Introducción a la Optimización Bajo Incertidumbre

Transcripción

1 Introducción a la Optimización Bajo Incertidumbre

2 Refleión Compañía petrolera: cuál será el precio la demanda del petróleo en 6 meses? En un proceso continuo Eistirá variación en las demandas del producto Calidad de Servicios? Cadena de Suministro de Materias Primas? El futuro no puede pronosticarse con eactitud Necesario considerar incertidumbre en algunos procesos: Procesos Estocásticos

3 ipos de Problemas de Optimización Estocástica * Programación Lineal Estocástica (SLP( SLP) * Programación Mita Entera Lineal Estocástica (SMILP) * Programación No Lineal Estocástica (SNLP( SNLP) * Programación Mita Entera No lineal Estocástica (SMINLP)

4 Otra Clasificación: ipos de Problemas Bajo Incertidumbre Wait Wait and see : Esperar ocurrencia de un evento incierto entonces optimizar Here and now Optimización inmediata en base a alguna medida de probabilidad La maoría de los algoritmos de solución utilizan ambas estrategias

5 Problemas Estocásticos de 2 Etapas Idea fundamental: Recurso Recurso en 2 Etapas Primera Etapa Seleccione la variable de decisión Segunda Etapa Ocurrencia de un evento incierto omar una acción correctiva (recurso)

6 Un Ejemplo El problema del vendedor de periódicos El vendedor compra periódicos a un precio c Entonces vende tantos periódicos como puede a un precio q, el eceso representa una pérdida La demanda del periódico cambia día a día (incertidumbre) Cuando la demanda se conoce, se calculan las ganancias Cuántos periódicos debe comprar el vendedor para maimizar sus ganancias?

7 El Problema del Vendedor de Periódicos Primera Etapa Seleccionar el número de periódicos a comprar Segunda Etapa Ocurrencia de un evento incierto (demanda) Las ganancias se calculan Se toma una acción correctiva (recurso)

8 Programación Estocástica Lineal con Recurso

9 Representación Matemática Estándar para Problemas Lineales (SLPwR( SLPwR) min c + Q( ) Primera Etapa donde Segunda Etapa Q s. t. A ( ) E [ Q( )] Q ω,ω 0 (, ω ) min q ( ω ) Matriz de Recurso s. t. W b ( ω) h( ω) ( ω) Función de Recurso Evento incierto 0

10 Clases Especiales de Problemas Recurso Fijo W ( ω) W Recurso Simple + W ( I I ), h ( ω ) ( ω ) Recurso Completo W z z, 0

11 Reformulación min donde c + s. t. A b 0 Q( ) ( ) E [ Q( )] Q ω,ω s. t. min c Q + θ ( ) θ A b 0 Primera Etapa Q (, ω ) min q ( ω ) s. t. W h 0

12 Corte de Optimalidad Aproimación Lineal de Q() Corte de Factibilidad Dos ipos de Cortes en Algoritmos SLP Basado en el problema dual: proporciona límite inferior a Q() Asegura que los valores de (obtenidos en la primera etapa) no propician infactibilidades en la segunda etapa

13 eorema de la Dualidad (LP) min Primo c Multiplicadores de Lagrange ma Dual π b s. t. A 0 b s. t. π A c Si el dual no es acotado, el primo es infactible Si el dual es infactible, el primo no es acotado El valor de la función objetivo del problema dual provee una cota inferior para la función objetivo del problema primo. En problemas conveos sus valores son iguales.

14 Problema de la Segunda Etapa Primo Dual min s. t. q W 0 h Multiplicadores de Lagrange ma s. t. π π ( h ) W q

15 Ejemplo Ilustrativo min s. t. 5 0 [ Q( )] Eω,ω (, ω ) min Q + s t. + + ω ω , 2, 3, 4 0

16 Ejemplo Ilustrativo Ejemplo Ilustrativo [ ] 0.75 c [] 5 b [] A 3 q W ( ) + ω ω ω h 4 2 Recurso Recurso Fijo Fijo α α []

17 Dual del Problema de la Segunda Etapa ( ω) ma π ( ω + 2 ) + π ( + ω ), 2 + Q 4 Multiplicadores de Lagrange s. t. π π 2 π π + π 2 + π 2 3 π π 2

18 Corte de Optimalidad: Aproimación Lineal a Q() Soporte Lineal

19 Corte de Optimalidad El valor de la función objetivo del problema de la segunda etapa en cada iteración (tomando de la primera etapa) para el -ésimo valor de las variables inciertas, ω, es: Q (, ω ) ( π ) ( h ) (teorema de la dualidad) Debido a la conveidad (dual es Límite inferior) Q ( ) ( ),ω π ( h ) Para una función de probabilidad discreta, teniendo el valor ω una probabilidad p, el valor esperado de la función objetivo: Q [ ] K [( ) ( )] p π h ( ) E ( π ) ( h )

20 Corte de Optimalidad Corte de Optimalidad Por lo tanto, debido a la conveidad Definiendo ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) K K K p h p h p Q π π π ( ) K p h e π ( ) K p E π ( ) E e Q ( ) Q θ e E +θ Se tiene dado que entonces e E θ

21 Corte de Factibilidad La decisión tomada en la primera etapa resulta en un problema factible en la segunda etapa si eiste un vector finito tal que las restricciones: W h 0 se satisfacen. Note: si es finito, entones q es finito por lo tanto Q( ) <

22 Corte de Factibilidad Para verificar factibilidad, resolver el problema: z ( + + ) min e Cuo problema dual es: ma σ ( h ) s. t. W + + h s. t. σ W 0 + 0, 0, 0 Multiplicadores de Lagrange σ e Note que z>0. si z0 entonces la segunda etapa es factible

23 Corte de Factibilidad Sin embargo, si z>0 entonces el problema primo: s. t. min W q h 0 es infactible Por el teorema de la dualidad: Si el dual no está acotado, entonces el primo es infactible. Por lo tanto, el dual: s. t. ma π π ( h ) W q no estaría acotado Note: ma π ( h ) no está acotado debido a que ( σ ) ( h ) 0

24 Corte de Factibilidad Por lo tanto, para asegurar la factibilidad del primo, la restricción: ( ) σ ( h ) 0 debe añadirse Feasibilit Cut Si para algún valor (evento discreto) el primo es infactible, entonces se define: D ( ) σ d ( ) σ h Y se incorpora el corte de factibilidad: D d

25 Algoritmos para Recurso Fijo Método L- Shaped Descomposición Estocástica (SD) Usa función de probabilidad discreta para ω Cálculo eacto del límite inferior de Q() (Corte de Optimalidad) Muestreo de una función de probabilidad continua para ω Estimación del límite inferior de Q() basado en esperanza matemática (Corte de Optimalidad)

26 Método L-Shaped Supone una función de probabilidad discreta para ω Note la estructura del problema determinístico equivalente: min c + K p s. t. A q b W h KK 0, 0 Estructura del primo A W 2 W... Estructura del Dual A 2 W W... W W

27 Algoritmo L-Shaped Shaped Paso 0 Haga r s 0 Paso Haga + resuelva el problema (Current Problem CP) min z c + θ Corte de Factibilidad Corte de Optimalidad s. t. A b D E l d l +θ l e l l Kr l Ks θ conforman la solución óptima. Si no ha cortes (iteración ), haga θ - no la considere en el problema

28 Algoritmo L-Shaped Shaped Paso 2 Para K (número de realizaciones de un evento incierto) resuelva el problema: z + min e + e s. t. W + + h 0, 0, 0 Si para algún el valor óptimo es z>0 añada un corte de factibilidad: + Multiplicadores de Lagrange del problema anterior ( σ ) D r + ( σ ) d r h + D d r + r + Haga rr+ regrese al Paso. De otro modo, vaa al paso 3.

29 Algoritmo L-Shaped Shaped Paso 3 min Para K resuelva el problema q Y defina: W 0 h Multiplicadores de Lagrange del problema anterior si e s+ K θ η p K ( π ) h Es+ p ( π ) η e Si no haga ss+, añada el corte de optimalidad θ e s+ Es+ E s+ s+ Pare, es la solución óptima Y regrese el paso

30 Descomposición Estocástica Se muestra en cada iteración a partir de una distribución de probabilidad continua ω Cálculo de límite inferior de Q() es aproimado e E L-Shaped K s+ K s+ p p ( π ) ( π ) h Descomposición Estocástica e E Actualización: e e ( π ) ( π ) E h E -

31 Algoritmo de Descomposición Estocástica (Higle Sen) Recurso completo Paso 0 Haga 0, θ - Suponer Paso Haga + genere una observación de las variables estocásticas mediante muestreo

32 Algoritmo SD Paso 2 Determine θ () ( v-ésima aproimación lineal a Q() ) a) Resuelva el problema de optimización lineal (dual de segunda etapa): ma π ( h ) s. t. π W Para obtener π (v-ésima muestra al v-ésimo valor del vector ) q Similarmente resuelva el problema v- veces: ma π ( h ) s. t. π W q K π Para obtener (-ésima muestra al v-ésimo valor de )

33 Algoritmo SD b) Calcule los coeficientes del corte de optimalidad e E ( π ) ( π ) h e v v E v v ( π ) ( h ) c) Actualizar los coeficientes de previos cortes e e E E K

34 Algoritmo SD Paso 3 Resuelva el problema de la primera etapa con los cortes de optimalidad: min c + θ s. t. A b Q( ) θ e E θ + E e K Para obtener +. Vaa al paso El algoritmo se detiene si el cambio en la función objetivo es pequeño

35 Un Caso Suponga que se tiene un SLPwR con 50 restricciones que se toman N 200 muestras del valor de ω Es necesario resolver 200 problemas de optimización correspondientes a la primera etapa. El primero posee 50 restricciones, el segundo 5 el último 250 restricciones Es necesario resolver el problema de la segunda etapa un número de veces igual a N i i 2000 El número de restricciones en la segunda etapa no cambia.

36 Implementación del Algoritmo SD: écnica de Muestreo HSS Monte Carlo puede presentar valores grandes de varianza HSS presenta mejores propiedades de uniformidad Y 0.5 Y X X HSS Monte Carlo

37 Implementación Computacional Integración del entorno de modelación GAMS, el código de la técnica de muestreo HSS (FORRAN) un programa en C++ como programa maestro C++ Code ) Generation of an approimation to Q(): sampling and multiple generation and solution of LP s Sampling (FORRAN) GAMS - OSL 2) Addition of optimalit cut and solution to the st stage problem GAMS - OSL

38 Aplicaciones a Ingeniería Química Fuel Boiler 635 psig stream power Pressure reducing valve urbine P (power) urbine 2 P 2 (power) Purchased power Condensate 95 psig stream Pressure reducing valve 62 psig stream Sistema urbogenerador

39 Aplicaciones a Ingeniería Química Caso de Estudio PRIMERA EAPA Segunda Etapa Variables Renglones Columnas Renglones Columnas Estocásticas Sistema urbogenerador Planeación de una Refinería Planeación de una Planta Petroquímica 2 5 Caso de Estudio N (MISMO ERROR PROMEDIO) HSS MC Sistema urbogenerador Planeación de una Refinería Planeación de una Planta Petroquímica 75 60

40 Resultados Sistema urbo Generador Objective Iteration MC HSS % Error Iteration HSS MC

41 Cómo evaluar si el esfuerzo vale la pena? Valor de la Solución Estocástica (VSS) : Diferencia entre el valor obtenido para la función objetivo respecto del valor obtenido si se usan valores promedio para incertidumbres Valor de la Información Perfecta (VPI) Valor de la Información Perfecta (VPI) Diferencia del resultado con el valor verdadero luego de la ocurrencia real del evento

42 Resultados Caso de Estudio VSS (%) Sistema urbogenerador 0.48 Planeación de una Refinería 6.85 Planeación de una Planta Petroquímica 2.22

43 Discusión A pesar de la limitación acerca de la linealidad de las restricciones, eisten aplicaciones importantes en planeación calendarización de procesos Etensión a casos entero no lineal BONUS (No lineal) Desarrollo actual para casos de programación entera

44 Programación Estocástica Mita Entera Lineal

45 Surgen Más Clasificaciones para Problemas Multi-Etapa Variables Enteras en la Primera Etapa : Se utilizan los mismos algoritmos que en programación lineal estocástica Variables Enteras en la Segunda Etapa: Variables Enteras en la Segunda Etapa: Se utilizan variaciones en el método de branch and bound para permitir la adición iterativa de los cortes de optimalidad factibilidad

46 Problemas Enteros en la Primera Etapa: Aplicaciones a Otras Áreas Seguridad en Redes de Agua Municipales Colocación óptima de sensores para disminuir el porcentaje de la población en riesgo tras un ataque químico a la red Localización de Estaciones de Desinfección Colocación óptima de estaciones para conservar niveles de cloro bajo especificaciones para aguas municipales

47 Seguridad en Redes de Agua Municipales min n n i j β δ ij ij ij + E [ Q( ω) ] ω, s. t. i Kn, ij ij ( j) ji i,, j E, i j ij ma { 0,} i j E, i j (, ω) min q ( ω) i p j Q n P n ipj ipj qipj ω s. t. ipi i Kn, p K P ip δ jp ip ipj j (, j) E s. t. f jp

48 Localización de Estaciones de Desinfección min n b i W i i + [ Q( )] Eω,ω s. t. n b i i i n b { 0,} ma n b (, ω) min q( ω) Q n i i i n b n i m ij i nb n i m αij i s. t. α i i i i u j l j qi ω i j Kn m m M KM + nα i Y i i 0 i Kn b i 0 Kn i

49 Programación Estocástica Mita- Entera Lineal (Variables Enteras en la Segunda Etapa) Chec feasibilit Chec integralit Compute Q( ) Update z Root Node Chec feasibilit Chec integralit Branch Add Cut If θ < Q( ) Generate optimalit cut Return to current node Else Go to pendant node z θ Add Cut

50 Otro ipo de Problemas Estocásticos

51 Chance Constrained Programming Ha algunas restricciones para las que sólo eiste cierta probabilidad de que se tengan que satisfacer ales restricciones deben incluir las variables inciertas dentro de términos lineales Minimize Z 4 2 Minimize Z 4 2 Sujeto a: Sujeto a: P( 2 u) 4 7, ,

52 Chance Constrained Programming