UN EXPERIMENTO NUMERICO SOBRE EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS EN Mat Lab 5.1

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1 UN EXPERIMENTO NUMERICO SOBRE EL PROBLEMA DE LOS TRES CUERPOS EN Mat Lab 5. Lc. Juan Valentín Mendoza Mogollón Docente del Departamento de Matemátcas Unversdad Naconal de Pura, Perú Julo 4 Resumen. En este trabajo se obtene la representacón formal de las ecuacones dferencales, por aplcacón de las lees de Newton, que gobernan al movmento de tres cuerpos en el plano, vale decr, un solo cuerpo nfluencado por otros dos fjos. Se resuelve este sstema generando un sstema de prmer orden no lneal de cuatro varables dnámcas (dos para la poscón dos para la velocdad, por el método de Runge Kutta se obtene una aproxmacón de las traectoras que debe segur el cuerpo en un movmento real con determnadas condcones ncales. Por ello se muestra, tambén, los programas en Mat Lab 5. que permten vsualzar estas traectoras en el plano. Abstrac In ths paper, the formal representaton of the dfferental equatons s obtaned, for applcaton of the laws of Newton that govern to the movement of three bodes n the plane, t s worth to sa, a sngle bod nfluenced for other two fxed. Solved ths sstem generatng a sstem of frst non lneal order of four dnamc varables (two for the poston and two for the speed and, for the method of Runge Kutta an approach of the trajectores s obtaned, that should follow the bod n a real movement and wth certan condtons ntals. For t s shown t, also, the programs n Mat Lab 5. that allow to vsualze these trajectores n the plane.. Introduccón. El sstema físco que consste en las órbtas de dos masas que nteractúan por la aceleracón gravtaconal puede ser expresado como una ecuacón dferencal. Usando las lees de movmento de Newton la fórmula de la fuerza gravtaconal, el movmento de estas dos masas puede ser descrto como una funcón del tempo. Decmos que tal sstema es analítcamente soluble. Las fórmulas obtendas demuestran que las masas sguen órbtas elíptcas alrededor del centro combnado de masa de los dos cuerpos. Sn embargo, un sstema de tres o más masas nteractuando exclusvamente por la aceleracón gravtaconal no es analítcamente soluble. El así llamado problema de los tres cuerpos, tene un espaco de estados 8-dmensonal, pues, para

2 resolver el sstema se necesta conocer las tres poscones ( x,, z las tres velocdades ( x,, z para cada masa, es decr, un total de 8, números. Para este caso no exste una solucón explcta del sstema de ecuacones dferencales, pero se pueden utlzar métodos computaconales para aproxmar las solucones de las ecuacones que resultan de las lees de movmento de Newton estas aproxmacones nos dan una dea del comportamento complcado de las traectoras de este sstema. Por un tempo no fue conocdo que no había tales fórmula explctas que resuelvan el sstema. En 889, por conmemoracón del 6 anversaro de nacmento del Re Oscar II de Sueca Noruega, se convocó al concurso de presentar la mejor nvestgacón en mecánca celeste que lleve a decdr sobre la establdad del sstema solar, Es estable el sstema solar?. Uno de los puntos relevantes fue el problema de los tres cuerpos. Henr Poncaré, un profesor de la unversdad de Pars, fue declarado ganador, quen resolvó cualtatvamente el problema de los tres cuerpos por los métodos conceptos que aportó a la solucón de este problema, los que han contrbudo a darle la forma actual a la teoría de sstemas dnámcos señalaron el camno a las nvestgacones posterores.. Materales métodos. En este artículo usaremos el método de Runge Kutta de orden 4 para la solucón numérca de un sstema de ecuacones. La programacón se realza en el Software Centífco Mat Lab 5... Dscusón Para plantear una solucón aproxmada del movmento de los tres cuerpos se efectúa las sguentes smplfcacones: I. Asumremos que los tres cuerpos se encuentran en movmento sobre un plano. Aquí el plano será OXY. II. Consderemos, tambén, que dos de los cuerpos son mu grandes en comparacón con la tercera masa que está masa no afecta el movmento de las otras dos. Podemos magnar que son dos estrellas un pequeño asterode. En general las dos estrellas grandes deben vajar en elpses alrededor de su centro combnado de masa, pero haremos una smplfcacón adconal: Las dos masas se encuentran fjas en el plano OXY que la tercera masa es la únca que posee movmento. Sean las dos masas maores la tercera masa con m m m m << m, m << m. m (, m (a, x,. Incalmente la masa m ( x, ( x, Consderemos que esta fja en el orgen que está en el punto, mentras que las coordenadas varables de m son ( esta ubcada en el punto con una velocdad de salda de, es decr: ( x(, ( ( x, ( x (, ( ( x,...(.

3 m (x, F F Fgura (, m m (a, Por la le de Newton: F ma aplcada a m se encuentra la ecuacón dferencal que goberna el movmento de esta masa, donde las úncas fuerzas que actúan son las Gmm gravtaconales: F u r. De la fgura : r F + F m x'', '' ( x Gm m + / ( x. ( + Gm ( a x + Expresando esta ecuacón por componentes: Gm x Gm ( x a x'' / / x + x a + '' ( ( Gm Gm ( x + / ( x a + / m / ( a x, m ( x'', ''... (. Introducendo las varables u x', v ', el sstema (. de segundo orden se converte en un sstema no lneal de prmer orden: x' u ' v Gm x Gm ( x a u' ( + / /... (. x ( x a + Gm Gm v' / ( x + / ( x a + S ( ( ( ( Gmx Gm ( x a Gm Gm f ( X u, v,, / / / / x + x a + x + x a + de (., (. (. se tene el sguente teorema:

4 Teorema. S X ( x,, u, v, el sstema de movmento de los tres cuerpos, con las smplfcacones I II se puede formalzar como un sstema de ecuacones no lneales: X ' f ( X X ( x(, (, u(, v( ( x,, x', ' (. ( S defnmos q ( x,, este vector representa la poscón s p ( u, v, el vector de velocdades, este representa el momento. Defncón. Un sstema se llama Hamltonano s exste una funcón H : R N R, llamada Hamltonano o funcón de energía para la cual se puede representar el sstema por la ecuacones de Hamlton: H p' q (.4 H q' p donde p q son N-dmensonales. Teorema. El movmento de los tres cuerpos, con las smplfcacones I II, es un sstema Hamltonano con funcón de energía: mg mg u v H ( q, p, t H ( x,, u, v, t (.5 / / x + x a + ( ( Los sstemas Hamltonanos son un clásco de los sstemas dnámcos que ocurren en una gran varedad de fenómenos. Las propedades especales de las ecuacones de Hamlton les otorgan atrbutos que dferen cualtatvamente fundamentalmente de otros sstemas, por ejemplo, los sstemas Hamltonanos no tenen atractores. En el caso especal que el Hamltonano no tene dependenca explcta del tempo, H H ( q, p puede ser usado en las ecuacones de Hamlton para demostrar que, cuando p q varían en el tempo, el valor de H ( q( t, p( t permanece constante: dh dq H dp H H H H H. +.. dt dt q dt p p q q p Así, como hemos dentfcado el valor de Hamltonano con la energía del sstema, vemos que la energía es conservada en sstemas ndependentes del tempo, es decr, E H ( p, q Conste. a través del tempo. 4

5 Es claro que no exste una solucón explcta del sstema (.; sn embargo, se puede encontrar una solucón numérca aproxmada de (. para determnadas condcones ncales. El método de resolucón es llamado el método de Runge Kutta de orden 4 se enunca: Teorema. Una ecuacón dferencal en n R de prmer orden: ' f ( X, t X, X ( t X, se puede resolver con una aproxmacón de o ( h 4, donde h > es un número real, defnendo: X ( X, t+ t + h t + h las aproxmacones de X ( t + por: X ( t + X + X + ( k + k + k + k4 6 donde: k hf ( X, t k k k 4 hf ( X hf ( X hf ( X k h +, t + k h +, t + + k, t + h 4. Resultados. S aplcamos el método de RungeKutta al sstema (. de movmento de m, se generará una sere de puntos 4-dmensonales que ofrecen una aproxmacón a las traectoras reales del sstema. Las dos prmeras coordenadas ( x, de estos puntos 4-dmensonales corresponden a la poscón en el plano de m las coordenadas ( u, v a los valores de la velocdad vectoral en esos puntos. En el Software Mat Lab se ha realzado la programacón del método de Runge Kutta para el sstema (.. Se requere defnr una funcón campovectoral.m que calcule los valores del campo vectoral f (x : functon acampovectoral(x,,u,v,m,m,d G.667; fu; fv; fg*(-(m*x/((x^+^^(/+(m*(d-x/(((d-x^+^^(/; f4-g*((m*/((x^+^^(/+(m*/(((d-x^+^^(/; a[f,f,f,f4]; La solucón numérca del sstema de ecuacones que gobernan el movmento de las tres masas se da en el sguente programa masas.m que reproduce el plano de fase de (. solo para las coordenadas de poscón: 5

6 fgure(; m.8985e+5; m.489e+5; a; t; tt+h; hold on; h.5; x.6;.5; u-.8; v.9; %h.5; x.4;.4; u-.; v-.; %h.5; x.4;.4; u-.5 v-.; %h.5; x;.5; u-.6; v.6; %resulta un movmento de cuascometa %h.5; x;.5; u-.67; v.6; %h.5; x-;.5; u.; v.4; %h.5; x-;.5; u.; v.55; %resulta un movmento de cometa %h.5; x;.5; u-.4; v.; %h.5; x;.5; u-.5; v.4; %h.5; x;.5; u-.5; v.4; %h.5; x;.5; u-.6; v.4; plot(,,'*r'; plot(,,'*r'; plot(x,,'+g'; for :, tt+h; kh*campovectoral(x,,u,v,m,m,a; kh*campovectoral(x+k(/,+k(/,u+k(/,v+k(4/,m,m, a; kh*campovectoral(x+k(/,+k(/,u+k(/,v+k(4/,m,m, a; k4h*campovectoral(x+k(,+k(,u+k(,v+k(4,m,m,a; xx+(k(+*k(+*k(+k4(/6; +(k(+*k(+*k(+k4(/6; uu+(k(+*k(+*k(+k4(/6; vv+(k(4+*k(4+*k(4+k4(4/6; plot(x,,'.b'; end zoom on Estos dos programas se deben almacenar en archvo C:Matlab/bn, que contene a todas las funcones defndas por el usuaro. Luego se pueden complar desde la hoja de cálculo de Matlab 5.. Al complar este programa en Matlab se obtuveron los resultados: Ejemplo. Estas traectoras se obtenen s los valores ncales de la poscón de la masa m son (,.5 la velocdad ncal es (.6,.6 6

7 Ejemplo. En esta fgura se muestra el movmento de la masa m s las condcones ncales para la poscón son (.6,.5 para la velocdad ncal (.8,.9 Ejemplo. Para plotear la orbta de m en este caso se utlzo la poscón ncal (4.4,.4 la velocdad ncal (.,. Ejemplo 4. Para las condcones ncales de este ejemplo, la masa m se comporta como un cometa alrededor de las masas m m. En este caso se dce que el sstema es estable 7

8 Esta fgura representa las traectoras con un tamaño de paso h.5 5. Conclusones. Es evdente que las traectoras de la masa Esta fgura se obtene con h.5, x,.5; u-.5; v.4 m son dferentes para dferentes condcones ncales no sguen un comportamento unforme con respecto a estas condcones ncales. Se puede conclur que: a El sstema que goberna el movmento de la masa m, con las smplfcacones I II se puede smular numércamente usando el método de Runge Kutta, para dferentes condcones ncales. b Las ecuacones dferencales que descrben el movmento de la masa m, conforman un sstema Hamltonano en el cual se conserva la energía, es decr es un sstema conservatvo. c La aproxmacón del método de Runge Kutta es sufcente para lograr un desarrollo de las traectoras que no dferan consderablemente de las traectoras reales. 6. Recomendacones. a Se recomenda programar las solucones numércas de las ecuacones de movmento de los tres cuerpos, sn suponer que dos de ellos están fjos. b Utlzar métodos más exactos, como el método de Nevlle, para soluconar sstemas de ecuacones dferencales, con la ventaja que es un método más aproxmado que el de Runge Kutta, pero que efectúa más cálculos nternos, lo que aumenta el tempo de complacón de estos programas 7. Referencas bblográfcas.. Allgood, K; Sauer, T. and Yorke, J Chaos: An ntroducton to dnamcal sstems, Edtoral Sprnger, New York, pp Gaponov-Greklov and Rabnovch, M. 99, Non lneartes n acton, Novgord-Rusa, Edtoral Sprnger Verlag. Pp 5-.. Ott, Edward, 99, Chaos n dnamcal sstems, Cambrdge, Edtoral Unverst Press Cambrdge, pp 8-4. Verhulst, F, 996, Non lnear dfferental equatons and dnamcal sstems, Edtoral Sprnger, Utrecht, Rusa, pp -5 8