mecánica cuántica y su aplicación a los láseres

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1 temas a abordar Itroduió a los Láseres II meáia uátia y su apliaió a los láseres Itroduió a la meáia uátia... Ideas geerales... Eergía.... Ivariate de fuioes ortogoales..... uatizaió... modos de ua avidad.... demostraió... 4 distribuió de Maxwell - Boltzma ampo eletromagétio y osiladores radiaió de uerpo egro Distribuió de Rayleigh Jeas La propuesta de Plak oeptos atómios meáia uátia uatizaió de eergía y mometum oda de De Broglie euaió de Shrödiger valores de expetaió... 9 u esbozo de teoría semilásia absorió y emisió... odas e iertidumbre.... odas.... Trasformada de Fourier.... Priipio de iertidumbre... iterpretaió.... alguos ometarios.... experimetos..... el priipio de orrespodeia..... priipio de iertidumbre..... Meáia uátia vs. lásia Meáia odulatoria y relatividad esparimieto de la fuió de oda...4 esahamieto alguas defiiioes...4. Loretziaa esahamieto ihomogéeo o efeto doppler...5 seleió de freueia y sitoía...6. modos trasversales...6. modos logitudiales Elemetos itraavidad...7 Autor: mfg - -

2 temas a abordar Ideas geerales. de lo pequeño, lo grade y la ohereia. motivaió y aimieto. disretizaió de la eergía 4. primera y seguda uatizaió 5. eergía míima del paquete: el fotó 6. dualidad partíula - oda 7. desripió matemátia 8. iterpretaió Eergía La eergía de ua partíula es la suma de su eergía iétia y poteial. E el aso de u osilador armóio, (la fuerza es lieal e la posiió f = kxeˆx y el poteial es f = V V = f dr. La itegral es etoes V = k x dx= kx. E = mv + kx dode m es la masa, v la veloidad de la partíula, k la ostate de aoplamieto y x la posiió o respeto al equilibrio. Cosidere ua represetaió de amplitud A (ostate) y fase ϕ = ωt, dode ω es la freueia agular (ostate) y t represeta el tiempo. Sea la posiió x = Aosωt, la veloidad es etoes v= x = Aω siωt y la eergía es k si os si os E = m Aω ωt + k A ωt = ma ω ωt+ ω t m k Si embargo, para satisfaer la euaió difereial del osilador armóio x+ x =, es m k eesario que ω =, de maera que m E = ma ω. Estos oeptos proviee de la meáia lásia. Ivariate de fuioes ortogoales Existe ua atidad ivariate para distitas freueias ω que esta dado por W = A ω Ua maera de obteerlo es utilizado la represetaió ompleja de amplitud y fase derivada de esta fuió es A x i x A ϕ = + y la seguda derivada x = i Ae ϕ ; La Autor: mfg - -

3 disretizaió de eergía d A A d A A A x = + i ϕ x + + i ϕx = + i ϕ x + + i ϕ + i x dt A A dt A ϕ A A d A A A = + ϕ x + i ϕ+ ϕ x dt A A A Isertado esta soluió e la euaió del osilador armóio obteemos d A A ϕ x i ϕ ϕ A x + k x =. dt A A A m Resolviedo para la parte imagiaria d A ϕ+ ϕaa = ( A ϕ) = dt de maera que W = A ϕ = A ω que es el ivariate que deseábamos obteer. Este desarrollo proviee del estudio de euaioes difereiales... uatizaió La itesidad se defie omo el uadrado de la amplitud I = A. Si la itesidad se redue existe ua itesidad míima A mi ; ua itesidad arbitraria A es u múltiplo de este valor A = qa mi ; se defie ua ostate = ma ω de maera que la eergía esta dada por mi E = q ω Se iterpreta q omo el úmero de fotoes. Nótese que el ivariate de fuioes ortogoales obedee ua relaió similar, es deir, el úmero de fotoes por ua ostate por la freueia W = qa ω. mi Si existe u átomo o ivel o eergía E y u segudo ivel o eergía E, la difereia de eergía es E = E E = ω ω = ω dode hemos supuesto que la trasiió atómia emite u solo fotó q =. Este postulado proviee de la eletrodiámia uátia. {Esta euaió orrespode a la (..) del Svelto, πν = ω, = h / π } modos de ua avidad El úmero de modos por uidad de volume y uidad de itervalo de freueia. De maera equivalete, el úmero de osiladores para u itervalo de freueias etre ν y ν + δν. dn 8π ν V dν = (.). demostraió Los modos e ua avidad e térmios de la logitud de oda está dados por Autor: mfg - -

4 modos de ua avidad λ = L (.) m puesto que el vetor de oda es π k = (.) λ e térmios del vetor de oda los modos so mπ k = (.4) L Si se osidera las tres direioes ortogoales π π π kx = mx, ky = my, kz = m z, (.5) L L L El úmero de modos e ua ásara ésta dada por (difereiales físios) L dn = dmxdmydmz = dk xdkydkz π (.6) La magitud del vetor de oda es k = k k = k + k + k (.7) x y z Para ua magitud ostate ésta euaió represeta ua esfera e el espaio del vetor de oda. El elemeto de volume es kdkdω 4πkdk (.8) (reordemos que el volúme de ua esfera es Vk = 4/π k y su superfiie Sk = 4π k ). De ese elemeto sólo debemos osiderar u otate puesto que so odas estaioarias. Etoes el úmero de modos es L 4 dn = dmxdmydmz = π k dk (.9) 8π ω πν La freueia esta defiida omo k =, ω = πν k =. El úmero de modos omo L π dn dmxdmydmz 4 d fuió de la freueia es etoes = = π ν ν. Si se osidera las 8π dos polarizaioes ortogoales dn = dn + dn = dn. El úmero de modos es etoes V = = 8π ν ν. dn dmxdmydmz d 4 distribuió de Maxwell - Boltzma El úmero de partíulas o ua eergía determiada. (demostraió partiular) Cosidere ua oluma de gas a temperatura ostate sujeta a la fuerza gravitatoria. Sea la presió p para ua altura h y ua desidad de partíulas. La aeleraió gravitatoria de u volume dh es dh mg y debe ser igual al iremeto de presió dp. dh mg + dp = (4.) Autor: mfg - 4 -

5 distribuió de Boltzma La presió es igual a p = m v (4.) (o ofudir v de veloidad o ν de freueia) Reuerde que la euaió de gas ideal es PV = NRT La expresió aterior se puede obteer del álulo del úmero de olisioes e ua pared. La eergía ietia promedio mv es ostate puesto que la temperatura se ha osiderado ostate. Etoes dp = m v d y la euaió (4.) es etoes que se puede reesribir omo dh mg m v d = (4.) d mg = dh (4.4) m v e itegrarse l mg = h (4.5) m v Reordado que la eergía iétia promedio y la temperatura está relaioadas por la ostate de Boltzma mv κt = Si multiplio y divido por el úmero total de partíulas N l mg = h (4.6) κt Se toma la expoeial de ésta expresió para obteer exp mg = h κt (4.7) E el aso más geeral, mgh es la eergía, de maera que exp E = κt (4.8) 5 ampo eletromagétio y osiladores De las euaioes de Maxwell e el vaío se obtiee la euaió de oda (ampo elétrio o magétio). E E = (5.) t Si se propoe soluioes de la forma E = A exp k r ω t ; E t = A exp ω t (5.) m m m m m m m k m el vetor de oda y m dode A m es la amplitud, ω es la freueia. El vetor de oda se osidera ostate (espaio homogéeo trasformada de Fourier). Se obedee etoes euaióes difereiales de la forma (evetualmete se puede esribir la soluió geeral omo la superposiió lieal de soluioes partiulares E = E ) a m m Autor: mfg - 5 -

6 radiaió de uerpo egro ωm E = E (5.) E ua dimesió, ésta expresió es Em ( t) + k E m m() t = (5.4) t El osilador armóio simple obedee la euaió x + Ω x = (5.5) t dode x represeta el desplazamieto Es deir, el ampo o vetor de oda ostate obedee la misma euaió difereial que el osilador armóio. E el primer aso la variable es ua fuerza raioalizada por la arga y e el segudo la oordeada espaial. 6 radiaió de uerpo egro 6. Distribuió de Rayleigh Jeas El úmero de modos por uidad de volume y uidad de itervalo de freueia está dado por dn 8π ν V dν = (6.) La eergía promedio de u sistema (o uatizado) es el úmero de osiladores (partíulas ó amplitud del modo) por la eergía de diho grupo de partíulas. Si se ormaliza esa atidad se obtiee Em E mexp de m T exp d exp[ ] E κ η η η η + η m = = κt = κt = κt (6.) Em exp de exp( η) dη exp( η ) m κt Este es u aso que ejemplifia el teorema de equipartiió de la eergía. La distribuió de eergía es etoes el úmero de modos por la eergía promedio de ada modo La eergía omo fuió de la freueia es etoes: dn 8π U( ν ) = E = νκt (6.) V dν Ésta es la distribuió de Rayleigh Jeas. 6. La propuesta de Plak La eergía está uatizada y dada por El úmero de osiladores o eergía La probabilidad ormalizada es Em hν m ωm E es m = = (6.4) exp P E κt (6.5) Autor: mfg - 6 -

7 distribuió de Plak exp T h h P( κ ν ν ) = = exp exp hν κt κt exp = κt (6.6) dode hemos utilizado la sumatoria x = = x x = x (6.7) La eergía promedio es la eergía e ada modo modo. Etoes E = exp hν exp κt = κt La sumatoria se evalúa utilizado la derivada α d α e = e dα pero de (6.7) = e α = e α, etoes E = = por el úmero de estados (u osiladores) e ese = EP (6.8) = = (6.9) (6.) d e α = dα e e α α. La eergía promedio es etoes exp κt hν κt e E = exp hν h κt = ν (6.) κt exp e κt La distribuió de eergía es etoes el úmero de modos por la eergía promedio de ada modo dn 8π e U( ν) = E = ν hν V dν e La distribuió de la desidad de eergía es etoes κt 8π e U( ν) = hν e que se puede reesribir omo 8π hν U ( ν) = ν κt e El úmero de fotoes o eergía hν es etoes κt κt κt (6.) (6.) (6.4) Autor: mfg - 7 -

8 distribuió de Plak ( ν ) U 8π q = =. ν hν κt e (6.5) Límites ν dode ν 8π κt U( ν) hν e = ν f = exp. Distribuió de Wie T κt (6.6) hν 8π U h κt 8π ν = ν = ν κ T (6.7) hν κt reprodue distribuió de Rayeligh Jeas. La ostate h se elimia de la expresió. 7 oeptos atómios Los eletroes se mueve alrededor del úleo omo u pequeño sistema solar. Puede absorber o emitir eergía ambiado a ualquier otra órbita e otradiió o las líeas de emisió bie defiidas que se observa e u gas diluido. Más aú, la arga aelerada debería radiar y el eletró olapsarse haia el úleo. Bohr propoe tres postulados:. Sólo órbitas disretas o eergías E so posibles.. Dihas órbitas se determia por el mometo agular que debe estar uatizado l =. Los eletroes que se euetra e éstas órbitas o emite radiaió eletromagétia. La emisió suede de maera espotáea uado ambia de órbita E = hν. La fuerza de Coulomb que experimeta u eletró alrededor de u úleo o Z protoes es Ze F= ˆ 4 e r. (7.) πε r Para movimieto irular uiforme, la aeleraió es perpediular al movimieto. La fuerza etrífuga que peribe el sistema e movimieto irular es mv (7.) r De la igualdad etre las dos expresioes ateriores Ze mv = (7.) πε r r E fuió de la veloidad agular ω = v/ r, 4 Autor: mfg - 8 -

9 sistemas atómios Ze = mr ω (7.4) 4πε r El mometo agular es l= r p= rmv = mr ω (7.5) Diho mometum está uatizado l = rmv = mr ω = (7.6) Las órbitas está etoes ubiadas e 4πε r = Ze m (7.7) La eergía de ua órbita es la suma de la eergía iétia más la poteial. La eergía iétia o ayuda de (7.6) es Ei mv m mr mietras que la eergía poteial es Ze F = E = eˆ E = La eergía total es etoes = = (7.8) pot r pot r 4πε r 4πε r Ze e ˆ (7.9) Ze E = E ˆ i + Epot = m er mr 4πε r si se sustituye la variable radial de (7.7) obteemos 4 Zem E = πε Las prediioes de este modelo fuero impresioatemete exitosas para los átomos hidrogeoides. (7.) (7.) 8 meáia uátia 8. uatizaió de eergía y mometum La eergía está uatizada de auerdo a la propuesta de Plak [e. (.4) de radiaió de uerpo egro] E = ω. (8.) dode hemos osiderado =, es deir, la eergía de la partíula o el sistema elemetal. El mometo agular de auerdo o la propuesta de Bohr está uatizado. De las euaioes (.5) y (.6) de oeptos atómios l = r p = rp = p= (8.) r Para ua partíula, r está asoiada o la logitud de oda y por ede su iverso o el vetor de oda. De maera que el mometum lieal p está dado por Autor: mfg - 9 -

10 formalismo uátio p = k. (8.) 8.. oda de De Broglie De auerdo o De Broglie, se asoia o la partíula ua oda de la forma ikr ωt ψ = Ae (8.4) Puesto que p E m = (8.5) etoes k = ω (8.6) m 8. euaió de Shrödiger A partir de la oda de De Broglie, que de ahora e adelate llamaremos la fuió de oda, ésta expresió se satisfae si ψ i ψ ψ ψ (8.7) = i = m t m t E preseia de u poteial extero la eergía está dada por p E = + V ( r) (8.8) m El operador Hamiltoiao (operadores o gorrito) es aquel uyas eigefuioes so la eergía Hˆ = m + V r (8.9) y la euaió de Shrödiger idepediete del tiempo e preseia de u poteial es etoes H ˆ ψ = Eψ. (8.) La fuió de oda es ua variable oulta que os permite obteer ua desripió probabilísita. 8.. valores de expetaió La probabilidad de eotrar la partíula e u volúme dr es * P dr =ψψ dr De maera que ubiarla e u volume es PV * ψψ dr V (8.) = (8.) * si el volume es todo el espaio la probabilidad está ormalizada PV ψψ dr = =. El valor de expetaió de ua variable, por ejemplo el mometo dipolar µ = e r, está dado por P µ = ψµψ * dr = ψ µ ψ (8.) V bra ket Autor: mfg - -

11 teoría semilásia 9 u esbozo de teoría semilásia La materia se modela por ua teoría uátia (e. de Shrödiger) y el ampo eletromagétio por ua teoría lásia (e. de Maxwell). La eergía está uatizada de auerdo a la propuesta de Plak [e. (.4) de radiaió de uerpo egro] E = ω. (9.) De maera que el mometum lieal p está dado por p = k. (9.) De auerdo o De Broglie, se asoia o la partíula ua oda de la forma ikr ωt ψ = Ae (9.) Reordemos que el operador Hamiltoiao (operadores o gorrito) es aquel uyas eigefuioes so la eergía Hˆ = m + V r (9.4) y la euaió de Shrödiger idepediete del tiempo e preseia de u poteial es etoes ˆ ψ Hψ = i. (9.5) t La fuió de oda es ua variable oulta que os permite obteer ua desripió probabilísita. 9. absorió y emisió Cosideremos u eletró orbitado alrededor del úleo omo u dipolo elétrio o mometo dipolar µ = er. Supogamos que existe u ampo extero que represetamos omo ua oda plaa ikr ωt E = Ee (9.7) El hamiltoiao del sistema es la suma del hamiltoiao del átomo si ampo extero mas la eergía de su iteraió o el ampo Hˆ = Hˆ ˆ + H I (teoría de perturbaioes). El hamiltoiao de iteraió es Hˆ I = ee r (9.8) La depedeia espaial del ampo e la distaia atómia se osidera ostate, es deir i t E rt, E, t = Ee ω (9.9) La fuió de oda se osidera ompuesta por dos fuioes de oda orrespodietes a los iveles respetivos ψ = a( t) ψ+ a( t) ψ (9.) La probabilidad de trasiió del ivel y, es deir absorió (ó de emisió estimulada del al ) se puede etoes evaluar omo dode se ha heho la aproximaió W µ E δ ( ν ν (9.6) π = ) (9.) h Autor: mfg - -

12 teoría semilásia Para la distribuió de eergía ω ω si t πt δ ( ω ω ). ω ω U ν, se obtiee W ε h (9.) π = µ U ν (9.) de maera que el oefiiete B de abosrió o emisió estimulada es W B = π µ U ν = ε h (9.4) Si reordamos que los oefiietes de emisió espotáea y estimulada está relaioados por, A 8 π = h ν., el oefiiete de emisió espotáea etoes está dado por B 6π ν µ ε h A =. (9.5) odas e iertidumbre. odas Ua oda e otaió ompleja de amplitud y fase se represeta por ikr ( ωt) ψ ( rt, ) = Art (, ) e (.) Cosideremos ua dimesió espaial ikz ( ωt) ψ ( zt, ) = A( zt, ) e (.) Limitémoos por el mometo a la variable espaial ψ ( z) = A( z) e ikz (.) La trasformada de Fourier os permite obteer la depedeia e la variable omplemetaria, es deir, e el aso aterior eotrar φ ( k ).. Trasformada de Fourier trasformada iversa Si la oda tiee u aho espaial φ ikz = π e dz (.4) ( k) ψ ( z) ikz ψ ( z) = φ ( k) e dz π (.5) x etoes su rago de vetor de oda es k puesto que x ikz ikz φ ( k) = e e x π dz (.6) Autor: mfg - -

13 iertidumbre Si grafiamos esta itegral podemos observar que geera ua dispersió e vetores de oda k. El produto de la logitud espaial del pulso x por el aho e el espaio del vetor de oda se puede mostrar que es x k =. Puede ser que el pulso o esté limitado e Fourier, etoes x k >. Priipio de iertidumbre Si reordamos que p = k, etoes x p (.7) Esta desigualdad establee el priipio de iertidumbre. De maera aáloga e el espaio de tiempo y freueia ω t =. Por ejemplo, u láser pulsado uya duraió es de s, tiee u aho de bada míimo de 9 ν = = Hz 9 t s Si embargo para ua fuió de oda de ua partíula ω = E, de maera que (.8) E t (.9) iterpretaió. alguos ometarios La euaió de Shrödiger idepediete del tiempo predie que el estado es estaioario auque sea u estado exitado, es deir, o hay deaimieto. Diho deaimieto se puede iluir feomeológiamete o a través de las flutuaioes de vaío. Las flutuaioes de vaío so resultado de la seguda uatizaió o uatizaió del ampo. equivaleia de osiladores de radiaió y materiales. experimetos radiaió de uerpo egro espetrosopía atómia efeto fotoelétrio mv = hν W efeto ompto la dispersió de radiaió por eletroes.. el priipio de orrespodeia La desripió uátia debe reproduir el resultado lásio uado el úmero de fotoes es grade... priipio de iertidumbre Las variables omplemetarias sólo puede ser medidas o ua preisió fiita que depede itríseamete de la matera Autor: mfg - -

14 iterpretaió.. Meáia uátia vs. lásia proesos otiuos lásios vs. proesos disotiuos idivisibles probabilidad y el determiismo iompleto de la desripió uátia olapso de la fuió de oda..4 Meáia odulatoria y relatividad E La geeralizaió del mometum e el esquema de De Broglie, para u fotó p =, para u p eletró E =, la relaió geeral se propoe omo m E m p = + (.) si el mometum es ero E = m, equivaleia eergétia (e radiaió) de la materia. si la masa e reposo de la partíula es ero E = p si el mometum de la partíula es pequeña: p p p E = m + m + m = + m m m..5 esparimieto de la fuió de oda hk p Ua oda material osila o freueia agular ω = de E = y las odiioes de m m uatizaió. De aquí se puede obteer el esahamieto de la fuió de oda ht ht x= x + x = m x 4 m ( x ) limt esahamieto.. alguas defiiioes La itesidad del ampo E puede expresarse e térmios de la desidad de eergía de ε E ρ =. (.) e ésta expresió es el ídie de refraió y ε la permitividad e el vaío. La itesidad e térmios de la desidad de eergía es ρ I =. (.) El flujo de fotoes se defie omo I F =. (.) hν Autor: mfg - 4 -

15 esahamieto de líeas espetrales. Loretziaa La probabilidad de trasiió del ivel y es B = B. La probabilidad de absorió W = B U ν (ó de emisió estimulada del al ) de ua oda eletromagétia o freueia ν es π W = µ Eδ ( ν ν ) (.4) h La delta de Dira proviee de que el ampo o es perturbada por emisió espotáea, olisioes o veloidad del átomo. U álulo más riguroso que iluya esahamieto homogéeo preseta ua distribuió Loretziaa ν g ( ν ν ) =. (.5) π [ ν] + ( ν ν) Ésta urva tiee u aho total a media altura (FWHM) ν y el área bajo la urva está ormalizada g( ν ν ) d ν =. La probabilidad de absorió e el aso homogéeo es etoes W π = µ ρg ν ν (.6) εh El esahamieto homogéeo ivolura a todos los átomos del esemble de maera idistita. La seió trasversal de absorió (e el aso homogéeo) Wh π σ h = = µ νg ( ν ν ) (.7) F ε h El valor de ν puede proveir del aho de bada atural, e uyo aso se puede evaluar del deaimieto espotáeo A ν = π = πτ (.8) sp o del efeto de olisioes ν =. (.9) πτ ol.. esahamieto ihomogéeo o efeto doppler Ua freueia sufre u orrimieto debido a la veloidad (logitudial) dado por ν ν = vz La forma de la líea se puede alular omo M M ( ν ν) g ( ν ν) = exp ν πκt πκt ν que represeta ua Gaussiaa o aho (FWHM) ( ) (.) (.) ih κt l ν ν = (.) M Autor: mfg - 5 -

16 esahamieto de líeas espetrales M represeta la masa del átomo. E el esahamieto ihomogéeo el ampo sólo iteraioa o u ojuto de átomos y o o la totalidad del esemble. Ua ombiaió de perfiles se ooe omo perfiles de Voigt. ejemplo: Para u láser de HeNe, el esahamieto homogéeo es de ν =.64 MHz mietras i que el esahamieto ihomogéeo es ν =.7 Ghz. seleió de freueia y sitoía elemeto itraavidad: prisma rejilla de difraió plaa birrefrigete presurizaió. modos trasversales Los modos de ua avidad está dados por k = k k = k + k + k x y z Si la avidad es muy grade e ua direió, sea ésta z y pequeña e las direioes perpediulares, etoes se puede expadir la raíz omo kx + k y k x + k y kx + k y k = kz + k z + = k z + k z k z k z modos logitudiales modos trasversales (.) (.) Los modos trasversales se puede aotar por medio de filtros o patallas itraavidad. Los valores disretos que adquiere los ompoetes del vetor de oda so π π π kx = mx, ky = my, kz = m z. Lx Ly L z (.) Freuetemete se trata de lograr u modo trasversal gaussiao, que sigifia m =, m =. x y Autor: mfg - 6 -

17 seleió de freueia y sitoía. modos logitudiales πν Reordemos que el vetor de oda y la freueia está relaioados por k =, de maera que dos modos logitudiales adyaetes tiee freueias ν m = m, z z ν mz + = mz +, (.4) Lz Lz de maera que la difereia de freueia etre modos es ν z =. (.5) Lz Si la avidad es sufiietemete pequeña, se puede separar los modos de maera que sólo uo de ellos subsista detro de la urva de gaaia. Por ejemplo e u HeNe uyo aho de bada de trasiió es de. 7 GHz, para logitudes meores a 8 Lz = = =.56 m. (.6) 9 ν g.7.. Elemetos itraavidad Cavidad de Fabry Perot E ua avidad de Fabry Perot, dos máximos oseutivos está dados por la expresió (.5), esta atidad se ooe omo el rago espetral libre (free spetral rage) ν rel ( fsr ) = (.7) L Si la avidad está iliada y el medio etre los espejos tiee u ídie de refraió r, el amio óptio es etoes Le rlosθ (.8) El aho de la freueia trasmitida es RR ν = (.9) L π 4 R R e La fiesa del istrumeto está dada por ν F ν La resoluió del istrumeto es ν F Sólo se obtiee u máximo detro de la urva de gaaia si ν g ν rel (.) E ua avidad de logitud L z, sólo se obtiee u modo si L rel = (.) rel ν = (.) z F (.) ν z Autor: mfg - 7 -