Metodología de la Investigación 1/7. Asociación de variables cualitativas: El test exacto de Fisher y el test de Mcnemar

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1 Metodología de la Ivestigació /7 Asociació de variables cualitativas: El test exacto de Fisher y el test de Mcemar Autores: Soia Pértega Díaza (), Salvador Pita Ferádez () () Uidad de Eidemiología Clíica y Bioestadística. Comlejo Hositalario Jua Caalejo (A Coruña). () Médico de Familia. Cetro de Salud de Cambre (A Coruña). Actualizada el 4//004. Desde que Pearso, itrodujo el test de la e 900, ésta se ha covertido e ua herramieta de uso geeral ara coocer si existe o o relació etre variables de tio cualitativo. Si embargo, su alicació exige de ciertos requerimietos acerca del tamaño muestral que o siemre so teidos e cueta 3. La rueba es alicable a los datos de ua tabla de cotigecia solamete si las frecuecias eseradas so suficietemete grades. Del mismo modo, cuado los datos exhibe algú grado de deedecia, el test o será el método aroiado ara cotrastar la hiótesis ula de ideedecia. E este trabajo se itroducirá la rueba exacta de Fisher y el test de McNemar como alterativa estadística al test cuado o se verifique las codicioes ecesarias ara su utilizació 4-7. La rueba de robabilidad exacta de Fisher El test exacto de Fisher ermite aalizar si dos variables dicotómicas está asociadas cuado la muestra a estudiar es demasiado equeña y o se cumle las codicioes ecesarias ara que la alicació del test sea adecuada. Estas codicioes exige que los valores eserados de al meos el 80% de las celdas e ua tabla de cotigecia sea mayores de 5. Así, e ua tabla x será ecesario que todas las celdas verifique esta codició, si bie e la ráctica suele ermitirse que ua de ellas muestre frecuecias eseradas ligeramete or debajo de este valor. E situacioes como esta, ua forma de latear los resultados es su disosició e ua tabla de cotigecia de dos vías. Si las dos variables que se está cosiderado so dicotómicas, os ecotraremos co el caso de ua tabla x como la que se muestra e la Tabla. El test exacto de Fisher se basa e evaluar la robabilidad asociada a cada ua de las tablas x que se uede formar mateiedo los mismos totales de filas y columas que los de la tabla observada. Cada ua de estas robabilidades se obtiee bajo la hiótesis ula de ideedecia de las dos variables que se está cosiderado. Tabla. Tabla de cotigecia geeral ara la comaració de dos variables dicotómicas e el caso de gruos ideedietes. Característica A Característica B Presete Ausete Total Presete a b a + b Ausete c d c + d Total a + c b + d La robabilidad exacta de observar u cojuto cocreto de frecuecias a, b, c y d e ua tabla x cuado se asume ideedecia y los totales de filas y columas se cosidera fijos viee dada or la distribució hiergeométrica: ( a + b)!( c + d )(! a + c)(! b + d ) ()! a! b! c! d!! Esta fórmula se obtiee calculado todas las osibles formas e las que odemos disoer sujetos e ua tabla x de modo que los totales de filas y columas sea siemre los mismos, (a+b), (c+d), (a+c) y (b+d). Ateció Primaria e la Red

2 Metodología de la Ivestigació /7 La robabilidad aterior deberá calcularse ara todas las tablas de cotigecia que ueda formarse co los mismos totales margiales que la tabla observada. Posteriormete, estas robabilidades se usa ara calcular valor de la asociado al test exacto de Fisher. Este valor de idicará la robabilidad de obteer ua diferecia etre los gruos mayor o igual a la observada, bajo la hiótesis ula de ideedecia. Si esta robabilidad es equeña (<0.05) se deberá rechazar la hiótesis de artida y deberemos asumir que las dos variables o so ideedietes, sio que está asociadas. E caso cotrario, se dirá que o existe evidecia estadística de asociació etre ambas variables. E la literatura estadística, suele rooerse dos métodos ara el cómuto del valor de la asociado al test exacto de Fisher. E rimer lugar, odremos calcularlo sumado las robabilidades de aquellas tablas co ua robabilidad asociada meor o igual a la corresodiete a los datos observados. La otra osibilidad cosiste e sumar las robabilidades asociadas a resultados al meos ta favorables a la hiótesis alterativa como los datos reales. Este cálculo roorcioaría el valor de corresodiete al test e el caso de u lateamieto uilateral. Dulicado este valor se obtedría el -valor corresodiete a u test bilateral. Para ilustrar la exlicació aterior, suogamos que e ua determiada oblació se desea averiguar si existe diferecias e la revalecia de obesidad etre hombres y mujeres o si, or el cotrario, el orcetaje de obesos o varía etre sexos. Tras ser observada ua muestra de 4 sujetos se obtuviero los resultados que se muestra e la Tabla. Tabla. Tabla de cotigecia ara estudiar las diferecias e la revalecia de obesidad etre sexos. Estudio de revalecia sobre 4 sujetos. Obesidad Sexo Sí No Total Mujeres (a) 4 (b) 5 (a+b) Hombres 7 (c) (d) 9 (c+d) Total 8 (a+c) 6 (b+d) 4 () E esta tabla a, b4, c7 y d. Los totales margiales so así a+b5, c+d 9, a+c8 y b+d6. La frecuecia eserada e tres de las cuatro celdas es meor de 5, or lo que o resulta adecuado alicar el test, auque sí el test exacto de Fisher. Si las variables sexo y obesidad fuese ideedietes, la robabilidad asociada a los datos que ha sido observados vedría dada or: ( a + b)!( c + d )(! a + c)!( b + d )! a! b! c! d!! 5!9!8!6! 4!!4!7!! 0,0599 Tabla 3. Posibles combiacioes de frecuecias co los mismos totales margiales de filas y columas que e la Tabla. Obesidad Obesidad Si No Si No (i) Mujeres (iv) Mujeres 3 5 Hombres 8 9 Hombres (ii) Mujeres 4 5 (v) Mujeres 4 5 Hombres 7 9 Hombres (iii) Mujeres 3 5 (vi) Mujeres Hombres Hombres Ateció Primaria e la Red

3 Metodología de la Ivestigació 3/7 La Tabla 3 muestra todas las osibles combiacioes de frecuecias que se odría obteer co los mismos totales margiales que e la Tabla. Para cada ua de estas tablas, se ha calculado la robabilidad exacta de ocurrecia bajo la hiótesis ula, segú la exresió (). Los resultados obteidos se muestra e la Tabla 4. El valor de la asociado al test exacto de Fisher uede etoces calcularse sumado las robabilidades de las tablas que resulta ser meores o iguales a la robabilidad de la tabla que ha sido observada: 0, , ,080 0,0909 Tabla 4. Probabilidad exacta asociada co cada ua de las disosicioes de frecuecias de la Tabla 3. a b c d (i) ,0030 (ii) 4 7 0,0599 (iii) ,797 (iv) ,496 (v) ,098 (vi) ,080 Otro modo de calcular el valor de corresodiete cosistiría e sumar las robabilidades asociadas a aquellas tablas que fuese más favorables a la hiótesis alterativa que los datos observados. Es decir, aquellas situacioes e las que la diferecia e la revalecia de obesidad etre hombres y mujeres fuese mayor que la observada e la realidad. E el ejemlo, sólo existe ua tabla más extrema que la corresodiete a los datos observados (aquella e la que o se observa igua mujer obesa), de forma que: 0, ,0599 0,069 () Este sería el valor de la corresodiete a u lateamieto uilateral. E este caso la hiótesis a cotrastar sería que la revalecia de obesidad es igual e hombres y mujeres, frete a la alterativa de que fuese mayor e los varoes. Cuado el lateamieto se hace co ua ersectiva bilateral, la hiótesis alterativa cosiste e asumir que existe diferecias e la revalecia de obesidad etre sexos, ero si esecificar de atemao e qué setido se roduce dichas diferecias. Para obteer el valor de la corresodiete a la alterativa bilateral deberíamos multilicar el valor obteido e () or dos: 0,069 0,58 Como se uede observar, las dos formas de cálculo rouestas o tiee or qué roorcioar ecesariamete los mismos resultados. El rimer método siemre resultará e u valor de meor o igual al del segudo método. Si recurrimos a u rograma estadístico como el SPSS ara el cómuto del test, éste utilizará la rimera vía ara obteer el -valor corresodiete a la alterativa bilateral y el segudo método de cálculo ara el valor de asociado a u lateamieto uilateral. E cualquier caso, y a la vista de los resultados, o existe evidecia estadística de asociació etre el sexo y el hecho de ser obeso e la oblació de estudio. El test de McNemar E otras ocasioes, ua misma característica se mide e más de ua ocasió ara cada uo de los idividuos que se icluye e ua ivestigació. E estos casos, el iterés se cetra e comarar si las medicioes efectuadas e dos mometos diferetes (ormalmete ates y desués de algua iterveció) so iguales o si, or el cotrario, se roduce algú cambio sigificativo. Por ejemlo, uede iteresaros estudiar, a distitos tiemos, el orcetaje de sujetos que se matiee co fiebre tras la alicació de u atitérmico o comarar la roorció de efermos co u determiado sítoma ates y desués de u tratamieto. Para el caso de datos areados, existe claramete cuatro tios de ares de observacioes, segú cada idividuo resete o o la característica de iterés e los dos mometos e los que se efectúa la evaluació (Tabla 5). Así, los resultados obteidos uede mostrarse igualmete e ua tabla x Ateció Primaria e la Red

4 Metodología de la Ivestigació 4/7 como e la Tabla, co la salvedad de que aquí los datos so deedietes y or lo tato o resultará adecuada la utilizació del test. Tabla 5. Frecuecia de cada ua de las osibles combiacioes e u estudio de datos areados. Observació Observació Número de ares Tio Característica Característica Presete Presete a Presete Ausete b 3 Ausete Presete c 4 Ausete Ausete d Total Co esta otació, las roorcioes de idividuos co la característica de iterés e los dos mometos a + b a + c e los que se efectúa la medició so y, resectivamete. Estamos iteresados or lo tato e la diferecia etre estas dos roorcioes: d a + b a + c La hiótesis ula que se quiere cotrastar es que el valor eserado ara esta diferecia es cero, frete a la hiótesis alterativa de que las dos roorcioes y sea efectivamete diferetes. Esto se uede cotrastar cetrado uestra ateció e las casillas b y c que so las que muestra discordacia e los dos mometos e los que se efectuó la medició. La rueba de McNemar cotrasta así si el úmero de idividuos que ha dejado de resetar la característica de iterés (b) es el mismo que el úmero de idividuos que ha realizado el cambio iverso (c). El error estádar ara la diferecia etre dos roorcioes viee dado or: SE ( ) ( b c) (3) ( 0) De modo que, bajo la hiótesis ula de que o existe diferecia etre ambas (3) se reduce a: SE + ( ) b c, la ecuació El estadístico de cotraste se costruye así de la forma siguiete: z SE ( ) b c + (4) que sigue ua distribució ormal N(0,). Alterativamete, se uede cosiderar el estadístico de cotraste: ( ) Ateció Primaria e la Red

5 Metodología de la Ivestigació 5/7 que sigue ua distribució chi-cuadrado co u grado de libertad y roorcioa el mismo valor de la asociado. A su vez, se uede alicar ua correcció de cotiuidad ara trabajar sobre muestras equeñas: z refiriedo el valor de dicho estadístico al de ua distribució ormal N(0,) ó, equivaletemete, a ua distribució chi-cuadrado co u grado de libertad si se trabaja co su valor al cuadrado: ( ) De modo aálogo, es osible obteer u itervalo de cofiaza ara la diferecia de roorcioes como: ±. 96 ( ) SE Para ilustrar los cálculos ateriores, se disoe de iformació acerca de 0 acietes a los que se les admiistró u determiado tratamieto ara tratar el dolor tras ua iterveció quirúrgica. E cada idividuo, se realizó ua valoració del dolor imediatamete desués de la oeració y al cabo de hora tras la admiistració del aalgésico. Los datos observados se muestra e la Tabla 6. E rimer lugar se costruye la tabla x co las frecuecias observadas e el estudio (Tabla 7). Segú estos datos, el orcetaje de acietes que maifiesta dolor iicialmete es de 3 5% 0 60% 0, frete al de los efermos que dice teer dolor ua vez admiistrado el aalgésico. El estadístico de cotraste se costruye segú la exresió (4) como: z El valor obteido del estadístico (z.49) se comara co los valores de ua distribució ormal estádar (Tabla 8). El valor crítico corresodiete ara α 0.0 es de z.576 y ara α 0.0 es de.36. Como quiera que e el cálculo del test de McNemar e el ejemlo obtuvimos u valor de.49, que suera al valor ara α 0.0, odremos cocluir que las dos variables o so ideedietes, sio que está asociadas (<0.0). Alicado la correcció de cotiuidad roorcioa u resultado de z + 8, 3, que sigue siedo u resultado sigificativo (<0.03). Otro modo de obteer esta misma iformació es mediate el cálculo de itervalos de cofiaza ara la diferecia de roorcioes e los dos mometos de observació. A mayores, el itervalo de cofiaza costituye ua medida de la icertidumbre co la que se estima esa diferecia a artir de la muestra, ermitiedo valorar tato la sigificació estadística como la magitud clíica de esa diferecia. E el caso que os ocua, el itervalo de cofiaza vedrá dado como: ±.96 SE 0 ( ) ± ± ± ( 0.097;0.808) Es decir, odemos asegurar (co ua seguridad del 95%) de que la diferecia real e el orcetaje de acietes que maifiesta dolor ates y desués de recibir el tratamieto aalgésico se mueve etre u 9.7% y u 80.8%. Ateció Primaria e la Red

6 Metodología de la Ivestigació 6/7 E defiitiva, el uso geeralizado de la metodología estadística ha cotribuido a dotar de u mayor rigor a la ivestigació clíico-eidemiológica e los últimos años. Si embargo, tambié ha hecho que estas técicas se alique e ocasioes de ua maera u tato suerficial. Es extremadamete imortate teer e cueta las asucioes subyacetes a los distitos métodos estadísticos, como e el caso del test, ara comreder cuádo es adecuado o o su uso y disoer de las técicas estadísticas alterativas que debe utilizarse e cada ocasió. Bibliografía. Pearso K. O a criterio that a give system of deviatios from the robable i the case of correlated system of variables is Duch that it ca be reasoably suosed to have arise from radom samlig. Philosohical Magazie 900, Series 5, No. 50: Pearso, K. O the testo f goodess of fit. Biometrika 9; 4: Pita Ferádez S, Pértega Díaz S. Asociació de variables cualitativas: Test de chi-cuadrado. Cad Ate Primaria 004 (e resa). [Texto comleto] 4. Altma DG. Practical statistics for medical research. Lodo: Chama & Hall; Armitage P, Berry G. Estadística ara la ivestigació biomédica. Madrid : Harcourt Brace; Juez Martel P. Herramietas estadísticas ara la ivestigació e Medicia y Ecoomía de la Salud. Madrid: Ed. Cetro de Estudios Ramó Areces; Agresti A. Categoriacl Data Aalisis. New York: Joh Wiley & Sos; 990. Tabla 6. Datos de 0 acietes iterveidos quirúrgicamete e los que se valoró el dolor tras la cirugía y al cabo de hora tras la admiistració de u aalgésico. Idividuo Dolor tras la iterveció Dolor horas desués del Tto. No No Sí No 3 No No 4 No No 5 Sí No 6 Sí No 7 No No 8 Sí Sí 9 No Sí 0 No No Sí No Sí No 3 Sí No 4 Sí No 5 Sí No 6 No Sí 7 No Sí 8 Sí No 9 Sí No 0 Sí No Tabla 7. Tabla de cotigecia co los datos de 0 acietes iterveidos quirúrgicamete e los que se valoró el dolor tras la cirugía y al cabo de hora tras la admiistració de u aalgésico. Dolor tras la iterveció Dolor hora desués del tratamieto Sí No Total Sí (a) (b) (a+b) No (c) 6 (d) 8 (c+d) Total 3 (a+c) 7 (b+d) 0 () Ateció Primaria e la Red

7 Metodología de la Ivestigació 7/7 Tabla 8. Tabla de valores de la distribució ormal. La tabla muestra los valores de z ara los que la robabilidad de observar u valor mayor o igual (e valor absoluto) es igual a α. La cifra etera y el rimer decimal de α se busca e la rimera columa, y la seguda cifra decimal e la cabecera de la tabla. Ateció Primaria e la Red