GUÍA Nº 3 Probabilidades y Estadística Teoría de las Probabilidades

Transcripción

1 U.T.F.S.M. Departameto de Matemátia GUÍA Nº robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades rofesor oordiador : Sr. Hétor Allede O. Ayudate oordiador : Rubé arra V. EJERIIO Nº. Ua aja otiee bolitas, de las uales hay 5 blaas y 7 egras. Se saa bolitas y se vuelve a la aja. Se saa otra vez bolitas y se vuelve a la aja, y así se otiúa hasta efetuar 5 extraioes. alule : a) uál es la posibilidad de saar bolitas egras e ada uo de los primeros lazamietos?. b) uál es la posibilidad de saar ua pareja de ua blaa y ua egra e ada ua de las otras dos extraioes?. ) Y uál es la posibilidad de saar dos bolitas del mismo olor e ada ua de las 5 extraioes?. a) N bolitas A bolitas egras B bolitas blaas 7 (A) 0, 0 b) robabilidad de saar ua pareja blaa y egra e ada ua de las extraioes: 7 5 0, 08

2 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades ) E : ª extraió dos egras. E : ª extraió dos blaas. [( E ) U( E E )] E I I ( ) E *( ) E + ( ) E *( ) 0.8* * *068*05*085 0,9 [ bolitas del mismo olor ] (0.9) 5 [ /u de las 5 extraioes ] 0,0 E - ( ) E *( ) E * ( ) E *( ) E EJERIIO Nº. a) Ua lotería tiee N úmeros y u solo premio. U jugador ompra billetes de u solo sorteo y otro jugador ompra u solo billete durate sorteos oseutivos, de maera que los dos jugadores apuesta la misma atidad. uál de los dos jugadores tiee mayor posibilidad de gaar el premio?. / Idiaió : Aalie varias alterativas. b) o qué juego se tiee más probabilidades de gaar : Loto, Kio o Tiazoo? a) Na : billetes e sorteo Nb : billete e sorteos N : úmeros premio Jugador A: a (gae) [favorables/totales] N Jugador B: [gae e sorteo] N [o gae e sorteo] - N N [o gae e los sorteos] N

3 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades b [gae al meos e sorteo] N ( N ) N N 6 N 000 N 0000 a 0.00 a b b a > b b) Loto 6 billetes 6 úmeros Tiazoo billetes 5 úmeros Kio 5 billetes 5 úmeros Loto Kio Tiazoo a b EJERIIO Nº. Hugo, ao y Luis omparte u solo teléfoo. Hugo y Luis reibe el mismo úmero de llamadas, y ao reibe la mitad de las llamadas de Hugo. or motivos de trabajo ellos sale o la siguiete freueia : Hugo está afuera el 50% del tiempo, e ambio ao y Luis el 5% ada uo. alular la probabilidad de que : a) No esté iguo para respoder el teléfoo. b) Esté la persoa a la que se llama. ) Haya tres llamadas seguidas para ua persoa. d) Haya tres llamadas seguidas para tres persoas distitas. a) Defiiedo los siguetes evetos ; E : ao o esté e asa (E ) 0.5 E : Luis o esté e asa (E ) 0.5 E : Hugo o esté e asa (E ) 0.5 E : Llame a ao (E ) 0. E : Llame a Luis (E ) 0.4 E : Llame a Hugo (E ) 0.4

4 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 4 [o hay adie] ( E E I ) I (A )*(A )*(A ) 0.5*0.5*0.5 E 0,5 0,5 0,5 0,05 a) ( E E ) I U ( E I E' ) U ( E I E ) ' ' Utilizado propiedades, se tiee : (E )*(E ) + (E )*(E ) + (E )*(E ) 0.75* * *0.4 0,65 b) ((B )) ((B )) ((B )) EJERIIO Nº4. Se laza tres dados de 6 aras. Sea los suesos : A : or lo meos sale u as. B : or lo meos hay resultados iguales. : La suma de los resultados es par. a) Qué sigifia A B?. alule (A B ). b) Qué sigifia A?. alule (A ). ) Si la suma de los resultados es par, uál es la probabilidad de que por lo meos salga u as? ) a) b) [ A ] B 60 6 [ A ]

5 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 5 p ' / 6 EJERIIO Nº5. osidere el siguiete juego : Se laza u dado. Si el úmero es 5 ó 6 el jugador gaa imediatamete, si el úmero es el jugador pierde imediatamete. Si el úmero es ó ó 4 el jugador sigue lazado hasta que apareza el mismo úmero ( origial ) ates que el úmero 6 e uyo aso gaa, o si el úmero 6 sale ates que el úmero origial, pierde. Se supoe que el juego termia ua vez que el jugador gaa o pierde. / uál es la probabilidad de gaar? ( ) gaar i i i 6 7 / i EJERIIO Nº6. U aal de omuiaió trasfiere datos biarios. Debido a u ruido e la trasmisió alguas vees al trasmitir u 0 es reibido omo y vieversa. La probabilidad de que u 0 trasmitido sea reibido omo u 0 es del 94%. La probabilidad de reibir u dado que se evió u es del 9%. La probabilidad de eviar u 0 es del 45%. alular la probabilidad de : a) Reibir u. b) De que se haya trasmitido u, dado que se reibió u. ) De errar e la trasmisió. a) Evetos: Tx 0 : trasmitir u 0 Tx : trasmitir u Rx 0 : reibir u 0

6 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 6 Rx : reibir u R T 0 0 Rx Tx ( ) 45 Tx 0 0. ( Rx ) Rx ( Tx) Tx Tx Rx ( Rx) R R * *0.55 T0 T EJERIIO Nº7. Se die que las persoas tiee suerte el 40% de las vees. Y que o so afortuados el 55% de las oportuidades. Tambié se ometa que las persoas que o tiee suerte, el 60% de las vees o so afortuadas. alule la probabilidad de que : a) Las persoas tega suerte y sea afortuadas. b) Tega suerte, si se sabe que so afortuados. ) No sea afortuados si se sabe que o tiee suerte. d) Los suesos teer suerte y ser afortuado so idepedietes?. S : las persoas tiee suerte S : las persoas o tiee suerte (S ) 0.4 (S ) 0.6

7 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 7 A A : las persoas so afortuadas : las persoas o so afortuadas (A ) 0.45 (A ) 0.55 A 0.6 S A ( A I S ) S ( S ) 0.6 ( A I S ) ( A U S ) 0. ( A ) + ( S ) ( A I S ) ( A I S ) 0. 6 A A ( A I A) ( A ) EJERIIO Nº8. El señor X llega todas las semaas ua ohe tarde a su asa etre las :00 M y las :00 AM ya sea sobrio, algo bebido o ebrio. Su tiempo de llegada depede e forma probabilístia de la odiió e que viee y éstas so : Tiempo de llegada odiió : 00 - : 00 :00 - : 00 :00 - : 00 Sobrio 0,80 0,0 0,00 Algo bebido 0,5 0,50 0,5 Ebrio 0,05 0,0 0,65 La señora X ha observado que su esposo llega sobrio tatas vees omo llega ebrio, y que llega algo bebido aproximadamete el doble de las vees que lo hae sobrio.

8 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 8 a) Ua ohe la señora X oye abrirse la puerta a las : 4 AM. Euetre la probabilidad que e esa ohe el señor X vega ebrio. b) Euetre la probabilidad de que u día e que llega tarde lo haga etre las : 00 AM y las : 00 AM. ) Euetre la probabilidad que e el mes el señor X haya llegado vees sobrio. A) SEAN LOS EVENTOS: S : SOBRIO. AB : ALGO BEBIDO. E : EBRIO. T : LEGA - T : LLEGA - T : LLEGA - [ E / T ] [ / E] [ E] [ T ] T [ E] [ ] 0, T ON: B) [ ] [ T / E] [ E] + [ T / AB] [ AB] + [ T / S] [ S] T 0, 0,5+ 0,5 0,5+ 0, 0,5 0,75 [ E / T ] 0, [ ] [ T/ E] [ E] + [ T/ Ab] [ AB] + [ T/ S] [ S] T 0,65 0,5+ 0,5 0,5+ 0 0,5 0,75 ) t 4 (0,5) 0,5+ 4 (0,5) 4 0,0469

9 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 9 EJERIIO Nº9. U sistema de alarma omputarizado para platas idustriales está diseñado de maera que avise la preseia de problemas de alto riesgo uado al meos de ompoetes se ativa (,, ). La probabilidad de ativaió es del 70, 85 y 90% respetivamete. Se sabe que la ativaió de es idepediete de las otras dos, mietras que la probabilidad de que se ative dado que se ha ativado es del 95%. uál es la probabilidad de que el sistema avise uado haya problemas de alto riesgo?. alulado se tiee los siguetes datos : [ ] 70 [ ] 5 [ ] 90 [ ] [ ] + [ ] + [ ] + [ ] avise o :

10 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades 0 [ ] [ ] [ ] [ ] 0,665 0, 0,0665 (0,7 0,665) 0,9 0,05 (0,85 0,665) 0,9 0,665 0,7 0,95 0,9 0,5985 La probabilidad de que el sistema avise uado haya problemas de alto riesgo 0, 86 EJERIIO Nº0. edro quiere eviar ua arta a María. La probabilidad de que edro esriba la arta es 0,8 ; la probabilidad de que el orreo o la pierda es 0,9 y la probabilidad de que el artero la etregue es 0,9. Si María o reibió la arta, uál es la probabilidad odiioal de que edro o la haya esrito?. Sea los siguetes evetos : E : edro esribe la arta. E : El orreo pierde la arta. E : El orreo etrega la arta. E : Mario o reibe la arta. [ ] [ E E] / E E o: [ E]

11 Guía º robabilidades y Estadístia Teoría de las robabilidades [ E ] 0,+ 0,8 0,+ 0,8 0,9 0, 0, 5 [ E] 0, E [ E / E] 0, 568