Inyectivas, Suprayectyivas, Biyectivas. Funciones. f(x) = 1 x 4. En este caso se tiene que. x 4

Transcripción

1 Inectivas, Supraectivas, Biectivas Funciones Denición. Sean X, Y R dos conjuntos no vacíos. Una función f del conjunto X en el conjunto Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x X un único elemento f(x) Y. La notación para una función es: f : X Y Denición 2. El conjunto es llamado el dominio de f, se denota D(f) D(f) = x X f(x) = Y Ejemplo Sea f : R R dada por Encontrar el dominio de f. f(x) = Solución En este caso se tiene que = f(x) R R 0 x (, 4) (4, ) D(f) = x R x 4 = (, 4) (4, ) Denición 3. El conjunto Y es llamado el codominio de f. Denición 4. El conjunto R(f) = f(x) Y x D(f) X es llamado el rango de f. El rango de una función es un subconjunto del codominio. Ejemplo Encontrar el rango de la función f(x) = Solución En este caso Tenemos que R(f) = = = Y = x (, 4) (4, ) x = 4 + Por lo tanto x = 4 + (, 4) (4, ) R 4 + < 4 ó R 4 + > 4 R 4 + < 4 R 4 + > 4

2 Inectivas, Supraectivas, Biectivas R < 0 R > 0 < 0 > 0 R < 0 R > 0 (, 0) (0, ) Por lo tanto R(f) = (, 0) (0, ) Denición 5. Dos funciones f : X Y g : X Y se dice que son iguales si X = X, Y = Y, x X, f(x) = g(x) Denición 6. Función acotada Se dice que f : X Y está acotada si el conjunto de números reales f(x) está acotado; es decir, existe k > 0 tal que f(x) k x A Ejemplo Sea f : X Y dada por x 2. Vamos a comprobar que f es acotada + x 2 0 x R x 2 + x 2 + < 0 < x 2 + f es una función acotada x 2 + < Denición 7. Función Par Una función f : X Y se dice que es par si f(x) = f( x) x R Ejemplo Sea f : X Y dada por f es una función par x 2. Vamos a comprobar que f es par + f( x) = ( x) 2 + = x 2 + = f(x) 2

3 Inectivas, Supraectivas, Biectivas Denición 8. Función Impar Una función f : X Y se dice que es impar si f(x) = f( x) x R Ejemplo Sea f : X Y dada por x 3. Vamos a comprobar que f es impar f es una función impar f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x) Denición 9. Función Periódica Una función f : X Y se dice que es periódica si T > 0 tal que f(x + T ) = f(x) x X. El número T es el periodo de la función Ejemplo Sea f : X Y dada por f(x) = x + [x]. Donde [x] denota al maor entero x. Vamos a comprobar que f es periódica por ejemplo mientras que por ejemplo x (, 2) [x] = x [x] = x x =,5 (, 2) [,5] = x [x] =,5 =,5 x (2, 3) [x] = 2 x [x] = x 2 x = 2,5 (, 2) [2,5] = 2 x [x] = 2,5 2 =,5 f(x) = x [x] es una función periódica Denición 0. Función Monotona Una función f : X Y se dice que es monótona creciente si para dos puntos arbitrarios x x de X tales que x < x se verica: f(x) f(x ). Estrictamente creciente si f(x) < f(x ). x, x X Ejemplo Sea f : X Y dada por f(x) = x 3. Vamos a comprobar que f es monotona estrictamente creciente x < x x 3 < x 3 f(x) < f(x ) f(x) = x 3 es una función monotona estrictamente creciente Denición. Función Monotona Una función f : X Y se dice que es monótona decreciente si para dos puntos arbitrarios x x de X tales que x < x se verica: f(x) f(x ). Estrictamente creciente si f(x) > f(x ). x, x X 3

4 Inectivas, Supraectivas, Biectivas Ejemplo Sea f : X Y dada por f(x) =. Vamos a comprobar que f es monotona estrictamente x decreciente x < x x < x f(x ) < f(x) f(x) = x es una función monotona estrictamente decreciente Denición 2. Función Constante Una función f : X Y se dice que es constante si f(x) = c x X Ejemplo Sea f : X Y dada por f(x) = 5. Vamos a comprobar que f es cosntante f(x) = 5 es una función constante Denición 3. Función Identidad Es una función f : X Y tal que f(x) = x x X x < x f(x) = 5 = f(x ) Denición 4. Función Característica Si S es un subconjunto de X se dene en X una función real llamada función característica del conjunto S x S X S : X Y como X S (x) = 0 x / S Denición 5. Función Polinomial Se designará con el nombre de función polinomial a cualquier función cua regla de correspondencia esté dada por una fórmula del tipo f(x) = a n x n + a n x n + a n 2 x n a 0 donde n es un número natural o cero los coecientes a i son números reales. Denición 6. Función Racional Se designará con el nombre de función racional a cualquier función cua regla de correspondencia esté dada como el cociente de dos polinomios f(x) = a nx n + a n x n + a n 2 x n a 0 b m x m + b m x m + b m 2 x m b 0 f está denida para todos los valores de x en los que no se anula el denominador. 4

5 Inectivas, Supraectivas, Biectivas Denición 7. Función inectiva ó uno-uno Una función f : X Y se dice que es inectiva ó uno-uno si: Dados x, x 2 Dom f tal que f(x ) = f(x 2 ) x = x 2 Equivalentemente, mediante la implicación contrarreciproca, podemos decir Una función f : A B se dice que es inectiva, biunívoca ó uno-uno si: Ejemplo Sea f : R R dada por f(x) = 2x. Para ver que f es inectiva x, x 2 A tal que x x 2 f(x ) f(x 2 ) Sean x, x 2 Dom f tal que f(x ) = f(x 2 ) 2x = 2x 2 x = x 2 f es inectiva Denición 8. Función Supraectiva ó Sobreectiva Sea una función f : X Y. Si ocurre que R(f) = Y. Esto es f : X Y es sobreectiva Y, x X f(x) = Ejemplo Sea f : R R dada por f(x) = x +. Para ver que es supraectiva tenemos que R = f(x) = x + p a x R x = f es sobreectiva f(x) = f( ) = ( ) + = + + = Denición 9. Función Biectiva Sea una función f : X Y. Si ocurre que R(f) = Y. Y además f es uno-uno, se dice que f es biectiva Ejemplo Sea f : R R dada por f(x) = x +. Para ver que es inectiva tenemos que Sean x, x R, f(x) = f(x ) x + = x + x = x x = x f es inectiva. Para ver que es supraectiva tenemos que R = f(x) = x + p a x R x = f(x) = f( ) = ( ) + = + + = f es sobreectiva en consecuencia f es biectiva 5