GRAFOS, DÍGRAFOS Y ÁRBOLES

Transcripción

1 GRAFOS, DÍGRAFOS Y ÁRBOLES

2 GRAFOS, DÍGRAFOS Y ÁRBOLES A modo d introducción al tma cntral d sta unidad, vamos a rmontarnos al orign d la toría d Grafos: A lo largo d los siglos, l problma d los Punts d KÖNIGSBERG ha dsprtado l intrés d muchos, n spcial d los matmáticos. En l siglo XVIII, la ciudad d KÖNIGSBERG, situada a orillas dl río Prgl, y las dos islas sobr l río qu también ran part d la ciudad, staban conctadas a través d sit punts, como obsrvamos n l siguint squma: Un problma qu intrigaba a sus habitants ra si xistía un camino para podr cruzar todos los punts pasando una sola vz por cada uno. Si bin sto ra solamnt un ntrtniminto dominical para muchos, n 736 l matmático Lonhard Eulr dscubrió y dsarrolló la toría d Grafos, con la cual pudo rspondr st intrrogant. Esta toría significó admás un gran avanc para la matmática. La toría d Grafos actualmnt s utiliza n divrsos campos y tin muchas aplicacions, tanto n Cincias Socials, Lingüística, Física, Química, Arquitctura y, tal vz lo qu más nos intrsa a nosotros, n Comunicacions, Ingniría Informática. Los grafos son muy utilizados para modlar problmas prtncints a distintas disciplinas. En llos, como n todo modlo, s rprsntan las caractrísticas rlvants dl problma o la aplicación dl mundo ral y s ignoran los dtalls irrlvants. Para comnzar con una ida d lo qu s un grafo, pnsmos qu s un conjunto d puntos o vértics unidos por aristas, qu pudn tnr sntido o no. Otro jmplo d la utilización d grafos lo ncontramos n los mapas d carrtras. Ejmplo Supongamos qu nos intrsa ncontrar la distancia mínima ntr dos ciudads dadas. Las ciudads srán los vértics dl grafo y las carrtras qu la comunican s rprsntarán como aristas.

3 Tnmos qu ncontrar l camino mínimo ntr dos vértics. Para llo xistn algoritmos qu nos prmitn hacrlo. A modo d jmplo, tomamos l grafo d las autopistas principals dl ost d Canadá: D mismo modo, para los disños urbanísticos y d transports también s utilizan grafos qu a través d la simulación por computadora d sistmas d tránsito (dsd rds nacionals, calls n una ciudad incluso circulación d punts o cruc d carrtras) tinn por objtivo dtctar puntos ngros para sugrir cambios o nuvos sistmas. También podmos pnsar qu n un publo, la ubicación dl cuartl d bombros db hacrs d forma tal d minimizar las distancias o rcorridos hacia l rsto dl publo. Y sto s logra mdiant l análisis d un grafo qu modliza tal situación. Una d las primras aplicacions por computadora d los grafos s orintó a la planificación d proyctos para dscribir, rprsntar y analizar situacions muy compljas qu constan d muchas actividads rlacionadas ntr sí. Ejmplo Considrmos una compañía constructora d casas prfabricadas qu s trasladan y s asintan sobr cimintos d hormigón n las parclas adquiridas al fcto. El proycto cominza por la slcción y adquisición d un trrno dificabl y por la slcción dl tipo d casa qu s ds (con la prparación d planos). Lugo s van ncadnando las actividads, algunas d las cuals s ncsario compltar ants d comnzar la siguint tara. El grafo d taras rsultant s l siguint: 2

4 Con st grafo, s pudn idntificar las taras críticas, s dcir aqullas cuya dmora n su inicio afcta la duración dl proycto total, y obtnr con llas un camino crítico. Vamos otro jmplo: Ants d comnzar con las dfinicions formals, construyamos un grafo qu rprsnt l funcionaminto d una máquina muy simpl d caramlos, con las siguints rglas: a) cada caramlo custa $.5 b) la máquina acpta sólo mondas d $. y d $.5 c) la máquina NO da vulto Para construir l grafo, dbmos considrar distintos stados d dinro ingrsado, y como s va pasando d uno a otro. Por jmplo, si n un momnto tnmos ingrsados 5 cntavos, y agrgamos 5 cntavos más, pasamos a otro stado, qu s l mismo qu si hubiésmos ingrsado cntavos al principio. Llammos A, B, C y D a los stados qu rprsntan, 5, y 5 cntavos ingrsados rspctivamnt. Las transicions d un stado a otro s harán por ingrso d 5 o cntavos, o al prsionar l botón para obtnr los caramlos (P). Podmos rprsntar la situación con l siguint grafo dirigido:. P P P.5 A.5 B.5 C.5 D.. P. También hay un tipo spcial d grafos qu s llaman árbols y tinn muchas aplicacions. Por jmplo, con llos s pud rprsntar l organigrama d una mprsa, los nivls sintácticos d una fras, utilizar árbols como structuras d datos n informática, y muchas aplicacions más. Ahora qu hmos visto algunas aplicacions d grafos y nos plantamos cirtas custions como la d los punts d Konigsbrg o cómo hallar un camino mínimo, vamos las dfinicions y propidads principals d los grafos, dígrafos y árbols. 3

5 Un grafo s una structura formada por vértics unidos a través d aristas y s utiliza para rprsntar dtrminadas situacions. Formalmnt s dfin como una structura algbraica d la siguint forma: Un grafo s una trna G = ( V ; A ; ) sindo: V: l conjunto d vértics V A: l conjunto d aristas A : la función d incidncia : A V (2) V (2) s l conjunto formado por subconjuntos d o 2 lmntos d V. Ejmplo: V = {v, v 2, v 3, v 4, v 5 } A = {a, a 2, a 3, a 4, a 5 } (a )={v,v 2 }, (a 2 ) ={v 3 }, (a 3 )={v 4,v 2 }, (a 4 )={v,v 3 }, (a 5 )={ v,v 2 } S pud diagramar d la siguint forma: a 5 a v 2 a 3 v 4 v a 4 a 2 v 3 v 5 A partir d aquí prsntamos una sri d dfinicions rlativas a vértics y aristas: VÉRTICES ADYACENTES: v i s adyacnt a v j a k A tal qu (a k ) = {v i, v j } Es dcir son aqullos vértics unidos por alguna arista. En l jmplo, v 2 s adyacnt a v y a v 4 pro no a v 3 VÉRTICE AISLADO: l qu no s adyacnt a ningún otro. En l jmplo: v 5 s aislado. ARISTAS PARALELAS: a i s paralla a a j (a i ) = (a j ) sindo a i a j Es dcir son aqullas comprndidas ntr los mismos vértics. 4

6 En l jmplo, a y a 5 son parallas, stán comprndidas ntr los mismos vértics. ARISTAS ADYACENTES: las qu tinn un único vértic n común sindo distintas y no parallas. En l jmplo, a s adyacnt a a 3 BUCLES o LAZOS: las aristas comprndidas n un mismo vértic. En l jmplo, a 2 s un bucl. ARISTAS INCIDENTES EN UN VÉRTICE: las qu tinn a dicho vértic por xtrmo. En l jmplo, las aristas a, a 3 y a 5 son incidnts n l vértic v 2 GRAFO SIMPLE: l qu no tin aristas parallas ni bucls. Es important obsrvar qu n la dfinición d grafo no s spcifica la longitud o forma d las aristas ni su posición, como así tampoco l ordn o ubicación d los vértics. Por llo, NO EXISTE un ÚNICO DIAGRAMA qu rprsnt un grafo. El mismo grafo dl jmplo antrior pud rprsntars por st otro diagrama V5 a 5 a 2 a 3 V 2 a V V 4 V 3 a 4...y d muchas formas más, pro simpr rsptando las incidncias ntr aristas y vértics. Cuando s quirn programar algoritmos qu utilizan grafos s ncsita una rprsntación no gráfica qu puda utilizars n la computadora, por llo a continuación vrmos la forma matricial d los grafos. Ellos pudn rprsntars a través d dos matrics: la d adyacncia y la d incidncia. 5

7 MATRIZ DE ADYACENCIA: Sa un grafo G = ( V ; A ; ) con V = { v, v 2,, v n } y A = { a, a 2,, a m } S dfin la matriz d adyacncia d G a una matriz boolana d nxn: m M a (G) = (( m ij )) tal qu m ij = si v s adyacnt a v i j si v no s adyacnt a v i j Ejmplo: a 2 a 3 a 4 a 6 a a 8 a 5 M a (G) = a 2 5 MATRIZ DE INCIDENCIA: Sa un grafo G = ( V ; A ; ) con V = { v, v 2,, v n } y A = { a, a 2,, a m } S dfin la matriz d incidncia d G a una matriz boolana d nxm: m M i (G) = (( m ij )) tal qu m ij = si v i sincidnt a a j si v i no sincidnt a a j Ejmplo: Para l mismo grafo antrior: M i (G) = 6

8 Otro concpto muy important y útil n rlación con los grafos s la cantidad d aristas incidnts n un vértic. Por jmplo, si los vértics son computadoras unidas n rd, qurmos conocr con cuántas s concta cada una. Ello s dfin como grado o valncia d cada vértic. Vamos la dfinición: Sa un grafo G = ( V ; A ; ) La función grado: g: V N tal qu g(v i ) = cantidad d aristas incidnts n v i Nota: los bucls s cuntan doblmnt. UEn l jmplo antrior: a 5 g(v ) = 3 g(v 2 ) = 3 g(v 3 ) = 3 g(v 4 ) = g(v 5 ) = v a v 2 a 4 a 2 v 3 a 3 v 5 v 4 Obsrvmos qu n un grafo simpl un vértic s aislado si y sólo si su grado s cro: v s aislado g(v) = En un grafo simpl s dnomina vértic colgant o pndint al qu tin grado igual a uno. Como cada arista hac incrmntar n uno l grado d cada vértic d sus xtrmos (si son distintos) o n 2 si s trata d un bucl, al sumar todos los grados d los vértics, stamos considrando cada arista dos vcs, o sa qu podmos nunciar la siguint propidad: Propidad: En todo grafo s cumpl qu la suma d los grados d los vértics s igual al dobl d la cantidad d aristas. En símbolos: g(v i )= 2 A Esta propidad pods dmostrarla usando inducción matmática. Si tins dificultads consulta con l tutor o busca información n la bibliografía, n l capítulo 7. 7

9 Ejmplo: Cuál s la cantidad total d vértics d un grafo qu tin 2 vértics d grado 4, d grado 3, 5 d grado 2 y l rsto colgants (d grado ) sabindo qu n total hay 2 aristas? Solución: BUsando la propidad antrior: x = 2 2 Rsolvindo: 2 + x = 24 x = 3 (cantidad d vértics colgants) Por lo tanto la cantidad total d vértics s: V = UNA forma posibl d dibujar st grafo sría: T animas a dibujar otras posibilidads? Supongamos qu tnmos un grafo cuyos vértics rprsntan distintas ciudads y las aristas son las carrtras qu las unn. Pud intrsarnos ncontrar un camino ntr dos ciudads dadas, aunqu ntr llas no xista una carrtra qu las una, pro sí pasando n forma intrmdia por otras ciudads. Ello nos llva al concpto d caminos n un grafo. CAMINO: sucsión d aristas adyacnts distintas. CICLO o circuito: camino crrado. El vértic inicial coincid con l final. LONG dl camino: cantidad d aristas qu lo componn. CAMI LE: si todos los vértics son distintos. CAMINO ELEMENTAL: si todas las aristas son distintas Ejmplo: b a d c f g 8

10 Si qurmos sñalar: a) Grado d cada vértic b) 3 caminos d a hacia f c) Ciclos d longitud 3, 4, 5 y 7 Tnmos qu: a) g(a) = 2 ; g(b) = 2 ; g(c) = 4 ; g(d) = 4 ; g() = 4 ; g(f) = 3 ; g(g) = b) Un posibl camino s: C = (a; b; c; f) Long(C ) = 3 porqu usamos 3 aristas b 2 c 3 g a d f Muchas vcs rsulta útil nombrar los vértics y las aristas. En l jmplo antrior qudaría: C = (a; ; b; 2; c; 3; f) Otro camino ntr los mismos vértics pud sr: 8 C 2 = (a; 5; d; 6; c; 4; ; 8; ; 9; f) Long(C 2 ) = 5 a 5 b d c 3 f 9 g T animas a indicar otro? 8 c) Indiqumos algunos ciclos: C =(a; ; b; 2; c; 6; d; 5; a) Long(C ) = 4 a 5 b d c 3 7 f 9 g 9

11 C 2 =(c; 4; ; 9; f; 3 c) 8 Long(C 2 ) = 3 a 5 b d c 3 7 f 9 g C 3 =(a; ; b; 2; c; 6; d; 7; d; 5; a) 8 Long(C 3 ) = 5 a 5 b d c 3 7 f 9 g C 4 =(a; ; b; 2; c; 4; ; 9; f; 3; c; 6; d; 5; a) Long(C 4 ) = 7 8 a 5 b d c 3 7 f 9 g Sinttizando: Un grafo s una structura formada por un conjunto d vértics, un conjunto d aristasy una función d incidncia. Los vértics qu stán unidos por alguna arista s dicn adyacnts, las aristas qu tinn un vértic n común son adyacnts. En un grafo pud habr aristas parallas, bucls, vértics aislados, tc. Los grafos s pudn rprsntar n forma gráfica a través d diagramas, y n forma matricial a través d las matrics d adyacncia y d incidncia. El grado d un vértic s la cantidad d aristas qu incidn n él. La suma d todos los grados d los vértics d un grafo s igual al dobl d la cantidad d aristas. Un camino ntr dos vértics d un grafo s una scuncia d aristas adyacnts ntr dichos vértics. La longitud d un camino s la cantidad d aristas qu lo forman. Los ciclos son caminos crrados, s dcir qu cominzan y trminan n l mismo vértic.

12 A continuación, vrmos algunos tipos d grafos spcials: los grafos rgulars, los compltos y los bipartitos: GRAFO K-REGULAR: Sa un grafo G = (V; A; ) y k N S dic qu G s k-rgular v V: g(v) = k Vamos las condicions qu db cumplir para sr complto GRAFOS COMPLETOS: los indicamos K n Sa n N : K n = (V; A; ) tal qu v, w V: v w a A : (a) = {v, w} O sa, los K n son grafos simpls d n vértics n los cuals cada vértic s adyacnt a todos los dmás. Algunos d llos son: K 3 K 4 K 5 Ejrcicio: En una fista hay 8 prsonas qu n un dtrminado momnto llnan sus copas d sidra y brindan ntr llos, todos con todos. Cuántos choqus d copas hay n total? Solución: Podmos considrar n K 8, dond los vértics son las prsonas y las aristas rprsntan los choqus d copas, ya qu cada prsona choca su copa con todos los dmás xcpto con sí mismo. Utilizando la propidad: g(v i ) = 2 A

13 Como todos los vértics tinn grado 7, nos quda: 8 7 = 2 A A = 28 En total hay 28 choqus d copas. Para pnsar: ) Los K n son grafos k-rgulars? Con qué valor d k? 2) Qué particularidad tinn las matrics d adyacncia d los grafos K n? Intnta rspondr y si tins dudas consulta a tu tutor. GRAFOS BIPARTITOS: Sa un grafo simpl G = (V; A; ) con V ={v, v 2,..., v n } y A ={a, a 2,..., a m } S dic qu G s BIPARTITO V = V V 2 con V V 2 V V 2 = a i A : (a i ) = {v j, v k } con v j V v k V 2 o v k V v j V 2 Es dcir, los grafos BIPARTITOS son grafos cuyo conjunto d vértics stá particionado n dos subconjuntos no vacíos y disjuntos: V y V 2 tals qu los vértics d V pudn sr adyacnts a los vértics d V 2 pro los d un mismo subconjunto no son adyacnts ntr sí. Ejmplo: En l siguint grafo: V = {, 2, 3, 4, 5} V = {, 2, 3} V 2 = {4, 5} Vmos qu todas las aristas qu hay, tinn un xtrmo n V y l otro n V 2. Por lo tanto s BIPARTITO Tngamos n cunta qu la dfinición no xig qu dba habr arista ntr todo par d vértics (uno d V y l otro d V 2 ) sino qu pid qu las aristas qu xistan dbn star comprndidas ntr un vértic d cada subconjunto. En st jmplo, no hay arista ntr 2 y 4, lo cual staba prmitido. 2

14 GRAFOS BIPARTITOS COMPLETOS qu indicamos K n,m. Como su nombr lo indica dbn sr bipartitos y admás compltos. Es dcir, l conjunto d vértics db star particionado n dos subconjuntos, cada arista db tnr un vértic d cada subconjunto y por sr compltos cada vértic db formar una arista con todos los dmás. Pro atnción, con todos los dmás dl subconjunto al qu él no prtnc. Por lo tanto son grafos bipartitos d n+m vértics con TODAS las aristas posibls. Ejmplos: K 3,2 K 3,3 La dfinición siguint s ncsaria para lugo podr comprndr otros concptos. SUBGRAFOS: Dado un grafo G = (V; A; ), s dnomina subgrafo al grafo G = (V ; A ; / A ) tal qu V V A A / / A s la función rstringida a A. Para obtnr subgrafos d un grafo dado s pud: suprimir uno o varios vértics y las aristas incidnts n llos suprimir solamnt una o varias aristas. Si s suprim un vértic v, l subgrafo rstant s G ~ v Si s suprim una arista a, l subgrafo rstant s G ~ a Vamos algunos y tngamos n cunta qu un sugrafo s part d un grafo 3

15 Ejmplos: Dado l grafo: G = (V; A; ) b a d c f g Algunos subgrafos son: G : G 2 : b c b d f a d f g BEst s obtuvo d suprimir los Est s obtuvo d suprimir únicamnt l vérticc. vértics a, y g. G = G ~ B sindo B = { a,, g } G 2 = G ~ c Muchas vcs, spcialmnt n l disño d rds d comunicación, s important conocr si dos nodos (vértics) d la rd stán conctados, s dcir si xist algún camino ntr ambos. Asimismo, n l disño d dichas rds s trata d vitar los puntos d cort, s dcir aqullos nodos qu si tinn algún problma d funcionaminto intrrumpn la comunicación ntr los otros (como l vértic c dl jmplo antrior). Estos son concptos d grafos qu vrmos a continuación: RELACION DE CONEXIÓN: Dado un grafo G = (V; A; ), n l conjunto d vértics s dfin la siguint rlación: v i R v j camino d v i a v j v i = v j 4

16 Esta rlación s d quivalncia y por lo tanto pudn hallars las class d quivalncia, a las qu s dnomina COMPONENTES CONEXAS. GRAFOS CONEXOS: Un grafo s conxo si y sólo si tin una única componnt conxa. Es dcir, un grafo s conxo si y sólo si xist algún camino ntr todo par d vértics. Ejmplo : x z t Est grafo s conxo ya qu d cualquir vértic s pud llgar a cualquir otro a través d un camino. y w u Ejmplo 2: Est grafo NO s conxo pus no xist ningún camino ntr los vértics a y c. b a d f c 5

17 Sin mbargo, stá formado por dos subgrafos qu cada uno d llos sí s conxo. S llaman COMPONENTES CONEXAS: Una componnt conxa: b La otra: a d f c Continumos con dfinicions qu nos prmitn rconocr caractrísticas n los grafos. ISTMO O PUNTO DE CORTE Dado un grafo G = (V; A; ) conxo, v V s istmo G ~ v s no conxo Es dcir, un istmo s un vértic tal qu su suprsión dsconcta al grafo. PUENTE Dado un grafo G = (V; A; ) conxo, a A s punt G ~ a s no conxo Es dcir, un punt s una arista tal qu su suprsión dsconcta al grafo. CONJUNTO DESCONECTANTE Dado un grafo G = (V; A; ) conxo, B A s dsconctant G ~ B s no conxo Es dcir, un conjunto d aristas s dsconctant si y sólo si su suprsión dsconcta al grafo. CONJUNTO DE CORTE Un conjunto B dsconctant s también d cort C B, C no s dsconctant. O sa, para sr conjunto d cort db star formado por l mínimo númro d aristas, o bin solamnt por las ncsarias para dsconctar al grafo. CONECTIVIDAD Es l mnor númro d vértics cuya suprsión dsconcta al grafo. 6

18 Ejmplos: x y z t w Est grafo tin conctividad = ya qu suprimindo l vértic z o l w quda no conxo ( z y w son istmos ). u Est grafo tin conctividad = 2 pus s ncsario suprimir dos vértics para qu l subgrafo rstant sa no conxo, por jmplo suprimindo los vértics 3 y En los grafos conxos, tinn spcial importancia algunos caminos qu s dnominan Eulrianos y otros Hamiltonianos. Con llos s pudn rsolvr problmas como l d los punts d Konigsbrg qu citamos al principio d sta unidad. Los vrmos a continuación: GRAFOS EULERIANOS: S dnomina c ciclo qu pasa por ulriano al camino qu pasa por todas las aristas una sola vz; y ciclo ulriano al las aristas una sola vz. La condición ncsaria y suficint para qu n un grafo xista camino ulriano s: El grafo db sr conxo, y todos los vértics dbn tnr grado par, o a lo sumo dos grado impar. La condición ncsaria y suficint para qu n un grafo xista ciclo ulriano s: El grafo db sr conxo, y todos los vértics dbn tnr grado par. 7

19 Ejmplos: Est grafo no tin ciclo ulriano pus hay dos vértics d grado 3. Tin solo camino ulriano. Est grafo tin ciclo ulriano pus todos sus vértics tinn grado par. Ejmplo Pnsmos qu qurmos indicar un ciclo d Eulr n l siguint grafo. A 6 7 B 9 C D E 3 4 F Un posibl ciclo d Eulr s: C = (A; ; B; 2; D; 3; F; 4; E; 5; C; 6; A; 7; F; 8; C; 9; B; ; F; ; A) Es l único? No, por jmplo otro s: C 2 =(A; ; F; 3; D; 2; B; ; F; 4; E; 5; C; 8; F; 7; A; 6; C; 9; B; ; A) 8

20 U U GRAFOS, DÍGRAFOS Y ÁRBOLES CAMINOS Y CICLOS HAMILTONIANOS: S dnomina c o al camino qu pas a vz por c. Important: no ncsariamnt va a pasar por todas las aristas, pus n muchos casos rptiría vértics y no sría hamiltoniano. Ejmplo: En l mismo grafo antrior, marqumos algún ciclo hamiltoniano. Un posibl ciclo hamiltoniano s: ( A ; ; B ; 2 ; D ; 3 ; F ; 4 ; E ; 5 ; C ; 6 ; A ) T proponmos qu dibujs un grafo conxo qu:. Tnga camino d Eulr y camino d Hamilton 2. Tnga camino d Eulr y no tnga camino d Hamilton 3. No tnga camino d Eulr y tampoco camino d Hamilton 4. No tnga camino d Eulr y si tnga camino d Hamilton Rcurda qu si tins dificultads puds consultar con l tutor. Así como n Grupos y n Algbras d Bool studiamos los isomorfismos, también s important podr sabr si dos grafos son o no isomorfos. A continuación darmos la dfinición, condicions y un jmplo. ISOMORFISMOS DE GRAFOS: Dados dos grafos: G = (V ; A ; ) y G 2 = (V 2 ; A 2 ; 2 ) S dic qu son isomorfos si y solo si xistn dos Ufuncions biyctivasu tals qu: f: V V 2 y g : A A 2 a A : 2 ( g(a) ) = f( (a)) Si no hay aristas parallas, ntoncs s suficint: u, v V : {u, v} A { f(u), f(v) } A 2 9

21 Esto significa qu si n l primr grafo hay una arista ntr dos vértics, los corrspondints a stos vértics n l sgundo grafo también dbn star unidos por una arista. En pocas palabras, dos grafos son isomorfos cuando tinn la misma structura, s dcir sus vértics stán rlacionados d igual forma aunqu stén dibujados d manra distinta. Condicions ncsarias para qu dos grafos san isomorfos: Dbn tnr la misma cantidad d vértics. Dbn tnr la misma cantidad d aristas. Dbn tnr los mismos grados d los vértics. Dbn tnr cadnas d las mismas longituds. Si uno tin ciclos, l otro también db tnrlos. Etc. Obsrvación: las condicions mncionadas son ncsarias (s dcir qu sí o sí s dbn cumplir para qu los grafos san isomorfos) pro no son suficints ( o sa qu aunqu s cumplan pud sr qu los grafos no san isomorfos) Para star sguros qu dos grafos son isomorfos, una condición suficint s qu tngan la misma matriz d adyacncia. Por jmplo: San los grafos: G : y G 2 : B Z A D W C X Y Vamos a analizar si son isomorfos: Ambos tinn 4 vértics y 5 aristas. Dfinamos la función biyctiva, hacindo corrspondr los vértics con iguals grados: f(a) = Y ; f(b) = Z ; f(c) = X ; f(d) = W La dfinición dic qu si ntr dos vértics dl primr grafo hay una arista, también db habr una arista ntr los vértics corrspondints n l sgundo grafo. 2

22 Por jmplo ntr A y B hay una arista n G, y también hay una arista ntr f(a) y f(b) n G 2. Lo mismo habría qu comprobar para cada arista. Podmos comprobarlo para todas las aristas juntas con la matriz ORDENANDO CONVENIENTEMENTE los vértics, d acurdo a la función biyctiva dfinida ntr los vértics A B C D Y Z X W A Y B Z C X D W Como las matrics son iguals podmos asgurar qu G s isomorfo a G 2. Important: Si dadas dos matrics d adyacncia corrspondints a dos grafos, llas no son iguals, no significa qu los grafos no san isomorfos, pus tal vz rordnando una d llas s puda lograr qu san iguals. Para podr afirmar qu dos grafos no son isomorfos hay qu mostrar alguna propidad structural no compartida o bin probar qu todos los ordnamintos posibls d las matrics no coincidn. Esto último no s práctico pus como sabmos la cantidad d ordnamintos posibls d n lmntos s igual al factorial d n, lo cual s una cantidad bastant lvada. Sinttizando: Los grafos rgulars, los grafos compltos K n y los grafos bipartitos y los grafos bipartitos compltos K n, m son tipos spcials d grafos. Un subgrafo s una part d un grafo dado,s pud obtnr suprimindo vértics o aristas. Los grafos conxos son aqullos n los qu xist algún camino ntr todo pard vértics. Si un grafo no s conxo tin componnts conxas. Un istmo s un vértic cuya suprsióndsconcta a un grafo conxo. Un punt s una arista cuya suprsión dsconcta a un grafo conxo. Un conjunto dsconctant s un conjunto d aristascuya suprsión dsconcta a un grafo conxo.si contin solamnt las ncsarias para dsconctar al grafo, s dnomina conjunto d cort. Un camino o ciclo s dic Eulriano si pasa por todas las aristas una sola vz.pud rptir vértics. La condición ncsaria y suficint para qu xista ciclo d Eulr s qu l grafo sa conxo y todos los vértics tngan grado par. Para camino d Eulr pud habr dos vértics d grado impar. Un camino o ciclo s dic Hamiltoniano si pasa por todoslos vértics una sola vz. En st casono hac falta rcorrr todas las aristas Dos grafos son isomorfos si structuralmnt son l mismo grafo con distinto nombr. Formalmnt db xistir una función biyctiva ntr ambos qu consrv la structura. 2

23 Ants d continuar con l próximo tma, t proponmos qu ralics los jrcicios corrspondints a sta primra part d la unidad. Hasta ahora hmos analizado los grafos no dirigidos, pro para muchas aplicacions s ncsario indicar l sntido d las aristas. Pnsmos qu las aristas rprsntan calls d un publo y los vértics son las squinas. Para podr obtnr l camino más corto ntr dos squinas dadas sin transitar n contramano, ncsitamos conocr l sntido d las calls. Por llo vamos a dfinir los dígrafos o grafos dirigidos: DÍGRAFOS Un dígrafo s una trna G = (V ; A ; ) sindo: V l conjunto d vértics V A l conjunto d aristas o arcos y la función d incidncia: : A VXV En st caso la función d incidncia s dic dirigida. Obsrvacions: La función d incidncia l hac corrspondr a cada arista un PAR ORDENADO d vértics, al primro s lo llama EXTREMO INICIAL d la arista, y l sgundo s l VERTICE FINAL. Los caminos y los ciclos s dfinn d la misma forma qu para los grafos no dirigidos, pro hay qu rsptar l sntido d las aristas. Si todos los vértics son distintos s trata d un camino simpl. Si todas las aristas son distintas, s trata d un camino lmntal. Ejmplo: V = {w,w 2,w 3,w 4 } A = {a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6 } (a )=(w ; w 2 ) (a 2 )=(w 2 ; w 3 ) (a 3 )=(w 4 ; w 4 ) (a 4 )=(w 2 ; w ) (a 5 )=(w 4 ; w ) (a 6 )= (w 2 ; w 3 ) 22

24 S pud diagramar d la siguint forma: a 4 a 3 a 2 w a 5 w 3 w 4 w 2 a a 6 Extrmo inicial d a 5 : w 4 Extrmo final d a 5 : w ARISTAS PARALELAS: a 2 y a 6 BUCLE: a 3 ARISTAS ANTIPARALELAS: a y a 4 CAMINO: C = (w 4 ; a 5; w ; a ; w 2 ; a 2 ;w 3 ) CICLO: C = (w ;a ; w 2 ; a 4 ; w ) FUNCIÓN GRADO EN UN DÍGRAFO: Comncmos por nunciar algunas dfinicions rlativas al grado d un vértic. GRADO POSITIVO: cantidad d aristas qu incidn positivamnt n l vértic (son las qu ntran al vértic). S dnota g + (v) GRADO NEGATIVO: cantidad d aristas qu incidn ngativamnt n l vértic (son las qu saln dl vértic). S dnota g - (v) GRADO TOTAL: s la suma d los grados positivo y ngativo. S dnota g(v) GRADO NETO: s la difrncia ntr l grado positivo y l ngativo. S dnota g N (v) En l jmplo antrior: a 4 a 3 a 2 w 3 w 4 a 6 w 2 a w a 5 g + (w ) = 2 ; g + (w 2 ) = ; g + (w 3 ) = 2 ; g + (w 4 ) = g - (w ) = ; g - (w 2 ) = 3 ; g - (w 3 ) = ; g - (w 4 ) = 2 g(w ) = 3 ; g(w 2 ) = 4 ; g(w 3 ) = 2 ; g(w 4 ) = 3 g N (w ) = ; g N (w 2 ) = -2 ; g N (w 3 ) = 2 ; g N (w 4 ) = - 23

25 Propidads: ) g + (v i )= A 2) g - (v i )= A 3) g(v i )= 2 A 4) g N (v i )= Todas stas propidads s pudn dmostrar. T proponmos qu lo intnts y si tins dificultads puds rcurrir al tutor. En los dígrafos pud habr vértics spcials d los qu no sal ninguna arista y s dnominan pozos. Otros, a los qu no ls llga ninguna arista, s dnominan funts. Vamos las dfinicions formalmnt: POZO: s un vértic v tal qu g - (v) = O sa, v no s xtrmo inicial d ninguna arista. FUENTE: s un vértic v tal qu g + (v) = O sa, v no s xtrmo final d ninguna arista. Los pozos y las funts son importants n muchos casos. Por jmplo si un camino conduc a un pozo, ya no s pud salir d allí. Cuando studimos las máquinas d stado finito n la última unidad, vrmos qu los pozos son los sumidros a los qu s va cuando la palabra ingrsada no s acptada por la máquina. REPRESENTACION MATRICIAL DE DÍGRAFOS MATRIZ DE ADYACENCIA Sa un dígrafo G = (V; A; ) con V = {v, v 2,, v n } y A = {a, a 2,, a m } S dfin la matriz d adyacncia d G a una matriz boolana d nxn: si a A: (a) (v ; v ) M i a (G) = (( m ij )) tal qu m ij = j n caso contrario 24

26 Ejmplo: a 9 a 2 a 3 a 4 a 6 a a 8 a 5 M a (G) = a 2 5 MATRIZ DE INCIDENCIA: Sa un dígrafo G = ( V ; A ; ) con V = { v, v 2,, v n } y A = { a, a 2,, a m } Si no tin bucls ni aristas parallas, s dfin la matriz d incidncia d G a una matriz d nxm: m Mi(G) = (( m ij )) tal qu m ij = - si v i s vértic inicial d a j si v i s vértic final d a j si v i no s xtrmo d a j Ejmplo: Para l mismo dígrafo antrior pro sin l bucl: M i (G) = GRAFO ASOCIADO A UN DÍGRAFO Dado un dígrafo, si s cambian las aristas dirigidas por aristas no dirigidas, s obtin l grafo asociado. Es dcir hay qu ignorar l sntido d las aristas. Si n l dígrafo original hay aristas parallas o antiparallas, n l grafo asociado sólo s rprsnta una d llas. 25

27 Ejmplo: Dígrafo: Grafo asociado: CONEXIDAD EN DÍGRAFOS Todo dígrafo cuyo grafo asociado sa conxo, s dnomina DÍGRAFO CONEXO. Todo dígrafo n l qu xista algún camino ntr todo par d vértics s dnomina DÍGRAFO FUERTEMENTE CONEXO Vamos los jmplos: Ejmplo : Est dígrafo s conxo y admás s furtmnt conxo. Ejmplo 2: A B C D E 26

28 Est dígrafo s conxo pus su grafo asociado lo s: A B A B C D GRAFO ASOCIADO C D E E Pro l dígrafo NO s FUERTEMENTE CONEXO, ya qu, por jmplo, no xist camino alguno qu salga dl vértic C y llgu al vértic B. Lo qu sí hay son dos COMPONENTES FUERTEMENTE CONEXAS: A B C D E CAMINOS DE EULER Y HAMILTON EN DÍGRAFOS S dfinn d forma similar qu para grafos no dirigidos, pro hay qu rsptar l sntido d las aristas. Condición ncsaria y suficint para qu xista ciclo d Eulr n un dígrafo: v V : g + (v) = g - (v) Ejmplo: En st dígrafo xist ciclo d Eulr: C = (A;;B;2;D;3;C;4;B;5;C;6:A) y un posibl ciclo d Hamilton: C = (A;;B;2;D;3;C;6;A) A 6 C 5 4 B 3 2 D 27

29 ISOMORFISMO DE DÍGRAFOS El concpto d isomorfismo d dígrafos s igual qu para grafos, pro hay qu tnr n cunta la dircción d las aristas, s dcir l grado positivo y ngativo d cada vértic y, por lo tanto so db rsptars para la asignación, s dcir la corrspondncia db stablcrs ntr los vértics dl mismo grado positivo o ngativo. Ejmplo: 5 4 A D D D B E 2 C F Son stos dígrafos isomorfos?... Si dfinimos la función: f : V V 2 tal qu f() = A ; f(2) = D ; f(3) = B ; f(4) = E ; f(5) = C ; f(6) = F y construimos las matrics d adyacncia, vrmos qu rsultan sr IGUALES: Matriz d D Matriz d D A D B E C F A 2 D 3 B 4 E 5 C 6 F Como las matrics son iguals, ntoncs los dígrafos son isomorfos. 28

30 Sintticmos lo qu dsarrollamos sobr dígrafos: Un dígrafo s un grafo dirigido D = (V ; A ; ) Hay concptos nuvos qu no xistn n los grafos, por jmplo l d aristas antiparallas, pozos y funts. El grado positivo d un vértic s l ntrant, l grado ngativo s l salint, l grado total s la suma d ambos y l grado nto s la difrncia. S pudn dfinir caminos y ciclos rsptando l sntido d las aristas. Pudn sr d Eulr o d Hamilton al igual qu n los grafos. Un dígrafo s pud rprsntar por las matrics d adyacncia y d incidncia. La matriz d adyacncia no ncsariamnt s simétrica. La d incidncia tin lmntos qu pudn sr, - para podr rprsntar l sntido d las aristas. El grafo asociado a un dígrafo s l formado por los mismos vértics y considrando las aristas sin sntido. Un dígrafo s conxo si su grafo asociado lo s. Un dígrafo s furtmnt conxo si xist camino ntr todo par d vértics. Al igual qu n los grafos, pud stablcrs o no isomorfismo ntr dos dígrafos dados. Ello srá posibl solamnt cuando s trat d la misma structura. A continuación, studiarmos un tipo spcial d grafos qu s utilizan mucho n computación, spcíficamnt n Estructuras y Bass d Datos. Son los dnominados árbols. Llamarmos árbol a todo grafo conxo y sin ciclos. Ejmplos: D los siguints grafos son árbols únicamnt G 2 y G 4 pus G tin un ciclo y G 3 no s conxo. G G 2 G 3 G 4 La siguint s una propidad muy important porqu caractriza a los árbols: Condición ncsaria y suficint: Un árbol s un grafo n l cual ntr todo par d vértics xist un único camino simpl. 29

31 Propidads básicas d los árbols: Si a un árbol s l agrga una arista ntr dos d sus vértics, dja d sr árbol. Todas las aristas d un árbol son punts. En todo árbol s cumpl qu: V = A + Intnta una justificación d cada una d las propidads antriors, y si t animas puds intntar una dmostración formal. Puds rcurrir al tutor o consultar l libro d la cátdra n l capítulo 7, si s prsntan dificultads. S dnomina BOSQUE al grafo no conxo n l cual cada una d las componnts s un árbol. Propidad: En un bosqu d k componnts s cumpl qu V = A + k Ejmplo: G 3 dl jmplo antrior s un bosqu y tin k =2 componnts. ÁRBOLES DIRIGIDOS Un dígrafo s dnomina gido cuando su grafo asociado s un árbol. D los árbols dirigidos nos intrsa studiar los árbols con raíz. El árbol con raíz s un árbol dirigido n l cual l grado ntrant (positivo) d cada vértic s igual a, salvo un único vértic con grado positivo igual a cro, llamado raíz. Ejmplo: D los siguints árbols dirigidos tinn raíz los dos últimos. 3

32 Un vértic v d un árbol s dic qu s HOJA cuando g(v) = Los VÉ INTERNOS son todos aqullos qu no son la raíz ni las hojas. S llama A a todo camino qu va dsd la raíz a alguna hoja. Otras dfinicions qu s dbn tnr n cunta son las siguints: Antcsor: v s antcsor d w xist un único camino simpl d v a w. Sucsor: w s sucsor d v n l caso antrior Padr: v s padr d w xist una arista d v a w. Hijo: w s hijo d v n l caso antrior. Hrmanos: v y w son hrmanos si tinn l mismo padr. Podríamos dcir qu s rconocn como n l árbol gnalógico. Ejmplo: a b c d f g h i j k l m o p En st árbol, la raíz s: a Las hojas son: i, j, o, p, f, g, l, m El padr d k s. Los hijos d c son f, g, h Todos los antcsors d j son, b, a Vrmos ahora otras dfinicions qu nos rsultarán útils para trabajar árbols 3

33 El NIVEL DE UN VÉRTICE s dfin n forma rcursiva: ) El nivl d la raíz s cro: n(r) = 2) Cada vértic tin un nivl más qu su padr: si p s padr d v n(v) = n(p) + ALTURA d un árbol: s l mayor NIVEL alcanzado por las HOJAS. S dic qu un árbol stá BALANCEADO cuando todas las hojas stán n l nivl MAYOR o n UNO MENOS. En l jmplo antrior, la altura dl árbol s: h = 4 Es balancado? No, pus las hojas f y g stán n l nivl 2. ARBOLES N-ARIOS Un árbol con raíz s n-ario v V: g - (v) n Es dcir, cada vértic pud tnr a lo sumo n hijos. CLASIFICACIÓN DE LOS N-ARIOS Si n=2 ntoncs s dic árbol BINARIO. Si n=3 ntoncs s dic árbol TERNARIO. Un árbol s dic n-ario rgular cuando todos los vértics tinn la misma cantidad d hijos, salvo las hojas qu no tinn hijos. Un árbol s dic n-ario rgular plno o complto cuando admás d sr n-ario rgular, todas las hojas s hallan n l mismo nivl. Ants d continuar t proponmos qu ralics l siguint jrcicio para aplicar los concptos qu acabamos d prsntar.. Dibuja un árbol trnario rgular d altura 2 qu no sa plno. 2. Dibuja un árbol binario rgular plno d altura 3 Rcurda qu puds consultar a tu tutor si tins dudas. Como n l caso d los grafos, dirigidos o no dond ra posibl obtnr subgrafos, ahora podmos ncontrar subárbols, s dcir un árbol contnido n l dado, vamos la dfinición formal Sa G = ( V ; A ; ) un árbol con raíz r. Sa v V, s llama subárbol con raíz v, y s indica T(v), al árbol qu consta d v, todos sus dscndints y las aristas ntr llos. 32

34 RECORRIDOS DE ÁRBOLES Rcorrr un árbol significa nombrar todos los vértics dl árbol siguindo un dtrminado ordn. Ello s muy important si considramos una bas d datos d forma arborscnt. Cada vértic dl árbol s un nodo d información, o sa un rgistro d la bas. Por jmplo, si tnmos una bas d datos d clints, cada nodo rprsnta a un clint, tin su númro d clint, apllido, nombr, dircción, tc. Para podr tnr un listado d todos los clints, dbmos podr rcorrr l árbol, nombrando a cada clint una vz. Como vrmos hay varias formas d hacrlo. Las siguints son las dfinicions rcursivas d los rcorridos d árbols: ORDEN PREVIO O PRE- ORDEN ORDEN SIMETRICO O IN-ORDEN ORDEN POSTERIOR O POST-ORDEN Ejmplo: a b c d f g h i j k l Rcorrido n ordn prvio: a b d h i k l c f g j Rcorrido n ordn simétrico: d b h k i l a f c j g Rcorrido n ordn postrior: d h k l i b f j g c a 33

35 Rprsntación d xprsions algbraicas mdiant árbols Si s una opración binaria, l rsultado d oprar a con b s rprsnta d la siguint forma: El oprador s la raíz y los oprandos son los hijos o subárbols. a b Si lmos st árbol n ordn simétrico, obtnmos la xprsión usual: a b Cuando rprsntamos xprsions algbraicas, son comuns los siguints nombrs: Notación Polaca: s l ordn PREVIO Notación usual o infija: s l ordn SIMÉTRICO Notación polaca invrsa: s l ordn POSTERIOR Para qué s usa la notación polaca invrsa? Por jmplo, algunas calculadoras, utilizan notación polaca invrsa para rsolvr las opracions. Disponn d un stack o pila, n la qu van almacnando los oprandos, y a mdida qu s ingrsa un oprador, calculan l rsultado d los dos últimos lmntos d la pila, djando l rsultado n su lugar. Una pila s una lista d lmntos, n la cual s van agrgando nuvos lmntos por un xtrmo y s sacan por l mismo xtrmo. S las llama LIFO (Last In First Out) Cómo s rsulv una opración? Por jmplo, si tins qu rsolvr 2/[(4+3) (9-2 3 )] con una d sas calculadoras, lo dbs hacr n notación polaca invrsa, o sa ordn postrior: Construyamos l árbol: /

36 Lo lmos n notación polaca invrsa: / Y así lo vamos ingrsando n la calculadora. ) Al ingrsar l 2, como s un oprando lo guarda n la pila: 2 2) Lugo vin l 4 y lo guarda también: 4 2 3) Lo mismo ocurr al ingrsar l 3: ) Pro al ingrsar l +, como s un oprador, xtra los dos últimos lmntos d la pila, n st caso, ntr l 4 y l 3, los opra y dicho rsultado lo coloca n la pila: ) Al ingrsar l 9 lo coloca n la pila, como así también al 2 y al 3:

37 6) Cuando ingrsamos l, xtra los dos últimos lmntos d la pila, n st caso l 2 y l 3, raliza la opración ( 2 al cubo) y la coloca n la pila: ) Con l - hac lo mismo, toma l 9 y l 8, los rsta y l rsultado lo pon n la pila: 7 2 8) Al ingrsar l signo, opra los dos últimos qu hay ahora, l 7 y l, l rsultado lo coloca n la pila: 7 2 9) Por último, con l signo / hac lo mismo, oprando l 2 y l 7, y qudando l rsultado final n la bas d la pila:.2857 Sa la xprsión: / dada n notación polaca invrsa. a) Halla y dibuja l árbol b) Indica raíz y hojas c) Indica la altura dl árbol d) Es balancado? ) Rcórrlo n prordn. f) Calcula l rsultado d la xprsión. 36

38 Otras aplicacions d árbols Los árbols son muy útils n las cincias d la computación, ya qu sirvn para rprsntar structuras d datos jrárquicas, d forma d optimizar l timpo d accso a los rgistros. En química orgánica, por jmplo, las moléculas d los alcanos son árbols. El concpto d isomtría tin qu vr con l isomorfismo. También los árbols tinn múltipls usos, ya qu con llos s pudn rprsntar datos d una manra organizada. Por jmplo, los organigramas d las organizacions son árbols dirigidos con raíz, y l hcho d qu l grado positivo (ntrant) d cada nodo o vértic sa significa la unidad d mando. Sintticmos lo qu studiamos sobr árbols: Un árbol s un grafo conxo y sin ciclos. Un árbol s un grafo n l cual xist camino único ntr todo par d vértics. En todo árbol la cantidad d vértics s uno más qu la cantidad d aristas. Un bosqu s un grafo no conxo acíclico, o sa s un conjunto d árbols. Los árbols dirigidos son dígrafos cuyos grafos asociados son árbols. La raíz d un árbol dirigido s un vértic con grado positivo cro. En un árbol dirigido con raíz s pud idntificar las hojas, los vértics intrnos, los antcsors y sucsors d un vértic, padrs hijos. El nivl d un vértic s uno más qu l d su padr sindo l nivl d la raíz cro. Los árbols dirigidos pudn sr n-arios, n-arios rgulars o n-arios rgulars plnos. Rcorrr un árbol significa nombrar todos los vértics dl árbol siguindo un dtrminado ordn. Vimos pr-ordn, inordn y post-ordn. A través d árbols s pudn rprsntar xprsions algbraicas, n sos casos los rcorridos s dnominan notación polaca, infija y polaca invrsa rspctivamnt. Si no tins dudas sobr los tmas qu abarca sta Unidad, t invitamos a iniciar l studio d la última unidad dl Programa. 37