ORIGINAL AMPLIADA REDUCIDA. Fíjate como se calcula la escala de ampliación o de reducción de estos dibujos:

Transcripción

1 1 TÉCNICAS BÁSICAS SEMEJANZA Las fotocopiadoras y determinados programas informáticos de diseños, nos permiten ampliar o reducir un dibujo conservando la forma del mismo, pero variando las dimensiones. La ampliación y reducción se dan, generalmente, en tanto por ciento. Si el tanto por ciento es mayor que 100, se amplía. Si el tanto por ciento es menor que 100, se reduce. Las figuras ampliadas y reducidas son semejantes a la original. ORIGINAL AMPLIADA REDUCIDA Fíjate como se calcula la escala de ampliación o de reducción de estos dibujos: Se elige dos puntos A y B del original y sus correspondientes A' y B' en la copia ampliada o la copia reducida. Se mide las distancias y se calcula el cociente entre A'B': AB Si repites este proceso para dos puntos cualquiera comprobarás que el cociente es siempre el mismo. Esta propiedad es la que caracteriza a las figuras semejantes. El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza o escala Dos figuras son semejantes cuando son iguales o solo difieren en su tamaño. En tal caso, los segmentos correspondientes son proporcionales, es decir, cada longitud en una de ella se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la otra por un número fijo, llamado razón de semejanza. A.1. Mide el largo y el ancho de los marcos de la figura del jugador de fútbol de esta pagina. Calcula la razón de semejanza entre las dimensiones del largo de la ampliación y el largo del original. Calcula de igual forma la razón de semejanza entre el ancho de la ampliación y el ancho del original. Finalmente repite el proceso con el largo y el ancho del marco de la figura reducida y el original. Una vez obtenida las razones de semejanza, intenta exprésala en forma de tanto por ciento.

2 2 TÉCNICAS BÁSICAS TRIÁNGULOS SEMEJANTES E.1. Dibuja un triángulo de lados c= 3 cm, b= 4 cm y a =5 cm y Construye otro triángulo cuyos lados sean el doble de largos (a' = 2a, b' = 2b y c' = 2c). Calcula los cocientes a : a, b': b y c': c Verás que los cocientes son iguales. Designa a los vértices del primer triángulo con las letras A, B y C y del segundo triángulo con las letras A', B' y C'. Comprueba con el transportador que los ángulos A= A', B= B' y C = C'. Los resultados obtenidos en la experiencia anterior son válidos para cualquier par de triángulos semejantes y permite dar una definición particular de semejanza para los triángulos. Dos triángulos son semejantes sin tienen: los lados correspondientes proporcionales, y los ángulos correspondientes iguales A.1. Las dimensiones de un triángulo son de 3 cm, 4cm y 5 cm. Calcula las dimensiones de otro semejante a él, construido a escala 200 % A.2. Las dimensiones de una fotografía son de 10 cm de largo y de 8 cm de ancha, si hacemos la reducimos un 25 %, cuáles serán sus nuevas dimensiones? A.3. Calcula los lados de los siguientes triángulos cuando se utiliza la fotocopiadora a escala 300 %: a) 5 cm, 7 cm y 10 cm b) 6 cm, 8 cm y 12 cm

3 3 INVESTIGANDO CÓMO COMPROBAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES No es necesario comprobar la dos condiciones de la definición de semejanza de triángulos para decidir si son semejantes o no. Para saber si dos triángulos son semejantes basta con comprobar que se cumple una de estas condiciones o criterios: 1. Tienen los tres ángulos iguales. 2. Tienen los tres lados proporcionales. 3. Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual Las siguientes actividades prueban experimentalmente estos criterios. Los resultados obtenidos siguen siendo válidos para cualquier par de triángulos. Criterio 1 Criterio 2 Criterio 3 Construye dos triángulos que tengan lados proporcionales a 3, 4 y 5 cm. Construye dos triángulos que tengan por ángulos 30º, 60º y 90 º Construye dos triángulos que tengan dos lados proporcionales a 3 y 4 cm y el ángulo que forman de 60ª. Con una regla milimetrada, mide los lados. Con un transportados mide los ángulos. Con un transportador mide los ángulos restante y con la regla el tercer lado. Comprueba que los lados correspondientes son proporcionales. Dos triángulos que tienen los tres ángulos iguales son semejantes. Comprueba que los ángulos correspondientes son iguales. Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes. A.1. Dos triángulo rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 40º. Son semejantes? Comprueba que los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes proporcionales. Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual son semejantes. A.2. Una figura tiene forma triangular y sus lados miden 3 cm, 4cm y 5cm. Un alumno dibuja esa figura a escala 1: 100 y otro a escala 1: 500. Se puede afirmar que los triángulos así obtenidos son semejantes?

4 4 TECNICAS BÁSICAS PLANOS, MAPAS Y MAQUETAS Hoy día cuando compramos una casa o un piso, lo primero que nos presentan en las oficinas de la inmobiliaria son los planos. El plano es la representación, mediante dibujos detallado, de una casa, de un piso, de una habitación, de una ciudad, etc., guardando la semejanza. Las dimensiones en un plano de un piso son proporcionales a las dimensiones reales del piso. De la misma forma: Un mapa es representación, mediante un dibujo detallado, de una parte de la superficie de la Tierra guardando la semejanza. La constante de proporcionalidad, es decir, la razón de semejanza, es la escala, lo mismo que en una fotocopiadora. La escala es el cociente entre una longitud, medida en el plano, mapa o maqueta, y la longitud representada, medida en la realidad. Al igual que sucede con los plano y los mapa, Una maqueta, es un modelo, a escala reducida, de un monumento, una máquina, una decoración de teatro, una barriada, etc. En los mapas, planos y maquetas la escala puede ser numérica, 1:1000, o gráfica, dando el segmento del plano que representa a la unidad en la realidad; por ejemplo el segmento A B equivale a 1 km. La escala gráfica tiene la ventaja de que al ampliar o reducir un plano o mapa sigue siendo válida, cosa que no sucede con la escala numérica. A.1. Juan dibuja a escala 1: 100 su habitación, que tiene por dimensiones 6 m de larga y 5 m de ancha. Qué dimensiones tiene el dibujo? A.2. En un mapa a escala 1: la distancia entre dos ciudades es de 5 cm. Cuál es la distancia real?.b.a.d Sabemos que la distancia real del punto A al B es de 10 km. Halla la escala de este plano y las distancias reales AC, AD y CD..C

5 5 TECNICAS BÁSICAS TEOREMA DE THALES Si dos rectas secantes r y s, son cortadas por tres rectas paralelas a, b y c, los segmentos determinados en una de las secantes son proporcionales a los segmentos determinados en la otra. AB = BC A'B ' B'C ' r También ocurre lo recíproco si los segmentos AB y BC son proporcionales a A'B' y B'C' y las rectas a, b son paralelas, entonces c es paralela a ellas. B C c s A a b B' C' A' A.1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x. 7cm c 3cm b a x 6cm A.2. Sabemos que las rectas a y b son paralelas. Teniendo en cuenta las medidas que se dan en el dibujo, podemos asegurar que la recta c es paralela a las rectas a y b En qué te basas? 5 a 8cm b c 2,5 4 cm

6 6 TECNICAS BÁSICAS TRIÁNGULO EN POSICIÓN DE THALES Si en un triángulo cualquiera se traza una recta paralela a uno de los lados, se forma un nuevo triángulo, más pequeño, y decimos que está en posición de Thales con respecto al triángulo original. Los triángulos ABC y AB'C' tienen un ángulo en común, el Â. Es decir, el triángulo pequeño está encajado en el grande. Además los lados opuestos a A son paralelos. Decimos que los dos triángulos están en posición de Thales. En tal caso se cumple: AB ' B' B = = AC ' C ' C AB AC A.1. Los lados del triángulo ABC miden 4, 8 y 9 cm. Si se trazan paralelas al lado BC por las divisiones DE, resultan dos triángulos semejantes al triángulo ABC. Calcula las medidas de los lados de los dos triángulos menores. A A B' C' a' B b' C 4 cm 2 cm A 8 cm A A.2. Divide el segmento AB en cinco partes iguales (Utiliza escuadra, cartabón y compás). A B

7 7 TECNICAS BÁSICAS CRITERIOS DE SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. EN TRIÁNGULOS Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados homólogos proporcionales Si tienen un ángulo agudo igual EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Si tienen los catetos proporcionales Si tienen proporcionales la hipotenusa y un cateto POLÍGONOS SEMEJANTES Las condiciones de semejanzas de polígonos son las mismas que las de semejanzas de triángulo, es decir: ángulos iguales y lados homólogos proporcionales. Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes: Todos los triángulos equiláteros. Los cuadrados. Los hexágonos regulares. SON SEMEJANTES

8 8 MEJORA DESTREZAS APLICACIONES DE LA SEMEJANZA (I) Divide un segmento de 12 cm en tres partes proporcionales a 1, 2, y 3 En un plano a escala 1: 1000, la distancia entre dos puntos A y B es de 15 cm. Cuál es la distancia real entre los dos puntos? La distancia aproximada entre Sevilla y Huelva es de 100 km. En un mapa medimos con la regla y resulta ser 2 cm. Cuál es la escala del mapa? Un rectángulo tiene unas dimensiones de 10 cm x 15 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 8 cm. Halla: a) La razón de semejanza. b) El lado mayor del otro rectángulo. c) Las áreas de ambos rectángulos. La maqueta de un coche a escala 1:30 mide 20 cm Cuál es su dimensión real? Qué dimensiones tendrá la maqueta de un avión a escala 1:50 sin las dimensiones reales son 50 metros de largo, 10 metros de alto y 5 metros de ancho

9 9 MEJORA DESTREZAS APLICACIONES DE LA SEMEJANZA (II) Calcula la estatura aproximada de todas las niñas, si la primera de la izquierda mide 140 cm. Un edificio de 5 plantas, a las 10 de la mañana de un cierto día, arroja una sombra de 10 m. Próximo a él, una farola de 3 m de altura proyecta una sombra de 2 m Cuál es la altura del edificio? Halla la altura del ortoedro más pequeño. 10 m 8 m 12 m Cuánto mide el lado L? 10 m 90º L 3 m 12 m

10 10 INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS En el mundo en que vivimos podemos observar muchos objetos con formas geométricas. En la Naturaleza abundan más las líneas curvas, pero en los objetos construidos por los seres humanos predominan las rectas. Muchas de las figuras planas que puedes contemplar a tu alrededor están limitadas por segmentos, por ejemplo, ventanas, puertas, baldosas, cuadros, etc. Esta figuras se llaman polígonos. Los polígonos reciben diferentes nombres según el número de lados que tenga. Recuerda que un polígono es una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego está compuesta por "poli" (varios) y "gono" (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos que utilizamos en geometría, proceden del griego; este hecho no nos debe extrañar, ya que fue en la antigua Grecia donde la geometría adquirió gran relieve. A.1. Completa la tabla siguiente: Nombre del polígono Número de lados Número ángulos Número de diagonales Triángulo Cuadrilátero Pentágono 6 Heptágono 8 Eneágono Decágono Analiza la tabla anterior. Puedes encontrar algún hecho curioso? A.2. Contesta a las siguientes preguntas: 1. Puede ocurrir que un lado de un polígono mida más que la suma de los dos restantes? 2. Varía el valor de los lados y los ángulos de un polígono cuando lo cambias de posición? 3. Existe algún polígono que tenga mayor número de lados que diagonales? Y que tenga igual número de lados que de diagonales? 4. Halla cuántas diagonales tiene un polígono de 5 lados? Y de 6 lados

11 11 INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS REGULARES Algunos polígonos tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. Se les llaman polígonos regulares. Reciben algún nombre especial los polígonos regulares de tres lados?... Y los de cuatro?... Cómo se llaman los que tienen cinco lados?... Los polígonos regulares tienen los mismos elementos característicos que los que no lo son, pero además tienen algunos propios. Intenta descubrirlos respondiendo a la siguiente pregunta: Hay algún punto en un polígono regular que esté a la misma distancia de todos sus vértices?... El punto que está a la misma distancia de todos los vértices recibe el nombre de centro del polígono regular. Si unes el centro con el punto medio de las caras obtienes un segmento llamado apotema. A.1. Contesta a las siguientes preguntas: 1. Dibuja un cuadrado, un pentágono y un hexágono regular. Sitúa el centro y la apotema correspondiente a un lado en cada uno de ellos. 2. En muchos polígonos regulares las diagonales se cortan en el centro. Existen algunos dónde no ocurra así?. Dibuja uno de cada clase. 3. Hay algún polígono regular que no tenga diagonales? 4. Qué ángulo forma la apotema con su lado correspondiente? 5. Hay algún polígono que tenga igual número de lados y diagonales? 6. Si un polígono tiene 14 diagonales, de cuántos lados es el polígono? Y si tiene 20 diagonales?

12 12 MEJORA TUS DESTREZAS LADOS Y ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS REGULARES A.1. Completa la siguiente tabla: Polígono Nº de lados Nº de ángulos interiores N Nº de vértices A.2. Completa el número de diagonales que tiene un polígono Nº de lados Nº de vértices Nº de diagonales que salen de un vértice N Total de diagonales A.3. Escribe la fórmula del número de diagonales que tiene un polígono:

13 13 INVESTIGANDO LOS POLÍGONOS CONCAVOS Y CONVEXOS Los polígonos se pueden clasificar también en cóncavos y convexos. Te presentamos algunos de cada uno de ellos y tú tendrás que investigar cuál es el criterio que se ha seguido para clasificarlos. Los siguientes polígonos son convexos: Estos son cóncavos Cuál crees que ha sido el criterio para su clasificación? Seguramente conoces mejor los polígonos convexos que los cóncavos. A.1. Contesta a las siguientes preguntas: 1. Si unes dos puntos cualquiera de un polígono no convexo, está el segmento que los une comprendido totalmente dentro del polígono? Y si haces lo mismo con dos puntos de un polígono cóncavo? 2. Cuál es el menor número de lados que puede tener un polígono cóncavo? Y un polígono convexo? 3. Dibuja tres polígonos convexos y otros tres cóncavos distintos de los que aparecen en esta hoja.

14 14 INVESTIGANDO LOS ÁNGULOS INTERIORES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS A.1. Dibuja varios triángulos. Con la ayuda del transportador, mide los ángulos de cada uno de los triángulos y comprueba que suman 180º. Puede ocurrir que por errores de precisión no te salga 180º; en tal caso te recomendamos que recortes las puntas de los triángulos y las adjuntes en posición de suma de ángulos. Observa así que su suma es 180º. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º. A.2. Completa la tabla calculando el número de triángulos obtenidos en un polígono al trazar diagonales desde un vértice. Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Eneágono Decágono Polígono de n lados Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores A.3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo es de 1080º, cuántos vértices tiene? Cuántas diagonales? En el caso de que fuese regular, cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos en el centro?

15 15 INVESTIGANDO ÁREAS DE POLÍGONOS Recuerda que una figura plana es cualquier parte de un plano que está limitada por una línea cerrada. El área de una figura plana es la medida de superficie. Medir una superficie es averiguar cuántas veces contiene a otra que se toma como unidad. Por tanto, para medir es necesario acordar previamente la unidad. La medida se puede realizar en forma directa o indirecta: Se mide en forma directa cuando nos limitamos a contar cuántas veces está contenida la unidad de medida en la superficie a medir. Como unidad de medida se toma la superficie de un cuadrado. Se mide en forma indirecta cuando se utilizan fórmulas matemáticas para averiguar el área. E.1. Aunque en la vida real las superficies se nos presentan con distintos contornos, sucede a menudo que éstos tienen forma poligonal. Fíjate en las siguientes figuras. Dibuja al lado de ellas un cuadrado de medio centímetro de lado. Averigua la superficie de cada una de ellas: En forma directa: Utilizando el cuadrado que has dibujado como unidad.

16 16 RECORDANDO ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (I) Partiendo del área del rectángulo vamos a obtener las áreas geométricas utilizando transformaciones. OBTENCIÓN DEL ÁREA Triángulo de las figuras DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN REALIZADA A PARTIR DEL RECTÁNGULO. Cuadrado Rombo Romboide Trapecio Trapezoide Hexágono Cualquier polígono regular

17 17 RECORDANDO ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (II) Partiendo del área del círculo, que a su vez se obtendrá como si fuera un polígono de n lados y teniendo en cuenta en algunos casos el área del triángulo obtendremos el área de las siguientes figuras circulares. OBTENCIÓN DEL ÁREA DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN REALIZADA. Círculo Corona circular Sector circular Segmento circular Trapecio circular

18 18 RECORDANDO LAS MEDIDAS DE SUPERFICIES Las calles, aceras, solares, plazas, tu vivienda, tu aula, esta hoja, son superficies. La medida de la extensión de una superficie es su área. Si establecemos una unidad de superficie, podemos medir la extensión de cualquier figura comparándola con la unidad. El número que expresa esta medida se llama área de la figura y depende de la unidad elegida. A lo largo de la historia se han utilizado unidades de superficie basadas en tres criterios. a) Según el trabajo agrícola realizado. Así, por ejemplo, 1 jornal era la extensión de tierra que se podía trabajar en un día. b) Según la siembra. Se tenía en cuenta la extensión de tierra que se podía sembrar con cierta cantidad de granos. De esta forma aparecen determinadas medidas agrarias como la fanega (6439,57 m²), la aranzada (4471,92 m²), el celemín (536,63 m²), el cuartillo (134,15 m²), el estadal cuadrado (11,17 m²), la vara cuadrada (0,69 m²) y el pie cuadrado (0,07 m²). c) Si se trataba de una superficie geométrica se usaban patrones. Actualmente se toman como unidades de superficie los cuadrados que tienen por lado las unidades de longitud. Tenemos, entonces: Unidad fundamental: - m² (área de un cuadrado de 1 m de lado). Múltiplos: - Dm² (área de un cuadrado de 1 Dm de lado). - Hm² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado). - Km² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado). Submútiplos o divisores: - dm² (área de un cuadrado de 1 dm de lado). - cm² (área de un cuadrado de 1 cm de lado). - mm² (área de un cuadrado de 1 mm de lado). Dibuja sobre una superficie mediana (suelo, papel de envolver objetos, pizarra) un m², en una esquina de éste un dm² y a su vez, en una esquina de éste último un cm² EL METRO CUADRADO ANÁLISIS Averigua cuántos cm² hay dentro de un dm² Cuántos dm² hay dentro de un m²? Dibuja por detrás de esta hoja una tabla con las medidas de superficie.

19 19 PRACTICA LA SUPERFICIE DE TU AULA DIBUJO Vas a realizar un plano de tu aula a escala 1/100 en papel milimetrado y pégalo por detrás de esta hoja (recuerda que un 1 m de la realidad tiene que convertirlo en 1 cm en el papel). ANÁLISIS Dibuja en el plano todos los cm² que hay dentro del contorno de la clase y cuenta los que hay. Teniendo en cuenta la escala utilizada (1/100), el número de cm² que hay en el plano de tu clase y las unidades de superficies. Cuántos m² tiene realmente tu clase? Por detrás Calcula la superficie del aula utilizando fórmulas de áreas de figuras planas. Compara el resultado obtenido de las dos maneras. Qué medida es mejor? Por qué?

20 20 MEJORA TUS DESTREZAS ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS I Calcula el área: a) De un cuadrado de 15 cm de lado. b) De un rectángulo de 8 cm de largo y 12 cm de ancho. Halla la superficie de un terreno cuadrado de 16 cm de lado. Qué área tiene una habitación rectangular que mide 4, 5 cm de largo y 3, 5 cm de ancho? Un campo de deportes mide 120 m de largo y 68 m de ancho. Qué área tiene? Dejando dos metros por cada lado hay que vallar este campo con una valla que vale 1500 pesetas el metro, cuánto costará cercar el terreno de juego? El perímetro de un cuadrado es igual al de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. Cuál es la medida del lado del cuadrado? Para cubrir el suelo de una habitación de 5,6 metros de largo y 4,8 m de ancho se utilizan baldosas cuadradas de 30 cm de lado. Cuántas baldosas necesitaremos? Cuánto costará en total si cada una vale 250 pesetas? Las casillas de un tablero de ajedrez miden 4 cm de lado. Calcula cuánto mide el lado y el área del tablero de ajedrez. Una cometa tiene forma de rombo y las diagonales mide 40 cm y 3º cm. Cuánto mide su superficie?

21 21 MEJORA TUS DESTREZAS ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS II Cuánto costará barnizar una mesa que tiene forma de hexágono regular de 1 metro de lado y 86, 6 cm de apotema, si por cada metro cuadrado piden pesetas? La señal de STOP tiene forma de octógono regular de 30 cm de lado y 36,21 cm de apotema. Calcula su superficie. Sabiendo que el área de un círculo es 250 cm², cuánto medirá su radio? Dibuja un círculo de radio 3 cm y en él un sector circular de ángulo central 30º. Después calcula el área de dicho sector circular. La rueda de un camión mide 90 cm de radio. Cuánto avanza el camión cuando la rueda ha dado vueltas? Cuántas vueltas dará para recorrer 5 Km? Calcula el área de un segmento circular que determina un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 8 cm de radio. Calcula el área de una corona circular que tiene de radio mayor 1 metro y de radio menor 75 cm.

22 22 TÉCNICAS BÁSICAS EL TEOREMA DE PITÁGORAS En un triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto, que también son los lados menores, se llaman catetos. El lado opuesto al ángulo recto o lado mayor se llama hipotenusa. b y c son los catetos. a es la hipotenusa El teorema de Pitágoras dice que: a² = b² + c² Es decir, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

23 23 MATERIAL: INVESTIGA EL TEOREMA DE PITÁGORAS Escuadra, cartabón, regla, semicírculo y compás. DESCRIPCIÓN: La acción de medir, en geometría viene asociada a la idea de número, lo que en el antigüedad supuso un estudio profundo de éstos como de sus propiedades y relaciones. En este sentido sobresale la figura de Pitágoras que junto con sus discípulos intentó penetrar en la armonía de los números. Así lo confirma Aristóteles cuando dice: "Los pitagóricos se dedicaron primero a las matemáticas, ciencia que perfeccionaron, y, compenetrados con ésta, imaginaron que los principios de las matemáticas eran los principios de las cosas. Antes de proceder con la investigación sería conveniente que te informarás de quién era Pitágoras (Época en la que vivió, lugar geográfico donde nació y vivió, sociedad de su tiempo, aspectos que estudió y fundamentalmente los que tienen relación con lo que estamos investigando) Una vez que conocemos la figura sobresaliente de Pitágoras, te sugerimos que investigues el teorema que lleva su nombre siguiendo las instrucciones recogidas en la siguiente tabla: DIBUJO Dibuja un triángulo rectángulo de catetos b = 3 cm y c = 4 cm. Comprueba que su hipotenusa a mide 5 c. ANÁLISIS Halla superficie de cada cuadrado en función de lo que mide un lado. Construye un cuadrado sobre la hipotenusa y cuadrados sobre cada uno. Compara los tres cuadrados y contesta a las siguientes preguntas: A) Cuál es el cuadrado más grande? B) Qué cuadrado tiene más superficie? C) Qué relación encuentras entre la superficie del cuadrado trazado sobre la hipotenusa y los cuadrados trazados sobre los catetos del triángulo?

24 24 MEJORA TUS DESTREZAS EL TEOREMA DE PITÁGORAS En la siguiente tabla dispone de los catetos (b y c) correspondientes a diferentes triángulos rectángulos con sus respectivas hipotenusas (a). Rellena la siguiente tabla y generaliza: a b c a² b² c² Relación entre a², b² y c² x y z Completa la siguiente tabla: Hipotenusa (a) Cateto (b) Cateto (c) Construye, con la ayuda de la regla y el compás, un triángulo de lados 5, 7 y 8 cm. Es rectángulo? Verifica el teorema de Pitágoras? En consecuencia, crees que este teorema permite decidir si un triángulo es rectángulo? Escribe el teorema de Pitágoras. CONCLUSIONES

25 25 MEJORA TUS DESTREZAS TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE THALES Calcula la altura de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcula lo que mide la diagonal de un cuadrado de 6 cm de lado. Calcula la apotema de hexágono regular de 12 cm de lado. Averigua la longitud del lado de hexágono regular de 15 cm de apotema. x La cruz de la figura está formada por 5 cuadrados iguales. Calcula el área de la cruz, sabiendo que x = 10 cm Cuánto medirá el mayor tablero de madera, de forma cuadrada que se puede introducir por una puerta de 230 cm de altura y 120 cm de ancha? (No se tienen en cuenta el grosor del tablero). Queremos subir a una terraza situada a 6 m de altura utilizando una escalera de tiene 7 m de longitud. Cuál será la distancia máxima desde la pared a la podremos situar la base de la escalera? Un ciprés, a una determinada hora del día, proyecta una sombra de 8 m. Calcula su altura si a esa misma hora tu compañero de 1,60 m proyecta una sombra de 1,8 m. Busca información sobre los triángulos semejantes y resuelve el siguiente problema: "Para medir la anchura de un río se colocaron dos personas alineadas con una piedra de la otra orilla, siendo la distancia entre ellas dos de 6 cm. Caminan paralelamente al río y en la misma dirección hasta que vuelven a estar alineadas con la piedra. La más cercana a la orilla ha caminado 2 metros y la otra 5 metros. Con estos datos sería capaz de calcular la anchura del río?

26 26 MATERIAL: INVESTIGA Caja de cuerpos geométricos. LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS DESCRIPCIÓN: Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan forman muy variadas, sin embargo, la mayoría de ellos se aproximan bastante a formas geométricas como las que puedes encontrar en la caja de cuerpos geométricos. Así, por ejemplo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillas, una pelota o una lata de conservas, no son sino vistas imperfectas de los cuerpos geométricos. Con esta experiencia pretendemos realizar una clasificación en la caja de cuerpos geométricos siguiendo las siguientes directrices: 1. Abre la caja de cuerpos geométricos. Observa cada una de las figuras que allí se encuentran. Sería capaz de clasificarlas teniendo en cuenta alguna característica? Escribe como lo harías. 2. Al parecer algunos de los cuerpos de la caja son poliedros. Busca información sobre éstos y escribe las conclusiones obtenidas. 3. Observa con más detenimiento las figuras de la caja. Clasifícalas en dos grupos: A) Poliedros. B) No poliedros.

27 27 MEJORA TUS DESTREZAS LA VISUALIZACIÓN ESPACIAL MATERIAL: Policubos, papel isométrico y útiles para dibujar. DESCRIPCIÓN: Se pretende construir objetos tridimensionales a partir de su representación bidimensional y viceversa A) Construye los siguientes cuerpos con policubos a partir de las siguientes vistas VERTICAL O ALZADO PERFIL O LATERAL HORIZONTAL O PLANTA

28 28 MATERIAL INVESTIGA Caja de cuerpos geométricos. LOS POLIEDROS DESCRIPCIÓN: Los elementos básicos que componen todo poliedro son las caras, los ángulos de las caras (ángulos diedros), las aristas, los vértices y los ángulos triedros. Busca en primer lugar información sobre éstos elementos y después va a analizar algunas de las características generales de los poliedros. 1. Busca información sobre los elementos básicos que componen todo poliedro y escribe tus conclusiones: Caras: Aristas: Ángulos diedros: Ángulos triedros: Vértices: 2. Analiza cada uno de los poliedros de la caja de cuerpos geométricos teniendo en cuenta sus elementos básicos. A) Qué figuras geométricas son las caras de los poliedros? B) Si tenemos tres polígonos que concurren en un punto, formarán éstos polígonos un poliedro? C) Cómo mínimo, cuántos polígonos se precisan para formar un poliedro de los que hay en la caja de cuerpos geométricos? 3. Sigue buscando información sobre los poliedros. Posiblemente haya otros tipos de poliedros distintos a los que hay en la caja. Piensa que características tendrán. Las respuestas que anteriormente has ido dando, serán las mismas? 4. Trata de organizar tus ideas y define qué es un poliedro.

29 29 INVESTIGA LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS MATERIAL: DESCRIPCIÓN: Caja de cuerpos geométricos. Láminas de poliedros. Si analizamos a simple vista los poliedros de la caja de cuerpos geométricos, observamos que presentan diferencias entre ellos. Estas diferencias se hacen más notables cuando utilizamos algún criterio para analizar los poliedros: como sus elementos básicos o determinadas cualidades (como la inclinación). Clasifica todas las figuras de la caja de cuerpos geométricos, teniendo en cuenta: CRITERIOS 1º) Sus caras son: A) Polígonos. B) No son polígonos. 2º) Los polígonos de sus caras: A) Iguales. B) Regulares. C) Iguales y regulares. D) Iguales e irregulares. E) Desiguales y regulares. F) Desiguales e irregulares. INFÓRMATE DE LOS NOMBRES Y ESCRÍBELOS. A = B = A = B = C = D = E = 3º) Sus vértices. Si todos son: A = A) Del mismo orden. B) De distintos ordenes. B = 4º) Su inclinación (pirámide y primas). A = A) Recto. B) Oblicuo. B =

30 30 INVESTIGA LOS POLIEDROS REGULARES MATERIAL Troquelados de papel DESCRIPCIÓN: Los troquelados de papel son piezas en forma de polígonos regulares de igual lado. Las piezas se pueden engarzar lado con lado haciendo coincidir los vértices por medio de cinta adhesiva, o si tienen pestañas, éstas se pueden sujetar con gomas elásticas o por medio de adecuados diseños de entrantes y salientes en los correspondientes lados de las piezas. Dado que la investigación tiene como objeto que se construyan los poliedros regulares, que son aquellos que tienen las caras iguales formadas por polígonos regulares y los vértices también iguales, has de tener en cuenta dos cuestiones principalmente: Qué poliedros se pueden construir? y cuántos? Para ello comienza la construcción de poliedros utilizando solo triángulos, después con cuadrados, pentágonos,...,hasta conseguirlos todos fundamentando el porqué no se pueden obtener más. NOMBRE Nº DE CARAS Nº DE VÉRTICES Nº DE ARISTAS FUNDAMENTA TU INVESTIGACIÓN Para que se formen esquina en el poliedro la suma de los ángulos de los polígonos que concurren en un vértice tiene que ser menor que... Cómo mínimo en cada vértice del poliedro tienen que concurrir... caras. A medida que aumenta el número de lados de un polígono regular aumenta el... de éste. Puede existir un poliedro que sus caras sean hexágonos regulares?... Porque?... Comprueba con cada uno de los poliedros la fórmula de Euler: Nº de caras + Nº vértices = Nº de aristas + 2 Busca información sobre Leonardo Euler (Época en la que vivió, dónde nació y vivió, la sociedad de su tiempo, aspectos que estudio y fundamentalmente los que tienen relación con lo aquí estudiado)

31 31 CONSTRUCCIÓN LOS PRIMAS MATERIAL: DESCRIPCIÓN: Caja de cuerpos geométricos. Lámina de cartón grueso. Hilo de coser. Un prisma es un poliedro que consta de: Dos caras iguales situadas en planos paralelos que se llaman bases y varias caras que son paralelogramos que se llaman caras laterales. Infórmate qué son primas rectos y oblicuos. Escribe las conclusiones obtenidas. Clasifica los prismas de la caja de cuerpos geométricos en rectos y oblicuos. Para visualizar primas toma una lámina de cartón grueso y recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos y manteniendo las bases paralelas tendrás multitud de primas según la tensión a que someta al hilo. Dibuja un prisma recto y señala los siguientes elementos: bases, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, vértices y altura. Dibuja un prisma oblicuo y señala los siguientes elementos: bases, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, vértices y altura. Infórmate qué son prismas regulares e irregulares y escribe las conclusiones obtenidas. Clasifica los prismas de la caja en regulares e irregulares. Dibuja un prisma regular y señala sus principales elementos básicos. Dibuja un prisma irregular y señala sus principales elementos básicos Contesta: A) Todos los prismas son poliedros? Por qué? Contesta: A) Todos los poliedros son prismas? Por qué?

32 32 INVESTIGA DIBUJO 1. Dibuja el desarrollo de un hexaedro o cubo. EL AREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA Cuántos cuadrados resultan? ANÁLISIS 2. Dibuja el desarrollo de un ortoedro. Colorea de azul la superficie ocupada por las caras laterales y de rojo la superficie ocupada por las bases. Qué superficie ocupa el desarrollo de un hexágono en función de la superficie ocupada por un cuadrado? Cuántos rectángulos resultan? Son iguales los rectángulos de las caras laterales? Cuál será la superficie ocupada por el desarrollo del ortoedro en función de la superficie ocupada por las caras laterales? Cuál será la superficie ocupada por las dos bases en función de una de ellas? 3. Dibuja el desarrollo de un prisma hexagonal. Colorea de rojo la superficie ocupada por las bases y de azul la superficie ocupada por las caras laterales. Cuál será la superficie total ocupada por el desarrollo del ortoedro? Cuál será la superficie ocupada por el desarrollo del prisma en función de una de las caras laterales? Cuál será la superficie de las bases ocupadas por el desarrollo del prisma en función de una de sus bases? CONCLUSIONES Cuál será la superficie total que ocupa el desarrollo del prisma? PRISMAS AREA LATERAL AREA TOTAL HEXAEDRO O CUBO ORTOEDRO CUALQUIER PRISMA

33 33 CONSTRUYE LAS PIRÁMIDES Las pirámides nos recuerda al antiguo Egipto y los monumentos que allí sirven de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la Kéops, que data del 2600 a.c. aproximadamente y es de base cuadrada con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista básica y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesan aproximadamente 20 toneladas. 1. Puedes visualizar pirámides del mismo modo que los primas. Para ello recorta en un cartón grueso un polígono regular. Uniendo los vértices del polígono con un hilo a un punto común que llamaremos vértices de la pirámide obtendremos una pirámide. Para obtener pirámides de más altura, sólo es necesario cambiar la situación del punto que hemos considerado como vértice. En el caso que queramos obtener otras pirámides, tendremos que recortar en cartón un nuevo polígono regular y proceder de igual modo que anteriormente. 2. Dibuja la pirámide de Kéops a escala 1/5000 y señala los elementos básicos (base, aristas básicas, caras laterales, aristas laterales, apotema y altura de la pirámide. Busca más información sobre las pirámides, saca conclusiones y define qué es una pirámide. 3. Dibuja una pirámide recta y otra oblicua con todos sus elementos básicos. 4. Dibuja una pirámide regular y otra irregular con todos sus elementos básicos.

34 34 INVESTIGA EL AREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE DIBUJO ANÁLISIS 1. Dibuja el desarrollo de una pirámide cuadrangular y colorea de color rojo la superficie ocupada por la base y de color azul la superficie ocupada por las caras laterales. Cuál será la superficie lateral ocupada por el desarrollo de la pirámide en función de la superficie ocupada por una de las caras laterales. Cuál será la superficie total ocupada por el desarrollo de la pirámide en función de la superficie ocupada por las caras laterales y de la base? Comprueba si en la pirámide se cumple la fórmula de Euler Nº de caras + Nº de vértices = Nº de aristas + 2 CONCLUSIONES AREA LATERAL DE LA PIRÁMIDE AREA TOTAL DE LA PIRÁMIDE MAPA DE CONCEPTOS CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS

35 35 MEJORA TUS DESTREZAS RECONOCES LOS POLIEDROS? CUESTIONARIO Comprueba si dominas con soltura la clasificación de los poliedros. Contesta con SI o NO a las siguiente afirmaciones: Los poliedros tienen todas sus caras iguales. Las caras de los poliedros son polígonos regulares. Los vértices de los poliedros son de la misma clase. El menor número de caras de un poliedro es tres. En los poliedros regulares todas sus caras son polígonos regulares iguales y sus vértices son del mismo orden. El número de aristas de un poliedro que concurre en un vértice es como mínimo cinco. En algunos primas sus caras no son iguales ni regulares, pero sus vértices son del mismo orden. Los deltaedros tienen todas sus caras iguales. Algunos deltaedros tienen todas sus caras son polígonos regulares iguales y sus vértices no son del mismo orden. Los vértices de los prismas y pirámide son del mismo orden. En los prismas rectos sus caras laterales son polígonos iguales y sus bases polígonos regulares iguales. Todas las pirámides tienen por base un polígono regular. El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros. En los primas oblicuos la altura tiene la misma dimensión que las aristas laterales. En las pirámides rectas la altura de la pirámide coincide con su apotema. Las pirámides irregulares tienen por base un polígono regular. En los primas regulares las bases son polígonos iguales irregulares. El tetraedro regular es una pirámide. El cubo no es un prisma. El octaedro no es una bipirámide. El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros.

36 36 CONSTRUYE LOS CUERPOS REDONDOS MATERIAL: DESCRIPCIÓN: Caja de cuerpos geométricos. Generador de figuras de revolución. En la caja de cuerpos geométricos hay determinadas figuras que no pertenecen al grupo de los poliedros, ya que no tienen caras poligonales. Estas figuras pertenecen a una nueva familia que llamamos cuerpos redondos o cuerpos de revolución. Se llaman figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de un eje. Coge de la caja de cuerpos geométricos aquellas figuras que no tienen las caras poligonales y obsérvalas detenidamente. Construir en cartón diferentes formas planas (rectángulos, triángulos isósceles, círculos, semicírculos, otras figuras con o sin ejes de simetrías). Para cada una de las piezas construidas observar qué superficie resulta al colocarlas en el motor de rotación, o también, realizando en cada figura un pequeño agujero en la parte superior e inferior de la figura, atándolo un hilo elástico a cada uno de los agujeros. Al tomar cada figura por sus hilos y girarlas con gran rapidez producirá el efecto óptico propio de las figuras de revolución. DIBUJO DE LA EXPERIENCIA REALIZADA

37 37 MATERIAL: INVESTIGA Caja de cuerpos geométricos. EL CILINDRO DESCRIPCIÓN: En la vida diaria no son familiares cuerpos como un vaso, un rodillo o una tubería; tales cuerpos dan idea de cilindro. Coge de la caja de cuerpos geométricos los cilindros que haya y obsérvalos atentamente. Hemos visto anteriormente como un rectángulo genera un cilindro de revolución también llamado cilindro recto, por tener su generatriz perpendicular a la base (El lado que queda fijo es el eje de giro. El lado del rectángulo paralelo a él se llama generatriz; no obstante al igual que en el prisma, también existen cilindros oblicuos. Estos se obtienen al cortar un cilindro de revolución por dos planos paralelos no perpendiculares a sus generatrices. El cilindro tiene una superficie curva y dos superficies planas. La superficie curva se llama superficie lateral del cilindro. Las superficies planas se llaman bases del cilindro. La altura de un cilindro recto es la distancia entre sus bases. El radio de un cilindro recto es el radio de los círculos de las bases. Si cortamos un cilindro por su generatriz y separamos las bases obtenemos el desarrollo de un cilindro que consta de dos círculos y un rectángulo. DIBUJO 1. Dibuja el desarrollo de un cilindro y colorea de color rojo la superficie ocupada por las dos base y de color azul la superficie ocupada por el rectángulo que da lugar a la superficie lateral. ANÁLISIS Cuál será la superficie la superficie ocupada por las dos bases en función de una de ellas. Ten en cuenta que las bases son círculos. Cuál será la superficie ocupada por el rectángulo? Observa que la longitud del rectángulo es la de la circunferencia y la altura del rectángulo tiene la misma longitud que la generatriz. Cuál será la superficie total? CONCLUSIONES AREA LATERAL DEL CILINDRO AREA TOTAL DEL CILINDRO

38 38 INVESTIGA EL CONO MATERIAL: DESCRIPCIÓN: Caja de cuerpos geométricos. La idea de cono nos viene sugerida por cuerpos como un embudo o un cucurucho. Coge de la caja de cuerpos geométricos los conos que haya y obsérvalos atentamente. Hemos comprobado cómo un triángulo isósceles, en su rotación alrededor de su altura, genera el cuerpo geométrico llamado cono recto o cono de revolución. Igualmente podemos obtenerlo haciendo girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. El cateto sobre el que gira es el eje de giro y la hipotenusa del rectángulo es la generatriz. Un cono tiene una superficie curva y una superficie plana. La superficie curva se llama superficie lateral. La superficie plana se llama base. La altura del cono es la distancia del vértice al centro de la base. Coincide con la longitud el eje. El radio del cilindro es el radio del círculo de la base. Si cortamos un cono por una generatriz y separamos su base obtenemos su desarrollo, que consta de: un círculo que es la base y de un sector circular que es la superficie lateral. DIBUJO 1. Dibuja el desarrollo de un cono y colorea de color rojo la superficie ocupada por la base y de color azul la superficie ocupada por el sector circular que da lugar a la superficie lateral. ANÁLISIS Cuál será la superficie la superficie ocupada por la base? Cuál será la superficie ocupada por el sector circular? Observa que la longitud del arco del sector circular es la misma que la de la circunferencia de la base (Recuerda cómo se obtenía el área del sector circular). Cuál será la superficie total? CONCLUSIONES AREA LATERAL DEL CONO AREA TOTAL DEL CONO

39 39 INVESTIGA LA ESFERA MATERIAL: Caja de cuerpos geométricos. DESCRIPCIÓN: Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos recuerdan el cuerpo de revolución obtenido por rotación de un círculo alrededor de su diámetro. El centro de la esfera es el centro del círculo que la engendra. La parte externa de la esfera se llama superficie esférica. La propiedad que define a la esfera es la que todos sus puntos están a igual distancia de un punto interior llamado centro, dicha distancia se llama radio. El radio de la esfera coincide con el radio del círculo y es el segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie esférica. Cualquier segmento que une dos puntos de la superficie esférica pasando por el centro es un diámetro. Un diámetro es igual a dos radios. Observa detenidamente las esferas que hay en la caja de cuerpos geométricos. Dibuja una esfera con todos sus elementos e infórmate del área de la esfera y escribe tus conclusiones. DIBUJO AREA

40 40 INVESTIGA EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS MATERIAL: Caja de cuerpos geométricos. DESCRIPCIÓN: Todos los cuerpos ocupan un lugar en el espacio. Un espacio limitado que no puede ser ocupado por otro cuerpo. El volumen no es más que el espacio ocupado por un cuerpo. Así, por ejemplo, para poner a flote un barco hundido lo que se hace es quitar el agua que hay en su interior llenándolo de aire. A) Qué propiedad tienen los cuerpos de tres dimensiones? B) Qué entiendes por volumen? C) Todas las figuras que has construido tendrán volumen? D) Ordena de mayor a menor, según su volumen, las figuras que has construido. E) Si dos cuerpos tienen el mismo volumen, es necesario que tengan la misma forma? F) En función del volumen que ocupa un policubos, qué volumen ocupará cada una de las figuras que has construido? Infórmate qué es el volumen y escribe tus conclusiones:

41 41 RECORDANDO LA CAPACIDAD El volumen de los líquidos (leche, aceite, agua, vino, etc.) y de ciertas materias secas granuladas (cereales, legumbres, etc.) se mide utilizando recipientes de medidas fijas que los contengan. El volumen interior de esos recipientes se denominada capacidad y su unidad es el litro definido como la capacidad de 1 dm 3. El litro es la unidad de capacidad pero, como ocurre con el resto de unidades, existen múltiplos y divisores para facilitar la medida de capacidades grandes y pequeñas. Realiza una tabla con los múltiplos y divisores del litro. Aquí tienes una lista de las capacidades de diferentes recipientes de uso doméstico: limpiacristales: 55 cl; lavavajillas: 1,5 l; lejía: 750 ml; limpiador de metales: 3 dl; tetrabrik de leche 100 cl; batido de chocolate: 250 ml A) Ordénalos en orden creciente de capacidad. Distribuye el vino contenido en una cisterna de litros utilizando los siguientes recipientes: pipa: 440 l; garrafa: 20 l.

42 42 MATERIAL: RECORDANDO Varias balanzas. LA MASA DESCRIPCIÓN: Habrás visto en algún documental que los objetos pueden volar dentro de una nave espacial alejada de la Tierra (como si no pesasen). Un objeto con cierto peso en la Tierra pesará mucho menos en la Luna. Esto indica que el peso es una propiedad de la materia que no es fija, sino que varía dependiendo del lugar del espacio en que se encuentre el objeto. Si embargo, todos los objetos tienen siempre la misma cantidad de materia independientemente del lugar en donde se encuentren en el espacio. La masa es una propiedad permanente. De esta forma llamaremos masa de un objeto a la cantidad de materia que tiene. La unidad de masa en el S.I. es el kilogramo que se define como la masa contenida en el kilogramo patrón, que es un cilindro de platino iridiado que se encuentra depositado en el pabellón Breteuil, en Sevres (París). La masa se mide con una balanza, instrumento que permite establecer comparaciones con otras masas (que se toman como patrón). Pesa en una balanza distintos objetos. OBJETOS PESOS Realiza una tabla con los múltiplos y divisores del kilo.

43 43 INVESTIGA LAS UNIDADES DE VOLUMEN (El cm 3 ) MATERIAL: Centicubos. DESCRIPCIÓN: Para medir el espacio que ocupa un cuerpo, empleamos las unidades de volumen. Las unidades de volumen, además permiten comparar el volumen de dos cuerpos. Universalmente se toma como unidad de volumen un cubo de arista 1 metro. Se llama metro cúbico. Los múltiplos y divisores del m 3 se construyen a partir de cubos cuyas aristas sean las unidades de longitud. Para medir el espacio que ocupa los cuerpos, empleamos determinadas unidades de volumen. Utilizando estas unidades podemos comparar el volumen de los cuerpos. La unidad de volumen utilizada para medir pequeños cuerpos es el centímetro cúbico. Utilizando centicubos, cubos con 1 cm de arista vamos a investigar las características de esta unidad. EL CENTÍMETRO CÚBICO Dibuja un centicubos. Comprueba que tiene un centímetro de arista. Qué volumen ocupa? Nombra tres cuerpos cuyo volumen calcularías empleando el centímetro cúbico. Construye varios cuerpos empleando cinco centicubos. Qué volumen ocupa cada uno de ellos? En algunas vasijas para contener líquidos, viene indicada su capacidad en cm 3. Cómo puedes explicar esto? Cuántos cm 3 de agua crees que hay en cada uno de los siguientes objetos si están completamente llenos? A) Una cuchara. B) Vaso. C) Una botella de un litro. D) Un cubo de limpieza. E) Una gota.

44 44 INVESTIGA LAS UNIDADES DE VOLUMEN (El m 3 ) MATERIAL: Barras metálicas para construir un m 3. centicubos y dm 3. Policubos. DESCRIPCIÓN: El metro cúbico es la unidad por excelencia de volumen. Representa el volumen encerrado en un cubo de 1 m de arista. Utilizando las barras metálicas vamos a construir un metro cúbico e investigaremos algunas de sus características. EL METRO CÚBICO Construye con las barras metálicas el metro cúbico y utilizando los centicubos y la caja que los contiene (un dm 3 ) contesta a las siguientes preguntas. A) Cuántos dm 3 caben en él? B) Cuántos centicubos (un centicubos es un cm 3 ) caben en su caja (1 dm 3 ) C) Cuántos cm 3 hay en un 1 m 3? Como habrás podido comprobar, los policubos son mayores que los centicubos. A través de relaciones que puedes montar con ellos, trata de contestar a las siguientes preguntas: A) Cuántos cm 3 tendrá un policubos? B) Cuántos policubos caben en un dm 3? C) Cuántos policubos caben en un m 3? En ocasiones es aconsejable el uso de los múltiplos y divisores del metro cúbico. Realiza una tabla con los múltiplos y divisores del m 3. Qué unidades emplearías para medir el volumen de? : A) Un depósito de agua. B) Una caja de embalaje. C) Un dado. D) Un pantano.

45 45 JUEGA Y DIVIÉRTETE JUEGO DE DOMINÓ OBJETIVOS: - Practicar la equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. - Mejoras destrezas. MATERIAL: JUGADORES: DESCRIPCIÓN: Ficha de dominó Juego para varios jugadores. Consta de 28 piezas, cada una de ellas dividida en dos partes. Se han elegido siete medidas de capacidad. Para cada una, se dan ocho equivalencia expresadas en medidas de capacidad y volumen de manera que, todas ellas, se les asigna su valor en cm 3, dm 3 y m 3 y, las cuatro equivalencia restantes se expresan en distintas medidas de capacidad. Se juega siguiendo las reglas del dominó clásico. Copiar de la pizarra la forma en que ha sido elaborado

46 46 MEJORA TUS DESTREZAS MATERIAL: DIFERENCIANDO VOLUMEN DE CAPACIDAD Y REALIZANDO CAMBIOS DE UNIDADES Tabla con la capacidad, el volumen máximo y mínimo de varios embalses. DESCRIPCIÓN: Los pantanos son grandes obras de ingeniería que se construyen generalmente con dos fines: Para obtener energía eléctrica y para regadío y consumo. El abastecimiento de agua de los embalses proviene del agua del río en que se construyen y su volumen dependerá de las lluvias y del consumo que se realice. En épocas de pocas lluvias habrás oído hablar de que tal o cual pantano está a la mitad, un tercio, etc. de su capacidad. También habrás escuchado en alguna ocasión que debido a las lluvias torrenciales ha sido preciso abrir las compuertas de los embalses para evitar el desbordamiento o rotura. De hecho, en alguna ocasión ha habido accidentes debido a fallos en el sistema de apertura de compuertas. A continuación tienes una tabla con la capacidad, el volumen máximo y mínimo alcanzado por cuatro embalse españoles durante el año Embalse Río Capacidad Vol. Max. Vol. Min. Canelles Noguera Ribagorzana Hm millones m 3 Dm 3 Mequinenza Ebro Dm m Hm 3 Almendra Tormes 2649 Hm 3 2, Dm 3 1,738 Km 3 Alcántara Tajo 3,162 Km 3 2,214 Km m 3 Sitúalos en un mapa. Ordena, en orden decreciente, los cuatro embalses. Para ello calcula la capacidad de cada embalse en Hm 3. Indica el orden de magnitud de volumen máximo de cada uno de los embalses. Escribe en notación científica, el volumen mínimo expresado en Hm 3. Barcelona consume para la industria y para la vivienda 1037 millones de litros cada día. Para cuántos días tendría la ciudad de Barcelona con el agua almacenada en el embalse de Canelles en el momento de mínimo volumen?