UNIDAD 2 Elementos de las turbomáquinas: conversión de energía potencial en cinética, toberas y difusores. Flujo compresible. Performances.

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1 UNIDAD Elementos de las turbomáquinas: conersión de energía otencial en cinética, toberas y difusores. Flujo comresible. Performances. 1. CONVERSIÓN DE EP EN EC: Toberas y Difusores. Parte de la cascada de conersión de energía en las turbomáquinas requiere la conersión de energía otencial en energía cinética, y iceersa. Estas transformaciones se roducen en elementos estáticos de las turbomáquinas denominados Toberas y Difusores. En las rimeras la energía otencial (resión) se conierte en energía cinética (aumento de elocidad) y en los segundos sucede la inersa. Para las turbomáquinas hidráulicas (fluído incomresible) y ara las máquinas de muy bajas relaciones de resión (entiladores) es suficiente trabajar con las relaciones de flujo incomresible (ecuación de Bernouilli) ara deducir los cambios de resión y elocidad. Cuando los cambios de resión y elocidad son imortantes y se trabaja con gases se comienzan a manifestar fenómenos de comresibilidad, que requieren consideración de la elocidad del gas resecto a la elocidad del sonido en el mismo.. VELOCIDAD ISENTRÓPICA DEL SONIDO Consideramos un conducto de sección constante lleno de un fluído comresible en reoso, en el cual se roaga, de izquierda a derecha, una erturbación de resión con elocidad c (Figura.1a): Fig..1: Proagación de una erturbación de resión (Shairo) La erturbación de resión es suficientemente equeña ara considerar el flujo isentróico. Detrás de la erturbación la resión sufre un incremento d y el flujo adquiere una elocidad d. Fijamos ahora el sistema de coordenadas en la erturbación (Figura.1b), con lo que asamos a considerar las elocidades relatias del flujo indicadas en la Figura. Planteamos el balance de fuerzas sobre el frente de erturbación (Fuerza=cambio en la cantidad de moimiento): A[ ( d) ] = G[ ( c d) c], donde A es la sección del conducto y G el gasto másico. Como G = Ac, siendo la densidad, resulta d = cd Planteamos ahora la conseración de la masa: ca = ( d)( c d)a, de donde, desreciando el roducto de infinitésimos, resulta 9

2 De los dos balances resulta d d =. c c = d d Al ser la entroía constante adotamos la exresión de la adiabática Luego, d = d 1.const = c = =.const = RT =. const = RT, de donde Esta exresión ermite calcular la elocidad de transmisión de una equeña erturbación de resión, tal como una onda de sonido, en un gas. Por ejemlo, ara el aire (=1.4, R=87.6) en condiciones normales (T=88.15K) resulta c =34.3 m/s. En adelante, ara eitar confusión con la elocidad absoluta del fluído, denominaremos a a esta elocidad isentróica del sonido: a = RT El cociente entre la elocidad absoluta del fluído c y la elocidad isentróica del sonido es un número adimensional denominado el número de Mach: M = c / a 3. CONDICIONES DE REMANSO En la Unidad 1 se encontró que el trabajo total realizado or o sobre el fluído en su asaje or un sistema estaba dado or: l i = i En el asaje or una tobera o difusor no se realiza trabajo y consideramos a estas transformaciones sin intercambio de calor con el exterior, or lo que i = const Luego, odemos considerar un unto en el camo de flujo donde la elocidad sea nula y la entalía sea máxima. Este será un unto de remanso, también denominado de estagnación o de tanque. En este unto las ariables las indicaremos con el subíndice cero, con lo que odemos escribir Considerando que i T = c = i T = ct c = 1 R = RT 1 = T 1 M, y que El asaje del fluído desde el tanque o unto de remanso al unto actual fue isentróico, or lo que odemos considerar la relación de la adiabática: 1

3 T 1 = const ara establecer la relación entre la resión de remanso y la del unto actual: y también entre las densidades: 1 1 = 1 M, 1 1 = 1 M. A las condiciones en el unto actual (, T, ) se las denomina alores estáticos, ara diferenciarlos de los alores de remanso. Para areciar el significado de las condiciones de remanso, considérese un conducto con dos mediciones de resión y una de temeratura (Figura.): 1 Fig..: Mediciones en un conducto La medición de temeratura y la de resión enfrentando al flujo crean untos de remanso y or consiguiente, desreciando los rozamientos que afectan a la reersibilidad, miden las condiciones de remanso. La medición de resión sobre la ared mide la resión sin afectar a la elocidad del flujo, es decir, la resión estática. Con las mediciones de resión y el coeficiente de la adiabática del fluído se uede obtener el número de Mach, con esto y la temeratura de remanso T se obtiene la temeratura estática T, de donde se uede comutar la elocidad del sonido a, y con M comutar la elocidad del fluído c. 4. CONDUCTOS CON CAMBIO DE SECCION Para el caso de flujo isentróico en un conducto tenemos de donde di d =. De la Termodinámica tenemos que y, siendo la transformación isentróica, ds= y resulta La conseración de la masa es: de donde, tomando logaritmos y deriando, i = i = TdS d = d const d di =, A= const 11

4 d d Reemlazando a =d/d y M=/a y oerando con las exresiones anteriores obtenemos: da A = da 1 M = A Esta exresión nos relaciona el cambio de sección transersal A con el cambio de resión d a traés del número de Mach. Podemos construír la siguiente tabla:. d Mach da d d tio régimen <1 > > < difusor subsónico <1 < < > tobera subsónica >1 > < > tobera suersónica >1 < > < difusor suersónico Se arecia que un conducto conergente (da<) uede acelerar el flujo (tobera) si la elocidad del fluído es menor que la del sonido, y decelerarlo (difusor) si la elocidad es suerior a la del sonido. Un conducto diergente se comorta a la inersa. 5. CONDUCTO CONVERGENTE-DIVERGENTE:Tobera de Laal Consideramos un conducto conergente-diergente en régimen comresible, subsónico. La conseración de la masa se exresa como: G = A = const Reemlazamos utilizando las exresiones de flujo comresible ara obtener: 1 ( 1) G 1 = AM 1 M T R Esta exresión nos relaciona la sección transersal y el número de Mach en el conducto. Al ser la rimera orción conergente, la sección disminuirá hasta el alor A *, al que corresonde M *, y or consiguiente T *, *, etc. Si la sección mínima es tal que el número de Mach que se alcanza es unitario (régimen sónico) la segunda orción del conducto se comortará como una tobera suersónica, y la elocidad continuará aumentando. Podemos así graficar la ariación de todos los arámetros en el conducto conergente-diergente en régimen subsónico-suersónico (Figura.3): 1

5 Fig..3: Funciones de flujo comresible ara =1.4 (Wilson) La tobera conergente-diergente (tobera de Laal) es entonces útil ara alcanzar elocidades suersónicas en un conducto. Sin embargo, ara alcanzar M=1 es necesario que la garganta A * no exceda el alor de A * = G 1 TR 1 1 Además, se requiere una cierta diferencia de resión mínima que estará dada or la exresión de la resión de remanso con M=1: = 1 1 Luego, la resión en la garganta y la resión a la entrada de la tobera (asumiendo muy baja elocidad de entrada) deben estar en la roorción máxima de La resión de descarga a la salida de la orción diergente debe ser más baja aún, deendiendo del alor del área de salida. Si la resión de descarga es la que corresonde al área de salida según las fórmulas anteriores se dice que la tobera está correctamente exandida. Si la resión externa es más baja que la correcta se dice que la tobera está subexandida, ya que odría exandir más aún, y en la salida del flujo se roducen fenómenos de exansión suersónica hasta alcanzar la resión ambiente. Si la resión externa es suerior a la correcta se dice que la tobera está sobreexandida, y se roducen dentro de la misma saltos discretos de resión, elocidad y temeratura denominados ondas de choque, que reducen bruscamente la elocidad or debajo de la del sonido. El roceso continúa con una difusión subsónica, aumentando la resión hasta igualar la exterior. La intensidad de la onda de choque deende de la resión exterior, y el roceso se ilustra en la Figura.4: ( 1) 13

6 Fig..4: Presiones en la tobera de Laal (Lee) A caudales inferiores al crítico la tobera rimero acelera y luego decelera el flujo, todo en régimen subsónico (7%, 9%). Luego se alcanza el caudal crítico G c, a artir del cual ya no se incrementa el caudal or más que se continúe reduciendo la resión de descarga. Sin embargo, al ser la resión de descarga suerior a la correcta, se roducen ondas de choque y difusión subsónica (líneas c, d y e) hasta la descarga. La figura también es alicable a flujo inicialmente suersónico, en que la resión inicialmente aumenta (difusor) y luego disminuye (tobera) a bajos caudales. Al alcanzarse el caudal crítico la elocidad en la segunda orción ya no aumenta sino que continúa disminuyendo, hasta la descarga, formando así un difusor suersónico-subsónico. En este caso no se resentan ondas de choque. Es imortante notar que, si se ha alcanzado M=1 en la garganta, el caudal máximo de la tobera conergente-diergente está fijado or la relación de resiones entre la entrada y la garganta, y no es afectado or la resión de descarga. Para demostrar esto formamos el roducto = y sustituímos las relaciones de flujo comresible ara eliminar M en función de /. Obtenemos así: = Esta exresión la odemos maximizar deriando con resecto a / e igualando a cero, con lo que obtenemos el alor de / que maximiza el caudal másico. Este resulta ser recisamente el alor crítico que corresonde a M=1. Luego, la tobera conergente-diergente, o simlemente conergente con una descarga suae (da=) al exterior, tiene un caudal másico máximo que se alcanza cuando la relación de resiones entradagarganta es la crítica. A artir de allí el caudal másico sólo uede aumentarse aumentando la densidad del fluído, es decir, la resión de entrada. La resión de descarga, asada la resión crítica en la garganta, no tiene efecto sobre el caudal másico. 6. DIAGRAMA Y CONO DE STODOLA 1 M 1 14

7 El caudal másico uede exresarse en función de la relación de resiones en lugar del número de Mach, obteniéndose: G = A En el esacio (G,, ), ara cada alor de, el caudal másico G es nulo cuando =. Al reducirse aumenta el caudal másico hasta que se alcanza la relación crítica de resiones y el caudal máximo. Para alores de resión de garganta aún inferiores, el caudal másico se mantiene constante. Esto forma un cono de generatrices rectas conocido como el cono de Stodola, y también uede reresentarse en el lano como una familia de curas (el diagrama de Stodola), con o como arámetros (Figura.5) 1 Fig.5 : Diagramas y cono de Stodola (Gannio) Notar que cuando se fija (= 1 en la figura) y se aumenta el caudal continúa aumentando en forma lineal al excederse la relación crítica. 7. RENDIMIENTO DE TOBERAS:Factor j Debido a la fricción del fluído con las aredes de la tobera la elocidad de descarga será ligeramente inferior en un factor ϕ, que usualmente se toma entre.97 y.99 ara toberas conergentes y entre.96 y.94 ara conergentes-diergentes or las mayores elocidades alcanzadas (y or ende mayores érdidas). La Figura.6 ilustra la exansión en una tobera en el lano i-s: 15

8 Fig.6: Tobera con érdidas Esto uede interretarse de dos maneras: Para obtener la elocidad de descarga deseada con un salto entálico igual al isentróico o disonible, se debe exandir hasta una resión menor (unto ). Esto se debe a que arte de la energía cinética se conierte en calor or fricción, aumentando la temeratura y cancelando arte de la caída de entalía. Exandiendo hasta la resión dada la elocidad de descarga será menor (unto ) or las razones anteriores. En cualquier caso el efecto de la fricción es una érdida de resión de remanso, que asa a. El salto de entalía adiabático, desreciando la elocidad de entrada, es mientras que el salto real es or lo que el rendimiento es i = i ad = ( ϕ ) η = ϕ y las érdidas son i = ( 1 ϕ ) 8. DIFUSORES Para los difusores se emlea el mismo coeficiente ϕ, sólo que incrementando el alor de la elocidad de entrada. La Figura.7 ilustra la transformación: 16

9 Fig.7: Difusión en el lano i-s Nueamente, esto uede interretarse de dos maneras: Se requiere un mayor salto de entalía ara alcanzar la misma resión (unto ). Esto se debe a que arte de la energía cinética se conierte en calor or fricción, aumentando la temeratura y disminuyendo la densidad sin contribuir al aumento de resión. Con un salto de entalía dado se alcanza una menor resión (unto ), or la misma razón anterior. En cualquier caso se ierde arte de la resión de remanso. El salto de entalía adiabático, desreciando la elocidad de salida, es mientras que el salto real es or lo que el rendimiento es i = ( ) ϕ i ad = 1 ( ) η = ϕ y las érdidas son i = ( 1 ϕ ) 1 1. El diseño de difusores contemla muy esecialmente la osibilidad de que el fluído no ueda seguir el contorno de la ared or ser la diergencia demasiado alta, en cuyo caso el flujo se seara y el difusor se comorta como si la relación de áreas fuera mucho menor, alcanzando resiones mucho menores. En la Figura.8 se ilustran alores máximos recomendados de ángulos de aredes ara arios tios de difusores: Fig.8: Valores recomendados ara difusores (Smith) 17