Olimpiadas. Internacionales

Transcripción

1 Prblemas de Las Olimpiadas Iteraiales De Físia Jsé Luis Herádez Pérez Agustí Lza Pradill Madrid 008 Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

2 4ª OLIMPIADA DE FÍSICA. UMANIA Ua partíula se mueve a l larg del eje OX tal m se idia e la figura iferir. Sbre la partíula atúa ds fuerzas ua señalada e el gráfi y la tra O x = m X F/N X -0 F X = - 0 N Crrespde a ua fuerza de rzamiet Fr =,00 N. La pared O se mprta m perfetamete refletate. La partíula sale del put de rdeada x= + m y psee e ese istate ua eergía iétia de 0,0 J a) Calular la lgitud que rerre la partíula hasta que fialmete se detiee b) epresetar gráfiamete la eergía pteial de la partíula Ep(X) e el amp F ) ealizar u dibuj ualitativ de la velidad de la partíula e fuió de x 4ª Olimpiada Iteraial de Físia. umaia a) El prblema es más familiar si se piesa que el eje OX es vertial y la pared O el suel de la Tierra. La partíula e el put x = m psee además de eergía iétia ua eergía pteial dada pr la expresió Ep(X) = Fx. La partíula se parará eesariamete e el put O uad haya agtad su eergía iétia y pteial, debid al trabaj de rzamiet que realiza e su mvimiet de aeramiet y alejamiet de O. Pr siguiete: X E = 0 J x 0 = m 0 0* 0 Fx Fr Δs Δs 0 m O Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

3 3 b) La eergía pteial e ualquier put es Fx + Cte. La state la pdems aular para el put O, est es para x =0. E seueia la gráfia de la eergía pteial frete a la rdeada x es ua líea reta que pasa pr el rige de rdeadas Ep(X) X ) Supgams que e el put x= y e el tiemp t=0, la partíula se dirige haia la pared ua velidad iiial v. Hasta llegar a la pared la partíula es aelerada debid a la fuerza resultate que e este as es F+Fr = ma. La velidad al har la pared es v v dirigida haia el eje X egativ. as, sied s la distaia x O, v tiee sig egativ pues está Dad que la pared es perfetamete refletate rebta la velidad +v y mieza a deelerarse debid a que atúa ds fuerzas F-Fr = ma, sied a >a, l que equivale a deir que realiza u mvimiet retardad tal que al pasar pr la psiió x =m su velidad e valr abslut es mer que uad t=0. La partíula sbrepasa esa psiió hasta que se aula su velidad y de uev se dirige haia O mvimiet aelerad y aeleraió a, per al llegar a O su velidad es mer que uad llegó la vez aterir. El mvimiet se repite así ua y tra vez hasta agtar la eergía meáia de la partíula. Para eteder la frma de la gráfia vams a haer us áluls valres uméris y ua hja de álul. Supgams que la masa es la uidad y que iiia el mvimiet es la psiió x= m dirigiédse haia O. Dad que su eergía iétia es 0 J, se dedue que su velidad m iiial es v 0 0 4,47. Tmams m setid psitiv OX s La aeleraió de bajada es -0+ = *a B, a B =-9 m/s La aeleraió de subida -0- = *a S a S = - m/s Las euaies del mvimiet s elimia t e las ds euaies se llega a: x x vt at, v v at. Si se v v a x x Dad valres e la euaió v=4,47, a = -9m/s y x =, 0,9 0,8 se btiee la rama a de la figura. Al llegar a x=0 rebta velidad psitiva e iia la rama b, per ahra la aeleraió es - m/s y ls valres de x s 0, 0,, 0,.. Se bserva que al pasar pr x= m su velidad ha dismiuid y se hae ula a x =,75 m. A partir de ahí desiede alaraió -9 m/s y mieza la rama, se bserva que uad x= 0 la velidad es mer Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

4 4 v/m.s b a -8 0,0 0, 0,4 0,6 0,8,0,,4,6,8,0 x/m El il se repite y la gráfia tiee la frma de la figura iferir v(x) + 0 X v(x) - Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

5 5.-E el iruit de la figura iferir L = 0 mh, L = 0 mh, C = 0F, C = 5F y = 00 k L i C A C B L i K Se ierra el iterruptr K durate u larg tiemp. La freueia de la fuete de rriete altera pude variar, mietras que la amplitud de la da que geera, est es, el vltaje máxim efiaz, se matiee state. a) Llamad f m a la freueia que rrespde a la pteia máxima P m y f y f a las freueias rrespdietes a ½ Pm. Calular la relaió etre f m y f = f - f. b) El iterruptr K se abre y u tiemp t después de abrirl, las itesidades de rriete a través de L y L s: i =0, A e i = 0, A y el vltaje U = 40 V. Calular la freueia de silaió del iruit L,C,L,C. ) Determiar la itesidad de la rriete e el dutr AB d) Calular la amplitud máxima de la rriete que irula pr la bbia L. 4ª Olimpiada Iteraial de Físia. umaia Vams a alular la impedaia del iruit equivalete al dad eq L C L C (Se emplea letra egrita para desigar a las impedaias mplejas. E lugar de usar el mplej i se sustituye pr la letra j para evitar fusies las itesidades). L L ωj C j C ω L L ωj C j C ω Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

6 6 eq eq L ωj C ω j Cωj - L ω L ωj j j C ω L j Cωj ω Si e la expresió aterir haems C = C +C, C = 5 F y L = 0/3 mh, resulta fialmete : L L L eq j Cω Y Lω () (la iversa de la impedaia es la admitaia Y) Vams a desigar al vltaje apliad al iruit el úmer mplej V +0j l que la itesidad que irula pr el iruit es de auerd la ley de Ohm para altera V V I V Y V 0j j Cω VCω j eq Lω Lω La pteia mpleja S de u iruit de altera, tambié llamada pteia aparete es S = V.I* Sied I* el mplej jugad de la itesidad. V V S V 0j VCω j V Cω j Lω () Lω La parte real de la pteia mpleja aparete S se llama pteia ativa del iruit y su valr para este iruit es P= V /, la parte imagiaria se llama pteia reativa Q. Al mism resultad se puede llegar rerdad que la pteia ativa es: P V I V I sθ Cω eje Lω imagiari sθ /=Y Cω Lω B=C(/L) /=G eje real Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

7 7 P VIsθ V * V Cω * Lω Cω Lω V Del aterir resultad se dedue que la pteia ativa es idepediete de la freueia y pr tat puede hablarse de u valr máxim, tal m idia el euiad,(salv si se etiede que el máxim aprvehamiet de la pteia es uad su pteia reativa es ula que es uad el iruit está e resaia) e seueia el prblema pdría quedar redatad así: a) Calular el valr de la fm para que e el iruit la pteia reativa sea ula y ls valres de las freueias f y f para ls que e el iruit la pteia reativa sea la mitad de la pteia ativa. Hallar el iete etre fm y f = f -f De la euaió () se dedue que para que la pteia reativa sea ula se debe umplir que C fm L CL LC Est sigifia que el iruit se euetra e resaia ya que la parte mpleja de la admitaia es ula. Si la pteia reativa es la mitad de la pteia ativa se umple V V Cω Lω Cω Lω LCω eslvied la euaió de segud grad resulta ds sluies: L ω 0 ω L L 4 LC 4LC ω L L 4 LC 4LC y de aquí se dedue: Δf f f 4 C π 4 LC fm Δf π LC 4 C π 4 LC L 4 4 C C L Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

8 8 a) De la euaió () se dedue que al abrir el mutadr K s queda u iruit equivalete de valr Cω, uya freueia prpia de silaió es: Cω f π LC π * Hz La freueia de silaió del iruit L C es igual a L C y vale f π * Hz Pr tat, ls ds iruits L C y L C sila idepedietemete u del tr la freueia de 503 Hz. a) Pr el ramal AB pasa rriete ya que el put A y B está al mism pteial. b) La máxima rriete que pasa pr L se puede alular apliad el priipi de servaió de la eergía: ) * 40 LIm L0, CU Im 0,, A Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

9 9 3.- Ds prismas de águls A = 60º y A = 30º se pega juts tal m idia la figura iferir. El águl e C es de 90º. D A B A = 60º A = 30º 60º C Ls ídies de refraió está dads pr las siguietes expresies, ,3 a) Determiar la lgitud de da para la que ls rays de luz, atraviese la superfiie de separaió AC si refratarse b) Dibujar la trayetria de tres rays diferetes de lgitudes de da rj, y azul que tiee el mism águl de iideia ) b) Calular el águl de desviaió míima del prisma ttal ) Calular la lgitud de da de ua radiaió uys rays llega paralels a DC y abada el prisma mateiédse paralels a DC 4ª Olimpiada Iteraial de Físia. umaia a) Para que haya refraió tiee que urrir que ls ídies de refraió de ls ds medis separads pr la superfiie AC sea iguales: ,,3 500 m b) La lgitud de da del lr rj es mayr que 500 m y la del azul es mer. Para deidir uál es la trayetria de ls rays debems determiar ls ídies de refraió para ada lgitud de da. ) Para el ray rj tat m s mayres que la uidad, est es, ambs ídies supera el ídie de refraió del aire. Ahra mparams y para el ray rj rj , , () rj Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

10 0 Teied e ueta que la euaió aterir es igual a er si se sustituye la lgitud de da pr 500, al sustituir la lgitud de da pr la del rj que es mayr que 500 m el resultad es egativ y pr tat > E la figura se ha represetad, de frma ualitativa, la marha de u ray rj aire aire f g i d d e Fig. Al águl de iideia i le rrespde e el primer prisma u águl de refraió d, sied d<i, ya que se pasa del aire a u medi de ídie > aire =. Al águl de iideia d le rrespde u refratad mer e ya que >. Al águl de iideia f le rrespde u refratad mayr g, pues se pasa de u ídie > aire = ) Para el lr azul, al ser azul mer que, la euaió () s idia que >. La figura idia tambié de frma ualitativa la marha de u ray azul. aire aire i r r s t v Fig. Al iidete i le rrespde u refratad r sied i>r, ya que se pasa de mer a mayr ídie de refraió. Al iidete r le rrespde u refratad s sied s>r, ya que al ser > se pasa de mayr a mer ídie de refraió y fialmete al iidete t le rrespde u refratad v, sied v>t. Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

11 d) La agrupaió de ls ds prismas es semejate a u sl prisma de águl 30º, sied para la lgitud de da, su ídie igual a: 5 0,,5 500 E la figura 3 se ha represetad ls ds prismas (e líea tiua) y el prisma equivalete añadied l que falta e líea distiua. 30º ray iidete D ray emergete Fig. 3 El águl de desviaió D es el águl que frma la direió del ray iidete la direió del ray emergete. El valr de D es míim uad el águl iidete y el águl emergete s iguales. E ua primera aprximaió se puede alular el águl de desviaió míima mediate la expresió D míim *Águl del prisma 0,5*30 5º De maera rigursa se euetra la siguiete relaió e la que A es el águl del prisma: Dmíim A se A se Dmíim 30º se,5 se5º D míim 5,69º Si se utiliza ua hja de álul puede bteerse la urva del águl de desviaió frete a águl iidete mediate el siguiete álul (e la figura 4 está represetads ls distits águls) *se i,5 se d d A d d d,5 se d D i e A *se e e Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

12 Águl de desviaió, D/º A i D d d e Fig. 4 La gráfia resultate es la siguiete: 6,6 6,5 6,4 6,3 6, 6, 6 5,9 5,8 5,7 5, Águl de iideia, i/º d) E la figura 5 se idia la marha de ls rays a través del prisma uad el águl de iideia es paralel a DC A B 30 º 60 º d d 30 º D 60 º 60 º Fig. 5 C El águl de iideia es 30º, pr tat: se 30º = se d Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

13 3 El águl del prisma de ídie de refraió, es 60º, lueg 60 = d +d El águl que frma el ray que iide sbre AC es d y el refratad vale 30º se d = se 30 Si se mbia estas euaies resulta: se(60 d) se30 se60*s d s 60*sed se30 se sustituye el valr de d Elevad al uadrad se60* se 30 s 60* se30 se30 se 30 se 60 s se 30 60* Sustituyed ls ses y ses pr sus valres se llega a: se30 se 30 *s 60* * se ,,3,3 Si B, resulta la siguiete euaió B, B, uya sluió psitiva es 5, y de aquí =, m Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

14 4 4.- U ftó de lgitud de da lisia u eletró que se mueve libremete. Cm seueia del hque el eletró queda e reps y el ftó se mueve e ua direió 60º respet de la iiial que teía y ua lgitud de da. Este ftó ha tr eletró que está e reps y m resultad el ftó pasa a teer ua lgitud de da =, m y su direió es tambié de 60º respet a la iiial. Calular la lgitud de da del primer eletró de auerd el priipi de De Brglie. Dats: h = 6, J.s masa del eletró = 9, kg, =, m/s 4ª Olimpiada Iteraial de Físia. umaia Ates del primer hque: eergía del ftó = h atidad de mvimiet del ftó = hν p E eergía iétia del eletró, p atidad de mvimiet Después del primer hque: eergía del ftó = h atidad de mvimiet del ftó hν = p Eergía del eletró =0, atidad de mvimiet =0 Y h h p 60º X Cservaió de la eergía : h = h +E () Cservaió de la atidad de mvimiet sbre el eje X : Cservaió de la atidad de mvimiet sbre el eje Y : hν hν s60 psφ hν se60 pseφ E las ds últimas euaies elevams al uadrad y las sumams, el fi de elimiar el águl p hν hν h ν ν s60 La eergía ttal del eletró: E 4 m m p. Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

15 5 Elevad al uadrad resulta : E Em p. E esta euaió se sustituye el valr de p de la euaió () y de la eergía iétia de la () h ν ν hν ν m hν hν h ν ν s60 h s60 (3) ν ν m Ates del segud hque: eergía del ftó = h atidad de mvimiet del ftó hν = p eergía iétia del eletró = 0, atidad de mvimiet = 0 Después del segud hque: eergía del ftó = h atidad de mvimiet del hν ftó = p Eergía del eletró = E, atidad de mvimiet = p Cservaió de la eergía : h = h +E Cservaió de la atidad de mvimiet sbre el eje X : Cservaió de la atidad de mvimiet sbre el eje Y : hν hν s60 psβ hν se60 p se Si se pera de maera aálga a m se hiz e el primer hque se llega al siguiete resultad: ν h s60 (4) ν m Al mparar las euaies (3) y (4) resulta: ν ν ν ν ν ν Si se sustituye ls valres uméris e la euaió (4): h m 34 6, ,09.0 *, s60,50.0 s60 8, m Haied l mism e la euaió () resulta: Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008

16 6 p hν hν h ν ν s60 p 6,66.0, ,66.0, p 5,33.0 kg m s 34 6,66.0 0,50.0 *, s 60 De auerd el priipi de De Brglie e h p 6,66.0 5, ,4.0 0 m Jsé Luis Herádez Pérez, Agustí Lza Pradill, Madrid 008