aunque su faceta más destacable es la curiosidad por lo nuevo. Hizo aportaciones a la mecánica cuántica, especialmente el concepto de anillos de operadores (actualmente conocido como álgebra de Neumann) y es conocido también por su trabajo de iniciación de las matemáticas aplicadas, principalmente la estadística y el análisis numérico. También destacó en la termodinámica, la teoría de los ordenadores y la cibernética. Inventó el concepto de cerebro electrónico tomando el relevo de la investigación iniciada por Leibniz, Babbage, Ada Byron y Turing. En esta línea mejoró el primer ordenador digital del mundo, el ENAC y aportó sus conocimientos para la construcción del MANIAC, creando el concepto de programa o software. Pero su fama llegaría a su apogeo en 1944 cuando publica junto con OskarMorgenstern la Teoría de Juegos. 17

18 Pero, es en 1940, cuando junto con StnislawUlam, matemático de origen polaco, describe y pone nombre al método de simulación de MonteCarlo, con el fin de resolver ciertos problemas de protección nuclear que eran demasiados costosos para ser resueltos explícitamente o demasiados complejos para ser tratados de forma analítica. El nombre fue elegido por la similitud del proceso que ellos describían con los principios que rigen el casino de Mónaco. John Von Neuman muere víctima del cáncer en 1957 dejando un legado impresionante en diversos campos de la ciencia, como la física, la informática y otros más sin olvidarnos de las aplicaciones de sus teorías en las ciencias sociales como la Economía. 12. La simulación La generación de números aleatorios Podemos definir la simulación como una técnica numérica para realizar experimentos. Para llevarla a cabo se debe construir un modelo que nos ofrezca un resultado en función de unas variables. La ventaja de la simulación reside en que se puede modificar cualquier valor del modelo y observar el comportamiento del resultado ante estos cambios. La simulación es un sustituto apropiado para la evaluación matemática de un modelo en muchas situaciones. Aunque también involucra suposiciones, éstas son tratables. El uso de la simulación nos permite proporcionar una percepción clara a ciertos problemas de toma de decisiones donde la evaluación matemática de un modelo no es posible. Hay que observar la simulación como una herramienta de investigación que nos permite conocer y analizar el comportamiento de un sistema. La simulación comienza con la construcción de un modelo descriptivo del sistema real objeto de análisis, para luego, durante el proceso de análisis poder modificarlo para estudiar su comportamiento ante las variaciones. La simulación es recomendable cuando la realidad representada es muy compleja o tiene variables no lineales o alguna de éstas son aleatorias. La simulación de modelos utiliza como herramienta principal los números aleatorios. Éstos son números distribuidos de manera uniforme y que generalmente toman valores entre 0 y 1. Desde hace tiempo, los investigadores han ideado formas para generar números aleatorios, como lanzar objetos de un tamaño determinado en un plano dividido horizontalmente con líneas y contar el número de veces que el objeto pisaba una de estas líneas; incluso se construyeron ruletas mecánicas movidas por motor para obtenerlos. El problema de todos estos sistemas mecánicos es la lentitud en la generación de los números y la imposibilidad de repetir una serie grande de números aleatorios. Sea cual sea el procedimiento elegido para generar números aleatorios, éstos deben ser enfrentados a un test para certificar su bondad como número aleatorio. A modo de ejemplo, un test que se puede aplicar en los números aleatorios es contar el número de números cero, uno, dos, tres... hasta 9 que hay en el conjunto de números aleatorios. Si son verdaderamente aleatorios, tiene que existir una tendencia hacia la equidistribución. Es decir, la cantidad de números cero, uno debe ser aproximadamente la misma. Por ejemplo, supongamos que una 18

19 tabla de números aleatorios tiene N cifras y que el número de ceros es V 0, el número de unos es V 1, el número de doses es V 2, y así. Se puede definir la suma: S i 9 0 V i 0,1N 2 La Teoría de las probabilidades permite predecir los límites entre los cuales puede estar comprendida esta suma que no puede ser excesivamente grande ni pequeña. Recordemos, que si los números son verdaderamente aleatorios, la esperanza matemática de cada V i debe ser de 0,1N. John Von Neuman sugirió el método del cuadrado medio, usando las operaciones aritméticas de un ordenador. Su idea fue tomar el cuadrado del número aleatorio procedente y tomar los dígitos ubicados en el medio. Por ejemplo, si tenemos el número 1264 y lo elevamos al cuadrado obtenemos ; nuestro número será 9769, y así sucesivamente. Estos números se consideran pseudoaleatroios o quasi-aleatorios. Durante el siglo XX los investigadores comenzaron a utilizar ordenadores digitales para general números aleatorios y así, en 1955 RAND Corporationpublica una lista de un millón de números aleatorios construida mediante una ruleta electrónica: un disco giratorio dividido en 10 sectores es parado en seco y se anota el número que queda en un punto de referencia. Hoy en día, el analista puede generar números aleatorios de manera sencilla utilizando un ordenador personal. Antes debemos definir el concepto de semilla en un número aleatorio: La semilla es un número que se utiliza para generar números aleatorios. Dependiendo del valor de la semilla, la secuencia de números aleatorios será siempre la misma o distinta. 13. El método de simulación de MonteCarlo. Introducción No existe un solo método de MonteCarlo sino que hay diferentes variantes, por lo que mejor que método, deberíamos llamarlo la técnica de simulación de MonteCarlo. La diferencia respecto a otras simulaciones reside en que la técnica de MonteCarlo utiliza números aleatorios para realizar el muestreo artificial. Se puede resumir esta técnica en los siguientes puntos: 1. Especificación de las variables a estudiar. 2. Estimación de la distribución de probabilidad que explica el comportamiento de las variables. 3. Cálculo de las probabilidades acumuladas de cada una de las variables. 4. Generación de un número aleatorio. 5. Vinculación del número aleatorio con las variables cuya probabilidad acumulada sea menor o igual al número aleatorio obtenido. 19

20 6. Repetición del experimento para obtener el número deseado de valores muestrales. Veamos un ejemplo de la aplicación de la metodología. 14. Caso con Simulación de MonteCarlo. VolksWagen desea lanzar un nuevo modelo de la gama Golf: El Golf Cabrio 2.5 TDI, pero ignora cuál será la vida comercial de este lanzamiento, ni los ingresos, ni los costes. Lo único cierto es que el lanzamiento cuesta 200 millones de euros. El departamento de marketing muestra la siguiente tabla que muestra las probabilidades de vida comercial. El tipo de interés es del 3,25%. Vida en años Probabilidad 2 20% 3 50% 4 30% El departamento financiero muestra los posibles flujos de caja netos anuales en la siguiente tabla. Millones euros Probabilidad 60 15% 70 55% 80 30% Para resolver el caso se realizan diez simulaciones para analizar la viabilidad del proyecto.en la siguiente tabla se muestran un conjunto de números aleatorios para realizar las simulaciones. Simulación Vida Flujo 1 Flujo 2 Flujo 3 Flujo 4 1 0,264 0,66 0,779 0,018 0, ,825 0,906 0,941 0,202 0, ,044 0,343 0,624 0,93 0, ,471 0,655 0,621 0,291 0, ,598 0,076 0,163 0,372 0, ,953 0,825 0,632 0,607 0, ,179 0,715 0,349 0,514 0, ,788 0,761 0,237 0,794 0, ,458 0,291 0,29 0,714 0, ,532 0,986 0,246 0,133 0,003 Las frecuencias acumuladas de la vida comercial y de los flujos de caja son las siguientes: 20

21 Vida Acumulada Flujos de caja Acumulada 2 20% 60 15% 3 70% 70 70% 4 100% % Las diez simulaciones con los números aleatorios correspondientes es: Simulación Vida FC1 FC2 FC3 FC4 VAN (en millones) , , , , , , , , , ,34 Media 8,56 Desviación 48,83 Con estos datos podemos poner en términos de probabilidad la solución. Si asumimos que la inversión sigue una distribución normal, la probabilidad de que el VAN sea positivo es de 56,96% 21