: la cantidad de hectáreas a sembrar de maíz. x : la cantidad de hectáreas a sembrar de avena.

Transcripción

1 Martes de junio de 00 OPTIMIZACIÓN PAUTA PRUEBA SOLEMNE NRO. Profesores: Iván Derpich y Fernando Paredes Instrucciones:.- Debe responder en forma ordenada y justificar cada una de sus respuestas..- Cada problema tiene.0 Puntos y, el puntaje de cada ítem aparece señalado en la Pregunta misma. 3.- Sin apuntes de ninguna naturaleza. SIN CALCULADORA. 4.- Tiempo:00 minutos. SIN CONSULTAS : La comprensión de los problemas es parte de la materia. PROBLEMA Nro. (.0 Puntos ) Una familia de granjeros posee un fundo familiar de hectáreas [ ha.] de tierra y tiene unidades monetarias [u.m.] en fondos disponibles para inversión para el próimo año. Sus miembros pueden producir un total de 3.00 [h.h.] en mano de obra en invierno y durante el verano. En caso que no se necesite una parte de estas [h.h.], los jóvenes de la familia pueden trabajar en un campo vecino por [u.m.] la hora durante el invierno y [u.m.] la hora en el verano. El ingreso familiar efectivo puede obtenerse a partir de tres cultivos ( Frijol de Soya, Maíz y Avena ) y dos tipos de crianza de animales ( vacas lecheras y gallinas ponedoras ). No se necesita invertir para los cultivos, sin embargo cada animal puede ser adquirido al comienzo de cada año a un precio de.00 [u.m.] por vaca y 9 [u.m.] por gallina. Cada vaca requerirá, [ ha.] de tierra, 00 [h.h.] de trabajo en invierno y 0 [h.h.] en verano y cada vaca producirá una utilidad anual de.000 [u.m.]. Para las gallinas se requiere de 0, [h.h.] en invierno, 0,3 en verano y cada una de ellas produce anualmente huevos que pueden ser vendidos en [u.m.]. El gallinero puede acomodar un máimo de gallinas y el tamaño del establo limita el rebaño a un máimo de 3 vacas. Las [h.h.] requeridas por [ha.] y los ingresos estimados por [ha.] sembrada, para cada uno de los posibles cultivos vienen dados en la siguiente tabla: Ítem Frijol de Soya Maíz Avena [h.h.]/ [ ha.] ( invierno ) [h.h.]/ [ ha.] ( verano ) Ingreso anual neto [u.m.] Formule un modelo de Programación Lineal de tal forma que le permita a la familia de granjeros planificar las operaciones para el pròimo año en forma conveniente. Desarrollo: Sean : la cantidad de hectáreas a sembrar de frijoles : la cantidad de hectáreas a sembrar de maíz. : la cantidad de hectáreas a sembrar de avena. 3 y : número de vacas a criar. y : número de gallinas a criar.

2 h : horas trabajadas en ranchos vecinos en invierno. h : horas trabajadas en ranchos vecinos en verano. Función objetivo: Maimizar y y h h Restricción de Mano de Obra de Invierno: y 0, y h 300 Restricción de Mano de Obra de Verano: y 0,3y h 4000 Restricción de Tierra:,y 3 Restricción de Capital: 00y 9y Restricciones de Capacidad : Establo : y 3 Gallinero: y 3000 i 0 i,,3 ; y Z, y 0 i, Problema Nro.(.0 Puntos ) Considere el siguiente modelo de optimización: P) Min D : 3 i i 0 Resuelva el modelo P), aplicando el Teorema de Karush-Kuhn-Tucker. Justifique la optimalidad de la solución encontrada. Desarrollo: Es fácil verificar que P) es un modelo conveo con función objetivo estrictamente convea. En consecuencia basta encontrar un punto estacionario de KKT ( es decir, que satisface las condiciones de KKT ) y se tendría que es la solución óptima. Las condiciones de KKT para el Problema P) son:

3 ) ) 3) 4) ) ) 7) 8) Caso ) Ninguna restricción activa en la solución óptima : = 0 0 = 0 Luego: = 0, =. Pero, se obtiene un punto que es infactible. ( no satisface 7) ) Caso ) Primera restricción activa y segunda inactiva. Por lo tanto: 0, ( * ) 0 0 De las primeras dos ecuaciones se tiene que: = 3, = ( ) 3 Reemplazando en (*) se tiene que = 0 =, =. dado que se obtiene un punto que satisface ambas restricciones ( factible ) entonces la solución óptima es = (,). Problema Nro.3(.0 Puntos ) Considere el siguiente modelo de optimización: P) Ma z = = , 0, 3 0 a) (. Puntos) Resolver este modelo, mediante el Método Simple con Variables Artificiales, especificando c/u de las tablas simple correspondientes a cada iteración y con aritmética eacta ( es decir, fracciones ).

4 P) ~ Q) Min z= = = 0, 0, 3 0, 4 0 ( 4 : variable de eceso) FASE I ) Min = = 0, 0, 3 0, 4 0 ( 4 : variable de eceso;, : variables artificiales ) 3 4 RHS Tabla No Canónica Gauss-Jordan 3 4 RHS Sale de la base la variable 3 4 RHS Sale de la base la variable 3

5 Sale de la base la variable ÓPTIMO DE FASE CON VALOR OBJETIVO IGUAL A CERO Y LAS VARIABLES ARTIFICIALES FUERA DE LA BASE: En efecto: 3 4 RHS FASE 3 4 RHS Tabla NO canónica Gauss-Jordan 3 4 RHS TABLA CANÓNICA 4

6 Sale de la base la variable 3 4 RHS FÍN : ÓPTIMO FASE Solución óptima ( Problema Q) ) T = ( 0 0 ) ; valor óptimo igual a -. El valor óptimo del problema original P) es igual a. b) ( 0.8 Puntos) Determine el problema dual y resuélvalo usando el Teorema de Holgura Complementaria. D) Min y + y ( Problema Dual del problema original P) ) y + y ( ) 3y - y -3 ( ) y + y ( 3 ) y irrestricta, y 0 Como en el óptimo, la variable es distinta de cero, entonces la restricción () del Problema Dual D) es activa en la solución óptima y de éste. Además, el valor óptimo del problema P) ( igual a ), nos proporciona la otra ecuación que se necesita para determinar las componentes de y. En definitiva, se tiene las siguientes ecuaciones: y + y = y + y = Luego se tiene que la solución óptima respectiva viene dada por : y T = ( 0 ). Se verifica directamente que el valor óptimo del Dual es igual a.

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