2. Considere un duopolio de Cournot repetido dos veces (se juega dos veces). El juego de etapa puede ser representado por el siguiente árbol:

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Gerardo Peña Soriano
hace 5 años
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1 Teoría e Jegos Segno parcial. //. Consiere la sigiente versión el jego el ltimátm. Hay 3 moneas. J pee ofrecer qearse con o con. J acepta o rechaza. Si rechaza, los os jgaores obtienen. Sponga qe los jgaores sólo se preocpan por la cantia e moneas qe obtienen y prefieren tener más moneas... ( pnto) Es este n jego e información perfecta o imperfecta? Fnamente s respesta... ( pntos) Ientifiqe toos los sbjegos. Expliqe..3. (3 pntos) Para caa eqilibrio e Nash el jego, iga si es o no perfecto por sbjegos. Fnamente s respesta.. Consiere n opolio e Cornot repetio os veces (se jega os veces). El jego e etapa pee ser representao por el sigiente árbol: Empresa 3 Empresa Los beneficios totales son la sma simple e los beneficios en caa etapa (no hay escento)... ( pntos) Ientifiqe toos los sbjegos. Fnamente s respesta... ( pntos) Diga si el sigiente perfil e estrategias constitye n eqilibrio perfecto por sbjegos: a) En la primera etapa, prozca. b) En la segna etapa, prozca si las os empresas projeron en la etapa previa (es ecir si caa empresa projo en la primera etapa) y 3 en el caso contrario (es ecir si ocrrió calqier otra cosa en la primera etapa). Fnamente s respesta.

2 Teoría e Jegos 3. Consiere el sigiente jego e señalización.,3 L J,,,5, N,,5,, L J, 3.. ( pnto) Determine los valores e y. En otras palabras, etermine (i) la probabilia qe el jgaor asigna a qe el jgaor sea e tipo espés e haber visto qe el jgaor jgó L y (ii) la probabilia qe el jgaor asigna a qe el jgaor sea e tipo espés e haber visto qe el jgaor jgó. Expliqe. 3.. ( pnto) Hay eqilibrios agrpaores en este jego? Si los hay, ientifíqelos, si no los hay, iga por qé no ( pnto) Hay eqilibrios separaores en este jego? Si los hay, ientifíqelos, si no los hay, iga por qé no.

3 Teoría e Jegos Pata e respesta.. Es n jego e información perfecta ya qe los os jgaores conocen toas las jgaas previas el jego. Más formalmente, toos los conjntos e información son singletons, es ecir qe están integraos por n único noo... Para ientificar los sbjegos es útil presentar el árbol el jego: J J J A A J J Ientificamos os sbjegos qe empiezan en los os noos en qe le toca jgar a J. (a) En los os noos en qe le toca jgar a J el conjnto e información inicial contiene n único noo. (b) Los os sbjegos contienen a toos los noos qe le sigen (en este caso, sólo le sigen noos terminales). (c) No se intersecta ningún otro conjnto e información..3. Ya mostramos en clase qe este jego tiene la sigiente representación en forma normal y los sigientes tres eqilibrios e Nash: Jgaor,,,, Jgaor,,,,,,,, (i) Eqilibrio e Nash,, : no es perfecto por sbjegos porqe no es n eqilibrio e Nash en el sbjego erecho (el qe sige a la jgaa e J). (ii) Eqilibrio e Nash,, : no es perfecto por sbjegos porqe no es n eqilibrio e Nash en el sbjego izqiero (el qe sige a la jgaa e J). Los os eqilibrios e Nash anteriores inclyen amenazas vacías : J está amenazano con rechazar ofertas qe, llegao el momento, jamás rechazaría. (iii) Eqilibrio e Nash,, : es perfecto por sbjegos. Es n eqilibrio e Nash en los os sbjegos qe empiezan cano le toca jgar a J. 3

4 Teoría e Jegos.. En caa noo en qe le toca jgar a la empresa por segna vez empieza n sbjego. Los jegos e la segna etapa son sbjegos el jego repetio: (a) Empiezan en n singleton. (b) Inclyen toos los noos qe los sceen. (c) No intersectan con conjntos e información e otros sbjegos. Hay neve sbjegos, qe sigen a las neve historias posibles el jego en la primera etapa: ), ; ), 3 ; 3), ; ) 3, ; 5) 3, 3 ; 6) 3, ; 7), ; 8), 3 ; 9),... El perfil e estrategias propesto no es n eqilibrio e Nash en el segno jego e etapa y, por lo tanto, no es n eqilibrio e Nash el sbjego qe empieza espés e qe ambos jgaores jgaron. Por lo tanto, este perfil e estrategias no es n eqilibrio perfecto por sbjegos. Notas sobre respestas al ejercicio en el parcial: (A) Algnos estiantes qisieron ientificar n eqilibrio perfecto por sbjegos en el opolio e Cornot repetio. En realia, lo qe se peía era pronnciarse sobre si n perfil e estrategias particlar qe se io en la letra el ejercicio poía constitir n eqilibrio perfecto por sbjegos en este jego. El argmento qe presento en el párrafo anterior mestra qe el perfil e estrategias propesto no constitye n eqilibrio perfecto por sbjegos. Eso es too lo qe se piió. Para responer a la pregnta qe algnos se plantearon, es ecir para ientificar n eqilibrio perfecto por sbjegos en este ejercicio, se pee hacer lo sigiente: (i) esolver el segno jego e etapa y mostrar qe tiene n único eqilibrio e Nash en el qe ambas empresas eligen 3: Empresa Empresa 3, 83,56 5, ,83, 39, 63,5,39 5,5 (ii) Contabilizar los pagos e la segna etapa y smárselos a los pagos e la primera, obteniénose la sigiente matriz qe resme los pagos totales el jego en os etapas, como fnción e las jgaas realizaas en la primera etapa: Empresa Empresa 3 +, + 83+,56+ 5+, ,83+ +,+ 39+,+ 63+,5+ +,39+ 5+,5+ Notar qe se sma a toas las celas y para los os jgaores, porqe ya sabemos qe es lo qe obtenrán ambos jgaores en la segna etapa, con inepenencia e lo qe hagan en la primera.

5 Teoría e Jegos (iii) Ientificar el eqilibrio e Nash el jego completo. Se trata simplemente e verificar en la segna matriz n par e estrategias qe constityan mejores respestas. La cela estacaa en rojo es el resltao qe srge e aplicar el razonamiento sal (no lo repito aqí por conocio). Conclsión: n par e estrategias en qe las empresas jegan 3 en ambas etapas constitye n eqilibrio perfecto por sbjegos. Notar lo qe qiero ecir al afirmar qe las empresas jegan 3 en ambas etapas : (i) jegan 3 en la primera etapa y (ii) jegan 3 en la segna etapa, no importa cómo se haya jgao la primera etapa, es ecir qe jegan 3 en los neve sbjegos e la segna etapa. (B) Algnos estiantes no feron sficientemente ciaosos al escribir na estrategia: siempre eben ecir qé hace el jgaor en toos y caa no e los noos en qe le toca jgar. Si la estrategia en cestión es simple, peen escribirla en forma sintética, como hago yo más arriba, icieno por ejemplo jega 3 en ambas etapas o pase lo qe pase jega 3. Esto es sficientemente claro y no hay necesia e ecir: () jega 3 en la primera etapa; () jega 3 en la segna etapa si en la primera etapa se jgó, ; (3) jega 3 en la segna etapa si en la primera etapa se jgó, 3 ; () jega 3 en la segna etapa si en la primera etapa se jgó, ; ; () jega 3 en la segna etapa si en la primera etapa se jgó,. Pero en too caso, para qe la estrategia esté bien efinia, eberá qear claro cál es la regla e acción en toos los noos en qe al jgaor le toca jgar. Esto es así porqe, por ejemplo, no peo ecir si jgar 3 en la primera etapa y 3 en la segna etapa espés e qe en la primera se jgó 3, 3 es na mejor respesta a algna estrategia el otro jgaor. Esto no llega a ser na estrategia: sólo ice qé hacer en la segna etapa cano se llega al noo qe sige a 3, 3, pero no ice qé hacer si se llega a calqier otro noo e la segna etapa. No peo entonces evalar esta regla e acción incompleta porqe no se está icieno qé otras acciones se habrían elegio en la segna etapa en caso e haberse jgao e otra manera la primera etapa. 3.. = y =. Fnamentación: (i) obtiene - si jega L y al menos si jega. Por lo tanto, jega. (ii) obtiene al menos si jega L y - si jega. Por lo tanto, jega L. J sabe esto y, por lo tanto, si observa qe J jgó L, ece qe es e tipo, es ecir qe =. Por lo mismo, si observa qe J jgó, ece qe es e tipo, es ecir qe =. 3.. No hay eqilibrios agrpaores. Por lo qe vimos en el pnto anterior, jega y jega L, es ecir qe se separan En principio, hay os eqilibrios separaores posibles en los qe: (i) jega L y jega y (ii) jega y jega L. Por lo visto en 3., (i) no es parte e n eqilibrio: nnca jgaría L y nnca jgaría. Verifico entonces si hay n eqilibrio separaor en el qe jega y jega L. En n eqilibrio como este, se cmplirá qe = y =. J jega, con inepenencia e lo qe haya jgao J. En efecto, si J jgó L, J conclye qe está jgano con, es ecir qe está en el noo inferior izqiero. Sabe entonces qe, si respone jgano obtiene y si respone jgano obtiene. Por lo tanto, s respesta óptima es. A s vez, si J jgó, J conclye qe está jgano con, es ecir qe está en el noo sperior 5

6 Teoría e Jegos erecho. Sabe entonces qe, si respone jgano obtiene y si respone jgano obtiene. Conclsión: ientificamos n eqilibrio bayesiano perfecto separaor en el qe: (a) jega y jega L. (b) = y =. (c) J jega siempre, es ecir con inepenencia e lo qe haya jgao J. 6

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