RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

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1 UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLAS ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA (ICAI) INGENIERO EN INFORMÁTICA PROYECTO FIN DE CARRERA RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES AUTOR: Dª. CARLOTA SÁEZ CANALES MADRID, SEPTIEMBRE 2006

2 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Agradecmentos Quero agradecer a m madre el apoo que me ha dado en estos años de carrera, especalmente en este últmo año, por su comprensón por hacerme las cosas más fácles. Tambén quero dar las gracas a Lda, Natala Oscar por ser grandes amgos en todos los momentos de m vda por audarme a segur adelante. Agradecer a Francsco Javer Rodrígue Góme su auda para poder realar este proecto, su pacenca comprensón. Tambén quero menconar al Atrl, por sus grandes desaunos que me daban fueras para hacer este proecto. I

3 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Resumen Este proecto consste prncpalmente en el estudo de las bases matemátcas, análss dseño de los dferentes algortmos numércos que resuelven el problema de los sstemas de ecuacones no lneales. Para el desarrollo de dchos algortmos se ha empleado el paquete de cálculo numérco, smbólco gráfco Mathematca debdo a las grandes posbldades de cálculo representacón gráfca que ofrece. Es un sstema de computacón numérco smbólco que ncorpora un excelente lenguae de programacón la capacdad de ntegrar cálculos, gráfcos texto, en un msmo documento. Prncpalmente las característcas que dstnguen a Mathematca de los programas de análss convenconales son su versátl nterfa gráfca su sofstcado lenguae de programacón. Como prueba de todo esto, la aplcacón de Mathematca en los campos de la Economía, Físca, Químca, Bología o Lngüístca. Tambén se ha desarrollado un nterfa gráfco mplementado con GUIt, que permte desarrollar aplcacones ndependentes con cálculos sofstcados creacón de gráfcos. La metodología empleada en este proecto ha consstdo báscamente en detallar la teoría matemátca de cada método numérco, su dseño en pseudocódgo, su codfcacón su desarrollo en el paquete de cálculo numérco, smbólco gráfco Mathematca, la resolucón práctca de todos los eemplos problemas planteados para facltar la comprensón de los algortmos estudados comprender su aplcacón práctca. En la resolucón de los problemas se muestra como solucón los cálculos más mportantes que se II

4 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales realan en cada teracón para resolver el problema, un tabla resumen con los datos más mportantes que resultan de cada teracón, por últmo, la solucón aproxmada del problema. Además se ha creado una nterfa gráfca para que el usuaro pueda resolver los sstemas de ecuacones no lneales de una forma más fácl. En matemátcas, los sstemas de ecuacones no lneales representan sstemas cuo comportamento no es expresable como la suma de los comportamentos de sus partes. En partcular, el comportamento de sstemas de ecuacones no lneales no está sueto al prncpo de superposcón, como lo es un sstema lneal. La lnealdad de un sstema de ecuacones permte a los nvestgadores hacer certas suposcones matemátcas aproxmacones, permtendo un cálculo más sencllo de los resultados. Como los sstemas no lneales no son guales a la suma de sus partes, usualmente son dfícles de modelar, sus comportamentos con respecto a una varable dada, por eemplo el tempo, es extremadamente dfícl de predecr. Además, los sstemas no lneales son sstemas en los que sus partes o componentes nteractúan de tal forma que se da una contnua nfluenca mutua o relacón causal que se retroalmenta. Esta nfluenca mutua puede descrbrse medante funcones no lneales. Las ecuacones no lneales son de nterés en el campo de la cenca tecnología debdo a que la maoría de los problemas físcos son mplíctamente no lneales en su naturalea. Una ecuacón no lneal es una ecuacón de la forma f(x) = 0, para algún valor desconocdo de x no puede ser dbuada en un plano medante una línea. En muchos casos, manpulando una ecuacón no lneal algebracamente, se puede dar una fórmula explícta para la obtencón de la solucón o solucones. Por eemplo para la ecuacón de segundo grado, se dspone de una fórmula analítca que da su solucón. III

5 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Sn embargo, en otras muchas ocasones es mu dfícl, ncluso mposble en la maor parte de los casos, obtener la solucón exacta de la ecuacón por métodos algebracos. Algunos eemplos que no puede ser resueltos de forma exacta son: x - 2 = sen (x) - 3, cos(x) + Exp(x) = sen(x) - 5. En estos casos, es necesaro recurrr a métodos numércos para obtener una solucón aproxmada para dar una estmacón del error cometdo en tal aproxmacón, es decr, aproxmar la raí con el grado de precsón deseado. En este proecto se han analado ses métodos numércos para la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales, estos métodos son los sguentes: 1. Método del Punto Fo. 2. Método de Sedel. 3. Método de Newton. 4. Método de Cuas - Newton. 5. Método de la Máxma Pendente. 6. Método de Contnuacón u Homotopía. Algunos eemplos de aplcacones de ecuacones no lneales son: la relatvdad general, la teoría del caos, las ecuacones de Naver - Stoes de dnámca de fludos, la óptca no lneal, el sstema del clma de la Terra, el balanceo de un uncclo robot o la gestón de las organacones. El prncpal obetvo de este proecto es dseñar una herramenta que aude a calcular IV

6 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales solucones aproxmadas a sstemas de ecuacones no lneales medante el desarrollo e mplementacón de dferentes métodos numércos que resuelven de forma aproxmada este tpo de sstemas de ecuacones. Pero además, tambén se han consegudo otros obetvos como el estudo de los métodos numércos que resuelven sstemas de ecuacones no lneales de la convergenca de dcho métodos para dentfcar el meor método a emplear en cada tpo de problema, determnar el error cometdo en la aproxmacón numérca de las solucones. Se ha dseñado un paquete de funcones en el lenguae Mathematca que contene los algortmos numércos que se emplean en la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales, de esta forma se pueden abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería cas mposble de resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar a la cantdad de cálculos a realar. Este paquete de funcones se ha creado sguendo una estructura modular para permtr futuras ntegracones con otros sstemas o meoras. V

7 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Abstract Ths Proect conssts manl on the stud of the mathematcal bass, analss and desgn of the dfferent numercal algorthms that resolves problems of nonlnear equaton sstems. The pacet of numercal calculus, smbolc and graphcal Mathematca s used for the algorthms because the pacet has bg possbltes of calculus and graphcal representatons. That s a sstem of numercal and smbolc computaton that has an excelent programmng language and capact of mae up calculus, graphcs and text on one document. The manl characterstcs that dstngush Mathematca of conventonal analtcal program are her versatle graphcal nterface and her sophstcated programmmng language. As a proof of ths, the applcaton of Mathematca on felds such as Econom, Phscs, Chemestr, Bolog or Language. As well, t has been developed a graphcal nterface mplement wth GUIt, that allows to develop ndependent applcatons wth sophstcates calculus and creaton of graphcs. The methodolog used n ths Proect conssts bascall on lstng the mathematcal theor of each numercal methods, ts desgn on pseudocodem, ts codfcaton and developng wth the pacet of numercal calculus, smbolc and graphcal Mathematca, and the practcal resoluton of ever examples and problems proposes to mae eas the compreson of the studes algorthms and to comprse ts practcal applcaton. In the resoluton of problems t s shown as a soluton the most mportant calculus that are carred out n such teraton for resolve the problem, a summar table wth the most mportant data that results VI

8 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales n such teraton, and fnall, the approxmate soluton of the problem. As well, a graphcal nterface s created for the user can resolve the nonlnear equaton sstems easl. In mathematcs, the nonlnear equaton sstems represents sstems wch behavour s not exppresable such the sum of the behavour of ts parts. In specal, the behavour of nonlnaer equaton sstems are not subect to the superposton prncple, such as s a lnear sstem. The lnalt of the equaton sstems allows researchers mae mathematcal suppostons and approxmatons, permttng a easl calculus of results. Such the nonlnear sstems are not equals to the sum of ts parts, usuall the sstems are dfcult of model, and ts behavours wth regard to one varable gven, for example, the weather, s extremel dffcult to predct. As well, the nonlnear sstems are sstems n that ts parts or components nteract wth a contnuous mutual nfluence. Ths mutual nfluence can be descrbed wth nonlnear functons. The nonlnear equatons are nterested n the feld of scence and thecnolog because the most of phscal problems are mplctl nonlnear n her nature. A nonlnear equaton s a equaton of form f(x) = 0, for an unnown value of x and t can not be drawn n a plane wth a lne. In man cases, manpulatng algebratcment a nonlnear equaton, can gve an explct formula to obtan the soluton or solutons. For example for the second grade equaton, exsts one analtcal formule that gves the solton. Nevertheless, n other cases s dffcult, even mpossble n the maort of cases, to obtan the exact soluton of the equaton wht algebratcal methods. Some exaples that can not be resolves n the exact form are: x - 2 =sen (x) - 3, cos(x) + Exp(x) =sen(x) - 5. In ths cases, VII

9 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales s necesar to recourse to numercal methods to obtan an approxmate soluton and to gve an estmaton of the mstae maed on the approxmaton, t means, to approx the root wth the precoson ran whsed. Sx numercal methods are analed n ths proect for resolve nonlnear equaton sstems, ths methods are the followngs: 1. Method of fxed pont. 2. Method of Sedel 3. Method of Newton. 4. Method of Cuas - Newton. 5. Method of maxmun slope. 6. Method of Contnuaton or Homotop. Some examples of applcaton of nonlnear equaton are: the general relatvt, the chaos theor, the Naver - Stoces equatons of dnamc fluds, the optcs nonlnear, the weather clmate sstem of the Earth or the organaton management. The manl obectve of ths proect s to desgn a tool that helps to calculate approxmate solutons for nonlnear equatons sstems b means of developng and mplementaton of dfferents numercal methods that resolves ths tpe of equaton sstem wth a approxmate form. As well, other obetves are achved: the stud of numercal methods that resolves nonlnear equaton sstems and convergence of the methods for dentf the best method to VIII

10 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales use n each tpe of problem, determnate the mstae maed on the numercal approxmaton of solutons. A pacet of functons n Mathematca language s desgned and contans the numercal algorthms that are used on the resoluton of nonlnear equaton sstems, on ths form problems of the real world can be tacled that on other form wll be hardl mpossble to resolve wth a manual form, gven the rase number of dates to process and the lot of calculos to mae. Ths pacet of functons s created followng a modular structure to allow futures ntegratons wth other sstems or mprovements. IX

11 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Índce Agradecmentos... Resumen... Abstract... v Índce... x 1. Introduccón Obetvos Método del Punto Fo Introduccón Pseudocódgo Problemas Método de Sedel Introduccón Pseudocódgo Problemas Método de Newton Introduccón Pseudocódgo Problemas Método de Cuas- Newton Introduccón Pseudocódgo Problemas Método de la Máxma Pendente X

12 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 7.1 Introduccón Pseudocódgo Problemas Método de Contnuacón u Homotopía Introduccón Pseudocódgo Problemas Interfa de Usuaro Ventana ncal Ventana Método del Punto Fo Ventana Método de Sedel Ventana Método de Newton Ventana Método de Cuas - Newton Ventana Método de la Máxma Pendente Ventana Método de Contnuacón u Homotopa Metodología Valoracón económca Introduccón Técncas de estmacón de costes Costes del Proecto Conclusones Anexo I. Manual de Instalacón de Usuaro Manual de Instalacón Manual de Usuaro Bblografía CD-ROM con el códgo de los algortmos numércos de Resolucón de Sstemas de Ecuacones no Lneales en Mathematca. XI

13 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 1. Introduccón Este proecto consste prncpalmente en el estudo de las bases matemátcas, análss dseño de los dferentes algortmos numércos que resuelven el problema de los sstemas de ecuacones no lneales. Para el desarrollo de dchos algortmos se ha empleado el paquete de cálculo numérco, smbólco gráfco Mathematca debdo a las grandes posbldades de cálculo representacón gráfca que ofrece. Tambén se ha desarrollado una nterfa gráfca mplementada con GUIt, que permte desarrollar aplcacones ndependentes con cálculos sofstcados creacón de gráfcos que se nclue en la versón de Mathematca 5.2. Por últmo, se han planteado resuelto dferentes problemas para facltar la comprensón de los algortmos estudados comprender su aplcacón práctca. En matemátcas, los stemas de ecuacones no lneales representan sstemas cuo comportamento no es expresable como la suma de los comportamentos de sus partes. En partcular, el comportamento de sstemas de ecuacones no lneales no está sueto al prncpo de superposcón, como lo es un sstema lneal. Un sstema lneal es el que su comportamento no puede ser la suma de sus partes. La lnealdad de un sstema de ecuacones permte a los nvestgadores hacer certas suposcones matemátcas aproxmacones, permtendo un cálculo más sencllo de los resultados. Como los sstemas no lneales no son guales a la suma de sus partes, usualmente son dfícles de modelar, sus comportamentos con respecto a una varable dada, por eemplo el tempo, es extremadamente dfícl de predecr, además, los sstemas no lneales son sstemas en los que 1

14 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales sus partes o componentes nteractúan de tal forma que se da una contnua nfluenca mutua o relacón causal que se retroalmenta. Esta nfluenca mutua puede descrbrse medante funcones no lneales. Las ecuacones no lneales son de nterés en el campo de la cenca tecnología debdo a que la maoría de los problemas físcos son mplíctamente no lneales en su naturalea. Una ecuacón lneal puede ser descrta usando un operador lneal, L se puede dbuar en un plano cartesano medante una línea. Una ecuacón lneal en algún valor desconocdo de x tene la forma L x = 0. Una ecuacón no lneal es una ecuacón de la forma fhxl = 0, para algún valor desconocdo de x no puede ser dbuada en un plano medante una línea. Para poder resolver cualquer ecuacón se necesta decdr en qué espaco matemátco se encuentra la solucón x. Podría ser que x es un número real, un vector o una funcón. Las solucones de ecuacones lneales pueden ser generalmente descrtas como una superposcón de otras solucones de la msma ecuacón. Esto hace que las ecuacones lneales sean más fácles de resolver. Las ecuacones no lneales son mucho más compleas, mucho más dfcles de entender por la falta de solucones smples superpuestas. Para las ecuacones no lneales las solucones generalmente no forman un espaco vectoral, en general, no pueden ser superpuestas para producr nuevas solucones. Esto hace el resolver las ecuacones mucho más dfcl que en sstemas lneales. En muchos casos, manpulando la ecuacón algebracamente, se puede dar una fórmula explícta para la obtencón de la solucón o solucones. Por eemplo, para la ecuacón de segundo grado a + b x + c = 0, se dspone de la fórmula x = I-b è!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 2-4 a cmëh2 al. 2

15 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Sn embargo, en otras muchas ocasones es mu dfícl, ncluso mposble en la maor parte de los casos, obtener la solucón exacta de la ecuacón por métodos algebracos. Algunos eemplos que no puede ser resueltos de forma exacta son: x - 2 = senhxl - 3 coshxl, 2 x - 5. En estos casos, es necesaro recurrr a métodos numércos para obtener una solucón aproxmada para dar una estmacón del error cometdo en tal aproxmacón, es decr, aproxmar la raí con el grado de prescón deseado. La resolucón de un sstema de ecuacones no lneales es un problema que se evta s es posble, normalmente aproxmando el sstema no lneal medante un sstema de ecuacones lneales. Cuando esto no resulta satsfactoro, ha que abordar el problema drectamente aplcando los dferenetes métodos dsponbles. En este proecto se van a analar ses métodos numércos para la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales, estos métodos son los sguentes: 1. Método del Punto Fo. 2. Método de Sedel. 3. Método de Newton. 4. Método de Cuas - Newton. 5. Método de la Máxma Pendente. 6. Método de Contnuacón u Homotopía. Algunos eemplos de aplcacones de ecuacones no lneales son: la relatvdad 3

16 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales general, la teoría del caos, las ecuacones de Naver - Stoes de dnámca de fludos, la óptca no lneal, el sstema del clma de la Terra, el balanceo de un uncclo robot, la ecuacón de transporte de Boltmann, la ecuacón de Kortewg-de Vres, la ecuacón no lneal de Schroednger o la gestón de las organacones. En resumen, el obetvo del presente proecto consste en el estudo de los sstemas de ecuacones no lneales. Para ello, se analarán los métodos o algortmos numércos para la resolucón de estos sstemas se hará un estudo sobre la aplcabldad de cada método a dferentes tpos de sstemas de ecuacones no lneales. 4

17 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 2. Obetvos El prncpal obetvo de este proecto es dseñar una herramenta que aude a calcular solucones aproxmadas a sstemas de ecuacones no lneales medante el desarrollo e mplementacón de dferentes métodos numércos que resuelven de forma aproxmada este tpo de sstemas de ecuacones. Pero además, tambén se desprenden los sguentes sub-obetvos en el desarrollo del software para la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales: 1. El estudo de los métodos numércos que resuelven sstemas de ecuacones no lneales. 2. Estudar la convergenca de los métodos para saber cuál es el método más adecuado. 3. Resolucón medante métodos numércos de los sstemas de ecuacones no lneales. 4. Determnar el error cometdo en la aproxmacón numérca de las solucones. 5. Dseñar un paquete de funcones en el lenguae Mathematca que contendrá los algortmos numércos que se emplearán en la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales. 6. Aprendae famlaracón con el desarrollo e mplantacón de algortmos en Mathematca. 7. Abordar problemas del mundo real, que de otro modo sería cas mposble de 5

18 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales resolver de forma manual, dado el elevado número de datos a procesar a la cantdad de cálculos a realar. 8. Emplear medos nformátcos actuales como una herramenta más en el estudo aprendae. 9. Desarrollar una nterfa gráfca de usuaro con el paquete GUIKt de Mathematca. 10. Desarrollo modular del software lo que permte futuras ntegracones con otros sstemas la nclusón de meoras o modfcacones. 11. La herramenta debe ofrecer como salda, un archvo de texto, en el que se presente el nforme detallado de las operacones realadas en las dferentes teracones realadas en cada método, mu útles en cuanto al estudo compresón de los algortmos. 12. Y por últmo, desarrollar un software útl para que en casos futuros sea utlado de forma fácl para poder resolver problemas que necesten calcular sstemas de ecuacones no lneales. 6

19 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 3. Método del Punto Fo 3.1 Introduccón Un sstema de ecuacones no lneales tene la forma f 1 H,,..., x n L f 2 H,,..., x n L f n H,,..., x n L (1) donde se puede consderar que toda funcón f aplca un vector x = H,,..., x n L t (2) del espaco n - dmensonal n en la recta real. En la sguente fgura se muestra una representacón geométrca de un sstema no lneal cuando n = 2. Sstema no lneal cuando n = 2. Fgura 1 7

20 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales De manera general, un sstema de n ecuacones no lneales con n ncógntas puede representarse medante la defncón de una funcón F de n en n por medo de : FH,,..., x n L = f 1 H,,..., x n L f 2 H,,..., x n L.... f n H,,..., x n L (3) S se usa la notacón vectoral para representar las varables,,..., x n, el sstema no lneal anteror se escrbe como sgue: FHxL = 0. (4) Las funcones f 1, f 2,..., f n son, entonces, las funcones coordenadas o componentes de F. Para poder aplcar el método del Punto Fo en la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales es necesaro el estudo de algunos conceptos relaconados con la contnudad dferencabldad de las funcones de n en n de n en. Defncón 1. Sea f una funcón defnda en el conunto D Õ n con valores en. Se dce que la funcón f tene un límte L en x 0 se escrbe lím xøx 0 fhxl = L s, dado cualquer número > 0, exste un número d > 0 tal que» fhxl - L» sempre que x œ D 0»» x - x 0»» d. 8

21 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales En esta defncón puede usarse cualquer norma que resulte convenente; el valor específco de d dependerá de la norma elegda, pero la exstenca el valor del límte L son ndependentes de la norma utlada. Defncón 2. Se dce que la funcón f de D Õ n en es contnua en x 0 œ D s exste lím xøx 0 fhxl se tene f(x 0 ) además lím fhxl = fhx 0 L. xøx 0 Se dce, además, que f es contnua en el conunto D s f es contnua en cada punto del conunto D, lo que se expresa escrbendo f œ CHDL. Se defnen los conceptos de límte contnudad para funcones de n en n a través de sus funcones componentes de n en. Defncón 3. Sea F una funcón de D Õ n en n de la forma FHxL = El límte de F es f 1 H xl f 2 H xl.... f n H xl lím FHxL = L = HL 1, L 2,..., L n L t xøx 0 s sólo s lím xøx0 f HxL = L para cada = 1, 2,..., n. 9

22 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La funcón F es contnua en x 0 œ D s lím xøx0 FHxL exste lím xøx0 FHxL = FHx 0 L. Además, F es contnua en el conunto D s lo es en cada x de D. Este concepto se expresa escrbendo F œ CHDL. ô Teorema 1. > 0 con Sea f una funcón de D Õ n en x 0 œ D. S exsten las constantes d > 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ fhxl x K, para cada = 1, 2,..., n. sempre que»» x - x 0»» d x œ D, entonces f es contnua en x 0. Defncón 4. Por defncón, una funcón G de D Õ n en n tene un punto fo en p œ D s GHpL = p. ô Teorema 2. Sea D = 88,,..., x n < t» a x b para toda = 1, 2,..., n< para algún conunto de constantes a 1, a 2,....., a n b 1, b 2,..., b n. Suponendo que G es una funcón contnua de D Õ n en n con la propedad de que GHxL œ D sempre que x œ D. Entonces G tene un punto fo en D. Y suponendo, además, que G tene dervadas parcales contnuas que exste una constante 1 con ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ fhxl x ÅÅÅÅÅÅÅ K sempre que x œ D, para toda = 1, 2,..., n n toda funcón componente g. Entonces la sucesón 8x HL < =0 defnda por una x selec- 10

23 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales conada en D arbtraramente generada por x HL = GHx H-1L L, para cada 1, converge en el punto fo únco p œ D 3.2 Pseudocódgo»» x HL - p»» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ K 1-»» xh1l - x»». è Algortmo 1. Algortmo del Punto Fo El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales medante el método del Punto Fo es el sguente. Algortmo del Punto Fo Input I8fH,..., x m L< 1 m, 8f trans H,..., x m L< 1 m, H (* Se ncalan las varables *)... x m L T, errorm p H... x m L T error_ncal Whle error_ncal >= error do H* Se evalúa la funcón transformada en el punto*l f trans1 HpL f trans2 HpL p_sg... f trans3 HpL (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos *) error_ncal»» p_sg - p»» p p_sg + 1 End Return Hx HL ª HpL T L Output 11

24 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 3.3 Problemas à Problema 1. Aplíquese el método de Punto Fo para sstemas no lneales para aproxmar el sstema de ecuacones no lneales sguente, ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.1, 0.1, -0.1L T e terando hasta que P +1 - P f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H - 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e H10 p - 3Lê3 = 0. Solucón Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = 93 Cos@ D + 1ê2, 1 81 H 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D π 3 =; 3 ecuaconestrans = H2 Cos@ D + 1L, 1 "################################ ########## 1 + Sn@ D , Exp@ D + 10 π 3 =; 3 d = ; p = 80.1, 0.1, 0.1<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ fh,, L = 1-81H - 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅ 6 I2 cosihx H-1L 2 LHx H-1L 3 LM + 1M 1 ÅÅÅÅÅ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx H-1L %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 1 L 2 + snihx H-1L 3 LM ÅÅÅÅÅÅÅ 20 I- -H H-1L LH H-1LL + 1 ÅÅÅÅÅ 3 H3-10 plm Tabla de datos. 12

25 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L µ H3L H4L H4L H4L µ µ µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = µ à Problema 2. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0. Aplíquese el método de Punto Fo ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2 M T e terando hasta que P +1 - P a) P 0 = I, M T = H0, 0L T. b) P 0 = I, M T = H0.8, 0.8L T. Solucón a) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , <; 13

26 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales ecuaconestrans = H L, 1 10 H L=; d = ; p = 80.0, 0.0<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = = 0 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 JHx H-1L 1 L 2 +Hx H-1L 2 L 2 + 8N 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 JH H-1L LHx H-1L 2 L 2 +Hx H-1L 1 L + 8N Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L

27 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H10L H10L H11L H11L H12L H12L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 13 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , <; ecuaconestrans = H L, 1 10 H L=; d = ; p = 80.8, 0.8<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = = 0 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 JHx H-1L 1 L 2 +Hx H-1L 2 L 2 + 8N 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 JH H-1L LHx H-1L 2 L 2 +Hx H-1L 1 L + 8N Tabla de datos. P P +1 P +1 - P

28 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L H11L H11L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 12 = à Problema 3. Sean las ecuacones sguentes: f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = Hsen + cos L = 0. Utlar el método de Punto Fo para aproxmar el sstema de ecuacones no lneales terando hasta que P +1 - P 10-5., comenando por las aproxmacón ncal: P 0 = I, M T = H0.5, 0.5L T. Solucón Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , 0.25 HSn@ D + Cos@ DL<; 16

29 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales ecuaconestrans = 9 $%%%%%%%% x2 5, 0.25 HSn@D + Cos@ DL=; d = ; p = 80.5, 0.5<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = = HcosH L + snh LL 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. "################## Hx H-1L 2 L 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅ IcosIHx H-1L 2 LM + snihx H-1L 1 LMM Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L µ

30 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 10 = à Problema 4. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,, L = ê4 = 0, f 3 H,, L = e H- L H10 p - 3Lê3 = 0. Aplíquese el método de Punto Fo con la aproxmacón ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H1, 1, 1L T aplcando el método hasta que»» P +1 - P»» Solucón Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = 8 3 Cos@ D 1ê2, ê4, Exp@ D H10 P 3Lê3 <; ecuaconestrans = HCos@ D + 1ê2L, 1 "######################### , Exp@ 0 P 3 1 D =; 60 d = ; p = 81.0, 1.0, 1.0<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh,, L = P 0 = = -cosh L ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ = 0 H pl 0 Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅ 3 IcosIHx H-1L 2 LHx H-1L 3 LM + ÅÅÅÅÅ 1 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 25 2 M "################################ Hx H-1L ######## 1 L ÅÅÅÅÅÅÅ H H-1L LHx H-1LL 2 + ÅÅÅÅÅÅÅ 1 H3-10 pl 60 Tabla de datos. 18

31 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = à Problema 5. Aproxmar las solucones de los sguentes sstemas no lneales, empleando el método de Punto FIo con la aproxmacón ncal dada, terando hasta que»» P +1 - P»» a) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H1, 1, 1L T b) f 1 H,, L = cosh L = 0, f 2 H,, L = 1 -H1 - L 1ê = 0, f 3 H,, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, -0.1, 0.5L T c) f 1 H,, L = 6-2 cosh L - 1 = 0, f 2 H,, L = 9 + "################################## 1 + senh L = 0, f 3 H,, L = e p - 3 = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T 19

32 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Solucón a) p, dd; ecuacones = , , <; ecuaconestrans = H L, 1 10 H L, 1 25 H L=; d = ; p = 81.0, 1.0, 1.0<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales fh,, L = P 0 = = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 15 J-Hx H-1L 2 L 2 + 4Hx H-1L 3 L + 13N 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 J-Hx H-1L 1 L 2 +Hx H-1L 3 L + 11N 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 25 JHx H-1L 2 L N Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L

33 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H3L H3L H3L H4L H4L H4L H5L H5L H5L H6L H6L H6L H7L H7L H7L H8L H8L H8L µ10-6 La solucón aproxmada del sstema es: P 9 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = 81 D, 1 H1 L 1ê , <; ecuaconestrans = 81 D, 1 H1 L 1ê , <; d = ; p = 80.0, 0.1, 0.5<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; 21

34 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L fh,, L = è!!!!!!!!!!!!! = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 - cosihx H-1L 1 LHx H-1L 2 LHx H-1L 3 LM -0.05Hx H-1L 3 L Hx H-1L 3 L - "################ 4 1 -Hx H-1L ######## 1 L + 1 Hx H-1L 1 L Hx H-1L 2 L Hx H-1L 2 L + 1 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L 0 0 H1L H1L H2L 0 0 H2L H2L H3L 0 0 H3L H3L H4L H4L H4L µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: 0 P 5 =

35 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Solucón c) p, dd; ecuacones = Cos@ D 1, 9 + "################################ ########## 1 + Sn@ D , Exp@ D + 10 P 3=; ecuaconestrans = D + 1 6, Exp@ 0 P 3 1 D =; 60 d = ; p = 80., 0., 0.<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; "####################################### 1 + Sn@ D , Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. -2 cosh L fh,, L = 9 + "################################ ######### 1 + snh L = p P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅ 3 cosihx H-1L 2 LHx H-1L 3 LM + ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 1 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx H-1L %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 1 L 2 + snihx H-1L 3 LM ÅÅÅÅÅÅÅ 1 H-1L 20 -H LHx H-1LL 2 + ÅÅÅÅÅÅÅ 1 H3-10 pl 60 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L

36 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L µ10-6 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = à Problema 6.. Dado el sguente problema no lneal f 1 H, L = - H1 + L + 2 = 18, f 2 H, L = H - 1L 2 +H - 6L 2 = 25. a) Representar gráfcamente las curvas f 1 f 2. b) Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Punto Fo comenando en los puntos P 0 = I, M T = H2, 11L T, P 0 = I, M T = H-1.5, 10.5L T e terando hasta que P +1 - P 5 µ Solucón a) << Graphcs`ImplctPlot`; Clear@ecuacones, p, m, d, f, g, g1, g2, gd; f = x H1 + xl ; g = Hx 1L 2 +H 6L 2 25; Prnt@"Representacón gráfca de la solucón", "\n\t f 1 Hx, L = ", f, "\n\t f 2 Hx, L = ", g D; g1 = ImplctPlot@f == 0, 8x, 5, 7<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g2 = ImplctPlot@g == 0, 8x, 5, 7<, 24

37 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales PlotStle > 0, 0D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AspectRato > Automatc, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; Representacón gráfca de la solucón f 1 Hx, L = -x Hx + 1L f 2 Hx, L = Hx - 1L 2 +H - 6L 2-25 Y X Solucón b) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = 8 H1 + L , H 1L 2 +H 6L 2 25<; ecuaconestrans = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , "############################# 25 H 1L 2 + 6=; d = ; p = 82.0, 11.0<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = -H + 1L H - 1L 2 +H - 6L 2-25 P 0 = = =

38 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. "################ #################### 2Hx H-1L 2 L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 25 -IHx H-1L 1 L -%%%%%%%%% 1M Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 9 = Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = 8 H1 + L , H 1L 2 +H 6L 2 25<; ecuaconestrans = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , "############################# 25 H 1L 2 + 6=; d = ; p = 8 1.5, 10.5<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; 26

39 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = -H + 1L H - 1L 2 +H - 6L 2-25 P 0 = = = 0 0 Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. - "################ 2Hx H-1L #################### 2 L = $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 25 -IHx H-1L 1 L -%%%%%%%%% 1M Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L H11L H11L

40 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H12L H12L H13L H13L H14L H14L H15L H15L H16L H16L H17L H17L H18L H18L H19L H19L H20L H20L H21L H21L H22L H22L H23L H23L H24L H24L H25L H25L H26L H26L H27L H27L H28L H28L H29L H29L H30L H30L

41 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H31L H31L H32L H32L H33L H33L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 34 = à Problema 7. Aproxmar las solucones de los sguentes sstemas no lneales, empleando el método de Punto FIo con la aproxmacón ncal dada, terando hasta que»» P +1 - P»» a) f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0.7, 0.4L T b) f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0.4, 0.7L T c) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H5, 1, -1L T d) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.5, 0.5, 0.1L T Solucón a) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , 1 2 <; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!!! 2, è!!!!!!!!!!!!!!!!! + 2 =; d = ; p = 80.7, 0.4<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; 29

42 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = x = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. "################################## = Hx H-1L 1 L -Hx H-1L 2 L 2 "################ #################### Hx H-1L 1 L 2 -Hx H-1L 2 L Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L

43 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H11L H11L H12L H12L H13L H13L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 14 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , <; ecuaconestrans = 9 ë è!!! 3, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H1 + 3 LêH3 L=; d = ; p = 80.4, 0.7<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = = 0 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. Hx H-1L 2 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! 3 = H-1L 3 Hx $%%%%%%%%%%%%%%%% 1 L %%%%% +1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H-1L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hx 1 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P

44 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L H11L H11L H12L H12L H13L H13L H14L H14L H15L H15L H16L H16L H17L H17L H18L H18L H19L H19L µ

45 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 20 = Solucón c) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , 2 5, + + 3<; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!! 37, è!!!!!!!!!!! 5, 3 =; d = ; p = 85.0, 1.0, 1.0<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales fh,, L = = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. "######################## 37 -Hx H-1L 2 L = "###################### Hx H-1L 1 L - 5 -Hx H-1L 1 L -Hx H-1L 2 L + 3 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L

46 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L H5L H5L H5L H6L H6L H6L H7L H7L H7L H8L H8L H8L H9L H9L H9L µ10-6 La solucón aproxmada del sstema es: P 10 = Solucón d) Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , , 2 7 1=; 34

47 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H Lê8, 2 =; 7 d = ; p = 80.5, 0.5, 0.1<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales. fh,, L = P 0 = = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = "################################ ################ #################### -2Hx H-1L 2 L 2 +Hx H-1L 2 L + 2Hx H-1L 3 L "####################################### Hx H-1L 1 L 2 +10Hx H-1L 3 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å 2 è!!!! 2 H H-1L L 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 7H H-1L L Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L

48 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H5L H5L H5L H6L H6L H6L H7L H7L H7L H8L H8L H8L H9L H9L H9L H10L H10L H10L H11L H11L H11L H12L H12L H12L H13L H13L H13L H14L H14L H14L H15L H15L H15L H16L H16L H16L H17L H17L H17L

49 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H18L H18L H18L H19L H19L H19L H20L H20L H20L H21L H21L H21L H22L H22L H22L H23L H23L H23L H24L H24L H24L H25L H25L H25L H26L H26L H26L H27L H27L H27L H28L H28L H28L H29L H29L H29L H30L H30L H30L

50 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H31L H31L H31L H32L H32L H32L H33L H33L H33L H34L H34L H34L H35L H35L H35L H36L H36L H36L H37L H37L H37L H38L H38L H38L H39L H39L H39L H40L H40L H40L H41L H41L H41L H42L H42L H42L H43L H43L H43L

51 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 45 = à Problema 8. Dado el sguente problema no lneal f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0. f 3 H,, L = = 0. Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Punto Fo comenando en los puntosp 0 =Ix 1, x 2, x 3 M T =H1, 1, -1L T, e terando hasta que P +1 - P 5 µ Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = , , 8 + 4<; ecuaconestrans = 9I Më10, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H Lê8, 4êH8 L=; d = ; p = 81., 1., 1.<; puntofo@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método del Punto Fo para sstemas de ecuacones no lneales fh,, L = = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método del Punto Fo. = 1 ÅÅÅÅÅÅÅ 10 J2Hx H-1L 2 L 2 -Hx H-1L 2 L + 2Hx H-1L 3 L + 5N "######################### 9-4Hx H-1L 3 L 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å 2 è!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2Hx H-1L 2 L Tabla de datos. 39

52 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L H5L H5L H5L H6L H6L H6L H7L H7L H7L H8L H8L H8L H9L H9L H9L La solucón aproxmada del sstema es: P 10 =

53 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 4. Método de Sedel 4.1 Introduccón El método de Sedel es una forma de acelerar la conergenca de la teracón del método del Punto Fo. Consste en usar las estmacones más recentes de x HL 1, x HL 2,..., x HL -1 en ve de x H-1L 1, x H-1L 2,..., x H-1L -1 para calcular x HL, gual que en el método de Gauss -Sedel para los sstemas lneales. 4.2 Pseudocódgo è Algortmo 2. Método de Sedel para sstemas no lneales El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales de n ecuacones con n ncogntas medante el método de Sedel es: Algortmo de Sedel Input I8fH,..., x m L< 1 m, 8f trans H,..., x m L< 1 m, H (* Se ncalan las varables *)... x m L T, errorm p H... x m L T p0 p error_ncal n F 8fH,..., x n L< 1 Whle error_ncal >= error do H* Se evalúa la funcón transformada en el punto comprobando los índces*l For = 1,...n do For = 1,..., do f trans HpL f trans HpL p... f trans HpL End For =,..., n do 41

54 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f trans Hp0L f trans Hp0L p... f trans Hp0L End End p1 p (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos *) error_ncal»» p1 - p0»» p0 p1 + 1 End Return Hx HL ªHp1L T L Output 4.3 Problemas à Problema 9. Aplíquese el método de Sedel para sstemas no lneales para aproxmar el sstema de ecuacones no lneales sguente, ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.1, 0.1, -0.1L T e terando hasta que P +1 - P f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H - 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e x3 + H10 p - 3Lê3 = 0. Solucón Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = 93 Cos@ D + 1ê2, 1 81 H 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D π 3 3 ecuaconestrans = H2 Cos@ D + 1L, 1 "################################ ########## 1 + Sn@ D , 9 Exp@ D + 10 π 3 =; 3 d = ; p = 80.1, 0.1, 0.1<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; =; 42

55 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ fh,, L = 1-81H - 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL HL = 1 ÅÅÅÅÅ 6 I2 cosihx H-1L 2 LHx H-1L 3 LM + 1M 1 ÅÅÅÅÅ $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Hx HL %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 9 1 L 2 + snihx H-1L 3 LM ÅÅÅÅÅÅÅ 20 I- -H HL LH HLL + 1 ÅÅÅÅÅ 3 H3-10 plm Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L µ H2L H3L H3L H3L µ µ µ10-8 La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = µ à Problema 10. Dado el sguente problema no lneal f 1 H, L = - H1 + L + 2 = 18, 43

56 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f 2 H, L = H - 1L 2 +H - 6L 2 = 25. Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Sedel comenando en los puntos P 0 = I, M T = H2, 11L T, P 0 = I, M T = H-1.5, 10.5L T e terando hasta que P +1 - P 5 µ 10-5, comprobar s se acelera la convergenca respecto al método del Punto Fo. Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = 8 H1 + L , H 1L 2 +H 6L 2 25<; ecuaconestrans = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , "############################# 25 H 1L 2 + 6=; d = ; p = 82.0, 11.0<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = -H + 1L H - 1L 2 +H - 6L 2-25 P 0 = = = 0 0 Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL "################ #################### 2Hx H-1L 2 L = $%%%%%%%%%%%%%%%% 25 -IHx%%%%%%%%%%%%%%%% HL 1 L - 1M%%%% Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L µ

57 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Con el método del Punto Fo se llega a la solucón aproxmada realando 8 teracones, en cambo con el método de Sedel se consgue sólo con 5 teracones. Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = 8 H1 + L , H 1L 2 +H 6L 2 25<; ecuaconestrans = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , "############################# 25 H 1L 2 + 6=; d = ; p = 8 1.5, 10.5<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = -H + 1L H - 1L 2 +H - 6L 2 = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL - "################ 2Hx H-1L #################### 2 L = $%%%%%%%%%%%%%%%% 25 -IHx%%%%%%%%%%%%%%%% HL 1 L - 1M%%%% Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L

58 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L H11L H11L H12L H12L H13L H13L H14L H14L H15L H15L H16L H16L H17L H17L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 18 = Con el método del Punto Fo se llega a la solucón aproxmada realando 33 teracones, en cambo con el método de Sedel se consgue sólo con 18 teracones. à Problema 11. Aproxmar las solucones de los sguentes sstemas no lneales, empleando el método de Sedel con la aproxmacón ncal dada, terando hasta que»» P +1 - P»» Comparar la convergenca con el método del Punto Fo. a) f 1 H, L = = 0, 46

59 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f 2 H, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0.7, 0.4L T b) f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0.4, 0.7L T c) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H5, 1, -1L T d) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.5, 0.5, 0.1L T Solucón a) Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , 1 2 <; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!!! 2, è!!!!!!!!!!!!!!!!! + 2 =; d = ; p = 80.7, 0.4<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = x = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL = "############################## Hx HL 1 L -Hx H-1L 2 L 2 "########################### Hx HL 1 L 2 -Hx HL 2 L Tabla de datos. P P +1 P +1 - P

60 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H1L H1L H2L H2L H3L H3L H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L H11L H11L H12L H12L H13L H13L H14L H14L H15L H15L H16L H16L H17L H17L H18L H18L H19L H19L 20 x H20L µ

61 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 21 = Solucón b) Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , <; ecuaconestrans = 9 ë è!!! 3, è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H1 + 3 LêH3 L=; d = ; p = 80.4, 0.7<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. fh, L = = 0 0 P 0 = = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL Hx H-1L 2 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! 3 = HL 3 Hx $%%%%%%%%%%%%%%%%% 1 L +1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ HLÅÅÅÅÅÅÅ Hx 1 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 3 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H2L H2L H3L H3L

62 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H4L H4L H5L H5L H6L H6L H7L H7L H8L H8L H9L H9L H10L H10L µ La solucón aproxmada del sstema es: P 11 = Solucón c) Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , 2 5, + + 3<; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!! 37, è!!!!!!!!!!! 5, 3 =; d = ; p = 85.0, 1.0, 1.0<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales fh,, L = = P 0 = =

63 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL HL "######################## 37 -Hx H-1L 2 L = "################## Hx HL 1 L - 5 -Hx HL 1 L -Hx HL 2 L + 3 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = Solucón d) Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , , 2 7 1=; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! , è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! H Lê8, 2 =; 7 d = ; p = 80.5, 0.5, 0.1<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; 51

64 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales. fh,, L = P 0 = = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL HL = "################################ ################ #################### -2Hx H-1L 2 L 2 +Hx H-1L 2 L + 2Hx H-1L 3 L "################################## Hx HL 1 L 2 +10Hx H-1L 3 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 è!!!! 2 H HL L 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 7H HL L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Tabla de datos. P P +1 P +1 - P H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L H5L H5L H5L

65 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H6L H6L H6L H7L H7L H7L H8L H8L H8L H9L H9L H9L H10L H10L H10L H11L H11L H11L H12L H12L H12L H13L H13L H13L H14L H14L H14L H15L H15L H15L H16L H16L H16L H17L H17L H17L H18L H18L H18L µ

66 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 19 = à Problema 12. Dado el sguente problema no lneal f 1 H,, L = = 0, f 1 H,, L = = 0. f 1 H,, L = = 0 Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Sedel comenando en el punto: P 0 =Ix 1, x 2, x 3 M T =H0, 0, 0L T, e terando hasta que P +1 - P 5 µ Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , 2 5, + + 3<; ecuaconestrans = 9 è!!!!!!!!!!!!!!!! + 37, è!!!!!!!!!!! 5, 3 =; d = ; p = 80., 0., 0.<; sedel@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; Método de Sedel para sstemas de ecuacones no lneales fh,, L = = P 0 = = Ecuacones preparadas para el método de Sedel. HL HL HL "######################## 37 -Hx H-1L 2 L = "################## Hx HL 1 L - 5 -Hx HL 1 L -Hx HL 2 L + 3 Tabla de datos. P P +1 P +1 - P

67 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales H1L H1L H1L H2L H2L H2L H3L H3L H3L H4L H4L H4L µ10-6 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 =

68 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 5. Método de Newton 5.1 Introduccón En los métodos del Punto Fo de Sedel es necesaro convertr el problema a un problema de punto fo convergente, s se resuelven algebracamente las ecuacones ncales para las varables del problema. Sn embargo, es dfcl encontrar una transformacón de las ecuacones para que el problema sea convergente. Con el método de Newton se puede obtener la solucón de un sstema de ecuacones no lneales de una forma más general. Para construr un algortmo que lleve a un método de Punto Fo apropado en el caso undmensonal, se obtene una funcón f con la propedad de que ghxl = x - fhxl fhxl (5) da una convergenca cuadrátca en el punto fo p de la funcón g. A partr de esta condcón el método de Newton evolucona al secconar fhxl = 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ f HxL, suponendo que f 0. matr La aplcacón de un procedmento semeante en el caso n - dmensonal nclue una AHxL = a 11 HxL a 21 HxL... a n1 HxL a 12 HxL a 22 HxL... a n2 HxL a 1 n HxL a 2 n HxL... a nn HxL (6) donde todos los elementos a HxL son una funcón de n en. Esto requere obtener AHxL de modo que 56

69 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales GHxL = x - AHxL -1 FHxL (7) de la convergenca cuadrátca a la solucón de FHxL = 0, suponendo que AHxL es no sngular en el punto fo p de G. ô Teorema 3. Suponendo que p es una solucón de GHxL = x para alguna funcón G = Hg 1, g 2,..., g n L t de n en n. S exste un número d > 0 con las propedades: () g ÅÅÅÅÅÅÅ x sea contnua en N d =8xê x - p d<, = 1, 2,.., n ; = 1, 2,..., n () 2 g HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H x x L sea contnua 2 g HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H x x M para alguna contante M sempre que L x œ N d = 1, 2,..., n, = 1, 2,..., n, = 1, 2,..., n. () g HpL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x = 0, para = 1, 2,.. n = 1, 2,..., n. entonces exste un número d` d tal que la sucesón generada por x HL = GHx H-1L L converge cuadrátcamente a p para cualquer eleccón de x a condcón de que»» x - p»» d. Incluso»» x HL - p»» n2 M ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2»» x H-1L - p»» 2, 1. Para utlar el teorema anteror se supone una matr AHxL de n µ n de funcones de n a en la forma de la ecuacón matrcal, cuos elementos específcos se escogerán más adelante. Suponendo además que AHxL es no sngular cerca de una solucón p de FHxL = 0, 57

70 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales denotando con b HxL el elemento AHxL -1 en la - ésma fla la - ésma columna. Dado que GHxL = x - HAL -1 FHxL, se tene: g HxL = x - =1 n b HxL f HxL, (8) g HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x = 9 n 1 - S =1 n - S =1 Ib HxL f ÅÅÅÅÅÅÅ x HxL + b ÅÅÅÅÅÅÅÅ x Ib HxL f ÅÅÅÅÅÅÅ x HxL + b ÅÅÅÅÅÅÅÅ x HxL f HxLM = HxL f HxLM (9) El teorema mplca que se necesta g HpL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x = 1, 2,.., n. Esto sgnfca que, para toda =, = 0 para toda = 1, 2,.., n toda n 0 = 1 - =1 b HpL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ HpL, x (10) así que n =1 b HpL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x HpL = 1. (11) Cuando, n 0 = - =1 b HpL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x HpL, (12) así que n =1 b HpL f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x HpL = 0. (13) Al defnr la matr JHxL por medo de 58

71 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales J HxL = f ÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL f ÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅ n HxL f 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxL... f n ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL (14) se requere que AHpL -1 JHpL = I, la matr dentdad, (15) De modo que AHpL = JHpL (16) En consecuenca, una eleccón apropada de AHxL es AHxL = JHxL dado que entonces se cumple la condcón () del teorema. La funcón G está defnda por GHxL = x - JHxL -1 FHxL, (17) el procedmento de la teracón funconal pasa de selecconar x a generar para 1 x HL = GIx H-1L = x H-1L - JHx H-1L L -1 FHx H-1L L M (18) A esto se le llama método de Newton para sstemas no lneales generalmente se espera que dé una convergenca cuadrátca, sempre cuando se conoca un valor ncal sufcentemente precso exsta JHpL -1. A la matr JHxL se le llama matr acobana. La debldad del método de Newton se debe a la necesdad de calcular e nvertr la matr JHxL en cada paso. En la práctca, el cálculo explícto de J HxL -1 se evta efectuando la operacón en dos pasos. Prmero, encontrando un vector que satsfaga 59

72 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales JHx H-1L L = -FHx H-1L L. Una ve hecho esto, se obtene la nueva aproxmacón x HL agregando a x H-1L. 5.2 Pseudocódgo è Algortmo 3. Método de Newton para sstemas 2 2 El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales de 2 ecuacones con 2 ncogntas medante el método de Newton es: Algortmo Newton 2 2 Input If 1 H, L, f 2 H, L, Hx 1, x 2 L T, n, errorm (* Se ncalan las varables *) p H x 2 L T F 8f 1 H, L, f 2 H, L< f 1 H, L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J f 2 H, L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ f 1 H, L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ f 2 H, L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ For = 1,..., n do H* Se evalúa la funcón F la matr acobana en el punto *L f_valor f 1 H x H-1L 1, x H-1L 2 L f 2 H x H-1L 1, x H-1L 2 L _valor 11 H x H-1L 1, x H-1L 2 L 21 H x H-1L 1, x H-1L 2 L 12 H x H-1L 1, x H-1L 2 L 22 H x H-1L 1, x H-1L 2 L (* Cálculo del vector *) End - f_valor ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ _valor p p + Return Hx HL ªHpL T L Output 60

73 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales è Algortmo 4. Método de Newton para sstemas n n El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales medante el método de Newton es: Algortmo Newton Input I8fH,..., x n L< 1 n, H... x n L T, n, errorm (* Se ncalan las varables *) p H... x m L T n F 8fH,..., x n L< 1 J HxL = f 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL f 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxL... Hx ªH,..., x n LL f n f ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅ n f HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅ n x n HxL p_ant p For = 1,..., n do H* Se evalúa la funcón F la matr acobana en el punto *L f 1 H p 1 H-1L, p 2 H-1L,..., p n H-1L L f f_valor 2 H p H-1L 1, p H-1L 2,..., p H-1L n L f n H p H-1L 1, p H-1L 2,..., p H-1L n L 11 H p H-1L H-1L 1,..., p n L... 1 n H p H-1L 1, 21 H p H-1L H-1L _valor 1,..., p n L... 2 n H p H-1L H-1L 1,..., p n L n 1 H p H-1L H-1L 1,..., p n L... n n H p H-1L H-1L 1,..., p n L (* Cálculo del vector *) - f_valor ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ _valor p p + H-1L..., p n L (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos*) error»» p - p_ant»» p_ant p If Herror error_nl do Brea End End Return Hx HL ªHpL T L Output 61

74 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 5.3 Problemas à Problema 13. Consdérese el sstema no lneal sguente, f 1 Hx, L = = 0 (crcunferenca) f 2 Hx, L = x = 0 (parábola). a) Usar el método de Newton comenando en el punto P 0 = Hp 0, q 0 L= H1.2, 0.8L calcular los puntos P 1 P 2. b) Empleando el método de Newton comenando en el punto P 0 = Hp 0, q 0 L=H-0.8, 1.2L, calcular los puntos P 1 P 2. Solucón Clear@f1, f2, p, 1, 2, g1, g2, gd; f1 = + 2 2; f2 = 0.5 x + 0.1; 1 = è!!!!!!!!!!! 2 ; 2 = 0.5 x + 0.1; p = 81.2, 0.8<; newtonraphsonnolneal@f1, f2, p, 2, 0.2D; Prnt@"Representacón de las funcones", "\n\t f 1 Hx,L = ", f1, "\n\t f 2 Hx,L = ", f2d; g1 = Plot AEvaluateA81, 1<, 9x, è!!! 2, è!!! 2=E, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt E; g2 = Plot AEvaluateA82<, 9x, è!!! 2, è!!! 2=E, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@1, 0, 0D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt E; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AspectRato > Automatc, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; p = 8 0.8, 1.2<; newtonraphsonnolneal@f1, f2, p, 2, 0.2D; Prnt@"Representacón de las funcones", "\n\t f 1 Hx, L = ", f1, "\n\t f 2 Hx, L = ", f2d; g1 = Plot AEvaluateA81, 1<, 9x, è!!! 2, è!!! 2=E, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt E; g2 = Plot AEvaluateA82<, 9x, è!!! 2, è!!! 2=E, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@1, 0, 0D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt E; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AspectRato > Automatc, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; 62

75 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f 1 Hx,L = f 2 Hx,L = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: FHx, L = x x JHx, L = 2 2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J -1 Hx, L = x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x x-2 x+1. 2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x+1. Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = F H1.2, 0.8L = J HP 0 L = J H1.2, 0.8L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: Dx = D 0.14 DP = Dx = - D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = =

76 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1. P 1 = xh1l H1L = F HP 1 L = F H , L = J HP 1 L = J H , L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: Dx = D DP = Dx = - D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. P JHP L DP = -FHP L Dx = D Dx = D P DP = Dx D P +1 = P + DP La solucón aproxmada del sstema es: P 2 =

77 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Representacón de las funcones f 1 Hx,L = f 2 Hx,L = x Y X -1 Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f 1 Hx,L = f 2 Hx,L = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: FHx, L = x x JHx, L = 2 2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J -1 Hx, L = x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x x-2 x+1. 2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -4 x-2 x+1. Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = F H-0.8, 1.2L = J HP 0 L = J H-0.8, 1.2L =

78 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: Dx = D DP = Dx = - D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = xh1l H1L = F HP 1 L = F H , L = J HP 1 L = J H , L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: Dx = D DP = Dx = - D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. 66

79 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P JHP L DP = -FHP L Dx = D Dx = D P DP = Dx D P +1 = P + DP La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = Representacón de las funcones f 1 Hx, L = f 2 Hx, L = x Y X -1 à Problema 14. Sean la hpérbola = 0 la elpse de ecuacón - 2 x = 0. Se pde: a) Representar gráfcamente los puntos de corte de ambas curvas. b) Aproxmar cada uno de los puntos de corte de abscsa postva medante el método de Newton-Raphson para sstemas, comenando a terar en los puntos P 0 = Hx 0, 0 L = H1.5, 1.5L, 67

80 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P 0 = Hx 0, 0 L = H2.0, -3.0L, calculando las tres prmeras teracones en cada caso (puntos P 1, P 2, P 3 ). Solucón << Graphcs`ImplctPlot`; Clear@x,, f1, f2, p, g1, g2, g, p, ld; f1 = ; f2 = 2 x ; Prnt@"Representacón de las funcones", "\n\t f 1 Hx, L = ", f1, "\t HhpérbolaL", "\n\t f 2 Hx, L = ", f2, "\t HelpseL"D; g1 = ImplctPlot@f1 0, 8x, 5, 5<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g2 = ImplctPlot@f2 0, 8x, 5, 5<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@1, 0, 0D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AxesOrgn > 80, 0<, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; p = 81.5, 1.5<; l = newtonraphsonnolneal@f1, f2, p, 3, 0.2D; Prnt@"\t f 1 Hx, L = ", f1, StrngReplace@"\n\t f 1 Haa, bbl = ", 8"aa" > ToStrng@l@@1, 1DD, TradtonalFormD, "bb" > ToStrng@l@@2, 1DD, TradtonalFormD <D, f1 ê. 8x > l@@1, 1DD, > l@@2, 1DD<, "\n\t f 2 Hx, L = ", f2, StrngReplace@"\n\t f 2 Haa, bbl = ", 8"aa" > ToStrng@l@@1, 1DD, TradtonalFormD, "bb" > ToStrng@l@@2, 1DD, TradtonalFormD <D, f2 ê. 8x > l@@1, 1DD, > l@@2, 1DD< D; Representacón de las funcones f 1 Hx, L = f 2 Hx, L = x HhpérbolaL HelpseL 68

81 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 6 Y X Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f 1 Hx,L = f 2 Hx,L = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: FHx, L = x x JHx, L = 6 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J x x Hx, L = 2-2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x 6 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = F H1.5, 1.5L = J HP 0 L = J H1.5, 1.5L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: 69

82 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Dx = D -3.5 DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = xh1l H1L = F HP 1 L = F H , L = J HP 1 L = J H , L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: Dx = D DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = xh2l H2L = F HP 2 L = F H , L = J HP 2 L = J H , L =

83 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: Dx = D DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Tabla de datos. P JHP L DP = -FHP L Dx = D Dx = D Dx = D P DP = Dx D P +1 = P + DP La solucón aproxmada del sstema es: P 3 = f 1 Hx, L = f 1 H , L = µ10-6 f 2 Hx, L = x f 2 H , L = µ

84 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales p = 82.0, 3.0<; l = newtonraphsonnolneal@f1, f2, p, 3, 0.2D; Prnt@"\t f 1 Hx, L = ", f1, StrngReplace@"\n\t f 1 Haa, bbl = ", 8"aa" > ToStrng@l@@1, 1DD, TradtonalFormD, "bb" > ToStrng@l@@2, 1DD, TradtonalFormD<D, f1 ê. 8x > l@@1, 1DD, > l@@2, 1DD<, "\n\t f 2 Hx, L = ", f2, StrngReplace@"\n\t f 2 Haa, bbl = ", 8"aa" > ToStrng@l@@1, 1DD, TradtonalFormD, "bb" > ToStrng@l@@2, 1DD, TradtonalFormD<D, f2 ê. 8x > l@@1, 1DD, > l@@2, 1DD<D; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f 1 Hx,L = f 2 Hx,L = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: FHx, L = x x JHx, L = 6 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ J x x Hx, L = 2-2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x 6 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 12 x x Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = F H2., -3.L = J HP 0 L = J H2., -3.L =

85 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: Dx = D -5. DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = xh1l H1L = F HP 1 L = F H , L = J HP 1 L = J H , L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: Dx = D DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = =

86 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = xh2l H2L = F HP 2 L = F H , L = J HP 2 L = J H , L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: Dx = D DP = Dx = D DP = Dx = D El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Tabla de datos. P JHP L DP = -FHP L Dx = D Dx = D Dx = D P DP = Dx D P +1 = P + DP

87 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 3 = f 1 Hx, L = f 1 H , L = f 2 Hx, L = x f 2 H , L = à Problema 15. Dado el sstema no lneal de ecuacones, f 1 H,, L = = 0, f 2 H,,x3 L = = 0, f 3 H,, L = = 0, se pde aplcar el método de Newton para sstemas no lneales para calcular la aproxmacón del sstema en los dos casos sguentes: a) Incando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H-0.5, -1.5, 1.5L T e terando hasta que P +1 - P b) Con el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H-1.0, -1.5, 0.5L T e terando hasta que P +1 - P Solucón a) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = , , <; p = 8 0.5, 1.5, 1.5<; m = 12; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = =

88 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La funcón vectoral la matr acobana son: FH,, L = JH,, L = Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = =

89 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L = µ10-16 F HP 1 L = µ J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L = µ10-16 F HP 2 L = µ J HP 2 L =

90 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L = µ10-16 F HP 3 L = µ J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = µ El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP µ P 4 = =

91 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L = µ10-16 F HP 4 L = µ J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ µ10-9 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ P 5 = µ10-10 = µ Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x P +1 = P + DP P +1 - P

92 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales µ µ µ µ µ10-9 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = , , <; p = 8 1.0, 1.5, 0.5<; m = 12; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = =

93 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La funcón vectoral la matr acobana son: FH,, L = JH,, L = Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = =

94 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1. H1L H1L P 1 = = H1L F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L = µ10-16 F HP 2 L = µ J HP 2 L =

95 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L = µ10-16 F HP 3 L = µ J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = =

96 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L = µ10-15 F HP 4 L = µ µ J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ µ10-9 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ P 5 = µ10-9 = µ Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x P +1 = P + DP P +1 - P

97 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales µ µ µ µ10-9 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = à Problema 16. Aplcando el método de Newton para sstemas no lneales calcular la aproxmacón del sstema de ecuacones no lneales sguente, ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.5, 0.1, -0.1L T e terando hasta que P +1 - P f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H + 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e H10 p - 3Lê3 = 0. Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 83 Cos@ D 1ê2, 1 81 H + 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; p = 80.5, 0.1, 0.1<; m = 12; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 85

98 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ f H,, L = 1-81H + 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: -cosh L ÅÅÅÅÅ 1 2 FH,, L = 1-81H + 0.1L 2 + snh L ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 3 snh L snh L JH,, L = 2-162H + 0.1L cosh L Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 86

99 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = =

100 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L F HP 2 L = = µ10-6 J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: µ DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L = µ10-7 F HP 3 L = µ µ µ10-10 J HP 3 L =

101 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: µ µ DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ10-7 D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP µ P 4 = = µ µ Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L = µ µ10-10 F HP 4 L = µ µ µ µ10-18 J HP 4 L = µ Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: µ µ µ DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ µ10-10 D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ P 5 = µ µ10-9 = µ µ

102 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x µ µ µ µ µ µ10-10 P +1 = P + DP P +1 - P µ µ µ10-9 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = µ à Problema 17. Medante el método de Newton para sstemas no lneales calcular las aproxmacones P 1 P 2, partendo del punto ncal P 0 para los sstemas no lneales sguentes: a) f 1 H, L = ê = 0, f 2 H, L = 1ê = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0, 0L T. b) f 1 H, L = senh4 p L = 0, f 2 H, L = HH4 p - 1LêH4 pll He 2 - el + 4 e 2-2 e = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0, 0L T. c) f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = = 0, f 3 H,, L = e H10 p - 3Lê3 = 0, P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T. d) f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, 90

103 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f 3 H,, L = = 0, P 0 = I,, M T = H0, 0, 0L T Solucón a) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = ê 4 + 8, 2 ê <; p = 80.0, 0.0<; m = 2; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = P 0 = ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ = La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = JH, L = ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ 8-20 ÅÅÅÅÅÅ 2 2 ÅÅÅÅÅÅ Iteracón = 0. P 0 = = 0 0 F HP 0 L = J HP 0 L =

104 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = 0.4 D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. P DP = D P D +1 = P + DP P +1 - P x

105 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 8 Sn@4 P D 2, HH4 P 1LêH4 PLL HExp@2 D EL + 4 E H L 2 2 E <; p = 80.0, 0.0<; m = 2; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = snh4 p L H- + 2 x1 LH-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 0 0 P 0 = = p La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = snh4 p L H- + 2 x1 LH-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å JH, L = 4 p cosh4 p L p cosh4 p L x1 H-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 x 2 p 2 4 p Iteracón = 0. P 0 = = 0 0 F HP 0 L = J HP 0 L =

106 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. P DP = D P D +1 = P + DP P +1 - P x

107 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = Solucón c) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 83 Cos@ D 1ê2, 4 H L H L , Exp@ D H10 P 3Lê3<; p = 80.0, 0.0, 0.0<; m = 2; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ f H,, L = = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: -cosh L ÅÅÅÅÅ 1 2 FH,, L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 3 snh L snh L JH,, L =

108 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 0. 0 P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L =

109 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x P +1 = P + DP P +1 - P La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = Solucón d) 97

110 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales p, m, dd; ecuacones = , 2 5, + + 3<; p = 80.0, 0.0, 0.0<; m = 2; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: FH,, L = JH,, L = Iteracón = 0. 0 P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L =

111 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. H1L H1L P 1 = = H1L F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Tabla de datos. 99

112 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales D x1 P DP = D x2 D x P +1 = P + DP P +1 - P La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = à Problema 18. Dado el sguente problema no lneal f 1 H, L = H1 - L + 4 = 12, f 2 H, L = H - 2L 2 +H2-3L 2 = 25. a) Representar gráfcamente las curvas f 1 f 2. b) Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Newton comenando en los puntos P 0 = Ix 1, x 2 M T = H2, 3L T, P 0 = I, M T = H-2, -2L T e terando hasta que P +1 - P 5 µ Solucón a) << Graphcs`ImplctPlot`; Clear@ecuacones, p, m, d, f, g, g1, g2, gd; f = x H1 xl ; g = Hx 2L 2 +H2 3L 2 25; Prnt@"Representacón gráfca de la solucón", "\n\t f 1 Hx, L = ", f, "\n\t f 2 Hx, L = ", gd; g1 = ImplctPlot@f == 0, 8x, 3, 7<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g2 = ImplctPlot@g == 0, 8x, 3, 7<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@1, 0, 0D<<, 100

113 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AspectRato > Automatc, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; Representacón gráfca de la solucón f 1 Hx, L = H1 - xl x f 2 Hx, L = Hx - 2L 2 +H2-3L 2-25 Y X Solucón b) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 8 H1 L , H 2L 2 +H2 3L 2 25<; p = 82.0, 3.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; p = 8 2.0, 2.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = H1 - L H - 2L 2 +H2-3L 2 = P 0 = =

114 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = H1 - L H - 2L 2 +H2-3L 2-25 JH, L = H - 2L 4H2-3L Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x

115 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L = F HP 3 L = J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D D x2 DP = D = D x

116 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Tabla de datos. P DP = D D x2 P +1 = P + DP P +1 - P La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = H1 - L H - 2L 2 +H2-3L 2-25 P 0 = = = 0 0 La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = H1 - L H - 2L 2 +H2-3L 2-25 JH, L = H - 2L 4H2-3L 104

117 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = =

118 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L = F HP 3 L = J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Tabla de datos. 106

119 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P DP = D D x2 P +1 = P + DP P +1 - P La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = à Problema 19. Aproxmar las solucones de los sguentes sstemas no lneales, empleando el método de Newton con la aproxmacón ncal dada, terando hasta que»» P +1 - P»» a) f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H1, 1L T P 0 = Ix 1, x 2 M T = H1, -1L T. b) f 1 H, L = lnh L - senh L -Hln 2 + ln pl, f 2 H, L = e H- L + cosh L = 0, P 0 = Ix 1, x 2 M T = H2, 2L T. c) f 1 H,, L = 1 + x = 0, f 2 H,, L = e + e - x3 = 0, f 3 H,, L = 2-2 = 4, P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H-1, -2, 1L T. d) f 1 H,, L = 6-2 cosh L - 1 = 0, f 2 H,, L = 9 + "################################## 1 + senh L = 0, f 3 H,, L = e p - 3 = 0 P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T Solucón a) << Graphcs`ImplctPlot`; Clear@f, g, g1, g2, ecuacones, p, m, dd; f = 3 2 ; g = 3 x 2 1; 107

120 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales g = 3 x 2 1; Prnt@"Representacón gráfca de la solucón", "\n\t f 1 Hx, L = ", f, "\n\t f 2 Hx, L = ", g D; g1 = ImplctPlot@f == 0, 8x, 2, 2<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@0, 0, 1D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g2 = ImplctPlot@g == 0, 8x, 2, 2<, PlotStle > 88Thcness@0.010D, RGBColor@1, 0, 0D<<, AxesLabel > 8"X", "Y"<, DsplaFuncton > Identt D; g = g2, AxesLabel > 8"X", "Y"<, AspectRato > Automatc, DsplaFuncton > $DsplaFunctonD; ecuacones = , <; p = 81.0, 1.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; p = 81.0, 1.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Representacón gráfca de la solucón f 1 Hx, L = 3-2 f 2 Hx, L = x - 1 Y X

121 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = JH, L = Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L =

122 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L = F HP 3 L = µ10-6 J HP 3 L =

123 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L x = F HP 4 L = µ µ10-9 J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: D D x2 DP = D = D x µ µ10-9 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP P 5 = µ µ10-9 = Tabla de datos. P DP = D D x2 P +1 = P + DP P +1 - P

124 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales µ µ µ La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = JH, L = Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x

125 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D D x2 DP = D = D x

126 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L x = F HP 3 L = µ10-6 J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L x = F HP 4 L = µ µ10-9 J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: D D x2 DP = D = D x µ µ

127 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP P 5 = µ µ10-9 = Tabla de datos. P DP = D D x2 P +1 = P + DP P +1 - P µ µ µ La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, d, m, dd; ecuacones = 8 Log@ D Sn@ D + Exp@ D + Cos@ D<; p = 82.0, 2.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 115

128 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = logh L - snh L - loghpl - logh2l cosh L + - = 0 0 P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: FH, L = logh L - snh L - loghpl - logh2l cosh L + - JH, L = 2 2 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 - coshx 1 + L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ coshx 1 + L snh L -snh L - - Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L =

129 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L = F HP 3 L = J HP 3 L =

130 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L x = F HP 4 L = µ J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: D D x2 DP = D = D x El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP P 5 = = Iteracón = 5. P 5 = H5L H5L x = F HP 5 L = µ µ10-10 J HP 5 L =

131 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 5 L DP = -F HP 5 L: D D x2 DP = D = D x µ µ10-10 El sguente punto de la teracón es: P 6 = P 5 + DP P 6 = µ µ10-10 = Tabla de datos. P DP = D P D +1 = P + DP P +1 - P x µ µ µ La solucón aproxmada del sstema es: P 6 = Solucón c) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = , Exp@ D + Exp@ D, 2 2 4<; p = 8 1.0, 2.0, 1.0<; 119

132 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: FH,, L = JH,, L = Iteracón = 0. P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 =

133 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = =

134 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L = F HP 2 L = J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L = F HP 3 L = J HP 3 L =

135 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 = El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L = µ10-8 F HP 4 L = µ µ J HP 4 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ µ10-9 D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ P 5 = µ10-10 = µ

136 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x µ µ µ10-9 P +1 = P + DP P +1 - P µ La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Solucón d) Clear@f, g, g1, g2, ecuacones, p, m, dd; ecuacones = Cos@ D 1, 9 + "################################ ########## 1 + Sn@ D , Exp@ D + 10 P 3=; p = 80., 0., 0.<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 124

137 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -2 cosh L f H,, L = 9 + "################################ ######### 1 + snh L = p P 0 = = La funcón vectoral la matr acobana son: -2 cosh L FH,, L = 9 + "################################ ######### 1 + snh L p snh L 2 snh L coshx JH,, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 3 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ "################################## 1 +snh L "################ ##################### 1 +snh L Iteracón = 0. 0 P 0 = = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: D x D x D x3 DP = D x1 D x2 D x3 =

138 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 = D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = =

139 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L = F HP 2 L = µ J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ10-7 D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = µ10-7 = µ Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L = µ10-13 F HP 3 L = µ µ J HP 3 L =

140 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: DP = D x1 D x2 D x3 = µ µ µ10-12 D x1 D x2 D x3 El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP µ P 4 = µ10-12 = µ Tabla de datos. D x1 P DP = D x2 D x µ µ µ µ µ10-12 P +1 = P + DP P +1 - P µ La solucón aproxmada del sstema es: P 4 =

141 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales à Problema 20. El sstema de ecuacones no lneal : f 1 H,,, x 4 L = = x 4, f 2 H,,, x 4 L = = x 4, f 3 H,,, x 4 L = = x 4, f 4 H,,, x 4 L = = 1 tene vaas solucones. Aplíquese el método de Newton para aproxmarlas tomando como puntos ncal el punto P 0, aplcando el método hasta que»» P +1 - P»» a) P 0 = I,,, x 4 M T = H0, 1, 1, 1L T, b) P 0 = I,,, x 4 M T = H1, -1, 1, 1L T. c) P 0 = I,,, x 4 M T = H1, 0, 0, 1L T. Solucón a) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = x 4, x 4, x 4, <; p = 80.0, 1.0, 1.0, 1.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -x x 4 0 f H,,, x 4 L = = x P 0 = x =

142 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La funcón vectoral la matr acobana son: -x x 4 FH,,, x 4 L = x x x JH,,, x 4 L = x Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = J HP 0 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 130

143 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = + = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L x 4 H1L = F HP 1 L = J HP 1 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = + =

144 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L x 4 H2L = µ10-16 F HP 2 L = µ J HP 2 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = µ10-16 D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = + = µ

145 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L x 4 H3L = µ10-16 F HP 3 L = µ µ J HP 3 L = Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x µ10-6 = µ µ10-16 D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP µ P 4 = µ10-6 = µ Tabla de datos. 133

146 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales D x1 D x2 P DP = D x3 D x µ µ µ µ10-16 P +1 = P + DP P +1 - P µ La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = Solucón b) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = x 4, x 4, x 4, <; p = 81.0, 1.0, 1.0, 1.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 134

147 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -x x 4 0 f H,,, x 4 L = = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: -x x 4 FH,,, x 4 L = x x x JH,,, x 4 L = x Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = J HP 0 L =

148 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP P 1 = + = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L x 4 H1L = F HP 1 L = J HP 1 L =

149 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = + = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L x 4 H2L = F HP 2 L = J HP 2 L =

150 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = + = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L x 4 H3L = F HP 3 L = J HP 3 L =

151 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = + = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L H4L x = µ µ10-8 F HP 4 L = µ µ J HP 4 L =

152 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x µ µ10-10 = µ µ10-7 D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ µ P 5 = + = µ µ Tabla de datos. 140

153 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales D x1 D x2 P DP = D x3 D x µ µ µ µ10-7 P +1 = P + DP P +1 - P µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 5 = Solucón c) Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = x 4, x 4, x 4, <; p = 81.0, 0.0, 0.0, 1.0<; m = 10; d = ; newtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 141

154 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Newton-Raphson para sstemas de ecuacones no lneales. -x x 4 0 f H,,, x 4 L = = x P 0 = x = La funcón vectoral la matr acobana son: -x x 4 FH,,, x 4 L = x x x JH,,, x 4 L = x Iteracón = 0. P 0 = x = F HP 0 L = J HP 0 L =

155 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 0 L DP = -F HP 0 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x µ = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 1 = P 0 + DP µ P 1 = + = Iteracón = 1. P 1 = H1L H1L H1L x 4 H1L = µ F HP 1 L = J HP 1 L =

156 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 1 L DP = -F HP 1 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 2 = P 1 + DP P 2 = + = Iteracón = 2. P 2 = H2L H2L H2L x 4 H2L = F HP 2 L = J HP 2 L =

157 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 2 L DP = -F HP 2 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 3 = P 2 + DP P 3 = + = Iteracón = 3. P 3 = H3L H3L H3L x 4 H3L = F HP 3 L = J HP 3 L =

158 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 3 L DP = -F HP 3 L: DP = D x1 D x2 D x3 D x = D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 4 = P 3 + DP P 4 = + = Iteracón = 4. P 4 = H4L H4L H4L H4L x = µ µ10-6 F HP 4 L = µ µ J HP 4 L = µ

159 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se resuelve el sstema lneal J HP 4 L DP = -F HP 4 L: µ µ DP = D x1 D x2 D x3 D x µ µ10-6 = µ µ10-6 D x1 D x2 D x3 D x4 El sguente punto de la teracón es: P 5 = P 4 + DP µ µ P 5 = + = µ µ Tabla de datos. 147

160 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales D x1 D x2 P DP = D x3 D x µ µ µ µ µ10-6 P +1 = P + DP P +1 - P µ La solucón aproxmada del sstema es: P 5 =

161 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 6. Método de Cuas- Newton 6.1 Introduccón Un punto débl mportante del método de Newton para resolver sstemas de ecuacones no lneales está en el hecho de que, en cada teracón, es necesaro calcular una matr acobana resolver un sstema de n ecuacones con n ncógntas con dcha matr. Para eemplfcar la mportanca de esta debldad, se consderan la cantdad de cálculos necesaros para llevar a cabo una sola teracón del método de Newton. La matr acobana asocada a un sstema de n ecuacones no lneales escrtas de la forma FHxL = 0, requere que se determnen evaluen las n 2 dervadas parcales de las componentes de F. En la maoría de las stuacones la evaluacón exacta de las dervadas parcales resulta complcada, en muchas aplcacones, mposble. Cuando no es práctco efectuar la evaluacón exacta, se pueden usar las aproxmacones de dferenca fnta a las dervadas parcales. Por eemplo, f ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x Hx HL L º f Hx HL + e h - f Hx HL LL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å, h (19) donde h es un número pequeño en valor absoluto e es el vector cua únca coordenada no nula es la - ésma que vale 1. Sn embargo, esta aproxmacón requere efectuar al menos n 2 evaluacones de funcones escalares para aproxmar la matr acobana no dsmnue el número de operacones que ha que realar, cas sempre es necesaro O(n 3 ) para resolver el sstema lneal que contene esta matr acobana aproxmada. El esfuero computaconal total para realar solamente una teracón del método de Newton conlleva, en consecuenca, 149

162 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales al menos n 2 + n evaluacones de funcones escalares (n 2 para evaluar la matr acobana n para evaluar la funcón F), unto con un número de operacones artmétcas de orden O(n 3 ) para resolver el sstema lneal. Esta cantdad de cálculos es mu grande, excepto en el caso de los valores relatvamente pequeños de n de funcones escalares que se pueden evaluar fáclmente. El método de cuas-newton o de Broden es una generalacón del método de la secante para los sstemas de ecuacones no lneales. El método requere úncamente n evaluacones de funcones escalares por teracón tambén dsmnue el número de operacones artmétcas a O(n 2 ). Este método pertenece a una clase de técncas denomnadas actualacones de secante con cambo mínmo, en los que se susttue la matr acobana del método de Newton por una matr de aproxmacones que se actuala en cada teracón. La desventaa de este método es que se perde la convergenca cuadrátca del método de Newton, que se reemplaa por una convergenca denomnada superlneal, la cual mplca que lím Ø x H+1L - p ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å x HL - p = 0. (20) donde p denota la solucón de F(x) = 0 p HL + p H+1L son aproxmacones consecutvas de p. En la maora de las aplcacones, el descenso en el número de cálculos es una compensacón más que aceptable por la reduccón a convergenca superlneal. Una desventaa añadda de los métodos actualacón de secante con cambo mínmo es que, a dferenca del método de Newton, no se corrguen a s msmos. En el método de Newton, por eemplo, generalmente los errores de redondeo se van corrgendo en las sucesvas teracones, lo que no ocurre con este método salvo que se ncorporen meddas 150

163 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales especales de correcón. Suponendo que se se dspone de una aproxmacón ncal p a la solucón p de F(x) = 0. La sguente aproxmacón p H1L se calcula como en el método de Newton o, s es dfcl de determnar exactamente J(p ), se utlarán las ecuacones de dferencas dadas por (19) para aproxmar las dervadas parcales. Sn embargo, para calcular p H2L se procede de manera dferente al método de Newton examnando el método de la Secante para una sola ecuacón. En el método de la Secante se utla la aproxmacón f Hp 1 L º fhp 1L - fhp 0 L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p 1 - p 0 (21) como susttuto de la f Hp 1 L del método de Newton. En el caso de los sstemas no lneales, p H1L - p es un vector, así que el cocente correspondente no está defndo. Aún así, el método procede de manera semeante al método de Newton, en el sentdo de que, en ve de la matr acobana J (p H1L ) del método de Newton se emplea una matr A 1 tal que A 1 Hp H1L - p L = FH p H1L L - FHp L. (22) Todo vector dstnto de cero de n puede escrbrse como la suma de un múltplo de p H1L - p de un múltplo de un vector del subespaco ortogonal de p H1L - p. Por tanto, para defnr la matr A 1 de forma únca, se debe especfcar cómo actúa esta matr sobre el subespaco ortogonal de p H1L - p. Dado que no se tene nformacón sobre la varacón de F en las dreccones ortogonales a p H1L - p, se requere, smplemente, que no haa varacón, o sea, que A 1 = JHp L sempre que H p H1L - p L t = 0. (23) 151

164 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Esta condcón especfca que nngún vector ortogonal a p H1L - p se ve afectado por la susttucón de J Hp L, la matr que se utló para calcular p H1L, por la matr A 1 con la que se va a determnar p H2L. Estas condcones (22 23) defnen de manera únca a A 1 como A 1 = JHp L L - FHp L - JHp LHp H1L - p LD Hp H1L - p L t ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. p H1L - p 2 2 (24) Esta matr es la que se usa en lugar de J Hp H1L L para determnar p H2L como: p H2L = p H1L - A 1-1 FHp H1L L. (25) Una ve que se ha determnado p H2L, se repte el procedmento para determnar p H3L, utlando A 1 en lugar de A 0 ª JHp L con p H2L p H1L en lugar de p H1L p, respectvamente. En general, una ve que se ha determnado p HL, la sguente aproxmacón p H+1L se calcula medante A = A A -1 s ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 s 2 s t (26) p H+1L = p HL - A -1 FHp HL L, (27) donde la notacón s = p HL - p H-1L e = FHp HL L - FHp H-1L L se ntroduce en las ecuacones anterores para smplfcarlas. S el método se aplca como se ha descrto anterormente, el número de evaluacones de funcones escalares dsmnue de n 2 + n a n (las necesaras para calcular F(p HL )), pero sgue requrendo del orden de O(n 3 ) para resolver el sstema lneal asocado de n ecuacones con n ncógntas 152

165 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales A = -FHp HL L. (28) Esta manera de usar el método no compensaría la reduccón a convergenca superlneal de la convergenca cuadrátca del método de Newton. La meora sgnfcatva se consgue usando la sguen fórmula de nvesón matrcal. ô Fórmula de Sherman - Morrson. S A es una matr nvertble s x e son vectores tales que t = A -1 x -1, entonces A + x t es nvertble HA + x t L -1 = A -1 - A-1 x t A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ t A -1 x. Esta fórmula permte calcular A -1 drectamente a partr de A ī 1, con lo que se prescnde de realar la nversón matrcal en cada teracón. Al utlar A = A -1-1, x = -A -1 s ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 Å, e = s s la ecuacón (26) unto con la ecuacón de la Fórmula de Sherman - 2 Morrson mplcan que A -1 = A A -1 s ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 s 2 t s -1 = A = A A -1I - A -1 s -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ -1 2 s t s M A -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 + st A -1I - A -1 s -1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅM s 2 2 HA s L s t A-1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -1 ÅÅÅÅÅÅÅ s st A s 2 = A H s -1 t -1 - A -1 L s A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -1 st A-1-1 (29) En este cálculo ntervenen exclusvamente la multplcacón de matrces vectores en cada paso; por tanto, sólo se requeren O(n 2 ) cálculos artmétcos. El cálculo de A se omte, se prescnde de la resolucón del sstema lneal (28). 153

166 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 6.2 Pseudocódgo è Algortmo 5. Método de Cuas - Newton para sstemas no lneales El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales de n ecuacones con n ncogntas medante el método de Cuas - Newton es: Algortmo Cuas - Newton Input I8fH,..., x n L< 1 n, H... x n L T, n, errorm (* Se ncalan las varables *) p H... x m L T n F 8fH,..., x n L< 1 f_valor f 1 H p 1, p 2,..., p n L f 2 H p 1, p 2,..., p n L f n H p 1, p 2,..., p n L J HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL f 1 f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL A J (xl -1 s A. f_valor p_sg p - s p p_sg f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL f 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxL... f n ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL Hx ª H,..., x n LL error»» p_sg - p»» For = 2,..., n do H* Se evalúa la funcón F *L w f_valor f 1 H p 1 H-1L, p 2 H-1L,..., p n H-1L L f f_valor 2 H p H-1L 1, p H-1L 2,..., p H-1L n L f n H p H-1L 1, p H-1L 2,..., p H-1L n L f_valor - w s - A. w 154

167 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 1 A_sg A + I ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s t A * HH s - A LHst ALLM (* Cálculo del sguente punto *) p_sg p - A_sg. f_valor A A_sg (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos*) error»» p_sg - p»» If Herror error_nl do Brea End End p p_sg Return Hx HL ª HpL T L Output 6.3 Problemas à Problema 21. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H + 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e x3 + H10 p - 3Lê3 = 0. Medante el método de Cuas Newton calcúlese la aproxmacón de la solucón, comenando en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.1, 0.1, -0.1L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 83 Cos@ D 1ê2, 1 81 H + 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; p = 80.1, 0.1, 0.1<; m = 12; d = ; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; 155

168 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ f H,, L = 1-81H + 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = La matr acobana es: 3 snh L snh L JH,, L = 2-162H + 0.1L cosh L Iteracón = FHP 0 L = A -1 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 =

169 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 1 L = = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = µ10-6 A 1 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 = Iteracón = FHP 2 L = = FHP 2 L - FHP 1 L = s 2 = P 2 - P 1 = µ10-6 A 2 =

170 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Iteracón = FHP 3 L = = FHP 3 L - FHP 2 L = s 3 = P 3 - P 2 = µ10-7 A 3 = Cálculo de P 4. P 4 = P 3 - A 3 * FHP 3 L µ10-6 P 4 = P 4 =

171 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = µ10-7 FHP 4 L = µ = FHP 4 L - FHP 3 L = µ10-6 s 4 = P 4 - P 3 = µ µ10-6 A 4 = Cálculo de P 5. P 5 = P 4 - A 4 * FHP 4 L µ10-7 P 5 = µ P 5 = µ Iteracón = µ10-9 FHP 5 L = µ µ µ = FHP 5 L - FHP 4 L = µ µ10-7 s 5 = P 5 - P 4 = µ µ µ10-6 A 5 =

172 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 6. P 6 = P 5 - A 5 * FHP 5 L µ10-9 P 6 = µ µ µ P 6 = µ Tabla de datos. P FHP L P - P µ µ µ µ µ µ µ µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 6 = µ à Problema 22. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = ê = 0, f 2 H, L = 1ê =

173 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Aplíquese el método de Cuas Newton ncando el método en el punto ncal P 0 = I, M T = H0, 0L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = ê , 1ê <; p = 80., 0.<; m = 12; d = ; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = P 0 = ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ = La matr acobana es: JH, L = 8-20 ÅÅÅÅÅÅ 2 2 ÅÅÅÅÅÅ Iteracón = 0 FHP 0 L = A -1 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 = Iteracón = 1. FHP 1 L =

174 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 1 = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = A 1 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 = Iteracón = 2. FHP 2 L = = FHP 2 L - FHP 1 L = s 2 = P 2 - P 1 = A 2 = Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Iteracón = 3. FHP 3 L = = FHP 3 L - FHP 2 L = s 3 = P 3 - P 2 = A 3 =

175 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 4. P 4 = P 3 - A 3 * FHP 3 L P 4 = P 4 = Iteracón = 4. FHP 4 L = = FHP 4 L - FHP 3 L = s 4 = P 4 - P 3 = A 4 = Cálculo de P 5. P 5 = P 4 - A 4 * FHP 4 L P 5 = P 5 = Iteracón = 5. FHP 5 L = = FHP 5 L - FHP 4 L = s 5 = P 5 - P 4 = A 5 = Cálculo de P 6. P 6 = P 5 - A 5 * FHP 5 L P 6 = P 6 = Iteracón = 6. FHP 6 L = µ µ

176 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 6 = FHP 6 L - FHP 5 L = s 6 = P 6 - P 5 = A 6 = Cálculo de P 7. P 7 = P 6 - A 6 * FHP 6 L P 7 = µ µ10-7 P 7 = Tabla de datos. P FHP L P - P µ µ µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 7 =

177 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales à Problema 23. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = + - = 0. f 3 H,, L = = 0 Aplíquese el método de Cuas Newton ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H-1, -2, 1L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = , Exp@ D + Exp@ D, <; p = 8 1., 2., 1<; m = 11; d = ; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = = La matr acobana es: JH,, L = Iteracón = FHP 0 L = A -1 0 =

178 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 = Iteracón = FHP 1 L = = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = A 1 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 =

179 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 2 L = = FHP 2 L - FHP 1 L = s 2 = P 2 - P 1 = A 2 = Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados 167

180 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 6 L = µ µ = FHP 6 L - FHP 5 L = µ s 6 = P 6 - P 5 = µ A 6 = Cálculo de P 7. P 7 = P 6 - A 6 * FHP 6 L µ10-6 P 7 = µ µ P 7 = Iteracón = µ10-7 FHP 7 L = µ µ = FHP 7 L - FHP 6 L = µ µ10-6 s 7 = P 7 - P 6 = µ µ A 7 =

181 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 8. P 8 = P 7 - A 7 * FHP 7 L µ10-8 P 8 = µ µ P 8 = Tabla de datos. P FHP L P - P µ µ µ µ µ µ µ µ

182 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 8 = à Problema 24. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = e H- L H10 p - 3Lê3 = 0. Aplíquese el método de Cuas Newton con la aproxmacón ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T aplcando el método hasta que»» P +1 - P»» Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 8 3 Cos@ D 1ê2, , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; d = ; p = 80.0, 0.0, 0.0<; m = 12; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ f H,, L = = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = = La matr acobana es: 3 snh L snh L JH,, L =

183 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 0 L = A -1 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 = Iteracón = FHP 1 L = = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = A 1 = µ Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 =

184 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 2 L = = FHP 2 L - FHP 1 L = s 2 = P 2 - P 1 = A 2 = Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados 172

185 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 10 L = = FHP 10 L - FHP 9 L = s 10 = P 10 - P 9 = A 10 = Cálculo de P 11. P 11 = P 10 - A 10 * FHP 10 L P 11 = P 11 = Iteracón = FHP 11 L = = FHP 11 L - FHP 10 L = s 11 = P 11 - P 10 = A 11 =

186 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 12. P 12 = P 11 - A 11 * FHP 11 L µ10-6 P 12 = P 12 = Tabla de datos. P FHP L P - P

187 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 12 = à Problema 25. Dado el sguente problema no lneal f 1 H,, L = = 0, f 1 H,, L = = 0. f 1 H,, L = = 0 Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Cuas Newton comenando en el punto: P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T, e terando hasta que P +1 - P 5 µ Solucón Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, dd; ecuacones = , 2 5, + + 3<; d = ; p = 80.0, 0.0, 0.0<; m = 12; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = =

188 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La matr acobana es: JH,, L = Iteracón = FHP 0 L = A -1 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 = Iteracón = FHP 1 L = = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = A 1 =

189 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 = Iteracón = FHP 2 L = µ = FHP 2 L - FHP 1 L = µ s 2 = P 2 - P 1 = A 2 = Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Nota: Se han elmnado varas teracones.en la tabla fnal se pueden ver los resultados 177

190 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = FHP 10 L = µ = FHP 10 L - FHP 9 L = µ s 10 = P 10 - P 9 = A 10 = Cálculo de P 11. P 11 = P 10 - A 10 * FHP 10 L P 11 = P 11 = Iteracón = FHP 11 L = µ = FHP 11 L - FHP 10 L = µ s 11 = P 11 - P 10 = A 11 =

191 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 12. P 12 = P 11 - A 11 * FHP 11 L P 12 = P 12 = Tabla de datos. P FHP L P - P µ µ µ µ µ µ µ

192 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales µ µ µ La solucón aproxmada del sstema es: P 12 = à Problema 26. Dado el sguente problema no lneal f 1 H, L = = 0, f 1 H, L = = 0. Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de Cuas Newton comenando en el punto: P 0 = Ix 1, x 2 M T = H1, 1L T, e terando hasta que P +1 - P 5 µ Solucón Clear@ecuacones, m, p, dd; ecuacones = , <; d = ; p = 81.0, 1.0<; m = 12; cuasnewtonsstemasnolneal@ecuacones, p, m, dd; Método de Cuas-Newton para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La matr acobana es: JH, L =

193 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 0 FHP 0 L = A -1 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - A -1 0 * FHP 0 L P 1 = P 1 = Iteracón = 1. FHP 1 L = = FHP 1 L - FHP 0 L = s 1 = P 1 - P 0 = A 1 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - A 1 * FHP 1 L P 2 = P 2 = Iteracón = 2. FHP 2 L = = FHP 2 L - FHP 1 L = s 2 = P 2 - P 1 = A 2 =

194 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - A 2 * FHP 2 L P 3 = P 3 = Iteracón = 3. FHP 3 L = = FHP 3 L - FHP 2 L = s 3 = P 3 - P 2 = A 3 = Cálculo de P 4. P 4 = P 3 - A 3 * FHP 3 L P 4 = P 4 = Iteracón = 4. FHP 4 L = = FHP 4 L - FHP 3 L = s 4 = P 4 - P 3 = A 4 = Cálculo de P 5. P 5 = P 4 - A 4 * FHP 4 L P 5 = P 5 = Iteracón = 5. FHP 5 L =

195 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 5 = FHP 5 L - FHP 4 L = s 5 = P 5 - P 4 = A 5 = Cálculo de P 6. P 6 = P 5 - A 5 * FHP 5 L P 6 = P 6 = Iteracón = 6. FHP 6 L = µ = FHP 6 L - FHP 5 L = s 6 = P 6 - P 5 = A 6 = Cálculo de P 7. P 7 = P 6 - A 6 * FHP 6 L P 7 = µ µ10-6 P 7 = Iteracón = 7. FHP 7 L = µ µ = FHP 7 L - FHP 6 L = µ s 7 = P 7 - P 6 = µ µ10-6 A 7 =

196 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 8. P 8 = P 7 - A 7 * FHP 7 L P 8 = µ µ10-7 P 8 = Tabla de datos. P FHP L P - P µ µ µ µ µ10-7 La solucón aproxmada del sstema es: P 8 =

197 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 7. Método de la Máxma Pendente 7.1 Introduccón La ventaa del método de Newton de cuas - Newton en la resolucón de sstemas de ecuacones no lneales es su rapde de convergenca cuando se dspone de una solucón aproxmada sufcentemente precsa. La necesdad de dsponer de dcha aproxmacón ncal lo sufcentemene precsa para asegurar la convergenca es, por tanto, una debldad de estos métodos. El método de la Máxma Pendente converge a la solucón generalmente sólo de manera lneal, pero es de naturalea global, esto es, a partr de cas cada valor ncal se produce convergenca, aunque estos valores ncales sean defcentes. En consecuenca, con él se logran aproxmacones ncales sufcentemente exactas para las técncas que tenen como base el método de Newton, del msmo modo que el método de la bseccón se utla en una sola ecuacón. El método de la Máxma Pendente determna un mínmo local para una funcón de varas varables de la forma g : n ö. El método es de gran utldad ndependentemente de su aplcacón como prmer método para resolver los sstemas no lneales. La conexón entre el problema de mnmar una funcón de n en la resolucón de un sstema de ecuacones no lneales resde en el hecho de que un sstema lneal de la forma f 1 H,,..., x n L = 0, f 2 H,,..., x n L = 0; 185

198 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f n H,,..., x n L = 0, tene una solucón en p = (p 1, p 2,..., p n ) usto cuando la funcón g defnda por n gh,,..., x n L f H,,..., x n LD 2 =1 (31) alcana su valor mínmo cero en p. En el método de la Máxma Pendente para encontrar un mínmo local de una funcón cualquera g de n en puede descrbrse de manera ntutva como sgue: - Evaluar la funcón g en una aproxmacón ncal p = Ip 1, p 2,..., p n M t. g. - Determnar una dreccón que, desde p, se orgne una dsmnucón del valor de p H1L. - Desplaar una cantdad apropada haca esta dreccón llamar al nuevo vector - Repetr los tres pasos anterores susttuendo p por p H1L. Antes de descrbr cómo selecconar la dreccón correcta la dstanca apropada que se recorre en dcha dreccón, es precso repasar algunos resultados del cálculo nfntesmal. ô Teorema 4. Teorema de los Valores Extremos Este teorema establece que una funcón dferencable de una sola varable puede tener un mínmo relatvo sólo cuando su dervada sea cero. 186

199 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Para extender este resultado a las funcones de varas varables se necesta la sguente defncón. Defncón 5. S g: n ö, se defne el gradente de g en x = (,,..., x n L t, que se denota con ghxl se defne por medo de: ghxl = I ÅÅÅÅÅÅÅ g HxL, g ÅÅÅÅÅÅÅ HxL,..., g ÅÅÅÅÅÅÅ x n HxLM t El gradente de una funcón de varas varables es el análogo a la dervada de una funcón de varas varables en el sentdo de que una funcón de varas varables dferencable puede tener un mínmo local en un punto x sólo cuando su gradente en x es el vector cero. El gradente tene otra propedad mu mportante en relacón con la mnmacón de las funcones de varas varables. Supóngase que v = (v 1, v 2,..., v n L t es un vector untaro de n ; es decr, n v 2 2 = =1 v 2 = 1 (32) Defncón 6. La dervada drecconal de g en x en la dreccón de v está defnda por D v ghxl = lm 1 hö0 ÅÅÅÅ@ gh x + h vl - ghxld = v ghxl. h La dervada drecconal de g en x en la dreccón de v mde la varacón de los valores de la funcón g con respecto a los cambos de su varable en la dreccón de v. 187

200 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cuando g es una funcón de dos varables Fgura 2 Un resultado estándar del cálculo nfntesmal de las funcones de varas varables establece que s la funcón g es dferencable, la dreccón en la que se obtene la dervada drecconal de maor tamaño se obtene cuando v es paralelo al gradente ghxl, sempre cuando ghxl 0. En consecuenca, la dreccón de la máxma dsmnucón de los valores de g desde x es la dreccón dada por ghxl. Puesto que el obetvo es reducr g HxL a su valor mínmo de cero, dada la aproxmacón ncal p, se toma p H1L = p - a (33) para alguna constante a > 0, donde es el vector untaro en la dreccón del gradente, es decr, = gh p L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. gh p L 2 El problema, entonces, se reduce a escoger un valor de a de manera que ghp H1L L sea 188

201 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales sgnfcatvamente menor que ghp L. S se quere determnar una eleccón apropada del valor de a, consderense la funcón de una sola varable hhal = gh p - a L. (34) El valor de a que mnma h es el valor que se requere en la ecuacón (33). Para obtener drectamente un valor mínmo de h se requere dervar h, luego resolver un problema de cálculo de raíces para determnar los puntos crítcos de h. Este procedmento es generalmente demasado costoso en térmnos de cálculos necesaros. Por ello se selecconan tres puntos a 1 a 2 a 3 que, se espera, estén cerca de donde hhal alcana su valor mínmo. A contnuacón, se construe el polnomo de segundo grado P HxL que nterpola h en a 1, a 2 a 3. Tomamos un valor à 1, a 3 D tal que PHàL sea el mínmo de PHxL 1, a 3 D usando PHàL como aproxmacón del valor mínmo de hhal. Entonces à es el valor que se utla para determnar la nueva teracón en la búsqueda del valor mínmo de g: p H1L = p - à. (35) Como a se dspone de ghp L, para reducr el esfuero computaconal en lo posble el prmer punto que se escoge es a 1 = 0. A contnuacón, se toma un punto a 3 tal que hha 3 L hha 1 L. (Dado que a 1 no es el mínmo de h, dcho número a 3 s exste). Fnalmente se decde que a 2 sea gual a a 3 ÅÅÅÅÅÅ 2. El punto à donde se alcana el valor mínmo de PHxL a 1, a 3 D es el únco punto crítco de P o el punto extremo derecho del ntervalo a 3 porque, por suposcón, PHa 3 L = hha 3 L hha 1 L = PHa 1 L. Dado que PHxL es un polnomo de segundo grado dcho punto crítco se puede determnar fáclmente. 189

202 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 7.2 Pseudocódgo è Algortmo 6. Método de la Máxma Pendente para sstemas no lneales El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales de n ecuacones con n ncóogntas medante el método de la Máxma Pendende es: Algortmo Máxma Pendente Input I8fH,..., x n L< 1 n, H... x n L T, n, errorm (* Se ncalan las varables *) p H... x m L T n F 8fH,..., x n L< 1 For = 1,..., n do n g = 1 F 2 g 1 H p H-1L 1, p H-1L H-1L 2,..., p n L + g0 g 2 H p 1 H-1L, p 2 H-1L,..., p n H-1L L g n H p H-1L 1, p H-1L 2,..., p H-1L n L gradente g 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL g ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... g n ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL g ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL g ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... g ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL g 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL g ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxL... g n ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL Hx ª H,..., x n LL gradente 1 H p 1 H-1L,..., p n H-1L L gradente 2 Ip 1 H-1L,..., p n H-1L M "############### n =1 2 If H0 = 0L do Brea End ÅÅÅÅÅÅ 0 a 1 0 a 3 1 g1 g0 p3 p - a 3. gradente n Ip 1 H-1L,..., p n H-1L M 190

203 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales g 1 H p3 1 H-1L, p3 2 H-1L,..., p3 n H-1L L + g 2 H p3 H-1L g3 1, p3 H-1L 2,..., p3 H-1L n L g n H p3 H-1L 1, p3 H-1L 2,..., p3 H-1L n L Whle (g3 g1) do a 3 a 3 ÅÅÅÅÅÅ 2 p3 p - a 3. g 1 H p3 H-1L 1, p3 H-1L H-1L 2,..., p3 n L + g3 g 2 H p3 H-1L 1, p3 H-1L 2,..., p3 H-1L n L g n H p3 H-1L 1, p3 H-1L 2,..., p3 H-1L n L If Ha 3 errorê2l do Brea End End a 2 a 3 ÅÅÅÅÅÅ 2 p2 p - a 2. g 1 H p2 H-1L 1, p2 H-1L H-1L 2,..., p2 n L + g2 g 2 H p2 1 H-1L, p2 2 H-1L,..., p2 n H-1L L g n H p2 H-1L 1, p2 H-1L 2,..., p2 H-1L n L h1 h2 h3 g2 - g1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 2 g3 - g2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 3 - a 2 h2 - h1 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a 3 a2 - h1 a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ h 3 p0 p - a 0. g 1 H p0 H-1L 1, p0 H-1L H-1L 2,..., p0 n L + g 2 H p0 H-1L g0 1, p0 H-1L 2,..., p0 H-1L n L g n H p0 H-1L 1, p0 H-1L 2,..., p0 H-1L n L If (g0 g3) do a a 0 Else a a 3 End (* Cálculo del sguente punto g *) p1 p - a. g 1 H p1 H-1L 1, p1 H-1L H-1L 2,..., p1 n L + g g 2 H p1 1 H-1L, p1 2 H-1L,..., p1 n H-1L L g n H p1 H-1L 1, p1 H-1L 2,..., p1 H-1L n L (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos*) error»» p - p1»» 191

204 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales End If Herror error_nl do Brea End p p1 Return Hx HL ªHpL T L Output 7.3 Problemas à Problema 27. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H + 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e H10 p - 3Lê3 = 0. Medante el método de la Máxma Pendente calcúlese la aproxmacón de la solucón, comenando en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0.0, 0.0, 0.0L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 83 Cos@ D 1ê2, 1 81 H + 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; p = 80.0, 0.0, 0.0<; m = 12; d = ; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ f H,, L = 1-81H + 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 0 P 0 = =

205 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1. Sendo g x = g HP 0 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = P 1 = Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = * P 2 =

206 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados Iteracón = 11. Sendo g x = g HP 10 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 11. P 11 = P 10 - a 0 * P 11 = * P 11 = Iteracón = 12. Sendo g x = g HP 11 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 =

207 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 12. P 12 = P 11 - a 0 * P 12 = * P 12 = Tabla de datos. P ghp L P - P

208 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 12 = à Problema 28. Dado el sguente problema no lneal f 1 H, L = = 0, f 1 H, L = = 0. Calcular la solucón aproxmada del sstema empleando el método de la Máxma Pendente comenando en el punto: P 0 = Ix 1, x 2 M T = H1, 1L T, e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, m, p, dd; ecuacones = , <; d = 0.05; p = 81.0, 1.0<; m = 12; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = Iteracón = 1. Sendo g x = g HP 0 - a x *L = a 1 = 0 g 1 =

209 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = * P 1 = Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = * P 2 = Iteracón = 3. Sendo g x = g HP 2 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 =

210 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 3. P 3 = P 2 - a 0 * P 3 = * P 3 = Tabla de datos. P ghp L P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = à Problema 29. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = ê = 0, f 2 H, L = 1ê = 0. Aplíquese el método de la Máxma Pendente ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0, 0L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = ê , 1ê <; p = 80., 0.<; m = 12; d = ; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; 198

211 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = P 0 = ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ = Iteracón = 1. Sendo g x = g HP 0 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = * 0 P 1 = Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = * P 2 =

212 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados Iteracón = 11. Sendo g x = g HP 10 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 11. P 11 = P 10 - a 0 * P 11 = * P 11 = Iteracón = 12. = Sendo g x = g HP 11 - a x *L a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 =

213 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 12. P 12 = P 11 - a 0 * P 12 = * P 12 = Tabla de datos. P ghp L P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 12 = à Problema 30. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = + - x3 =

214 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f 3 H,, L = = 0 Aplíquese el método de la Máxma Pendente ncando el método en el punto ncal P 0 = I,, M T = H0, 0, 0L T e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = , Exp@ D + Exp@ D, <; p = 80., 0., 0.<; m = 11; d = ; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = = Iteracón = 1. Sendo g x = g HP 0 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 =

215 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = * P 1 = Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = P 2 = Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados. Iteracón = 10. Sendo g x = g HP 9 - a x *L = a 1 = 0 g 1 =

216 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 10. P 10 = P 9 - a 0 * P 10 = * P 10 = Iteracón = 11. Sendo g x = g HP 10 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 11. P 11 = P 10 - a 0 * P 11 = P 11 = Tabla de datos. 204

217 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales P ghp L P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 11 =

218 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales à Problema 31. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = lnh L - senh L -Hln 2 + ln pl, f 2 H, L = e H- L + cosh L = 0. Aplíquese el método de la Máxma Pendente ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2 M T = H2, 2L T. e terando hasta que P +1 - P Solucón Clear@ecuacones, p, d, md; ecuacones = 8 Log@ D Sn@ D + Exp@ D + Cos@ D<; p = 82.0, 2.0<; m = 10; d = 0.05; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = logh L - snh L - loghpl - logh2l cosh L + - = 0 0 P 0 = = Iteracón = 1. Sendo g x = g HP 0 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = * P 1 =

219 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = * P 2 = Tabla de datos. P ghp L P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 1 = à Problema 32. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = senh4 p L = 0, f 2 H, L = HH4 p - 1LêH4 pll He 2 - el + 4 e x2 2-2 e = 0. Aplíquese el método de la Máxma Pendente ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0, 0L T. e terando hasta que P +1 - P Solucón 207

220 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales p, m, dd; ecuacones = 8 Sn@4 P D 2, HH4 P 1LêH4 PLL HExp@2 D EL + 4 E H L 2 2 E <; p = 80.0, 0.0<; m = 2; d = 0.005; maxmapendente@ecuacones, p, m, dd; Método de la Máxma Pendente para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = snh4 p L H- + 2 x1 LH-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 0 0 P 0 = = p Iteracón = 1. = Sendo g x = g HP 0 - a x *L a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅ 1 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅ 1 g 3 = h 1 = h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 1. P 1 = P 0 - a 0 * P 1 = * 0 P 1 = Iteracón = 2. Sendo g x = g HP 1 - a x *L = a 1 = 0 g 1 = a 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 32 g 2 = a 3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 16 g 3 = h 1 =

221 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales h 2 = h 3 = a 0 = Cálculo de P 2. P 2 = P 1 - a 0 * P 2 = * 0 P 2 = Tabla de datos. P ghp L P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 2 =

222 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 8. Método de Contnuacón u Homotopía 8.1 Introduccón Los métodos de Contnuacón, u Homotopía, para sstemas no lneales conssten en sumergr el problema que debe resolverse dentro de una famla adecuada de problemas. Específcamente, para resolver un problema de la forma FHxL = 0 (36) cua solucón x * es desconocda, consdérese una famla de problemas que se descrben medante un parámetro l que toma valores 1D. A l = 0 le corresponde un problema cua solucón x(0) es conocda, mentras que el problema cua solucón x(1) ª x * se desconoce corresponde a l = 1. FHxL = 0. Por eemplo, suponendo que x(0) es una aproxmacón ncal de la solucón x * de Defncón 7. Se defne G 0, 1D µ n ö n medante GHl, xl = l FHxL + H1 - ll@fhxl - FH xld = FHxL + Hl - 1L FHxL. Se determnarán, para varos valores de l, una solucón de GHl, xl = 0. (37) Cuando l = 0, la ecuacón que resulta es 0 = GH0, xl = FHxL - FH xl, (38) 210

223 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales de la cual x(0) es una solucón. Cuano l = 1, la ecuacón que resulta es 0 = GH1, xl = FHxL, (39) de la cual x(1) = x * es una solucón. La funcón G, a través de su parámetro l, proporcona una famla de funcones que podrían guar desde el valor conocdo x(0) hasta la solucón x(1) = x *. Se dce que la funcón G es una homotopía entre la funcón G H 0, xl = F HxL - F Hx L la funcón GH1, xl = FHxL. El problema de contnuacón consste en lo sguente. Determnar una forma de proceder para r desde la solucón conocda x(0) de GH0, xl = 0 hasta la solucón desconocda xh1l = x * de GH1, xl = 0 que resuelve el problema FHxL = 0. Suponendo, en prmer lugar, que xhll es la únca solucón de la ecuacón GHl, xl = 0, (40) para cada l 1D. El conunto 8 xhll» 0 l 1< puede verse como una curva en n parametrada por l, que va desde x hasta xh1l = x *. Con el método de Contnuacón se determnan una secuenca de puntos 8xH l L< m =0 a lo largo de esta curva que corresponden a l 0 = 0 l 1..., l m = 1. S las funcones l ö xhll G son dferencables, entonces dervando la ecuacón GH l, xl = 0 con respecto a l se obtene 0 = GHl, xhlll ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ l + GHl, xhlll ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ x x HlL, (41) 211

224 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales que, despeando x HlL, queda x GHl, xhlll -1 GHl, xhlll HlL = -A ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅE ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, x l (42) que es un sstema de ecuacones dferencales con condcón ncal x. Puesto que GHl, xhlll = FHxHlLL + Hl - 1L FHxL, (43) se pueden determnar tanto la matr acobana f ÅÅÅÅÅÅÅ 1 H xhlll f ÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxHlLL f 1 ÅÅÅÅÅÅÅ x n HxHlLL G ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x H l, xhlll = f ÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxHlLL... f ÅÅÅÅÅÅÅ n HxHlLL f ÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxHlLL... f ÅÅÅÅÅÅÅ n HxHlLL f ÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxHlLL... f n ÅÅÅÅÅÅÅ x n HxHlLL = J HxHlLL (44) como GHl, xhlll ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ l = FHx L. (45) Por tanto, el sstema de ecuacones dferencales resulta ser x H ll = -@ J H xhllld -1 FHxL, para 0 l 1, (46) con la condcón ncal x. El sguente teorema proporcona condcones bao las que el método de Contnuacón puede llevarse a cabo. ô Teorema 5. Convergenca del Método de Contnuacón Suponendo que FHxL es dferencable con contnudad para x œ n. Suponendo que la matr acobana J HxL es nvertble para todo x œ n que exste una constante M 212

225 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales tal que J H x L -1 M, para todo x œ n. Entonces para cualquer x en n, exste una únca funcón xhll tal que GHl, xhlll = 0, para todo l 1D. Además, xhll es dferencable con contnudad x HlL = - J HxHlLL -1 FHxL para l 1D. En general, el sstema de ecuacones dferencales que se necestan resolver con el problema de contnuacón es de la forma d ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d l d ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d l d x n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ d l = f 1 H l,,,..., x n L, = f 2 H l,,,..., x n L, = f n H l,,,..., x n L, (47) donde f 1 H l,,,..., x n L f 2 H l,,,..., x n L... f n H l,,,..., x n L = -J H,,..., x n L -1 f 1 HxL f 2 HxL... f n HxL. (48) Para utlar el método de Runge - Kutta de orden 4 en la resolucón de este sstema se toma un número entero n > 0 se defne h = H1-0L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n. Se dvde el ntervalo@0, 1D en n subntervalos cuos extremos son los nodos l = h, para cada = 0, 1,..., n. (49) 213

226 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Se va a denotar por w, para cada = 0, 1,..., n e = 1, 2,...,n, la aproxmacón de x (l ). De acuerdo con las condcones ncales, se toma w 1,0 =, w 2,0 =, w n,0 = x n. (50) Suponendo que se ha calculado a w 1,, w 2,,.., w n,. Se obtenen las nuevas aproxmacones w 1, +1, w 2, +1,.., w n, +1 medante las expresones 1, = h f Hl, w 1,, w 2,,.., w n, L, = 1, 2,..., n; 2, = h f Jl + ÅÅÅÅÅ h 2, w 1, + ÅÅÅÅÅ 1 2 1,1, w 2, + ÅÅÅÅÅ 1 2 1,2,.., w n, + ÅÅÅÅÅ 1 2 1,nN, = 1, 2,..., n; 3, = h f Jl + ÅÅÅÅÅ h 2, w 1, + ÅÅÅÅÅ 1 2 2,1, w 2, + ÅÅÅÅÅ 1 2 2,2,.., w n, + ÅÅÅÅÅ 1 2 2,nN, = 1, 2,..., n; 4, = h f Hl + h, w 1, + 3,1, w 2, + 3,2,.., w n, + 3,n L, = 1, 2,..., n; (51), fnalmente w, +1 = w, + 1 ÅÅÅÅÅ 6 H 1, + 2 2, + 2 3, + 4, L, = 1, 2,..., n. (52) Utlando la notacón vectoral 1,1 2,1 3,1 4,1 1 = 1,2, 2 =... 1,n w 1, 2,2... 2,n, 3 = 3,2, 4 =... 3,n 4,2... 4,n (53) w = w 1,.... w n, para smplfcar la presentacón. La gualdad (48) da x = xhl 0 L = w 0, para cada = 0, 1,..., n. 214

227 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales f 1 H l, w 1,, w 2,,.., w n, L f 2 H l, w 1,, w 2,,.., w n, L 1 = h... f n H l, w 1,, w 2,,.., w n, L = h@- J Hw 1,,.., w n, LD -1 FHxL = h@- J Hw LD -1 FHxL; 2 = ha- J Jw + ÅÅÅÅÅ NE FHxL; 3 = ha- J Jw + ÅÅÅÅÅ NE FHxL; 4 = h@- J Hw + 3 LD -1 FHxL. xhl +1 L = xhl L + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = w + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L. (55) Fnalmente, xhl n L = xh1l es la aproxmacón de x *. 8.2 Pseudocódgo è Algortmo 7. Método de Contnuacón u Homotopía para sstemas no lneales. El pseudocódgo del algortmo que resuelve un sstema de ecuacones no lneales de n ecuacones con n ncógntas medante el método de Contnuacón u Homotopía es: Algortmo Contnuacón u Homotopía Input I8fH,..., x n L< 1 n, H... x n L T, nm (* Se ncalan las varables *) M 4 h 1 ê n p H... x m L T n F 8fH,..., x n L< 1 215

228 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales J HxL ÅÅÅÅÅÅÅÅ HxL f 1 f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 1 HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 HxL... f ÅÅÅÅÅÅÅÅ n HxL f 1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL f ÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x n HxL... f n ÅÅÅÅÅÅÅÅ x n HxL Hx ªH,..., x n LL f_valor f 1 H p 1, p 2,..., p n L f 2 H p 1, p 2,..., p n L f n H p 1, p 2,..., p n L For = 1,..., n do H* Se evalúa la funcón F la matr acobana en el punto *L 11 H p H-1L H-1L 1,..., p n L... 1 n H p H-1L 1, H-1L..., p n L 21 H p H-1L H-1L _valor 1,..., p n L... 2 n H p H-1L H-1L 1,..., p n L n 1 H p H-1L H-1L 1,..., p n L... n n H p H-1L H-1L 1,..., p n L 1 h * H_valorL -1 * f_valor p_aux p p_nt p_aux + ÅÅÅÅÅ _valor 11 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... 1 n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 21 H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L... 2 n H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L n 1 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... n n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 2 h * H_valorL -1 * f_valor p_nt p_aux + ÅÅÅÅÅ _valor 11 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... 1 n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 21 H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L... 2 n H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L n 1 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... n n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 3 h * H_valorL -1 * f_valor p_nt p_aux + 3 _valor 11 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... 1 n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 21 H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L... 2 n H p_nt 1 H-1L,..., p_nt n H-1L L n 1 H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L... n n H p_nt H-1L H-1L 1,..., p_nt n L 216

229 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 4 h * H_valorL -1 * f_valor (* Cálculo del sguente punto *) p1 p_aux + ÅÅÅÅÅ 1 H L 6 (* Cálculo de la norma de la dstanca entre los dos puntos*) error»» p1 - p»» p p1 End Return Hx HL ªHpL T L Output 8.3 Problemas à Problema 33. Sea el sstema no lneal de ecucaones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,,x3 L = 1-81 H + 0.1L 2 + sen = 0, f 3 H,, L = e x3 + H10 p - 3Lê3 = 0. Medante el método de Contnuacón u Homotopía calcúlese la aproxmacón de la solucón, comenando en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H0, 0, 0L T realando n = 4 teracones. Solucón Clear@ecuacones, p, md; ecuacones = 83 Cos@ D 1ê2, 1 81 H + 0.1L 2 + Sn@ D , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<; m = 4; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ 1 2 f H,, L = 1-81H + 0.1L 2 + snh L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 P 0 = =

230 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La matr acobana es: 3 snh L snh L JH,, L = 2-162H + 0.1L cosh L Iteracón = = = = = P 1 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Iteracón = = = = = P 2 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L =

231 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = = = = = P 3 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Iteracón = = = = = P 4 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = µ Tabla de datos. P P - P

232 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales µ La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = µ à Problema 34. Sea el sstema no lneal de ecucaones sguente: f 1 H,, L = = 0, f 2 H,, L = = 0, f 3 H,, L = = 0 Medante el método de Contnuacón u Homotopía calcúlese la aproxmacón de la solucón, comenando en el punto ncal P 0 = I,, M T = H0, 0, 0L T realando n = 2 teracones. Solucón Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, d, md; ecuacones = , 2 5, + + 3<; p = 880.0<, 80.0<, 80.0<<; m = 2; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; 220

233 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales f H,, L = = P 0 = = La matr acobana es: JH,, L = Iteracón = = = = = P 1 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Iteracón = = =

234 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales = = P 2 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Tabla de datos. P P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 2 = à Problema 35. Sea el sstema no lneal de ecucaones sguente: f 1 H, L = = 0, f 2 H, L = = 0, Medante el método de Contnuacón u Homotopía calcúlese la aproxmacón de la solucón, comenando en el punto ncal: a) P 0 = I, M T = H0, 0L T b) P 0 = I, M T = H1, 1L T c) P 0 = I, M T = H3, -2L T realando n = 8 teracones. 222

235 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Solucón a) ecuaconestrans, p, d, md; ecuacones = , 2 2 6<; p = 880.0<, 80.0<<; m = 8; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La matr acobana es: JH, L = Iteracón = 1 1 = = = = P 1 = P 0 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 2 1 = =

236 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 3 = = P 2 = P 1 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados Iteracón = 7 1 = = = = P 7 = P 6 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 8 1 = = = = P 8 = P 7 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Tabla de datos. P P - P

237 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 8 = Solucón b) Clear@ecuacones, ecuaconestrans, p, d, md; ecuacones = , 2 2 6<; p = 881.0<, 81.0<<; m = 8; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La matr acobana es: JH, L =

238 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1 1 = = = = P 1 = P 0 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 2 1 = = = = P 2 = P 1 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Nota: Se han elmnado varas teracones. En la tabla fnal se pueden ver los resultados Iteracón = 7 1 = = = = P 7 = P 6 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L =

239 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 8 1 = = = = P 8 = P 7 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Tabla de datos. P P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 8 = Solucón c) 227

240 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales p, d, md; ecuacones = , 2 2 6<; p = 883.0<, 8 2.0<<; m = 8; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = = 0 0 P 0 = = La matr acobana es: JH, L = Iteracón = 1 1 = = = = P 1 = P 0 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 2 1 = = = = P 2 = P 1 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L =

241 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Nota:Se han elmnado varas teracones.en la tabla fnal se pueden ver los resultados Iteracón = 7 1 = = = = P 7 = P 6 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 8 1 = = = = P 8 = P 7 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Tabla de datos. P P - P

242 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 8 = à Problema 36. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H,, L = 3 - cosh L - 1ê2 = 0, f 2 H,, L = x = 0, f 3 H,, L = e H- L H10 p - 3Lê3 = 0. Aplíquese el método de Contnuacón u Homotopía con la aproxmacón ncal P 0 = Ix 1, x 2, x 3 M T = H1, 1, 1L T aplcando el método con n = 4 teracones. Solucón Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = 8 3 Cos@ D 1ê2, , Exp@ D H10 P 3Lê3 <; p = 881.0<, 81.0<, 81.0<<; m = 4; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. -cosh L ÅÅÅÅÅ 1 2 f H,, L = ÅÅÅÅÅ 1 H pl 3 P 0 = = =

243 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La matr acobana es: 3 snh L snh L JH,, L = Iteracón = = = = = P 1 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Iteracón = = = = = P 2 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L =

244 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = = = = = P 3 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Iteracón = = = = = P 4 = P ÅÅÅÅÅ 6 H L = Tabla de datos. P P - P

245 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 4 = à Problema 37. Sea el sstema no lneal de ecuacones sguente: f 1 H, L = ê = 0, f 2 H, L = 1ê = 0. Aplíquese el método de Contnuacón u Homotopía con la aproxmacón ncal P 0 = I, M T = H1, 0L T aplcando el método con n = 6 teracones. Solucón Clear@ecuacones, p, dd; ecuacones = ê , 1ê <; p = 881.0<, 80.0<<; m = 6; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = P 0 = ÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅ =

246 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La matr acobana es: JH, L = 8-20 ÅÅÅÅÅÅ 2 2 ÅÅÅÅÅÅ Iteracón = 1 1 = = = = P 1 = P 0 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 2 1 = = = = P 2 = P 1 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 3 1 = = = = P 3 = P 2 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L =

247 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 4 1 = = = = P 4 = P 3 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 5 1 = = = = P 5 = P 4 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 6 1 = = = = P 6 = P 5 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Tabla de datos. P P - P

248 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La solucón aproxmada del sstema es: P 6 = à Problema 38. Sea el sstema de ecuacones no lneales sguente. f 1 H, L = senh4 p L = 0, f 2 H, L = HH4 p - 1LêH4 pll He 2 - el + 4 e x2 2-2 e = 0. Aplíquese el método de la Contnuacón u Homotopía ncando el método en el punto ncal P 0 = Ix 1, x 2 M T = H0, 0L T realando 4 teracones. Solucón Clear@ecuacones, p, m, dd; ecuacones = 8 Sn@4 P D 2, HH4 P 1LêH4 PLL HExp@2 D EL + 4 E H L 2 2 E <; p = 880.0<, 80.0<<; m = 4; contnuaconhomotopa@ecuacones, p, md; Método de Contnuacon Homotopa para sstemas de ecuacones no lneales. f H, L = snh4 p L H- + 2 x1 LH-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = 0 0 P 0 = = p La matr acobana es: JH, L = 4 p cosh4 p L p cosh4 p L x1 H-1+4 pl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 x 2 p 2 236

249 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Iteracón = 1 1 = = = = P 1 = P 0 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 2 1 = = = = P 2 = P 1 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 3 1 = = = = P 3 = P 2 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Iteracón = 4 1 = =

250 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 3 = = P 4 = P 3 + ÅÅÅÅÅ 1 6 H L = Tabla de datos. P P - P La solucón aproxmada del sstema es: P 4 =

251 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 9. Interfa de Usuaro 9.1 Ventana ncal La ventana ncal del programa reala la creacón del marco ncal donde se van a aloar los botones, el gráfco, logo los menús de ventana con los respectvos textos relatvos al nombre de aplcacón botón. Funcón Prncpal Funcón Menú Creacón del Marco <<SuperWdgetFrame()>> Botón Métodos Gráfco Incal Texto PFC g1 = Gráfco [ ] Logo ICAI Botón Acerca de Botón Salr Creacón de la ventana ncal de la aplcacón. Fgura 3 Para el correcto funconamento de la aplcacón es necesaro nclur el paquete SuperWdgetPacage que da soporte a las ventanas marcos utlados. 239

252 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales La pantalla ncal se presenta a contnuacón: Pantalla ncal de la aplcacón. Fgura 4 En el menú que se presenta se pueden pulsar tres botones; "Métodos", "Acerca de" "Salr" que están ncludos en la funcón Menú. S se pulsa en cada uno de ellos se desplegarán las opcones que cada uno tene. Las opcones se muestran en el dagrama sguente: Funcón Menú Botón Métodos Pulsacón Botón Método del Punto Fo menumétodopuntofo [] Botón Método de Sedel menumétodosedel [] Botón Acerca de Botón Salr Pulsacón Pulsacón Creacón Marco Creacón Marco SuperWdgetFrame SuperWdgetFrame [Panel, Texto] [Texto Salr] Botón Método de Newton menumétodonewton [] Botón Método de Cuas - Newton menumétodocausnewton[] Botón Método de Máxma Pendente menumétodomaxmapendente [] Botón Método de Contnuacón u Homotopa menumétodocontnuacon[] Pulsacón Botón SI Respuesta = 1 Cerra <Marco Pr> CloseFrame[marcopr] Pulsacón Botón Cancelar Return <Marco Pr> Creacón del menú desplegable. Fgura 5 240

253 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales En cuanto al botón "Acerca de" crea un marco en el que se crea un panel con el texto relatvo al proecto, aparecen la Unversdad, Especaldad, tpo de trabao, autor drector del msmo. El botón Salr da a elegr mostrando dos botones. Con el botón "Sí" se cerra el marco prncpal se para la eecucón del programa. Con el boton "Cancelar" regresamos al marco prncpal. Las ventanas resultantes se muestran a contnuacón: Fgura 6 Ventanas Acerca de. Ventana Salr de la aplcacón. Fgura 7 Por últmo, el botón "Métodos" al ser pulsado desplega varas opcones de eecucón, de las que podemos selecconar una cada ve. 241

254 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales contnuacón: Los métodos que pueden usarse en esta aplcacón se muestran en detalle a Opcones de los Métodos de resolucón. Fgura 8 Los métodos son: - Método del Punto Fo. - Método de Sedel. - Método de Newton. - Método de Cuas - Newton - Método de la Máxma Pendente - Método de Contnuacón u Homotopía. 242

255 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 9.2 Ventana Método del Punto Fo Al pulsar el botón "Método del Punto Fo" se llama a la funcón menumétodopuntofo() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Ecuacones transformadas" de tpo texto, en ella se deben ntroducr las ecuacones tranformadas para que puedan ser utladas por el método, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Error" de tpo real, en esta caa se debe ntroducr el error mínmo que se quere alcanar para obtner la solucón aproxmada. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el programa recoge los datos ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método del Punto Fo, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón PuntoFo(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón PuntoFo() se calcula la solucón aproxmada del sstema de 243

256 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. Resp = 1 Return <r> Botón Método del Punto Fo menumetodopuntofo[ ] Incalar[varables globles] Creacón Marco <<superwdgetframe[ ]>> Botón Botón Realar Cancelar Pulsacón Resp = 1 Pulsacón r = metodopuntofo[ param] Texto Formato Integral Image_Expresson Box Strng Box Strng Box Strng Return <Marco Pr> Box Real f1 f2 p h Dagrama con el método Punto Fo. Fgura 9 Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. 244

257 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método del Punto Fo. Fgura Ventana Método de Sedel Al pulsar el botón "Método de Sedel" se llama a la funcón menumétodosedel() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Ecuacones transformadas" de tpo texto, en ella se deben ntroducr las ecuacones tranformadas para que puedan ser utladas por el método, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Error" de tpo real, en esta caa se debe ntroducr el error mínmo que se quere alcanar para obtner la solucón aproxmada. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el 245

258 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales programa recoge los datos ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método de Sedel, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón Sedel(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón Sedel() se calcula la solucón aproxmada del sstema de ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. Resp = 1 Return <r> Botón Método de Sedel menumetodo Sedel[ ] Incalar[varables globles] Creacón Marco <<superwdgetframe[ ]>> Botón Botón Realar Cancelar Pulsacón Resp = 1 Pulsacón r = metodosedel[ param] Texto Formato Integral Image_Expresson Box Strng Box Strng Box Strng Return <Marco Pr> Box Real f1 f2 p h Dagrama con el método de Sedel. Fgura 11 Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. 246

259 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método de Sedel. Fgura Ventana Método de Newton Al pulsar el botón "Método de Newton" se llama a la funcón menumétodonewton() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero, el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en 247

260 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Número Maxmo Interacones" de tpo texto en la que se debe ntroducr el número máxmo de teracones que se queren realar, "Error" de tpo real, en esta caa se debe ntroducr el error mínmo que se quere alcanar para obtner la solucón aproxmada. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el programa recoge los datos ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método de Newton, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón Newton(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón Newton() se calcula la solucón aproxmada del sstema de ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. 248

261 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Resp = 1 Return <r> Botón Método de Newton menumetodonewton[ ] Incalar[varables globles] Creacón Marco <<superwdgetframe[ ]>> Botón Botón Realar Cancelar Pulsacón Resp = 1 Pulsacón r = metodonewton[ param] Texto Formato Integral Image_Expresson Box Strng Box Strng Box Strng Return <Marco Pr> Box Real f1 p b h Dagrama con el método de Newton. Fgura 13 Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. 249

262 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método de Newton. Fgura Ventana Método de Cuas - Newton Al pulsar el botón "Método de Cuas - Newton" se llama a la funcón menumétodocuasnewton() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero, el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Número Máxmo de Iteracones" de tpo texto, en ella se debe ntroducr el número máxmo de teracones que se desea que realce el método, "Error" de tpo real, en esta caa se debe ntroducr el error mínmo que se quere alcanar para obtner la solucón aproxmada. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve 250

263 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el programa recoge los datos ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método de Cuas - Newton, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón Cuas - Newton(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón CausNewton() se calcula la solucón aproxmada del sstema de ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. Resp = 1 Return <r> Botón Método de Cuas -Newton menumetodocuasnewton[ ] Incalar[varables globles] Creacón Marco <<superwdgetframe[ ]>> Botón Botón Realar Cancelar Pulsacón Resp = 1 Pulsacón r = metodocuasnewton[ param] Texto Formato Integral Image_Expresson Box Strng Box Strng Box Strng Return <Marco Pr> Box Real f1 p b h Dagrama con el método de Cuas - Newton. Fgura

264 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método de Cuas - Newton. Fgura Ventana Método de la Máxma Pendente Al pulsar el botón "Método de la Máxma Pendente" se llama a la funcón menumétodomaxmapendente() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. 252

265 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero, el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Número Máxmo de Iteracones" de tpo texto, en ella se debe ntroducr el número máxmo de teracones que se desea que realce el método, "Error" de tpo real, en esta caa se debe ntroducr el error mínmo que se quere alcanar para obtner la solucón aproxmada. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el programa recoge los datos ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método de la Máxma Pendente, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón MaxmaPendente(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón MaxmaPendente() se calcula la solucón aproxmada del sstema de ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. 253

266 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Resp = 1 Return <r> Botón Método de la Máxma Pendente menumetodomaxmapendente[ ] Incalar[varables globles] Creacón Marco <<superwdgetframe[ ]>> Botón Botón Realar Cancelar Pulsacón Resp = 1 Pulsacón Return <Marco Pr> r = metodomaxmapendente[ param] Texto Formato Integral Image_Expresson Box Strng Box Strng Box Strng Box Real f1 p b h Dagrama con el método de la Máxma Pendente. Fgura 17 Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. 254

267 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método de la Máxma Pendente. Fgura Ventana Método de Contnuacón u Homotopía Al pulsar el botón "Método de Contnuacón u Homotopía" se llama a la funcón menumétodoconotnuacon() que ncala las varables globales con la funcón ncalar() a contnuacón crea el marco respectvo del método. Dentro del marco se tenen varos elementos que lo consttuen. Prmero, el texto que ndca el formato de los datos que debe ntroducr el usuaro. En segundo lugar, una sere de caas de captura de datos, según el tpo. En este caso, "Ecuacones" tpo texto, en esta caa se deben ntroducr las ecuacones que forman el sstema a resolver, "Punto Incal" de tpo texto, es el punto ncal a partr del cual se va a comenar a terar, "Número Máxmo de Iteracones" de tpo texto, en ella se debe ntroducr el número máxmo de teracones que se desea que realce el método. En tercer lugar, se crean dos botones, uno es el botón "Cancelar" que s es pulsado devuelve a la ventana ncal del programa el otro que es el botón "Realar". Al ser pulsado por el usuaro el programa recoge los datos 255

268 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales ntroducdos en las caas de parámetros (el usuaro prevamente los ha debdo ntroducr) se envían a la funcón del método de Contnuacón u Homotopía, para que los datos ntroducdos por el usaro puedan ser utlados por esta funcón es necesaro realar una tranformacón de los datos de entrada al tpo de datos que son admtdos por la funcón. Todo esto se reala a la ve que se llama a la funcón Contnuacon(). Por últmo, aparece el texto que ndca que se va a mostrar la solucón del sstema de ecuacones no lneales una caa de texto en la que una ve que se ha calculado la solucón se muestran los resultados. Con la funcón Contnuacon() se calcula la solucón aproxmada del sstema de ecuacones no lneales ntroducdo por el usuaro. Del msmo modo esta funcón devuelve al marco los elementos resultantes de dcha llamada, r que contene el valor de la aproxmacón a la solucón. Botón Método de Contnuacón menumetodocontnuacon[ ] Texto Formato Integral Image_Expresson Incalar[varables globles] Box f1 Creacón Marco Strng <<superwdgetframe[ ]>> Box p Return <r> Botón Realar Pulsacón Botón Cancelar Pulsacón Strng Box Strng b Resp = 1 Return <Marco Pr> r = metodocontnuacon[ param] Dagrama con el método Contnuacón u Homotopía. Fgura 19 Las ventanas se muestra a contnuacón. Se puede ver que el evento que se produce al pulsar el botón "Realar" lana la llamada a la funcón mprmendo los resultados. 256

269 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Ventanas para calcular la solucón del sstema con el Método Contnuacón u Homotopía. Fgura

270 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales 10. Metodología En este apartado se va a desarrollar un Plan de Gestón del Proecto, documento de control para gestonar un proecto nformátco, donde se defnen todos los procesos necesaros para desarrollar los productos obeto del proecto. Es ndependente del tpo de proecto, tamaño, mportanca, compledad tecnología. Su contendo abarca aspectos de formato de contendo. El contendo del Plan de Gestón del Proecto son: EDT, fchas detalladas planfcacón. 1. EDT: estructura de dvsón del trabao. es la descomposcón del proecto en un conunto de tareas maneables. Da una vsón detallada del alcance del proecto, permte hacer estmacones de tempo coste más cercanas a la realdad, permte montorar el progreso del proecto con maor facldad permte hacer asgnacones más claras de trabao a los membros del equpo. Tene una estructura erárquca, con un nodo raí que representa el proecto. De él cuelgan actvdades; estas actvdades son tareas desarrolladas durante un perodo de tempo predefndo dentro del plan de trabao del proecto. Las actvdades pueden descomponerse en sub - actvdades creando una estructura erárquca. Las actvdades de últmo nvel suelen denomnarse Tareas. A medda que se descende en el árbol, aumenta el detalle de la tarea. Ha dos tpos de tareas: Tareas resumen: son smplemente un resumen que da una vsón de más alto nvel. Estas tareas resumen pueden descomponerse en más tareas, según el nvel de detalle. 258

271 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Paquetes de trabao: especfcacón del trabao que debe ser realado en una tarea, debe tener un dentfcador un nombre, se suelen especfcar precondcones para su eecucón productos generado. Es lo que realmente se eecuta, no se descomponen más. A contnuacón, se muestra el EDT del proecto. EDT del proecto. Fgura

272 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Para la realacón de este proecto no se ha consderado oportuno segur una metodología de trabao tradconal con las fases dentfcacón de necesdades, análss de requstos, estudo de la arqutectura, dseño nterno, dseño externo, etc. Sno que se ha optado por desarrollar una metodología que se auste meor a la naturalea del proecto. 2. Fchas detalladas. En este apartado se detallan las actvdades que se van a realar en cada tarea, las entradas necesaro para realar la tarea, las saldas que produce la tarea el responsable de la tarea unto con su duracón. Detalle del paquete de trabao "Lanamento". Fgura

273 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Detalle del paquete de trabao "Gestón del Proecto". Fgura 23 Detalle del paquete de trabao "Documentacón de cada Método Numérco". Fgura

274 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Detalle del paquete de trabao "Estudo de los métodos desarrollo de pseudocódgo". Fgura 25 Detalle del paquete de trabao "Programacón". Fgura

275 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Detalle del paquete de trabao "Recoplacón de problemas". Fgura 27 Detalle del paquete de trabao " Eecucón de problemas". Fgura

276 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Detalle del paquete de trabao " Entorno Gráfco" Fgura 29 Detalle del paquete de trabao "Comparatva documentacón". Fgura

277 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Detalle del paquete de trabao " Cerre". Fgura Planfcacón: Para relaar la planfcacón del proecto se ha utladao una técnca PERT que permte calcular nformacón mportante sobre cada tarea para el segumento control. Para cada paquete de trabao se establece el nco fn más temprano de esa tarea, el nco fn más tardío de la tarea. Antes se debe calcular la duracón de los paquetes de trabao. Permte conocer el camno crítco, es decr, las tareas en las que s se sufre retraso se retrasaría la fecha de fnalacón del proecto. Se reala una estmacón de las horas / hombre que va a dedcar cada partcpante en el desarrollo del proecto a cada paquete de trabao, especfcando además las semanas totales que va a durar cada tarea. 265

278 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Tabla estmacón horas de trabao según paquete de trabao. Fgura

279 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Una ve que se ha calculado una estmacón de las horas que se van a dedcar a cada tarea es necesaro calcular el orden en que se van a eecutar las tareas, para ello se crea una tabla en la que por cada tarea se establecen sus predecesoras, es decr, las tareas que deben estar termnadas para poder eecutar las sguentes. Orden de eecucón de los paquetes de trabao. Fgura 33 Una ve calculadas las horas estmadas que se van a dedcar a cada paquete de trabao el orden en que se deben eecutar las tareas podemos realar el dagrama PERT calcular el camno crítco. 267

280 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales Dagrama de planfcacón PERT. Fgura

281 Resolucón Numérca de Sstemas de Ecuacones no Lneales En el sguente dagrama de Gantt de actvdades se muestran los htos tareas más sgnfcatvos para el desarrollo eecucón de este Proecto Fn de Carrera. El 26 de Octubre de 2005 comena el Proecto fnala el 31 de Julo de Dagrama de Gantt Fgura