Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería Química. Magister en Matemática

Transcripción

1 nversdad Naonal del toral Faultad de Ingenería Químa Tess presentada omo parte de los requstos para la obtenón del grado aadémo de: Magster en Matemáta Título de la tess Convergena optmzaón global en Programaón no lneal. Teoría algortmos Departamento de Matemáta de la Faultad de Ingenería Químa INGAR- Insttuto de Investgaón Desarrollo María aura Taverna Dretor: Dr. Pío A. Agurre Membros del urado: Dr. Hugo Amar Dr. José Espnosa Dr. Marelo Montagna Dr. Pedro Morn Dr. Aldo Vehett 7

2 Agradementos A m dretor Dr. Pío Agurre por sus deas laras que me guaron enseñaron a nvestgar su aldad humana que prmó en todo momento. A m famla por su nondonal paena apoo a los que les dedo este trabao. A Maran orena por darme el empuón nal. A Omar Chott por haerme onoer gustar del área de optmzaón. A todos ms amgos que sento era onstantemente no dearon de alentarme.

3 Inde Capítulo Págna Introduón.... Formulaón general de problemas de programaón matemáta.... Optmzaón onvea Condones neesaras sufentes para un problema onveo Algortmos para NP onveos Optmzaón global Clasfaón de las ténas Desarrollo en el área Obetvos de la tess... Capítulo Ténas de optmzaón global: ramfar aotar Branh and Bound. Introduón.... Ideas generales de los algortmos de ramfar aotar....3 Relaaón de un problema no onveo Ramfar aotar en optmzaón global Envolventes onveas Subestmaones Envolventes onveas Envolventes onveas de una funón ónava Envolventes onveas del produto de dos funones Envolvente onvea de una funón unvarada arbtrara Subestmaones de una funón blneal Subestmaones de una funón fraonara Subestmaones lneales según MCorm Subestmaones según Quesada Grossmann Comparaón entre las dstntas estmaones propuestas para térmnos fraonaros Subestmaones según Maranas Floudas Subestmaones alternatvas de Zamora Grossmann...3

4 .5.7 Subestmaones para potenas Reduón de otas de la regón fatble en el proeso de ramfaón Reduón de otas usando optmzaón Test de reduón de otas propuesta por Roo Sahnds Ideas entrales de algunos algortmos para problemas no onveos Algortmo de Roo Sahnds Algortmo de Brne Bogle Algortmo de Smth and Panteldes Algortmo αbb Algortmo de optmzaón global GOP Global OPtmzaton Cuadro resumen de algunos aspetos de los algortmos omentados Conlusones...75 Capítulo 3 Método de optmzaón global: Improbe and Branh 3. Introduón Formulaón del modelo Problema Reformulado: RP Relaaón onvea Problema prnpal Ramfaón Pasos del Algortmo Convergena Reduón de otas Conlusones...9 Capítulo 4 Método de optmzaón global: una varante de Improve and Branh on una forma dferente de partón 4. Introduón Varantes del algortmo...93

5 4.3 Estrategas de reduón de la regón fatble Formulaón de nuevos algortmos de optmzaón global usando una forma dferente de partón Introduón neamentos generales del algortmo Proedmento para la partón de regones Consderaones adonales aera de la reformulaón n resultado teóro Reglas de seleón para la partón Convergena Algortmo Eemplos Conlusones Apénde

6 Capítulo Introduón na gran varedad de problemas de toma de desón que surgen de áreas tan dversas omo las enas ngenería eonomía admnstraón entre otras pueden ser modelados matemátamente omo problemas de optmzaón restrngdos. a meor desón en un onteto real es aquella que además de umplr on todas las ondones mpuestas requerdas optmza un obetvo persegudo es der mamza o mnmza el rtero o los rteros sobre los que se elge tomar la desón. Cuando queremos optmzar modelar stuaones reales surgen modelos matemátos formulados medante funones de dversos tpos lneales no lneales. Bao ondones de onvedad para las funones este una teoría robusta que garantza la soluón global de los problemas. En el área de ngenería por eemplo muhos dseños de proesos planfaón de produón tareas problemas operaonales se enuentran on freuena funones no onveas dando lugar a problemas de programaón no lneal NP Nonlnear Programmng Problems problemas de programaón no lneal entero mto MINP Med Integer Nonlnear Programmng Problems dependendo de la naturaleza de las varables. as ténas de optmzaón onvea apladas a estos problemas no onveos no garantzan el óptmo global del problema por lo que son motvo de estudo onodo omo optmzaón global. El nterés reente en esta área s ben ha produdo grandes progresos no es sufente se onsdera la estena de un mportante ampo de nvestgaón. Grossmann Begler 48 eponen que la nvestgaón en optmzaón global omenza a reer rápdamente a partr de 99 uando se publa el Journal of Global Optmzaton. En esta tess se estudan las araterístas generales de los algortmos determnístos de Ramfaón Aotamento Branh and Bound desarrollados para modelos no onveos estudando su problemáta en algunas de las ténas propuestas en el área de optmzaón global. Fnalmente se realza una reformulaón del método Improve and Branh desarrollado por Maroveho Bergamn Agurre algortmo determnísto de tpo ramfar optmzar al que se le mplementan reduón de otas restrones de reduón de la regón fatble. En la ntroduón se presenta una revsón del estado del arte del área de optmzaón global determnísta lasfaón de los algortmos estentes. En el

7 apítulo se eponen aspetos generales de algortmos determnístos de tpo ramfar aotar las araterístas que desarrollan en optmzaón global lneamentos generales de algunos trabaos valosos en la nvestgaón del área entre otros se estuda el algortmo GOP Global Optmzaton desarrollado por Floudas otros. Además se estudan las dferentes subestmaones de funones no onveas usadas on maor freuena en los algortmos. En el apítulo 3 se presenta el algortmo Improve and Branh en el apítulo 4 se proponen ambos al msmo en busa de otras nuevas propuestas para resolver problemas no onveos. Fnalmente se enuentra un apénde on las defnones más mportantes neesaras para la letura de este trabao.. Formulaón general de problemas de programaón matemáta a forma general de un problema de optmzaón se puede enunar omo sgue: Dadas las funones n f g h : R R para... m... p. Enontrar los valores de las varables... n tales que dan soluón al problema: Mnmzar f Sueto a: g... m h... p X R. n donde... es el vetor de varables de desón defndas en n X n R. El modelo está defndo por f que es la funón obetvo a optmzar tene m restrones de desgualdad g p restrones de gualdad h. Todo problema en el ual una o más de las funones que ntervenen en el modelo f g h son funones no lneales defne un problema de programaón no lneal NP Nonlnear Programmng. S además en el modelo se ombnan varables ontnuas on algunas varables enteras o bnaras defne un problema de programaón no lneal entero mto MINP Med Integer Nonlnear Programmng su forma general es:

8 Mnmzar f Sueto a: g... m h X R Ζ. l... p n l donde n f g h : R R para... m... p S todas las varables son enteras /o bnaras el modelo es entero puro. n a regón fatble de un modelo es un subonunto de R formado por todos los vetores que satsfaen smultáneamente todas las restrones del problema a estos puntos se los llama puntos o soluones fatbles. S no esten puntos que umplan on todas las restrones a la vez el problema resulta nfatble. Enontrar la soluón al modelo sgnfa hallar el valor de las varables de desón... fatble para el problema que dan el menor valor a la funón obetvo f. n Dentro de los NP este una lasfaón en problemas dferenables no dferenables según la naturaleza de las funones que lo defnen. Busar etremos de una funón dferenable defnda en un ntervalo mpla hallar puntos donde el gradente de la funón es ero o en los etremos del ntervalo de defnón. No así en funones que no son dferenables en todo su domno de defnón omo por eemplo la funón valor absoluto que tene un mínmo en sn embargo la funón no es dferenable Ver Fgura.. f f 3 4 b Fgura. a Fgura. b Fgura. a Funón dferenable on f en mínmos globales; 3 un mámos loal la ota superor b mámos globales. Fgura. b Funón no dferenable on mínmo global. 3

9 Otra lasfaón basada en la naturaleza de las funones surge de estudar s son onveas o no. os resultados teóros de programaón no lneal para NP sólo garantzan hallar al mínmo global uando el problema es onveo es der uando todas las funones que lo onforman son funones onveas para restrones de menor o gual funón obetvo lneales para gualdades ondones que luego se verán más relaadas. Como se muestra en la Fgura. b para busar el mínmo de una funón onvea no restrngda la ondón que el gradente en un punto es ero es sufente para asegurar que dho punto es un óptmo global no así en funones que no son n ónavas n onveas Fgura. a. f f 3 b Fgura. a funón no onvea Fgura. b funón onvea Aplar un método de optmzaón onvea a un problema no onveo por sí solo no garantza la llegada al óptmo la soluón loal alulada depende del punto de omenzo requerdo. S el modelo es no onveo es der al menos una funón del modelo es no onvea un algortmo de optmzaón loal permte hallar una soluón que provee una ota superor del valor obetvo óptmo. os métodos de optmzaón loal se utlzan en aplaones donde se requere una buena soluón no la meor por eemplo en problemas de dseño en ngenería donde se neesta meorar una propuesta onoda o utlzada hasta el momento. S el problema tene una funón obetvo no onvea puede tener mínmos loales múltples no neesaramente orresponden a etremos de la regón fatble. S el problema tene una regón fatble no onvea estamos en la msma stuaón enontrar una soluón global o estableer s un punto hallado es una soluón global 4

10 puede ser una tarea omplea. Es un área de nvestgaón onoda omo optmzaón global en busa de meores propuestas aún. En el ampo de optmzaón global se tratan problemas on óptmos globales múltples.. Optmzaón onvea Cuando en un NP de la forma. las funones tenen una estrutura partular puede hallarse la soluón del msmo usando ténas de optmzaón onvea... Condones neesaras sufentes para un problema onveo a teoría lása de programaón no lneal onvea establee ondones neesaras sufentes de óptmo global desarrolladas por Karush- Kuhn-Tuer 3 Teorema...: Condón neesara de óptmo loal de Karush- Kuhn Tuer KKT Sean n f g h : R R... m... p que defnen el problema.. Sea una soluón fatble del problema a partr de la ual se puede onstrur un onunto I { ; g }. Supongamos que f g para I dferenables en g para I ontnuamente dferenables en. S los vetores para son funones ontnuas en h... p g I h son lnealmente ndependentes es un mínmo loal de. luego λ v f... m... p / p λ g v h I λ I S además para g para I son funones dferenables luego las ondones pueden esrbrse equvalentemente: 5

11 λ v f m p λ g v h λ g λ... m... p /... m... m De aquí se seleonan todos los puntos fatbles donde el gradente de la funón obetvo en el punto puede esrbrse omo ombnaón lneal de los gradentes de las restrones que son atvas en él. Esta ondón neesara provee un onunto de puntos que ontene la soluón del problema. Curvas de nvel de f g g f g Regón fatble Fgura.4: Ilustraón de las ondones de KKT para un NP on una restrón de desgualdad g dos varables. Teorema...: Condón sufente de óptmo global de Karush- Kuhn Tuer para un problema.. Sea una soluón fatble para un NP de la forma. que umple on la ondón neesara de Karush- Kuhn Tuer Sean los onuntos { : v * > } { : v * < } J K. S la funón obetvo f es pseudoonvea en las restrones g para I uasonveas en las restrones de gualdad 6

12 h para J son uasonveas en h para K son uasónavas en entones es una soluón óptma global para.. Ver defnones en el apénde S ben para garantzar optmaldad global es posble adoptar ondones sobre las funones tales omo f g onvea h lneales; este teorema trabaa más udadosamente relaando las msmas logrando así una herramenta más poderosa que permte asegurar las ondones sufentes para una maor antdad de problemas. as ondones neesaras mplan resolver un sstema de gualdades desgualdades no lneales tarea no mu senlla de la que se obtenen una antdad de puntos que s ben entre ellos está la soluón del problema los restantes son puntos alulados posterormente desehados. uego las ondones de Karush- Kuhn Tuer proveen un maro teóro mportante para el desarrollo de algortmos para problemas onveos... Algortmos para NP onveos os algortmos de programaón matemáta para NP onveos utlzan los resultados de la teoría lása de la seón anteror para garantzar la llegada a la soluón óptma on una presón deseada. Este una gran varedad de métodos desarrollados uno de los métodos más dfunddos para resolver NP onveos es el Método del Gradente Redudo Generalzado GRG que medante epansones de Talor alrededor de un punto fatble realza lnealzaones de las restrones de gualdad no lneales. Estas lnealzaones forman un sstema de euaones que medante la desomposón de varables en dependentes e ndependentes permte trabaar el problema en un espao de dmensón reduda. En el espao redudo se alula un vetor llamado gradente redudo. A partr del gradente redudo se alula una dreón de búsqueda que tene la propedad de ser una dreón de meora pero que resulta no fatble. El método en ada teraón se mueve a lo largo de la dreón onstruda debe reuperar fatbldad usando el método de Neton. Esten dferentes mplementaones de GRG entre ellas el sstema GAMS dspone de MINOS CONOPT CONOPT Brooe Kendr Meeraus& Raman

13 Otras ténas de resoluón se basan en Programaón uadráta suesva SQP su mplementaón en GAMS se llama SNOPT Gll Murra Saunders Drud. as ondones de Karush- Kuhn Tuer se satsfaen sólo loalmente en un problema donde la falta de onvedad no permte verfar la ondón sufente luego es neesaro busar dferentes proedmentos para hallar la soluón global de estos problemas..3 Optmzaón global.3. Clasfaón de las ténas as ténas de optmzaón global se pueden lasfar en estoástas determnístas. as ténas estoástas emplean algunos elementos de aleatoredad en su nvestgaón onseuentemente se basan en argumentos estadístos para asegurar onvergena al óptmo global omo las estrategas basadas en lusterng o algortmos de evoluón genéta. os métodos determnístos trabaan el problema desde un punto de vsta matemáto garantzando rgurosamente la llegada al óptmo global dentro de una tolerana prefada. Sn embargo la maoría de estos métodos requeren de alguna suposón en la forma de la funón obetvo las restrones del modelo. Estos métodos nluen: Métodos pshzanos Métodos de ramfar aotar Métodos de plano de orte Métodos de dferenas de funones DC Métodos de apromaón eteror Métodos prmal dual Métodos de reformulaón-lnealzaón Métodos de ntervalos a optmzaón global rgurosa se puede aplar uando los problemas tenen una estrutura espeal omo por eemplo térmnos ontnuos on funones blneales fraonaras lneales ónavas separables. 8

14 as ténas de optmzaón global a partr de un problema no onveo usan subestmaones o envolventes onveas para formular resolver problemas MINP onveos. En partular los algortmos de ramfar aotar espaales dvden la regón fatble en subregones que permten la generaón de otas nferores superores que se van apromando Floudas 7 ; Quesada & Grossmann ; Roo & Sahnds Desarrollo en el área Esten numerosos trabaos que plantean algortmos determnístos para resolver problemas no onveos que llegan a la soluón para algunos problemas test en forma efente pero en otros requeren de un mportante esfuerzo omputaonal. Dentro de los problemas no onveos se pueden lasfar en NP on todas las varables ontnuas MINP problemas on varables ontnuas varables bnaras. Para problemas NP Floudas Vsesaran presentaron una desomposón prmal-dual basada en la desomposón generalzada de Benders dando orgen al método GOP Global OPtmzaton. Sahnds 9 Roo Sahnds usaron subestmaones onveas restrones de reduón de ntervalo en un gran número de problemas de ngenería. El trabao lo ontnúan Taarmalan Sahnds 34 mplementado en el algortmo onodo bao el nombre de BARON. Su mplementaón fue premada en Agosto 6 por Mathematal Programmng Soet on The Beale-Orhard-Has Prze por la efena el desarrollo en nuevos métodos en programaón matemáta omputaonal Adman Androulas Maranas and Floudas presentaron un método para funones dos vees dferenables el método alphabb basado en una estratega de ramfar aotar sobre varables ontnuas dsretas usando subestmaones onveas Smth Panteldes presentaron un algortmo para transformar onuntos de restrones no lneales en un onunto de restrones on térmnos smples no lneales maneados por un algortmo de tpo ramfar aotar espeal para resolver problemas de programaón no lneal enteros mtos no onveos MINP. Quesada Grossmann desarrollaron subestmaones onveas para resolver una lase de problemas de transporte de masa blneales problemas de 9

15 síntess de nterambadores de alor más reentemente trabaaron en problemas más generales. ee Grossmann 9 plantearon un método de ramfar aotar en dos nveles para resolver problemas de programaón dsuntva no onveos. Maroveho Bergamn Agurrre 5 han desarrollado una nueva propuesta para resolver problemas de programaón no onvea NP on una estrutura de ramfaón reduón de rango. a maoría de los algortmos de tpo ramfar aotar estentes tenen ees de desarrollo omunes. Proponen ténas de resoluón de problemas de optmzaón on una estrutura espeal en las funones que lo defnen generalmente presentan estrategas algebraas útles para transformar funones generales en la forma requerda. Transforman el problema realzando subestmaones sobreestmaones de la funón obetvo la regón fatble para trabaar sobre un problema de optmzaón onveo ua regón fatble ontene a la regón fatble del problema nal a partr de su soluón nferr resultados de la soluón del msmo. Se realzan partones de la regón fatble sobre las que se repte el proeso de estmaón logrando que dhas estmaones sean ada vez más austadas a las funones nales por lo tanto una meor apromaón a la soluón. S se trabaan on partones de la regón fatble para garantzar la soluón óptma global busada es neesaro una búsqueda ehaustva en todas las subregones obtendas de partones generadas por el método. Para aelerar el proeso del punto anteror algunos algortmos mplementan reglas de reduón de la regón fatble tanto en reduón de rango de varables omo auste en las restrones..4 Obetvos de la tess En esta tess se presentan las deas entrales de algunos algortmos determnístos para resolver problemas no onveos estudando las dstntas estrategas segudas en busa de dar soluón a las dfultades propas de los algortmos del tpo ramfar aotar. Dentro del alane de este trabao se nlue un estudo de dos fatores mportantes determnantes en la onvergena de estos algortmos: a El nvel de falta de onvedad de un problema mpata dretamente en la onvergena de los algortmos luego resulta mportante un estudo de la aldad de las estmaones onveas utlzadas para apromar funones no onveas.

16 b n nonvenente que presentan los algortmos de tpo ramfar aotar es la antdad de problemas que generan las partones que se deben resolver para garantzar que una soluón hallada es una soluón global del problema. Con freuena el esfuerzo es maor en garantzar la globaldad de la msma que en alularla. na forma de dsmnur esta stuaón es redur la regón fatble de ada subproblema planteado o detetar stuaones de nfatbldad. as suesvas partones de la regón fatble produen subregones donde en ada una de ellas se partona el rango de varaón de una varable en partular. S ben los rangos de varaón nales de las otras varables son váldos éstos no son los más austados a la nueva subregón por lo tanto no son los más onvenentes para utlzar en los álulos sguentes. El estudo de estrategas para dar soluón a estas uestones es motvo de preoupaón de los nvestgadores en el área. n obetvo de este trabao es analzar las propuestas estentes. En partular se estuda un algortmo desarrollado reentemente por Maroveho Bergamn Agurrre que permte dar soluón a problemas NP no onveos on resultados satsfatoros en los problemas test presentados en el trabao. Se prueban algunas varantes en el proeso de reduón de otas en problemas test a estudados por otros autores. Se presenta además una varante de este algortmo donde se adoptan las reformulaones del problema mplementando una forma dferente en el proeso de partón. Para evaluarlo se utlzan presentan aquí algunos de los problemas test.

17 Capítulo Ténas de optmzaón global: ramfar aotar Branh and Bound. Introduón Dentro de las ténas de optmzaón global determnístas se nluen los algortmos de ramfar aotar. Estos métodos generan otas superores e nferores del valor de la funón obetvo las uales se van apromando entre sí. Para lograr este proeso la regón fatble se va subdvdendo se elmnan subregones tenendo en uenta la fatbldad optmaldad del problema. En esta seón se dan deas generales de estas ténas se estudan algunas mplementaones partulares. os métodos estudados utlzan relaaones de la regón fatble del problema que requeren del maneo de subestmaones de las funones ntervnentes en el modelo. Se estudan dferentes propuestas presentadas en la bblografía se demuestran uales subestmaones son más austadas por lo tanto más onvenentes de usar en las reformulaones. Se prueban además ondones que garantzan el óptmo global bao estruturas partulares de algunos problemas de optmzaón no onveos.. Ideas generales de los algortmos de ramfar aotar os algortmos del tpo ramfar aotar se representan on una estrutura de árbol. Se omenza on la resoluón de un problema relaado que representa el nodo raíz. El problema relaado onsste en una sobreestmaón de la regón fatble una subestmaón de la funón obetvo en el aso de mínmo del problema orgnal. S la soluón óptma del problema relaado es fatble para el problema orgnal es la soluón óptma busada. De no ser así el valor obetvo asoado es una ota nferor del valor obetvo óptmo de un problema de mnmzaón omenza el proeso de ramfaón a partr de la defnón de un rtero. El proeso de ramfaón sgue un rtero para partonar la regón fatble en subregones. Para ada subregón se defne un subproblema que debe resolverse representa un nodo del árbol. a ramfaón se truna en un nodo generalmente por tres stuaones posbles: a soluón del subproblema que lo representa es soluón fatble del problema nal por lo tanto proporona una ota superor para la soluón óptma busada.

18 El subproblema es nfatble. a soluón del subproblema que lo representa tene asoado un valor obetvo maor para un problema de mnmzaón que el de una ota superor obtenda hasta el momento. Para ualquera de las tres stuaones anterores se de que el nodo está agotado. El prmer punto onreta el paso de aotamento del valor obetvo el últmo punto mpla una elmnaón mplíta de soluones fatbles on peores valores obetvos al logrado hasta el momento. El desarrollo del árbol puede obtenerse a lo largo o a lo anho según el orden en que se realzan las ramfaones por eemplo prorzando el orden de aparón de los nodos; o ramfando sobre el últmo nodo que se ramfó onodo omo IFO last n frst out. El proeso termna uando todos los nodos están agotados no es posble ramfar más o uando la dferena entre la ota nferor superor del valor obetvo es menor que una tolerana prefada..3 Relaaón de un problema no onveo Dado un problema de la forma: Mnmzan f n.... n Sueto a: g... m... X R... n n Con freuena los algortmos de resoluón requeren al problema de optmzaón en dferentes reformulaones. as reformulaones se generan a partr de alguna propedad matemáta estrutural espeal por eemplo la forma estándar para los problemas lneales. Defnón.3.: na reformulaón es eata s la soluón global del problema orgnal se puede nferr de su reformulaón dretamente o a través de un número fnto de pasos. na reformulaón que no es eata se llama relaaón del problema. na relaaón para un problema no onveo es: Mnmzan f... n. Sueto a: g m X n 3

19 Donde f g son funones onveas que aproman las funones del modelo orgnal tal que RF. RF. f f X. a relaaón de un problema no onveo se obtene onvefando la regón fatble orgnal esto es se reemplazan las funones no onveas por subestmaones onveas de las msmas. Este proedmento onstrue una regón onvea maor que ontene a la regón fatble orgnal. Además en el aso de no ser onvea la funón obetvo ésta se subestma por una funón onvea obtenendo una funón que es menor punto a punto que la funón obetvo orgnal. Por lo tanto la soluón de este problema relaado subestma la soluón global busada. Más formalmente: Afrmaón: Dado un problema no onveo de la forma. una relaaón onvea. on * las soluones óptmas respetvamente. uego se umple f f * proporonando una ota nferor del valor obetvo óptmo global. Demostraón: RF. RF. entones se umple que Mn f Mn f RF. RF. Además omo f f X luego Mn f Mn f RF. RF. nendo ambas desgualdades f Mn f Mn f f * RF. RF. Para un NP no onveo dferentes relaaones onveas de las funones que lo defnen proveen dferentes problemas relaados. En la seón.7 se detallan algortmos on dferentes relaaones propuesta para un problema de programaón global usando reformulaones onveas lneales funones DC entre otras reformulaones nales al problema que usan el onepto de separabldad requeren del agregado de varables restrones. El problema relaado puede resolverse por ténas para problemas onveos así su valor obetvo asoado a su soluón permte generar una ota nferor del mínmo global busado. En un proeso de relaaón se pueden agregar varables para redefnr térmnos que ntervenen en las funones requrendo además la norporaón de restrones luego el problema relaado puede resultar un problema de maor dmensón que el orgnal en uanto a número de varables número de restrones. a regón fatble de este nuevo problema proetada sobre las varables orgnales debe resultar una regón que umpla on las propedades antes menonadas es der onvea que ontenga a la regón orgnal. 4

20 .4. Ramfar aotar en optmzaón global Sguendo un proedmento partular para generar el problema relaado de la seón anteror se obtene un problema onveo al que omo a se do se le puede hallar su soluón óptma global uo valor obetvo es una ota nferor del mínmo global busado. S la soluón óptma es una soluón fatble del problema orgnal aún se está trabaando on la regón sn partonar entones se tene la soluón óptma global. Soluones del problema orgnal obtendas por alguna téna loal proporonan una ota superor de la soluón global del NP no onveo óptmo loal. Cuando las otas superor e nferor están lo sufentemente prómas el algortmo termna. S no se subdvde la regón fatble en dos o más partes en ada una de ellas se plantean nuevos problemas relaados. Estos problemas permten apromaones ada vez más presas para las funones que la defnen. a sguente fgura muestra una funón obetvo no onvea una subestmaón onvea defnda en la regón nal R. El mínmo de la relaaón en este eemplo no onde on el mínmo global busado pero proporona una ota nferor además de generar una partón de la regón fatble. na partón genera dos nuevas subregones R R tal que R R R uo úno punto de nterseón es el punto que la produe. En ada subregón puede repetrse el proeso de subestmar a f logrando subestmaones de los nuevos problemas relaados más austadas a la funón orgnal fgura. f subestmaones sguentes de f subestmaón nal de f Subregón Subregón Regón nal Fgura.: funón no onvea sus subestmaones. 5

21 Este proedmento genera un árbol de búsqueda uos nodos son los subproblemas relaados onveos. a ramfaón se truna uando la soluón de un subproblema tene un valor obetvo maor que la últma ota superor o el subproblema resulta nfatble. En todo otro aso se debe estudar los subproblemas generados por las partones resultando un proeso etenso aunque neesaro para garantzar que el punto fnalmente seleonado es un óptmo global del problema. El agregado de reduón de las otas de las varables reduón de la regón fatble optmza el proedmento reduéndose la seuena de partón búsqueda..5 Envolventes onveas Subestmaones Como a se do una estratega utlzada para resolver problemas no onveos es reemplazar las funones no onveas por subestmaones sobreestmaones onveas obtenendo un problema relaado onveo asoado. Cuando las subestmaones que se usan son más austadas es der que su dferena punto a punto on la funón orgnal es más pequeña el problema relaado estará más prómo al problema orgnal por lo tanto enontrar la soluón deseada es una tarea menos ostosa. a dea de meor subestmaón o subestmaón más austada se formalza en la defnón de envolvente onvea que se da en la sguente seón..5. Envolventes onveas 7 Defnón.5.: sea f una funón semontnua nferor defnda sobre un onunto onveo no vaío φ que satsfae: n S R. uego la envolvente onvea de f sobre S es una funón φ es una funón onvea sobre S. φ f S S h es una funón onvea defnda sobre S tal que h φ S. h f S luego a envolvente onvea de una funón representa la meor subestmaón onvea 6

22 Teorema.5.: Sea f una funón semontnua defnda sobre un onunto onveo ompato no vaío n S R. sea φ la envolvente onvea de f sobre S luego mn f mn S S φ S ben el resultado anteror es de suma mportana hallar la envolvente onvea de una funón generalmente es una tarea omplea. Stuaones partulares sobre la regón fatble haen posble el álulo de dha funón onvea de manera más senlla que se detallan a ontnuaón..5. Envolventes onveas de una funón ónava Teorema.5.: Sea f una funón ónava defnda sobre un poltopo P aotado sean v...vm los vértes del poltopo. uego la envolvente onvea φ de la funón ónava f sobre el poltopo P se puede obtener resolvendo el sguente problema: φ mn su.a : λ m m m λ f v λ v λ λ λ... λm Demostraón: Otra forma de araterzar analítamente la envolvente onvea es usando la noón de ápsula onvea epígrafo de una funón. S f es una funón arbtrara Envolvente onvea f nf{ / μ ápsula onvea ep f } μ.3 Sea P el poltopo on vértes v...vm para ada P m m / luego λ λ v λ λ λ... λ m 7

23 μ ápsula onvea ep f sí sólo sí m m m μ λ v μ.. λmvm μm λv λμ on λ λ λ... λ m μ { μ P R / f μ} v epf m m λ fv λ luego se verfa fv μ μ m m φ nf λ fv / λ v Como f es ónava defnda en un onunto aotado alanza su mínmo Teorema.5.3: Sea f una funón ónava defnda sobre un smple S los vértes del smple... v v. uego la envolvente onvea φ de la funón ónava f sobre el n smple S es la funón afín T φ b donde los vetores b están unívoamente determnados por el sstema de euaones lneal T fv v b..n. Demostraón: Sea S smple uos vértes... v v son afínmente ndependentes. Por el n Teorema.5. tomando λ fv ϕ v.. n Para todo otro punto que no es vérte s S luego n n / λ λ v λ λ λ... λ n n t t t φ mn λ v b λ v b b λ n a envolvente onvea de una funón ónava unvarada f sobre [ ] es la lnealzaón defnda a través de los puntos etremos. Aplando el teorema anteror los vetores b son soluón del sstema: f f T T b b T f f b f f f 8

24 f f resulta: f Envolventes onveas del produto de dos funones Teorema.5.3.: Sean f: [ ] R g: [ ] R dferenables dos vees funones unvaradas ontnuamente { φf g φg f f g φ f g φg f f g } l ma Donde f es el ínfmo de la funón f en su domno de defnón f es el supremo de la funón f en su domno de defnón g es el ínfmo de la funón g en su domno de defnón g es el supremo de la funón g en su domno de defnón. φf g φg fφ f g φg f son las envolventes onveas de las funones unvaradas se tene: f g g ff g g f respetvamente. uego l es una funón onvea [ ] [ ] f g l [ ] [ ] g f g f f gf g son funones ónavas en [ ] [ ] s respetvamente f g funones monótonas. uego l φfg [ ] [ ] es la envolvente onvea de f g. Eemplo.5.3.: sea h f g [ ] [ ] on > f g son funones unvaradas ontnuamente dferenables dos vees. f es reente luego alanza su mínmo en g es dereente luego alanza su mínmo en g f g f f su mámo en f. g su mámo en g. son lneales por lo tanto onveas. as envolventes onveas de las funones ónavas unvaradas f g f g por.4 resultan respetvamente: 9

25 φf g φg f l ma este mámo de dos planos según el Teorema.5.3. es una subestmaón onvea de h asegura que es la subestmaón onvea más austada de h. a msma funón en un ntervalo de defnón donde e > permte onstrur una subestmaón onvea pero no garantza que sea la envolvente de la funón a que no umple on la hpótess que ónavas. f gf g sean funones Fgura.3: funón z/ defnda en -5.5 su envolvente onvea..5.4 Envolvente onvea de una funón unvarada arbtrara Sea f una funón dos vees dferenable on partes ónavas partes onveas su envolvente onvea se puede onstrur alulando los puntos rítos de la funón mámos mínmos puntos de nfleón. S la funón defnda en un ntervalo amba de ónava a onvea la envolvente onvea está formada por una reta que pasa por el etremo nferor del ntervalo un punto sobre la urva tal que la reta sea tangente a la msma:

26 f' f f. El punto hallado es un punto donde f es onvea la reta que defne está por debao de la urva de f no la orta en nngún punto. a envolvente onvea de f queda defnda on la reta que oneta los puntos f f a partr de él la msma f que es onvea. Esta apromaón se repte ada vez que se esté en la msma stuaón. S la funón amba de onvea a ónava análogamente la funón que subestma la urva está formada por un punto donde la pendente es gual a f el etremo superor quedando la envolvente onvea formada prmero por la urva f donde es onvea hasta el punto hallado luego por la reta que una los puntos f f. f Fgura.: eemplo de una funón n ónava n onvea on su envolvente onvea f Fgura.3: eemplo de otra funón arbtrara on su envolvente onvea.

27 En funones donde la funón tene un tramo onveo luego ónavo nuevamente onveo la envolvente onvea se logra on un tramo de la urva f onveo un segmento de una reta soporte de f nuevamente un tramo de urva de f onveo..5.5 Subestmaones de una funón blneal Sea f : [ ] [ ] R R funón blneal f. MCorm 976 Al Khaal Fal 983 mostraron que la envolvente onvea sobre su domno se obtene agregando una nueva varable que reemplaza a on la sguente relaón: { } ma.5 Defne el mámo de dos hperplanos el prmero onde on el valor de la funón blneal en los puntos el segundo en. os hperplanos se ntersean por lo tanto en en todo un segmento de reta omprenddo en el hperretángulo [ ] [ ] que orresponde a la dagonal de la msma. a funón mámo es una funón lneal a trozos no es dferenable en todo punto s es onvea por ser el mámo de funones onveas. Androulas et al. 995 determnaron que la máma dstana de separaón entre la funón blneal su subestmaón onvea se da en el punto medo del hperretángulo [ ] [ ] Esta funón mámo es no dferenable en todo su domno on fnes prátos la ondón de mámo se relaa medante dos desgualdades: Estas desgualdades pueden dervarse tenendo en uenta las restrones de otas

28 Como e - se umple que - luego despeando se obtene la prmer desgualdad. Como e - se umple que - luego despeando se obtene la segunda desgualdad. na ota superor se puede onsderar sobre para una meor apromaón del problema orgnal MCorm 976 on el agregado de dos desgualdades más: Que análogamente a las subestmaones se dervan de las desgualdades - - respetvamente. Estas estmaones s ben son más relaadas que su envolvente onvea son mu utlzadas por los algortmos de la bblografía por su nobleza. Fgura.4 : funón blneal f defnda en Para térmnos blneales Quesada Grossmann 995 propuseron estmadores que dependen de las otas de las varables en una regón o subregón. mn { } { } ma.8 3

29 Estos estmadores son más senllos de manear pero aproman de forma muho menos austada que lo propuesto por MCorm..5.6 Subestmaones de una funón fraonara.5.6. Subestmaones lneales según MCorm Sea f : [ ] [ ] R R funón fraonara f / on se pueden obtener estmaones aplando las subestmaones sobreestmaones de MCorm para térmnos blneales a on f resultando: Para utlzar estas estmaones lneales es neesaro alular las otas de que dependen de los sgnos de e según los ntervalos de defnón de la regón o subregón en que se esté trabaando Subestmaones según Quesada Grossmann Análogamente para térmnos fraones / sobre el domno [ ] [ ] on Quesada Grossmann 995 propuseron estmadores no lneales que dependen de las otas de las varables en una regón o subregón. - A - B. - C - D 4

30 Demostraón: as desgualdades se dervan de las subestmaones onveas propuestas por M Corm para térmnos blneales: a - b d Para que / esté ben defndo debe ser luego [ ] es un ntervalo enteramente postvo o enteramente negatvo resultando e. S en a se dvde ambos lados de la desgualdad por : - reemplazando / por despeando - que es la desgualdad D S en b se dvde ambos lados de la desgualdad por : - reemplazando / por despeando - que es la desgualdad C Análogamente s en se dvde ambos lados de la desgualdad por : - reemplazando / por despeando - que es la desgualdad A S en d se dvde ambos lados de la desgualdad por : - reemplazando / por despeando 5

31 - que es la desgualdad B Todas estas estmaones son váldas sn mportar s > o < Cada desgualdad tene una parte lneal en una onstante otra hperbóla en. Para obtener una subestmaón onvea el térmno hperbólo evaluado en debe ser postvo dependendo de los sgnos de las otas de. En el sguente uadro se presentan uales subestmaones son onveas uales no para las dferentes stuaones sobre el sgno de las varables: Cotas > < onveo No onveo onveo No onveo D B B D B D D B C A A C A C C A a maoría de los algortmos propuestos en optmzaón global busan subestmaones onveas para poder aplar los resultados que provee la teoría de programaón onvea Comparaón entre las dstntas estmaones propuestas para térmnos fraonaros Se pueden omparar las estmaones para térmnos fraonaros propuestas por Quesada Grossmann las obtendas en.9 Se va a demostrar que la estmaón propuesta por Quesada Grossmann aproma de forma más austada. En ambas estmaones se trabaa on las otas de : Prmero se busa la forma de las subestmaones sobreestmaones de M. Corn a partr de las otas de. Para ello es neesaro far una stuaón de sgno para las varables por eemplo <. 6

32 7 S en las desgualdades.9 se despea resultan: a b. - d - uego reemplazando las otas de : a b. - d - Consderando a b uando se umple trabaando la desgualdad algebraamente para despear sabendo que > l - - omo > se obtene reordenando: - - -

33 8 luego resulta de las sobreestmaones lneales de MCorm para los sgnos propuestos en este aso. en otro aso s Por otro lado para los sgnos propuestos sobre e la sobrestmaón que resulta onvea de Quesada Grossmann es C: - S se ompara esta desgualdad on b Se puede demostrar que C aproma de forma más austada un térmno fraonaro que b hequeando la desgualdad: - Smplfando aomodando la epresón: o equvalentemente Para se debe verfar: f Como se umple que por lo tanto ' f f resulta una funón dereente omo f se verfa que [ ] f

34 Geométramente se puede ver omparando el omportamento de la hpérbola que está a la zquerda de la prmer desgualdad planteada on la reta del otro lado de la msma ambas defndas para la varable. uego la estmaón no lneal aproma al térmno fraonaro de forma más eata que la apromaón lneal para S se ompara la estmaón no lneal de Quesada Grossmann dada por D se ompara on a dada por MCorm para demostrar que la estmaón no lneal es más austada que la lneal se sgue la msma dea: - smplfando ordenando: Desgualdad que se puede demostrar trabaando demostrando para la funón f Como Resulta f ' f resulta así una funón reente omo f se verfa que [ ] f Nuevamente mrando la prmer desgualdad pedda su lado zquerdo es una hpérbola ua gráfa está en el uarto uadrante tene por enma la gráfa de la reta del lado dereho ambas onden en el punto. Así para todo valor de en su ntervalo de defnón las sobreestmaones propuestas por Quesada Grossmann provoan menos errores al sobreestmar un térmno fraonaro. 9

35 3 Para las subestmaones no onveas A - B - se pueden omparar on - d - respetvamente. Comparando prmero A on se debe ver que: - - reordenando es lo msmo probar que: - Pero esta desgualdad es erta a que la hpérbola es una funón ónava ua envolvente onvea es el segmento de reta defndo por los puntos ua euaón es:. Aplando esta subestmaón al térmno en A smplfando se obtene: se obtene Por lo tanto la subestmaón no lneal es meor que la lneal. Ahora omparando B on d se debe probar que: - - Smplfando ordenando es lo msmo ver que: -

36 El térmno resulta ónavo luego su envolvente onvea es el segmento de reta defndo por los puntos. : Por ser una subestmaón de la funón resulta la desgualdad busada aplando esta subestmaón al térmno en B: se obtene d Queda así demostrado para una stuaón partular de sgnos de e que las estmaones de Quesada Grossmann para térmnos fraonaros son meores que las reformuladas por MCorm. El eemplo.5. muestra que nnguna de las dos subestmaones es la envolvente onvea de la funón. Razonamentos análogos pueden aplarse para demostrar este resultado ante dferentes sgnos sobre las varables Subestmaones según Maranas Floudas Maranas Floudas 995 proponen análogamente a lo realzado para térmnos blneales para térmnos fraonaros / sobre el domno [ ] [ ] on subestmarlos medante el agregado de una nueva varable dos nuevas restrones que dependen del sgno de la ota sobre. - s v s <.4 - s s < son subestmaones a propuestas por Quesada Grossmann en B A que resultan onveas uando por ser suma de térmnos onveos. 3

37 v son las subestmaones dervadas de aplar MCorm uando > Subestmaones alternatvas para térmnos fraonaros na subestmaón alternatva propuesta por Quesada Grossmann para térmnos fraonaros es la sguente: Subestmaones para potenas En el aso de funones unvaradas que sean una potena n se pueden pensar dferentes stuaones: S n es entero par la funón que defne es onvea. S n es entero mpar la funón que defne es onvea para ónava para. Se puede realzar una relaaón onvea lograda on una seante defnda por la ota nferor de un punto > donde la seante es tangente a la urva en su parte onvea luego ontnuar on la urva donde a es onvea. S /n análogamente las dferentes stuaones: S n es entero par la funón que defne es ónava se puede subestmar on su envolvente onvea. S n es entero mpar la funón que defne es onvea para ónava para. Se puede realzar una relaaón onvea lograda on la urva donde a es onvea unda on una seante defnda por un punto < donde la reta es tangente a la urva en su parte onvea la ota superor de..6 Reduones de otas de la regón fatble en el proeso de ramfaón Como se epresaba en la ntroduón de este trabao los algortmos de ramfar aotar tenden a generar fálmente una gran antdad de subproblemas a resolver en 3

38 busa de la soluón o para garantzar la globaldad de la msma uando ésta se halla. os algortmos de la lteratura proponen reglas que tenden a dsmnur este proeso. na propuesta que se eplará en detalle en la seón.7.5 es la mplementada por Floudas Vsesaran en su algortmo GOP. A partr de la forma en que se partona la regón fatble en el algortmo se deduen propedades de los problemas que dan ondones para elmnar subregones reduendo la búsqueda. Otra forma de redur el trabao en el proeso de ramfaón se logra trabaando on regones fatbles lo más eatas posble de manera que a partr de regones más pequeñas el proeso de ramfaón que le sgue llegará más rápdamente a nodos agotados. Esta propuesta la mplementan algunos algortmos usando dferentes metodologías que se estudan a ontnuaón. En el proeso de ramfaón se realza una partón de una regón a partr de una varable generalmente generando dos nuevos subproblemas on ambos en las otas de la msma permten modfar las otas de aquellas varables on las que se relaona. Más formalmente sean P un problema de programaón no lneal de la forma. R su relaaón de la forma. * una soluón óptma de R no fatble para P. Se propone una partón de la regón a partr de una varable nteror del rango de * la varable que hae atva la relaaón onvea por lo tanto no umple on la restrón orgnal luego los nuevos subproblemas son: Mnmzar f... Sueto a: g n m n * X.6 Mnmzar f... Sueto a: g n... * n... m X a defnón de estos dos nuevos problemas puede llevarse a abo de dos maneras: norporando la partón del rango de varaón de la varable elegda en el problema orgnal omo se hzo en esta propuesta; o norporando la partón en el problema relaado por lo tanto la formulaón de los msmos debe haerse on las funones 33

39 f g. S se toman las funones orgnales uando se busa la relaaón en ada nuevo subproblema las estmaones hehas para térmnos no onveos donde ntervene la varable serán más austadas que las relaaones hehas antes de la partón. Esto se debe a la reduón de la longtud del ntervalo de varaón de la varable que provoa la partón. Esta forma uenta on la desventaa que el punto soluón * del problema relaado no es fatble para las relaaones de nnguno de los subproblemas no pudéndose tomar omo punto nal para sus resoluones. S se desea que el punto * soluón del problema relaado se mantenga fatble debe partonarse el problema relaado. El ambo de otas de la varable provoa tambén una reduón en las otas de las varables restantes relaonadas on ella. S estas reduones pueden uantfarse en ada partón las subregones on las que se trabaan posterormente serían menores. Dos elementos motvan una reduón en la regón fatble el proeso de partón realzado sobre las subregones provoan reduones de otas las subestmaones onveas de las funones que se van meorando a partr de las nuevas otas de las varables. El álulo de nuevas otas para las varables puede llevarse a abo medante un proedmento algebrao trabaando on las restrones del problema o medante la resoluón de problemas de optmzaón. A partr de restrones lneales se pueden obtener otas de las varables que la defnen es der s: a b despeando : a a b ma a a b s a a a a se obtene una ota nferor para la varable s es maor que la ota nferor atual puede atualzarse. mn a a b s a.7 a a a 34

40 se obtene una ota superor para la varable s es menor que la ota superor atual puede atualzarse En ambos asos se logra formulaón apaz de redur el ntervalo de varaón de la varable. Para restrones no lneales senllas omo a on > despeando una varable: a / se puede obtener una ota nferor para haendo { a } ma / El proeso de eamnar restrones partulares e nferr otas lo realzó Hansen otros 99 determnando por eemplo la monotonía de las funones haendo análss de ntervalos..6. Reduón de otas usando optmzaón Numerosos trabaos mplementan en sus algortmos una atualzaón de las otas de las varables resolvendo dos problemas de optmzaón: Mnmzar g m R Sueto a: n Mamzar g m R Sueto a: n.8 El prmer problema obtene una atualzaón de la ota nferor de la varable el segundo de la ota superor. S el problema tene n varables se desean atualzar sus otas por ada subregón R se requere resolver n problemas de optmzaón. Como resulta una metodología mu ostosa dstntos autores proponen dstntas alternatvas a partr de esta dea. Por eemplo aplar esta reduón sólo en el nodo raíz sendo benefoso para aquellos problemas donde se omenza on otas más grandes que las defndas por la regón fatble formada por las restrones restantes. Para resolver problemas onveos las restrones se reemplazan por sus 35

41 estmaones onveas o estmaones lneales 6 menos austadas pero planteando Ps más senllos de resolver..6. Test de reduón de otas propuesta por Roo Sahnds Roo Sahnds en su trabao 78 presentan test de reduón de rangos basados en optmaldad fatbldad. a reduón basada en optmaldad utlza la perturbaón de un problema relaado a partr de su resoluón onstrue restrones adonales donde ntervenen las varables duales asoadas. Más formalmente tomando el problema relaado presentado en. se puede onstrur el problema perturbado: ϕ Mnmzar f... n.9 Sueto a: g m X n Teorema.6..: Supongamos que el problema. tene una soluón óptma fnta λ * es el multplador sí solo sí el hperplano on euaón z ϕ λ * es un hperplano soporte en del gráfo de la funón perturbaón ϕ. Demostraón: [ver en 7] Teorema.6..: Sea. problema de optmzaón onveo on valor de la funón obetvo óptma gual a. Sea una ota superor onoda del problema orgnal.. En el óptmo supongamos que la restrón es atva on multplador λ * >. uego el sguente test es váldo: Test : K. S < K luego reemplazar K λ * Demostraón: Sea. la perturbaón del problema. : Mnmzan f... Φ n. Sueto a: g m X n 36

42 ϕ Φ a que.9 es una relaaón onvea de. para todo. Sea.9 el problema onveo donde la úna restrón perturbada es Por el Teorema.6.. este un hperplano soporte del gráfo de la funón ϕ en : ϕ ϕ λ * ver Fgura.6 donde λ * es el multplador asoado a una soluón óptma fnta de.. uego por tenendo en uenta que es una ota superor para la soluón de. es la soluón óptma de. se tene Φ ϕ λ * λ * Como por hpótess la restrón es atva en el óptmo de. para la restrón perturbada en.9 tambén es atva on. S se toma es posble onsderar Susttuendo en λ * λ * despeando tenendo en uenta que λ * > resulta: > S esta nueva ota es maor que la atual λ * luego la ota nferor de la varable puede atualzarse ν ν zν-8 Fgura.6: Representaón del test De manera smlar s es atva en la soluón de. on multplador λ * >. Test : π. S > π luego reemplazar π λ * Demostraón: 37

43 Análogamente onsderando que.9 el problema relaado onveo donde la úna restrón perturbada es. Se tene Φ ϕ λ * λ * donde λ * es el multplador asoado a restrón atva en la soluón óptma fnta de.. Para la restrón perturbada en.9 tambén es atva on. S se toma es posble onsderar. Susttuendo λ λ * despeando tenendo en uenta * que λ * > resulta: * λ S esta nueva ota es menor que la atual luego la ota superor de la varable puede atualzarse Para aquellas varables que en la soluón óptma del problema relaado no están en su ota no se pueden aplar los test en estos asos los autores proponen far dhas varables en sus otas resolver nuevamente el problema onveo relaado. uego los test que se aplan son los sguentes: Test 3: Resolver. tomando S. S λ * > sea π > π luego reemplazar π Demostraón: λ * Para lograr la ntegraldad de la varable se norpora al modelo la restrón en.. S el problema aumentado tene soluón sea el valor de la funón obetvo óptma asoado gual a. Sea.9 el problema onveo donde la úna restrón perturbada es. Ya que.9 es una relaaón onvea de. se umple que ϕ Φ para todo. Por el Teorema.6.. este un hperplano soporte del gráfo de la funón ϕ en : ϕ ϕ λ * donde λ * es el multplador asoado a una soluón óptma fnta de.. 38

44 na subestmaón para el problema relaado tambén es una subestmaón de.: Φ ϕ λ * λ donde es la meor ota superor obtenda hasta el momento. Consderar. Como * es atva on tambén será atva en la soluón de.9 la restrón luego es posble onsderar. Susttuendo λ λ *. * S λ * > despeando resulta: * λ S esta nueva ota es menor que la atual luego la ota superor de la varable puede atualzarse Test 4: Resolver. tomando. S λ * > sea K λ * S > K luego reemplazar K Demostraón: Para lograr la ntegraldad de la varable se norpora al modelo la restrón en.. S tene soluón este una soluón óptma sea el valor de la funón obetvo óptma gual a. Sea.9 el problema onveo donde la úna restrón perturbada es. Se umple que ϕ Φ para todo donde ϕ es la soluón de.9 Φ de.. Por el Teorema.6.. este un hperplano soporte del gráfo de la funón ϕ en : ϕ ϕ λ * donde λ * es el multplador asoado a una soluón óptma fnta de.. Como la soluón de. debe ser meor que la últma ota superor obtenda se tene Φ ϕ λ * λ * Consderar. Como es atva on tambén será atva en la soluón de.9 la restrón luego es posble onsderar. Susttuendo. 39