ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

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Julián Pedro Caballero Maestre
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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL Eamen de la Primera Evaluación I Término 11/julio/008 Nombre: Paralelo: Eamen: Lecciones: Deberes:

1 ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL Eamen de la Primera Evaluación I Término 11/julio/008 Nombre: Paralelo: Eamen: Lecciones: Deberes: Otros: TEMA No. 1 (0 PUNTOS) Considere la circunferencia con centro O y de longitud de radio r=1cm. Las rectas tangentes a la circunferencia en los puntos A y B se intersecan en el punto P. a) Determine la longitud de los segmentos AB y OP. b) Determine el área de la superficie sombreada. a) Longitud del segmento AB (4 puntos) Opción 1: Aplicando la ley del Coseno OA = OB = r 1 AB = r + r ( r)( r) cos = r r = r AB = r = 1 cm Opción : Aplicando la ley del Seno sen AB r = AB = r = r = r = 1 cm sen sen sen 1 6 Realizado por MHMJ y GABP Página 1

2 Longitud del segmento OP (6 puntos) Opción 1: Aplicando el teorema de Pitágoras OP = r + BP, pero AB = BP porque OP = r + r OP = r = 4cm OBP es equilátero Opción : Aplicando una función trigonométrica en el OBP BP BP r sen = OP = = = r = 4cm OP sen b) Área de la superficie sombreada (10 puntos) A deltoide ( AB) ( OP) ( 1 )( 4) = = = 144 cm A sector circular = θr = 1 = cm = A superficie sombreada A deltoide A sector circular = 144 = 48( ) cm A superficie sombreada 40%: Planteamiento correcto 40%: Fórmulas correctas 0%: Cálculos correctos Realizado por MHMJ y GABP Página

3 TEMA No. (15 PUNTOS) Sea la región R= {(, y) /0 6, y 0, y+ 4 0, + y1 0} a) Bosqueje R en el plano cartesiano. (5 PUNTOS) b) Determine el volumen del sólido de revolución que se genera al rotar R alrededor de la recta =6. (10 PUNTOS) a) F E G D C A B Rectas limitantes: = 0, = 6, y = 0, y = +, y = 6 A 0,0, B 6,0, C 6,, D 6,, E 6, 4, F 4, 4, G 0, Coordenadas de puntos: 60%: Determinación de rectas y coordenadas de puntos. 40%: Graficación correcta de la región. b) V ( sólido ) = V ( cilindro generado al rotar el rectángulo ABCG ) + V ( cono truncado generado al rotar trapecio GCEF ) V ( cono generado al rotar triángulo DEF ) V sólido = AB BC + EC EF + GC + EF GC EF ED V ( sólido) = ( 6 ) + ( ( 6) ) ( )() 1 V ( sólido) = ( 16 + ( 5) 4) 16 V ( sólido) = u 0%: Visualización correcta del sólido. 0%: Planteamiento correcto de los sólidos parciales. 40%: Fórmulas y dimensiones correctas. 10%: Cálculos correctos. Realizado por MHMJ y GABP Página

4 TEMA No. (15 PUNTOS) Califique cada una de las siguientes proposiciones como verdadera o falsa. Justifique formalmente su respuesta. a) Si una esfera y un cubo tienen la misma área superficial de 6cm, entonces el volumen de la esfera es mayor que el volumen del cubo A superficie esférica = r = r = cm V esfera = cm = A superficie cúbica = 6l = 6 l = 6cm V cubo = 6 = 6 6cm 6 < 6 6 < 18 < < 18< < 18< < V cubo V esfera La proposición es verdadera 60%: Planteamiento y fórmulas correctas. 0%: Cálculos correctos. 0%: Criterios de comparación. b) Sea una función de variable real definida como: f ( ) g, a < b = h, b c Si g es continua en [ ab, ) y h es continua en [, ] [ ac, ]. Considere f ( ) g es continua en [ 1, 0) h es continua en [ 0,1 ], 1 0 < =,0 1 f no es continua en [ 1,1]. La proposición es falsa bc, entonces f es continua en 80%: Calificación correcta y gráfico o regla de correspondencia del contraejemplo. 0%: Eplicación. Realizado por MHMJ y GABP Página 4

5 c) Si f es una función de variable real continua en y se conoce que: Entonces: f sen( ) f + f + lim = 1 0 = f 0 sen( ) f + f + lim ( f ( + ) f ( ) + ) = lim ( sen( ) ) 0 0 f ( + ) f ( ) + lim lim sen( ) 1( 0) 0 lim( f ( ) f ( ) ) 0 0 sen( ) = = + + = 0 0 Por continuidad: 0 ( 0) + = 0 = ( 0) f f f f = lim + + f f f f La proposición es verdadera 60%: Manipulación algebraica y aplicación de teoremas de límites. 40%: Aplicación de continuidad. TEMA No. 4 (0 PUNTOS) Evalúe de ser posible, los siguientes límites: a) lim h h h ( h) ( h) 1/ / 1/ 7 + h 7 + h 7 + h h h 7 lim = lim lim h 0 h 0 / 1/ = h 0 / 1/ h h 7 + h h + h 7 + h h = lim = = = h 0 / 1/ / 1/ n 1+ α 1 α Si conoce el límite notable lim = 0 n 7 + h h h lim = lim = lim = = h 0 h h 0 h h 0 h 7 60%: Manipulación algebraica adecuada. 40%: Sustitución y evaluación correcta. Realizado por MHMJ y GABP Página 5

6 b) lim 0 1 cos ( ) sen( ) sen( ) cos 1+ cos 1+ cos lim = lim = lim = lim 1cos 1 cos 1+ cos 1 cos sen 1+ cos 1+ cos 1 = lim = lim = lim lim 1+ cos ( ) = ( 1)( ) = 0 sen %: Manipulación algebraica adecuada. 0%: Valor absoluto y límite notable. 0%: Cálculo correcto. c) 1 lim lim e lim lim = e 1 1 = = = e lim 1+ 0%: Identificación de tipo de indeterminación. 60%: Manipulación algebraica y límite notable. 0%: Cálculo correcto. d) 1 lim θ sen θ θ sen 1 θ θ 1 θ 1 0 lim( θ ) sen 0 θ 0 θ Aplicando el teorema del emparedado : 1 lim θ sen = 0 θ 0 θ Realizado por MHMJ y GABP Página 6 ( θ ) ( θ ) sen ( θ ) ( θ ) ( θ ) sen ( θ ) lim lim lim θ 0 θ 0 θ 0 0%: Identificación de caso de no aplicación de límite de producto. 60%: Planteamiento del teorema del emparedado. 0%: Cálculo correcto.

7 TEMA No. 5 (10 PUNTOS) Sea la función f definida sobre, cuya regla de correspondencia es f ( ) a) Determine el valor L= lim f ( ) + b) Realice una demostración formal ε δ. c) Si se desea que f ( ) L < 10, encuentre el valorb tal que: a) ( puntos) L= lim f = lim + + Si < <, entonces = L= lim = = + b) (5 puntos) ANÁLISIS PRELIMINAR < < b f L < 10 ξ > 0 δ > 0,0< < δ < ξ < ξ 4 < ξ ξ ξ < ξ δ = OBJETIVO ξ ξ > 0δ = min 1, 0< < δ DEMOSTRACIÓN FORMAL ξ 0 < < 0 < < ξ 0 < < 1 0 < 4 < ξ < < 0< < ξ ( ) ( ) f ( ) L = 0 < < ξ < ξ < ξ =. Realizado por MHMJ y GABP Página 7

8 c) ( puntos) 0.01 Si ξ = 10, δ = = < < b = %: Trabajo conceptual correcto. 50%: Cálculos correctos. TEMA No. 6 (5 PUNTOS) Considere la función f definida con la siguiente regla de correspondencia: k, < f ( ) = c, = 7, > Determine los valores de k y c, tales que sea f continua en todo su dominio. 60%: lim = lim f f + lim k = lim 7 + k = 4 k = 40%: = lim f f c = 4 Realizado por MHMJ y GABP Página 8

9 TEMA No. 7 (15 PUNTOS) Bosqueje la gráfica de la función de variable real f a partir de la siguiente información sobre ella. a) f es impar b) f es continua en {,0, } c) f () 1 = f ( ) = 0 d) 0 0,0 f ( ) 1 e) 0 δ 0,0 δ f) 0 δ 0,0 δ g) ε > 0 N > 0, > N f ( ) 1 < ε > δ > < < δ < ε M > > < < f > M M > > < < f < M ε d) 0< < ξ lim f ( ) = 1 e) lim f ( ) f) lim f ( ) + g) f ( ) =+ = lim = %: Interpretación de los límites. 40%: La gráfica satisface las condiciones dadas. 0%: Integración de todas las condiciones de manera correcta. Realizado por MHMJ y GABP Página 9

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