MOVIMIENTO EN DOS O EN TRES DIMENSIONES

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1 MVIMIENT EN D EN TRE DIMENINE 3 BJETIV DE APRENDIZAJE Al estudir este cpítulo, usted prenderá: Cómo representr l posición de un cuerpo, usndo ectores, en dos o tres dimensiones.? i un ciclist recorre un cur con rpidez constnte, está celerndo? i es sí, en qué dirección celer? determin dónde ce un pelot de béisbol bted? Cómo se Qué describe el moimiento de un crro de l montñ rus en un cur, o el uelo de un hlcón que describe círculos? Cuál golpe el suelo primero: un pelot de béisbol que simplemente se dej cer o un que se rroj horizontlmente? No podemos contestr ests pregunts usndo ls técnics del cpítulo 2, donde se consideró que ls prtículs se moín solo en líne rect. En lugr de ello, es necesrio mplir nuestrs descripciones del moimiento situciones en dos y en tres dimensiones. eguiremos emplendo ls cntiddes ectoriles de desplzmiento, elocidd y celerción; sin embrgo, hor no estrán lo lrgo de un sol líne. Veremos que muchs clses de moimientos importntes se dn solo en dos dimensiones, es decir, en un plno, y pueden describirse con dos componentes de posición, elocidd y celerción. Tmbién necesitmos considerr cómo describen el moimiento de un prtícul obserdores diferentes que se mueen unos con respecto otros. El concepto de elocidd relti desempeñrá un ppel importnte más delnte en este libro, cundo estudiemos colisiones, cundo exploremos los fenómenos electromgnéticos, y cundo presentemos l teorí especil de l reltiidd de Einstein. En este cpítulo se conjunt el lenguje de ectores que imos en el cpítulo 1 con el lenguje de l cinemátic del cpítulo 2. Como ntes, nos interes describir el moimiento, no nlizr sus cuss. No obstnte, el lenguje que prenderemos quí será un herrmient esencil en cpítulos posteriores, l estudir l relción entre fuerz y moimiento. Cómo determinr el ector elocidd de un cuerpo conociendo su tryectori. Cómo obtener el ector celerción de un cuerpo, y por qué un cuerpo puede tener un celerción un cundo su rpidez se constnte. Cómo interpretr ls componentes de l celerción de un cuerpo prlel y perpendiculr su tryectori. Cómo describir l tryectori cur que sigue un proyectil. Ls ides cle detrás del moimiento en un tryectori circulr, con rpidez constnte o rible. Cómo relcionr l elocidd de un cuerpo en moimiento isto desde dos mrcos de referenci distintos. 69

2 70 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones 3.1 Vectores de posición y elocidd 3.1 El ector de posición r del origen l punto P tiene componentes x, y y z. L tryectori que sigue l prtícul en el espcio es, en generl, un cur (figur 3.2). y y L posición P de un prtícul en un tiempo ddo tiene ls coordends x, y, z. Pr describir el moimiento de un prtícul en el espcio, primero tenemos que describir su posición. Considere un prtícul que está en el punto P en cierto instnte. El ector de posición r de l prtícul en ese instnte es un ector que del origen del sistem de coordends l punto P (figur 3.1). Ls coordends crtesins x, y y z de P son ls componentes x, y y z del ector r. Usndo los ectores unitrios que presentmos en l sección 1.9, podemos escribir r xın y n zk N (ector de posición) (3.1) z r r zk^ P y j^ x z xi^ x El ector de posición del punto P tiene ls componentes x, y, z: r 5 xi ^1 yj ^1 zk. ^ Durnte un interlo de tiempo t, l prtícul se muee de P 1, donde su ector de posición es r 1, P 2, donde su ector de posición es r 2. El cmbio de posición (el desplzmiento) durnte este interlo es r r2 r1 (x 2 - x 1 ) ın (y 2 - y 1 ) n 1z 2 - z 1 2k N. Definimos l elocidd medi med durnte este interlo igul que en el cpítulo 2 pr moimiento rectilíneo, como el desplzmiento diidido entre el interlo de tiempo: med r 2 r1 r t 2 - t 1 t (ector elocidd medi) (3.2) 3.2 L elocidd medi med entre los puntos P 1 y P 2 tiene l mism dirección que el desplzmiento r. z y 3.3 Los ectores y son ls elociddes instntánes en los puntos P 1 y P 2, como se muestr en l figur 3.2. y 1 P 2 El ector elocidd instntáne es tngente l tryectori en cd punto. L posición en el tiempo t 2. P 2 r 2 Dr El ector desplzmiento Dr r 1 punt de P P 1 P 2. 1 L posición en el tiempo t 1. x Tryectori de l prtícul 2 2 Dr med 5 Dt 1 Diidir un ector entre un esclr es en relidd un cso especil de multiplicción de un ector por un esclr, descrito en l sección 1.7; l elocidd medi med es igul l ector desplzmiento r multiplicdo por 1 t, el recíproco del interlo de tiempo. bsere que l componente x de l ecución (3.2) es med-x = (x 2 - x 1 ) (t 2 - t 1 ) = x t. Est es precismente l ecución (2.2), l expresión pr l elocidd medi que dedujimos en l sección 2.1 pr el moimiento unidimensionl. Aquí definimos l elocidd instntáne igul que en el cpítulo 2: como el límite de l elocidd medi cundo el interlo de tiempo se proxim cero, y es l ts instntáne de cmbio de posición con el tiempo. L diferenci cle es que tnto l posición r como l elocidd instntáne hor son los ectores: r d r lím t0 t x = dx y = dy z = dz (ector elocidd instntáne) (3.3) L mgnitud del ector en culquier instnte es l rpidez de l prtícul en ese instnte. L dirección de en culquier instnte es l dirección en que l prtícul se muee en ese instnte. bsere que conforme t 0, los puntos P 1 y P 2 de l figur 3.2 se cercn cd ez más. En el límite, el ector r se uele tngente l tryectori. L dirección de r en este límite tmbién es l dirección de l elocidd instntáne. Esto conduce un conclusión importnte: En culquier punto de l tryectori, el ector elocidd instntáne es tngente l tryectori en ese punto (figur 3.3). A menudo es más sencillo clculr el ector elocidd instntáne emplendo componentes. Durnte culquier desplzmiento r, los cmbios x, y y z en ls tres coordends de l prtícul son ls componentes de r. Por lo tnto, ls componentes x, y y z de l elocidd instntáne son simplemente ls derids respecto l tiempo de ls coordends x, y y z. Es decir, (componentes de l elocidd instntáne) (3.4) z P 1 Tryectori de l prtícul x L componente x de es x = dx, que es l ecución (2.3): l expresión pr l elocidd instntáne en moimiento rectilíneo que obtuimos en l sección 2.2. De mner que l ecución (3.4) es un mplición direct de l ide de elocidd instntáne pr el moimiento en tres dimensiones.

3 3.1 Vectores de posición y elocidd 71 Tmbién podemos obtener l ecución (3.4) derindo l ecución (3.1). Los ectores unitrios ın, n y k N tienen mgnitud y dirección constntes, de modo que sus derids son igules cero; entonces, dr dx N ı dy n dz kn (3.5) Esto muestr otr ez que ls componentes de son dx, dy y dz. L mgnitud del ector elocidd instntáne es decir, l rpidez, se obtiene en términos de ls componentes x, y y z plicndo el teorem de Pitágors: ƒ ƒ = = 2 x 2 + y 2 + z 2 (3.6) L figur 3.4 muestr l situción cundo l prtícul se muee en el plno xy. En este cso, z y z son igules cero, y l rpidez (l mgnitud de ) es y l dirección de l elocidd instntáne lf) de l figur. Vemos que = 2 x 2 + y 2 está dd por el ángulo (l letr grieg 3.4 Ls dos componentes de elocidd pr moimiento en el plno xy. y El ector elocidd instntáne siempre es tngente l tryectori. y L tryectori de l prtícul en el plno xy tn = y x (3.7) x (iempre se usn letrs griegs pr los ángulos. e utiliz pr l dirección del ector elocidd instntáne con l finlidd de eitr confusiones con l dirección u del ector de posición de l prtícul). El ector elocidd instntáne suele ser más interesnte y útil que el de l elocidd medi. De hor en delnte, l usr el término elocidd, siempre nos referiremos l ector elocidd instntáne (no l ector elocidd medi). Por lo regulr, ni siquier nos molestremos en llmr ector ; el lector debe recordr que l elocidd es un cntidd ectoril con mgnitud y dirección. x x y y son ls componentes x y y de. Ejemplo 3.1 Cálculo de l elocidd medi e instntáne Un ehículo robot está explorndo l superficie de Mrte. El módulo de descenso estcionrio es el origen de ls coordends; y l superficie mrcin circundnte está en el plno xy. El ehículo, que representmos como un punto, tiene coordends x y y que rín con el tiempo: x = 2.0 m - (0.25 m > s 2 )t 2 y = (1.0 m > s)t + (0.025 m > s 3 )t 3 ) bteng ls coordends del ehículo y su distnci con respecto l módulo en t = 2.0 s. b) bteng los ectores desplzmiento y elocidd medi del ehículo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s. c) Deduzc un expresión generl pr el ector elocidd instntáne del ehículo. Exprese en t = 2.0 s en form de componentes y en términos de mgnitud y dirección. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problem implic moimiento en dos dimensiones, por lo que debemos usr ls ecuciones ectoriles obtenids en est sección. En l figur 3.5 se muestr l tryectori del ehículo (líne punted). Usremos l ecución (3.1) pr l posición r, l expresión r r2 r1 pr el desplzmiento, l ecución (3.2) pr l elocidd medi y ls ecuciones (3.5), (3.6) y (3.7) pr 3.5 En t = 0.0 s el ehículo tiene el ector de posición r y el ector elocidd instntáne es Asimismo, y 0. r 1 1son los ectores en t = 1.0 s; r 2 y son los ectores en t = 2.0 s y (m) 2 t s r 2 r t s r Tryectori del ehículo t s x (m) 0 Continú

4 72 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones l elocidd instntáne y su dirección y mgnitud. Ls incógnits están definids en el enuncido del problem. EJECUTAR: ) En el instnte t = 2.0 s ls coordends del ehículo son x = 2.0 m m > s s2 2 = 1.0 m y = 11.0 m > s212.0 s m > s s2 3 = 2.2 m L distnci del ehículo l origen en este instnte es r = 2x 2 + y 2 = m m2 2 = 2.4 m b) Pr obtener el desplzmiento y l elocidd medi durnte el interlo ddo, primero expresmos el ector de posición r en función del tiempo t. De cuerdo con l ecución (3.1), este es: r xın y n 32.0 m m > s 2 2t 2 4ıN m>s2t m>s 3 2t 3 4 n En el instnte t = 0.0 s el ector de posición r es r m2ın 10.0 m2 n Del inciso ) sbemos que, en t = 2.0 s, el ector de posición r es r m2ın 12.2 m2 n Por lo tnto, el desplzmiento entre t = 0.0 s y t = 2.0 s es r r 2 r 0 (1.0 m)ın (2.2 m) n (2.0 m)ın m2ın 12.2 m2 n Durnte este interlo el ehículo se desplzó 1.0 m en l dirección negti de x y 2.2 m en l dirección positi de y. De cuerdo con l ecución (3.2), l elocidd medi en este interlo es el desplzmiento diidido entre el tiempo trnscurrido: med m2ın 12.2 m2 n r t 2.0 s s m > s2ın 11.1 m > s2 n Ls componentes de est elocidd medi son med-x =-0.50 m s y med-y = 1.1 m s. 0 2 c) De cuerdo con l ecución (3.4), ls componentes de l elocidd instntáne son ls derids de ls coordends respecto t: x = dx = m > s 2 212t2 y = dy = 1.0 m > s m > s 3 213t 2 2 Así, el ector elocidd instntáne es x ın y n m > s 2 2tın 31.0 m>s m > s 3 2t 2 4 n En el tiempo t = 2.0 s, ls componentes del ector elocidd son 2x = m > s s2 = -1.0 m > s 2y = 1.0 m > s m > s s2 2 = 1.3 m > s L mgnitud de l elocidd instntáne (es decir, l rpidez) en t = 2.0 s es 2 = 22x 2 + 2y 2 = m> s m > s2 2 = 1.6 m > s L figur 3.5 muestr l dirección del ector elocidd 2, el cul tiene un ángulo entre 90 y 180 con respecto l eje positio x. De l ecución (3.7) tenemos y 1.3 m > s rctn = rctn x -1.0 m > s = -52 El ángulo es menor que 180 ; de mner que el lor correcto del ángulo es = = 128, o 38 l oeste del norte. EVALUAR: Compre ls componentes de l elocidd medi que obtuimos en el inciso b) pr el interlo de t = 0.0 s t = 2.0 s ( med-x = m s, med-y = 1.1 m s) con ls componentes de l elocidd instntáne en t = 2.0 s que obtuimos en el inciso c) ( 2x =-1.0 m s, 2y = 1.3 m s). L comprción indic que, l igul que sucede en un sol dimensión, el ector elocidd medi med durnte un interlo, en generl, no es igul l elocidd instntáne l finl del interlo (ése el ejemplo 2.1). L figur 3.5 muestr los ectores de posición r y los ectores elocidd instntáne en t = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. (e init l lector clculr ests cntiddes en t = 0.0 s y t = 1.0 s). bsere que es tngente l tryectori en todos los puntos. L mgnitud de ument conforme el ehículo nz, lo que indic que su rpidez está umentndo. 2 Elúe su comprensión de l sección 3.1 En cuál de ls siguientes situciones el ector elocidd medi med en un interlo serí igul l elocidd instntáne l finl del interlo? i. Un cuerpo que se muee en un tryectori cur rpidez constnte; ii. un cuerpo que se muee en un tryectori cur y ument su rpidez; iii. un cuerpo que se muee en líne rect rpidez constnte; i. un cuerpo que se muee en líne rect y ument su rpidez. 3.2 El ector celerción Consideremos hor l celerción de un prtícul que se muee en el espcio. Al igul que en el moimiento rectilíneo, l celerción describe cómo cmbi l elocidd de l prtícul; pero como hor trtmos l elocidd como un ector, l celerción describirá los cmbios tnto en l mgnitud de l elocidd (es decir, l rpidez) como en l dirección de l elocidd (esto es, l dirección en que se muee l prtícul). En l figur 3.6, un utomóil (trtdo como prtícul) se desplz en un tryectori cur. Los ectores y representn ls elociddes instntánes del uto en 1 2

5 3.2 El ector celerción ) Un utomóil se muee lo lrgo de un cur de P 1 P 2. b) Cómo obtener medinte rest de ectores. c) El ector med 2 1 / t represent l celerción medi entre P 1 y P 2. ) b) c) P 1 1 P 2 Este utomóil celer frenndo mientrs recorre un cur. (u elocidd instntáne cmbi tnto en mgnitud como en dirección). P 1 P D P 1 1 D P 2 D med 5 Dt Pr determinr l celerción medi del utomóil entre P 1 y P 2, primero obtenemos el cmbio en l elocidd D restndo 1 de 2. bsere que 1 1 D 5 2. L celerción medi tiene l mism dirección que el cmbio de elocidd, D. el instnte t 1, cundo el utomóil está en el punto P 1, y en t 2 cundo se encuentr en el punto P 2. Ls dos elociddes pueden diferir tnto en mgnitud como en dirección. Durnte el interlo de t 1 t 2,elcmbio ectoril de elocidd es, de modo que (figur 3.6b). Definimos l celerción medi med del utomóil en este interlo como el cmbio de elocidd diidido entre el interlo t 2 - t 1 = t: med 2 1 t 2 - t 1 t L celerción medi es un cntidd ectoril en l mism dirección que el ector (figur 3.6c). L componente x de l ecución (3.8) es med-x = ( 2x 1x ) (t 2 - t 1 ) = x t, que es exctmente l ecución (2.4) pr l celerción medi en moimiento rectilíneo. Al igul que en el cpítulo 2, definimos l celerción instntáne (un cntidd ectoril) en el punto P 1 como el límite de l celerción medi cundo el punto P 2 se cerc P 1, de modo que y t se cercn cero (figur 3.7). L celerción instntáne tmbién es igul l ts instntáne de cmbio de elocidd con el tiempo: d lím t0 t, (ector celerción medi) (3.8) (ector celerción instntáne) (3.9) El ector elocidd como imos, es tngente l tryectori de l prtícul. No obstnte, el ector celerción instntáne, no tiene que ser tngente l tryectori. L figur 3.7 muestr que si l tryectori es cur, punt hci el ldo cón- co de l tryectori, es decir, hci el interior de l cur descrit por l prtícul. L celerción es tngente l tryectori solo si l prtícul se muee en líne rect (figur 3.7b). CUIDAD Culquier prtícul que sigue un tryectori cur está celerndo Cundo un prtícul sigue un tryectori cur, su celerción siempre es distint de cero, un si se muee con rpidez constnte. Quizás est conclusión es contrri l intuición, pero más bien contr el uso cotidino de l plbr celerción pr indicr que l elocidd ument. L definición más precis de l ecución (3.9) indic que l celerción es diferente de cero cundo el ector elocidd cmbi de culquier form, y se en su mgnitud, dirección o en mbs. Pr conencerse de que un prtícul no tiene celerción cero cundo se muee en un tryectori cur con rpidez constnte, piense en lo que siente cundo ij en utomóil. i el uto celer, usted tiende moerse en dirección? Video Tutor Demo 3.7 ) Acelerción instntáne en el punto P 1 de l figur 3.6. b) Acelerción instntáne pr moimiento rectilíneo. ) Acelerción: tryectori cur Pr obtener l celerción instntáne P 2 en P P 1 P 1 P 1 5 lím Dt0 olo si l tryectori es rectilíne P 2... tommos el límite de med cundo P 2 se proxim P lo que signific que D y Dt se proximn 0. D Dt L celerción punt hci el ldo cónco de l tryectori. D 2 b) Acelerción: tryectori en líne rect 2 5 lím Dt0 D Dt... l celerción está en dirección de l tryectori.

6 74 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones Aplicción Cbllos en un tryectori cur Al inclinrse y l golper el suelo con sus cscos cierto ángulo, estos cbllos dquieren l celerción lterl necesri pr relizr un cmbio repentino de dirección. opuest l celerción del ehículo. (Veremos por qué en el cpítulo 4). Así, tendemos moernos hci trás cundo el utomóil celer hci delnte (ument su elocidd), y hci el frente cundo el utomóil celer hci trás (es decir, cundo fren). i el utomóil d uelt en un cmino horizontl, tendemos deslizrnos hci fuer de l cur; por lo tnto, el uto tiene un celerción hci dentro de l cur. Normlmente nos interesrá l celerción instntáne, no l medi. A prtir de hor, usremos el término celerción pr referirnos l ector celerción instntáne. Cd componente del ector celerción es l derid de l componente correspondiente de l elocidd: x = d x y = d y z = d z (componentes de l celerción instntáne) (3.10) En términos de ectores unitrios, 3.8 Cundo se dispr l flech, su ector celerción tiene tnto un componente horizontl ( x ) como un componente erticl ( y ). y x d x ın d y N d z kn (3.11) L componente x de ls ecuciones (3.10) y (3.11), x = d x, es l expresión de l sección 2.3 pr l celerción instntáne en un dimensión, ecución (2.5). L figur 3.8 muestr un ejemplo de ector celerción que tiene componentes tnto x como y. Como cd componente de elocidd es l derid de l coordend correspondiente, expresmos ls componentes x, y y z del ector celerción como x = d2 x 2 y = d2 y 2 z = d2 z 2 (3.12) y l ector celerción como d2 x 2 N ı d2 y 2 N d2 z 2 kn (3.13) Ejemplo 3.2 Cálculo de l celerción medi e instntáne Vemos otr ez los moimientos del ehículo robot del ejemplo 3.1. ) bteng ls componentes de l celerción medi de t = 0.0 s t = 2.0 s. b) Determine l celerción instntáne en t = 2.0 s. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: En el ejemplo 3.1, obtuimos ls componentes de l elocidd instntáne del ehículo en el tiempo t: x = dx = m > s 2 212t2 = m > s 2 2t y = dy = 1.0 m > s m > s 3 213t 2 2 = 1.0 m > s m > s 3 2t 2 Utilizremos ls relciones ectoriles entre elocidd, celerción medi y celerción instntáne. En el inciso ), determinmos los lores de x y y l principio y l finl del interlo, y después usmos l ecución (3.8) pr clculr ls componentes de l celerción medi. En el inciso b) obtuimos ls expresiones de ls componentes de l celerción instntáne en culquier tiempo t derindo ls componentes de l elocidd respecto l tiempo, como en ls ecuciones (3.10). EJECUTAR: ) En el ejemplo 3.1 imos que pr t = 0.0 s ls componentes de elocidd son x = 0.0 m > s y = 1.0 m > s que en t = 2.00 s ls componentes son x = -1.0 m > s y = 1.3 m > s Así, ls componentes de l celerción medi en el interlo de t = 0.0 s t = 2.0 s son med-x = x t med-y = y t = -1.0 m > s m > s = m > s s s = 1.3 m > s m > s = 0.15 m > s s s

7 3.2 El ector celerción 75 b) Con ls ecuciones (3.10), obtenemos x = d x = m > s 2 y = d y De modo que el ector celerción instntáne en el tiempo t es x ın y n m > s 2 2ın m > s 3 2t n En el instnte t = 2.0 s, ls componentes de l celerción y el ector celerción son x = m > s 2 y = m > s s2 = 0.30 m > s m>s 2 2ın m>s 2 2 n L mgnitud de l celerción en este instnte es = 2x 2 + y 2 = m>s m > s = 0.58 m > s 2 Un digrm de este ector (figur 3.9) muestr que el ángulo b de l dirección de con respecto l eje x positio está entre 90 y 180. Con l ecución (3.7), tenemos y rctn = rctn x Así que b = (-31 ) = m > s m > s 2 = -31 = m > s 3 212t2 EVALUAR: L figur 3.9 muestr l tryectori y los ectores elocidd y celerción del ehículo en t = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. (e init l lector utilizr los resultdos del inciso b) pr clculr l celerción instntáne en t = 0.0 s y t = 1.0 s). bsere que y no están en l mism dirección en ninguno de estos momentos. El ector elocidd es tngente l tryectori en cd punto (como siempre), y el de celerción punt hci el ldo cónco de est. 3.9 Tryectori del ehículo robot que muestr l elocidd y celerción en t = 0.0 s 1 y t = 1.0 s 1 y 1 2, y t = 2.0 s 1 2 y 0 0 2, y (m) 2 2 t 2.0 s = 128 b = t 1.0 s Tryectori del ehículo robot t 0.0 s x (m) Componentes perpendiculr y prlel de l celerción Ls ecuciones (3.10) nos hbln cerc de ls componentes del ector celerción instntáne de un prtícul lo lrgo de los ejes x, y y z. tr mner útil de isulizr es en términos de su componente prlel l tryectori de l prtícul, es decir, prlel l elocidd, y su componente perpendiculr l tryectori, y por lo tnto, perpendiculr l elocidd (figur 3.10). Esto es porque l componente prlel Œ nos hbl cerc de los cmbios en l rpidez de l prtícul; mientrs que l componente perpendiculr nos indic los cmbios en l dirección del moimiento de l prtícul. Pr er por qué ls componentes prlel y perpendiculr de tienen tles propieddes, consideremos dos csos especiles. En l figur 3.11, el ector celerción tiene l mism dirección que l elocidd 1, de mner que tiene solo un componente prlel Œ (es decir, = 0). El cmbio de elocidd en un interlo pequeño t tiene l mism dirección que y, por lo tnto, que 1. L elocidd 2 l finl de t está en l mism dirección que 1 pero tiene myor mgnitud. Es decir, durnte el interlo t l prtícul de l figur 3.11 se moió en líne rect con rpidez creciente (compre con l figur 3.7b). En l figur 3.11b, l celerción es perpendiculr l elocidd, de mner que tiene solo un componente perpendiculr (es decir, Œ = 02. En un interlo 3.10 L celerción puede descomponerse en un componente Œ prlel l tryectori (es decir, lo lrgo de l tngente l tryectori) y un componente perpendiculr l tryectori (es decir, lo lrgo de l norml l tryectori). Componente de prlel l tryectori. Tngente l tryectori en P. Tryectori de l prtícul P Norml l tryectori en P. Componente de perpendiculr l tryectori El efecto de l celerción con dirección ) prlel y b) perpendiculr l elocidd de l prtícul. ) Acelerción prlel l elocidd: b) Acelerción perpendiculr l elocidd: olo cmbi l mgnitud de l elocidd: l rpidez cmbi, pero no l dirección. 1 D D olo cmbi l dirección de l elocidd: l prtícul sigue un tryectori cur con rpidez constnte. 1 f D D

8 76 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones PhET: Mze Gme pequeño t, el cmbio de elocidd es muy cercnmente perpendiculr 1, por lo que 1 y 2 tienen direcciones diferentes. Al proximrse el interlo t cero, el ángulo f en l figur tmbién se cerc cero, se uele perpendiculr tnto 1 como 2, y 1 y 2 tienen l mism mgnitud. Dicho de otro modo, l rpidez de l prtícul no cmbi, pero l dirección del moimiento se modific y l tryectori de l prtícul se cur. En el cso más generl, l celerción tiene componentes tnto prlel como perpendiculr l elocidd, como en l figur Entonces, cmbirán l rpidez de l prtícul (descrit por l componente prlel Œ ) y su dirección (descrit por l componente perpendiculr ) por lo que seguirá un tryectori cur. L figur 3.12 muestr un prtícul que se muee sobre un tryectori cur en tres situciones distints: rpidez constnte, creciente y decreciente. i l rpidez es constnte, es perpendiculr, o norml, l tryectori y y punt hci el ldo cónco de l tryectori (figur 3.12). i l rpidez ument, todí hy un componente perpendiculr de, pero tmbién un prlel con l mism dirección que (figur 3.12b). Entonces punt hci delnte de l norml l tryectori (como en el ejemplo 3.2). i l rpidez disminuye, l componente prlel tiene dirección opuest, y punt hci trás de l norml l tryectori (figur 3.12c; compre con l figur 3.7). Usremos otr ez ests ides en l sección 3.4 l estudir el cso especil de moimiento en un círculo Vectores de elocidd y celerción de un prtícul que ps por un punto P en un tryectori cur con rpidez ) constnte, b) creciente y c) decreciente. ) Cundo l rpidez es constnte en un tryectori cur... b) Cundo l rpidez se increment en un tryectori cur... c) Cundo l rpidez disminuye en un tryectori cur... P... l celerción es norml l tryectori. Norml en P P Norml en P... l celerción punt hci delnte de l norml. P... l celerción punt hci trás de l norml. Norml en P Ejemplo 3.3 Cálculo de ls componentes prlel y perpendiculr de l celerción Pr el ehículo de los ejemplos 3.1 y 3.2, obteng ls componentes prlel y perpendiculr de l celerción en t = 2.0 s. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Queremos obtener ls componentes del ector celerción que sen prlel y perpendiculr l ector elocidd. En los ejemplos 3.1 y 3.2 obtuimos ls direcciones de y respectimente; l figur 3.9 muestr los resultdos. Con ests direcciones podemos determinr el ángulo entre los dos ectores y ls componentes de con respecto l dirección de. EJECUTAR: En el ejemplo 3.2 imos que en t = 2.0 s l prtícul tiene un celerción de mgnitud 0.58 m s 2 con un ángulo de 149 con respecto l eje +x. Por el ejemplo 3.1, sbemos que en ese instnte el ector elocidd tiene un ángulo de 128 con respecto l eje +x. Por lo tnto, el ángulo entre y es = 21 (figur 3.13). De modo que ls componentes de celerción prlel y perpendiculr son Œ = cos 21 = m>s 2 2cos 21 = 0.54 m>s 2 = sen 21 = m>s 2 2sen 21 = 0.21 m>s Componentes prlel y perpendiculr de l celerción del ehículo en t = 2.0 s. Componente perpendiculr de l celerción. 21 Componente prlel de l celerción. Posición del ehículo en t s Tryectori del ehículo EVALUAR: L componente prlel es positi (tiene l mism dirección que ), lo cul indic que l rpidez ument en ese instnte. El lor de =+0.54 m s 2 signific que l rpidez está umentndo en ese instnte un ts de 0.54 m s por segundo. L componente perpendiculr no es cero, lo que signific que en ese instnte el ehículo está dndo uelt; es decir, el ehículo cmbi de dirección y sigue un tryectori cur.

9 3.3 Moimiento de proyectiles 77 Ejemplo conceptul 3.4 Acelerción de un esquidor Un esquidor se desplz sobre un rmp de slto (figur 3.14). L rmp es rect entre A y C, y cur prtir de C. L rpidez del esquidor ument l moerse pendiente bjo del punto A l punto E, donde su rpidez es máxim, disminuyendo prtir de hí. Dibuje l dirección del ector celerción en los puntos B, D, E y F. LUCIÓN L figur 3.14b muestr l solución. En el punto B, el esquidor se desplz en líne rect con rpidez creciente, sí que su celerción punt cuest bjo, en l mism dirección que su elocidd. En los puntos D, E y F, el esquidor sigue un tryectori cur, sí que su celerción tiene un componente perpendiculr l tryectori (hci el ldo cónco de l mism) en cd uno de estos puntos. En el punto D tmbién existe un componente de l celerción en l dirección del moimiento porque su rpidez ún en umento. Por lo tnto, el ector celerción punt delnte de l norml su tryectori en el punto D, como se muestr en l figur 3.14b. L rpidez del esquidor no cmbi instntánemente en E; l rpidez es máxim en este punto, sí que su derid es cero. Por lo tnto, no hy componente prlel de, y l celerción es perpendiculr l moimiento. En el punto F l celerción tiene un componente opuest l dirección de su moimiento porque l rpidez está disminuyendo. De mner que el ector celerción punt hci trás de l norml l tryectori. En l siguiente sección exminremos l celerción del esquidor después de slir de l rmp ) L tryectori del esquidor. b) Nuestr solución. ) b) A B Dirección del moimiento C D E Norml en E Norml en D Norml en F F Elúe su comprensión de l 3 sección 3.2 Un trineo ij por 2 4 l cim de un colin cubiert de niee. Tryectori El trineo disminuye su rpidez conforme 1 5 del trineo sciende por un ldo de l colin y l 8 6 ument cundo desciende por el otro 7 ldo. Cuál de los ectores (1 9) en l o bien, 9: celerción 5 0 figur muestr correctmente l dirección de l celerción del trineo en l cim? (Considere el 9 como l celerción cero). 3.3 Moimiento de proyectiles Un proyectil es un cuerpo que recibe un elocidd inicil y luego sigue un tryectori determind completmente por los efectos de l celerción gritcionl y l resistenci del ire. Un pelot bted, un blón de fútbol lnzdo, un pquete que se dej cer desde un ión y un bl disprd por un rifle son proyectiles. El cmino que sigue un proyectil se conoce como su tryectori. Pr nlizr este tipo de moimiento tn común, prtiremos de un modelo idelizdo que represent el proyectil como un prtícul con celerción constnte (debid l gredd) tnto en mgnitud como en dirección. e ignorn los efectos de l resistenci del ire, sí como l curtur y rotción de l Tierr. Como todos los modelos, este tiene limitciones. L curtur de l Tierr debe considerrse en el uelo de misiles de lrgo lcnce; simismo, l resistenci del ire es de importnci itl pr un prcidist. No obstnte, podemos prender mucho nlizndo este modelo sencillo. En el resto del cpítulo, l frse moimiento de proyectil implicrá que se despreci l resistenci del ire. En el cpítulo 5 eremos qué sucede cundo l resistenci no puede ignorrse. El moimiento de un proyectil siempre se limit un plno erticl, determindo por l dirección de l elocidd inicil (figur 3.15). Esto se debe que l celerción Video Tutor Demo 3.15 Tryectori idelizd de un proyectil. Un proyectil se muee en un plno erticl que tiene un ector elocidd inicil 0. u tryectori depende solo de 0 y de l celerción hci bjo debid l gredd. y 0 x 5 0, y 5 2g Tryectori x

10 78 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones 3.16 L pelot roj se dej cer desde el reposo y l mrill se proyect horizontlmente l mismo tiempo; ls imágenes sucesis en est fotogrfí estroboscópic están seprds por interlos de tiempo igules. En un instnte determindo, mbs pelots tienen l mism posición y, elocidd y y celerción y, pesr de tener diferentes posición y elocidd en x. cusd por l gredd es exclusimente erticl; l gredd no puede celerr l proyectil de form lterl. Por lo tnto, este moimiento es bidimensionl. Llmremos l plno de moimiento, el plno de coordends xy, con el eje x horizontl y el eje y erticl hci rrib. L cle del nálisis del moimiento de proyectiles es que podemos trtr por seprdo ls coordends x y y. L componente x de l celerción es cero, y l componente y es constnte e igul -g. (Por definición, g siempre es positi, pero por ls direcciones de coordends elegids, y es negti). Entonces, podemos nlizr el moimiento de un proyectil como un combinción de moimiento horizontl con elocidd constnte y moimiento erticl con celerción constnte. L figur 3.16 muestr dos proyectiles con moimientos diferentes en x, pero con idéntico moimiento en y; uno se dej cer desde el reposo y el otro se proyect horizontlmente, unque mbos proyectiles cen l mism distnci en el mismo tiempo. Entonces podemos expresr tods ls relciones ectoriles de posición, elocidd y celerción del proyectil con ecuciones independientes pr ls componentes horizontl y erticl. Ls componentes de son x = 0 y = -g (moimiento de proyectiles, sin resistenci del ire) (3.14) Como ls celerciones x y y son constntes, podemos usr ls ecuciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) directmente. Por ejemplo, supong que en t = 0 l prtícul está en el punto (x 0, y 0 ) y que en este instnte sus componentes de elocidd tienen los lores iniciles 0x y 0y. Ls componentes de l celerción son x = 0, y =-g. Considerndo primero el moimiento en x, sustituimos x por 0 en ls ecuciones (2.8) y (2.12). btenemos x = 0x (3.15) x = x 0 + 0x t (3.16) Pr el moimiento en y, sustituimos x por y, x por y, 0x por 0y,y x por y =-g: ActiPhysics 3.1: oling Projectile Motion Problems ActiPhysics 3.2: Two Blls Flling ActiPhysics 3.3: Chnging the x-elocity ActiPhysics 3.4: Projecting x-y-accelertions Video Tutor Demo 0y y 0x 0 0 Video Tutor Demo 1y 1 1x Video Tutor Demo y = 0y - gt (3.17) y = y 0 + 0y t gt2 (3.18) Por lo generl, lo más sencillo es tomr l posición inicil (en t = 0) como el origen; sí, x 0 = y 0 = 0. Este punto podrí ser l posición de un pelot en el instnte t cundo bndon l mno del lnzdor, o l posición de un bl cundo sle del cñón de un rm. L figur 3.17 muestr l tryectori de un proyectil que prte de (o ps por) el origen en el tiempo t = 0, junto con su posición, elocidd y componentes de eloci i se ignor l resistenci del ire, l tryectori de un proyectil es un combinción de moimiento horizontl con elocidd constnte y moimiento erticl con celerción constnte. En l cim de l tryectori, el proyectil tiene elocidd erticl cero ( y 5 0), pero su celerción erticl ún es 2g. 2 y 5 2g 3y 3x 3 x 1y 0y 3y Verticlmente, el proyectil se encuentr en moimiento de celerción constnte en respuest l tirón gritcionl de l Tierr. Así, su elocidd erticl cmbi en cntiddes igules durnte interlos de tiempo igules. 0x 1x 2x 3x Horizontlmente, el proyectil se encuentr en moimiento de elocidd constnte: su celerción horizontl es cero, por lo que se muee distncis en x igules en interlos de tiempo igules.

11 3.3 Moimiento de proyectiles 79 dd en interlos igules. L componente x de l celerción es cero, sí que x es constnte. L componente y de l celerción es constnte y diferente de cero, sí que y cmbi cntiddes igules en interlos igules, exctmente como si el proyectil fuer lnzdo erticlmente con l mism elocidd y inicil. Tmbién podemos representr l elocidd inicil 0 con su mgnitud 0 (l rpidez inicil) y su ángulo 0 con el eje +x (figur 3.18). En términos de ests cntiddes, ls componentes 0x y 0y de l elocidd inicil son 3.18 Ls componentes de l elocidd inicil 0x y 0y de un proyectil (como un blón de fútbol que se pte) se relcionn con l rpidez inicil 0 y el ángulo inicil 0. y 0 0x = 0 cos 0 0y = 0 sen 0 (3.19) x i sustituimos ests relciones en ls ecuciones (3.15) (3.18), hciendo x 0 = y 0 = 0, tenemos y 0 x = 1 0 cos 0 2t (moimiento de un proyectil) (3.20) 0y 5 0 sen 0 y = 1 0 sen 0 2t gt2 x = 0 cos 0 (moimiento de un proyectil) (3.21) (moimiento de un proyectil) (3.22) 0 0x 5 0 cos 0 x y = 0 sen 0 - gt (moimiento de un proyectil) (3.23) Ests ecuciones describen l posición y elocidd del proyectil de l figur 3.17 en culquier instnte t. Podemos obtener much informción de ls ecuciones (3.20) (3.23). Por ejemplo, en culquier instnte, l distnci r del proyectil l origen (l mgnitud del ector de posición r2 está dd por PhET: Projectile Motion ActiPhysics 3.5: Initil Velocity Components ActiPhysics 3.6: Trget Prctice I ActiPhysics 3.7: Trget Prctice II r = 2x 2 + y 2 (3.24) L rpidez del proyectil (l mgnitud de su elocidd) en culquier instnte es (3.25) L dirección de l elocidd, en términos del ángulo que form con el eje +x (ése l figur 3.17), está dd por = 2 x 2 + y 2 tn = y x (3.26) El ector elocidd es tngente l tryectori en todos los puntos. Podemos deducir un ecución pr l form de l tryectori en términos de x y y eliminndo t. De ls ecuciones (3.20) y (3.21), que suponen que x 0 = y 0 = 0, obtenemos t = x ( 0 cos 0 ) y Video Tutor Demo 3.19 Ls tryectoris csi prbólics ) de un pelot que rebot y b) de borbotones de roc fundid expulsd por un olcán. ) Ls imágenes sucesis de l pelot están seprds por interlos igules. Los picos sucesios disminuyen en ltur porque l pelot pierde energí en cd rebote. y = 1tn 0 2x - g cos 2 x 2 0 (3.27) No se preocupe por los detlles de est ecución; lo importnte es su form generl. Como 0, tn 0, cos 0 y g son constntes, l ecución (3.27) tiene l form y = bx - cx 2 donde b y c son constntes. Est es l ecución de un prábol. En el modelo simplificdo de moimiento de proyectiles, l tryectori siempre es un prábol (figur 3.19). Cundo l resistenci del ire no es insignificnte y debe considerrse, el cálculo de l tryectori se uele mucho más complicdo; los efectos de dich resistenci dependen de l elocidd, por lo que l celerción y no es constnte. L figur 3.20 b) Ls tryectoris son csi prbólics.

12 80 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones 3.20 L resistenci del ire tiene un efecto cumultio considerble sobre el moimiento de un pelot de béisbol. En est simulción, permitimos que l pelot cig por debjo de l ltur desde l cul se lnzó (por ejemplo, l pelot podrí hberse lnzdo desde un cntildo). y (m) Velocidd inicil de l pelot de béisbol: m/s, x (m) Con resistenci del ire in resistenci del ire muestr un simulción computrizd de l tryectori de un pelot de béisbol tnto sin resistenci del ire como con un resistenci proporcionl l cudrdo de l rpidez de l pelot. Vemos que el efecto de l resistenci es muy grnde, l ltur máxim y el lcnce se reducen, y l tryectori y no es un prábol. (i se obser cuiddosmente l figur 3.19b, se e que ls tryectoris de los borbotones olcánicos se desín de un form similr un prábol). Ejemplo conceptul 3.5 Acelerción de un esquidor (continución) Consideremos de nueo l esquidor del ejemplo conceptul 3.4. Qué celerción tiene en los puntos G, H e I de l figur 3.21 después de que sle de l rmp? Ignore l resistenci del ire. LUCIÓN L figur 3.21b muestr l respuest. L celerción del esquidor cmbió de un punto otro mientrs estb en l rmp, pero tn pronto como sle de est, se conierte en un proyectil. Así, en los puntos G, H e I, y de hecho en todos los puntos después de slir de l rmp, l celerción del esquidor punt erticlmente hci bjo y tiene mgnitud g. Por más complej que se l celerción de un prtícul ntes de conertirse en proyectil, su celerción como proyectil está dd por x = 0, y =-g ) Tryectori del esquidor durnte el slto. b) L solución. ) H b) G I F Estrtegi pr resoler problems 3.1 Moimiento de proyectiles NTA: Ls estrtegis utilizds en ls secciones 2.4 y 2.5 pr problems de celerción constnte en líne rect tmbién siren quí. IDENTIFICAR los conceptos relentes: El concepto cle que debemos recordr es que durnte el moimiento de un proyectil, l celerción es hci bjo y tiene mgnitud constnte g. bsere que ls ecuciones pr el moimiento de proyectiles no son álids durnte el lnzmiento de un pelot, porque durnte el lnzmiento ctún tnto l mno del lnzdor como l gredd. Ls ecuciones solo se plicn después de que l pelot sle de l mno del lnzdor. PLANTEAR el problem con los siguientes psos: 1. Defin su sistem de coordends y dibuje sus ejes. Normlmente lo más sencillo es tomr el eje x como horizontl y el eje y hci rrib, y colocr el origen en l posición inicil (t = 0), donde el cuerpo se uele un proyectil (como cundo l pelot sle de l mno del lnzdor). Entonces, ls componentes de l celerción (constnte) son x = 0, y =-g, y l posición inicil es x 0 = 0 y y 0 = Elbore un list de ls cntiddes conocids e incógnits, y determine cuáles incógnits son sus objetios. Por ejemplo, en lgunos problems se d l elocidd inicil (y se ls componentes, o l mgnitud y dirección) y se pide obtener ls coordends y componentes de elocidd en un instnte posterior. En culquier cso, usrá ls ecuciones (3.20) (3.23). [Ls ecuciones (3.24) (3.27) tmbién podrín ser útiles]. Asegúrese de tener tnts ecuciones como incógnits por determinr. 3. Plntee el problem con plbrs y luego trdúzclo símbolos. Por ejemplo, cuándo lleg l prtícul cierto punto? (Es decir, en qué lor de t?). Dónde está l prtícul cundo l elocidd tiene cierto lor? (Es decir, cuánto len x y y cundo x o y tienen ese lor?). Puesto que y = 0 en el punto más lto de l tryectori, l pregunt cuándo lcnz el proyectil su punto más lto? equile cuánto le t cundo y = 0?. Asimismo, l pregunt cuándo uele el proyectil su ltur inicil? equile cuánto le t cundo y = y 0?. EJECUTAR l solución: Use ls ecuciones elegids pr obtener ls incógnits. Resist l tentción de diidir l tryectori en segmentos y nlizrlos indiidulmente. No hy que oler comenzr cundo el proyectil lleg su ltur máxim! Lo más fácil suele ser usr los mismos ejes y escl de tiempo durnte todo el problem. i necesit lores numéricos, utilice g = 9.80 m s 2. EVALUAR l respuest: Como siempre, exmine sus resultdos pr er si son lógicos y si los lores numéricos son rzonbles.

13 3.3 Moimiento de proyectiles 81 Ejemplo 3.6 Cuerpo que se proyect horizontlmente Un cróbt en motociclet se lnz del borde de un risco. Justo en el borde, su elocidd es horizontl con mgnitud de 9.0 m s. bteng l posición, distnci desde el borde y elocidd de l motociclet después de 0.50 s Digrm de este problem. En este punto, l motociclet y el conductor se uelen un proyectil. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: L figur 3.22 muestr el digrm de l tryectori del motociclist. Un ez que el cróbt sle del risco, se muee como un proyectil. Elegimos el origen de nuestro sistem de coordends en el borde del risco, sí que x 0 = 0 y y 0 = 0. L elocidd inicil 0 en el borde del risco es horizontl (es decir, 0 = 0), sí que sus componentes son 0x = 0 cos 0 = 9.0 m s y 0y = 0 sen 0 = 0. Pr determinr l posición de l motociclet en t = 0.50 s, usmos ls ecuciones (3.20) y (3.21), luego clculmos l distnci l origen con l ecución (3.24). Por último, usmos ls ecuciones (3.22) y (3.23) pr determinr ls componentes de elocidd en t = 0.50 s. EJECUTAR: De cuerdo con ls ecuciones (3.20) y (3.21), ls coordends x y y en t= 0.50 s son x = 0x t = 19.0 m > s s2 = 4.5 m y = gt2 = m > s s2 2 = -1.2 m El lor negtio de y indic que en este instnte l motociclet está por debjo de su punto inicil. De cuerdo con l ecución (3.24), l distnci de l motociclet l origen en t = 0.50 s es r = 2x 2 + y 2 = m m2 2 = 4.7 m egún ls ecuciones (3.22) y (3.23), ls componentes de l elocidd en t = 0.50 s son x = 0x = 9.0 m > s y = -gt = m > s s2 = -4.9 m > s L motociclet tiene l mism elocidd horizontl x que cundo slió del risco en t = 0, pero, demás, hy un elocidd erticl y hci bjo (negti). El ector elocidd en t = 0.50 s es A prtir de l ecución (3.25), l rpidez (mgnitud de l elocidd) en t = 0.50 s es es x ın y n 19.0 m>s2ın m>s2 n = 2x 2 + y 2 = m > s m>s2 2 = 10.2 m > s De cuerdo con l ecución (3.26), el ángulo del ector elocidd = rctn y -4.9 m>s = rctn x 9.0 m >s b = -29 L elocidd está dirigid 29 por bjo de l horizontl. EVALUAR: Al igul que en l figur 3.17, el moimiento horizontl de l motociclet no cmbi por l gredd; l motociclet se sigue moiendo horizontlmente 9.0 m s, cubriendo 4.5 m en 0.50 s. L motociclet tiene cero elocidd inicil erticl, de modo que ce erticlmente igul que un objeto que se dej cer desde el reposo y desciende un distnci de 1 2 gt 2 = 1.2 m en 0.50 s. Ejemplo 3.7 Altur y lcnce de un proyectil I: un pelot de béisbol bted Un btedor golpe un pelot de béisbol de modo que est sle del bte un rpidez 0 = 37.0 m s con un ángulo 0 = ) Clcule l posición de l pelot y su elocidd (mgnitud y dirección) cundo t = 2.00 s. b) Determine cuándo l pelot lcnz el punto más lto de su uelo y su ltur h en ese punto. c) bteng el lcnce horizontl R, es decir, l distnci horizontl desde el punto de prtid hst donde l pelot ce l suelo Digrm de este problem. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Como muestr l figur 3.20, l resistenci del ire fect significtimente el moimiento de un pelot de béisbol; no obstnte, por sencillez, en este ejemplo l ignorremos y usremos ls ecuciones del moimiento de proyectiles pr describir el moimiento. L pelot sle del bte en t = 0 un metro más o menos rrib del suelo, pero ignorremos est distnci y supondremos que sle del niel del suelo (y 0 = 0). L figur 3.23 muestr el digrm de l tryectori de l pelot. Usremos el mismo sistem de coordends que en ls figurs 3.17 y 3.18, de modo que podremos usr ls ecu- Continú

14 82 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones ciones (3.20) (3.23). Ls incógnits son ) l posición y elocidd de l pelot 2.00 s después de perder contcto con el bte; b) el tiempo t cundo l pelot lcnz su ltur máxim (es decir, cundo y = 0) y l coordend y en ese momento, y c) l coordend x cundo l pelot uele tocr el suelo (y = 0). EJECUTAR: ) Queremos obtener x, y, x y y en t = 2.00 s. L elocidd inicil de l pelot tiene ls componentes 0x = 0 cos 0 = m > s2cos 53.1 = 22.2 m> s 0y = 0 sen 0 = m >s2sen 53.1 = 29.6 m>s De cuerdo con ls ecuciones (3.20) (3.23), x = 0x t = m > s s2 = 44.4 m y = 0y t gt2 = m > s s m > s s2 2 = 39.6 m x = 0x = 22.2 m > s y = 0y - gt = 29.6 m > s m > s s2 = 10.0 m > s L componente y de l elocidd es positi en t = 2.00 s, de modo que l pelot todí en scenso (figur 3.23). L mgnitud y dirección de l elocidd se obtienen de ls ecuciones (3.25) y (3.26): = 2x 2 + y 2 = m > s m > s2 2 = 24.4 m > s = rctn 10.0 m > s b = rctn = m > s L dirección de l elocidd (es decir, l dirección del moimiento) es 24.2 rrib de l horizontl. b) En el punto más lto, l elocidd erticl y es cero. e ese instnte t 1 ; entonces, L ltur h en el punto más lto es el lor de y cundo t = t 1 : h = 0y t gt 1 2 = m > s s m > s s2 2 = 44.7 m y = 0y - gt 1 = 0 t 1 = 0y g = 29.6 m > s 9.80 m > s 2 = 3.02 s c) btendremos el lcnce horizontl en dos psos. Primero, determinmos el tiempo t 2 cundo y = 0 (l pelot está en el suelo): y = 0 = 0y t gt 2 2 = t 2 A 0y gt 2B Est es un ecución cudrátic en t 2, con dos ríces: t 2 = 0 y t 2 = 2 0y g = m > s m > s 2 = 6.04 s L pelot está en y = 0 en estos dos tiempos. L pelot bndon el suelo en t 2 = 0, y en t 2 = 2 0y g = 6.04 s es cundo regres l suelo. El lcnce horizontl R es el lor de x cundo l pelot uele l suelo, en t 2 = 6.04 s: R = 0x t 2 = m > s s2 = 134 m L componente erticl de l elocidd cundo l pelot toc el suelo es y = 0y - gt 2 = 29.6 m > s m > s s2 = m > s Es decir, y tiene l mism mgnitud que l elocidd erticl inicil 0y pero dirección opuest (hci bjo). Como x es constnte, el ángulo =-53.1 (debjo de l horizontl) en este punto es el negtio del ángulo inicil 0 = EVALUAR: A menudo es útil erificr los resultdos obteniéndolos de un form distint. Por ejemplo, tmbién podemos obtener l ltur máxim del inciso b) plicndo l fórmul de celerción constnte, l ecución (2.13), pr el moimiento en y: y 2 = 0y y 1y - y 0 2 = 0y 2-2g1y - y 0 2 En el punto más lto, y = 0 y y = h. e debe despejr h de est ecución y obtener el mismo resultdo clculdo en el inciso b). Es sí? bsere que el tiempo en que l pelot golpe el suelo, t 2 = 6.04 s, es exctmente el doble del tiempo en que lcnz su punto más lto, t 1 = 3.02 s. De modo que el tiempo de bjd es igul l tiempo de subid. Esto siempre es sí, si los puntos inicil y finl tienen l mism eleción y se ignor l resistenci del ire. bsere tmbién que h = 44.7 m del inciso b) es comprble con l ltur de 52.4 m del techo sobre el cmpo de juego en el Metrodomo Hubert H. Humphrey en Mineápolis, y el lcnce horizontl R = 134 m del inciso c) es myor que l distnci de 99.7 m entre home y l brd del jrdín derecho del Cmpo feco en ettle. En relidd, debido l resistenci del ire (l cul se ignoró), un pelot bted con l elocidd inicil y el ángulo utilizdos quí no subirá tn lto ni llegrá tn lejos como hemos clculdo (ése l figur 3.20). Ejemplo 3.8 Altur y lcnce de un proyectil II: Altur máxim, lcnce máximo Pr un proyectil lnzdo con rpidez 0 un ángulo inicil 0 entre 0 y 90, obteng l ltur máxim h y el lcnce horizontl R (ése l figur 3.23). Pr un 0 dd, qué lor de 0 d l ltur máxim? Y qué lor d el lcnce horizontl máximo? LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Estos son csi los mismos incisos b) y c) del ejemplo 3.7, excepto que hor buscmos expresiones generles pr h y R. Tmbién nos interesn los lores de 0 que dn los lores

15 3.3 Moimiento de proyectiles 83 máximos de h y R. En el inciso b) del ejemplo 3.7 imos que el proyectil lcnz el punto máximo de su tryectori (de mner que y = 0) en el tiempo t 1 = 0y g, y en el inciso c) determinmos que el proyectil regres su ltur inicil (por lo que y = y 0 ) en el tiempo t 2 = 2 0y g = 2t 1. Usremos l ecución (3.21) pr determinr l coordend y de h en t 1, y l ecución (3.20) pr clculr l coordend x de R en t 2. Expresremos nuestrs respuests en términos de l rpidez de lnzmiento 0 y el ángulo de dispro 0 usndo ls ecuciones (3.19). EJECUTAR: De cuerdo con ls ecuciones (3.19), 0x = 0 cos 0 y 0y = 0 sen 0. Por lo tnto, podemos escribir el tiempo t 1 en que y = 0 como t 1 = 0y g = 0 sen 0 g L ecución (3.21) nos d l ltur y = h en ese instnte: h = 1 0 sen sen 0 g = 0 2 sen 2 0 2g Pr un rpidez de lnzmiento dd 0, el lor máximo de h se d con sen 0 = 1 y 0 = 90 ; es decir, cundo el proyectil se lnz erticlmente hci rrib. (i se lnz horizontlmente, como en el ejemplo 3.6, 0 = 0 y l ltur máxim es cero!). El tiempo t 2 en que el proyectil regres l suelo es t 2 = 2 0y g El lcnce horizontl R es el lor de x en este instnte. De cuerdo con l ecución (3.20), este es 2 0 sen 0 R = 1 0 cos 0 2t 2 = 1 0 cos 0 2 g = 0 2 sen 2 0 g b g 0 sen 2 0 b g = 2 0 sen 0 g (e usó l identidd trigonométric 2 sen 0 cos 0 = sen 2 0, que se encuentr en el péndice B). El lor máximo de sen 2 0 es 1; esto ocurre cundo 2 0 = 90, o bien, 0 = 45. Este ángulo d el lcnce máximo pr un rpidez inicil dd si se ignor l resistenci del ire. EVALUAR: L figur 3.24 se bs en un fotogrfí compuest de tres tryectoris de un pelot proyectd desde un cñón de resorte con ángulos de 30, 45 y 60. L rpidez inicil 0 es proximdmente igul en los tres csos. El lcnce horizontl es myor pr el ángulo de 45. Los lcnces son proximdmente los mismos pr los ángulos de 30 y 60. Puede usted demostrr que, pr un lor ddo de 0, el lcnce es igul pr un ángulo inicil 0 y pr un ángulo inicil de 90-0? (Este no es el cso de l figur 3.24 debido l resistenci del ire). CUIDAD Altur y lcnce de un proyectil No recomendmos memorizr ls expresiones nteriores pr h, R y R máx. on plicbles solo en ls circunstncis especiles que describimos. En prticulr, ls expresiones pr el lcnce R y lcnce máximo R máx solo pueden utilizrse cundo ls lturs de lnzmiento y terrizje son igules. En muchos de los problems l finl de este cpítulo, ests ecuciones no deben plicrse Un ángulo de dispro de 45 produce el lcnce horizontl máximo. El lcnce es menor con ángulos de 30 y 60. Un ángulo de dispro de 45 produce el máximo lcnce; con otros ángulos el lcnce es menor. Ángulo de dispro: Ejemplo 3.9 Alturs inicil y finl distints Usted lnz un pelot desde un entn 8.0 m del suelo. Cundo l pelot sle de su mno, se muee 10.0 m s con un ángulo de 20 bjo de l horizontl. A qué distnci horizontl de su entn llegrá l pelot l piso? Ignore l resistenci del ire Digrm pr este problem. Ventn LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Al igul que en los ejemplos 3.7 y 3.8, queremos determinr l coordend horizontl de un proyectil cundo tiene un lor determindo de y. L diferenci en este cso es que el lor de y no es el mismo que el lor inicil. Un ez más, elegimos el eje x como horizontl, y el eje y hci rrib, y colocmos el origen de ls coordends en el punto donde l pelot sle de su mno (figur 3.25). Así, tenemos 0 = 10.0 m s y 0 =-20 (el ángulo es negtio porque l elocidd inicil está debjo de l horizontl). Nuestr incógnit es el lor de x cundo l pelot lleg l suelo en y= -8.0 m. Usmos l ecución (3.21) pr obtener el instnte t cundo esto sucede; después, clculmos el lor de x en ese instnte con l ecución (3.20). uelo EJECUTAR: Pr determinr t, rescribimos l ecución (3.21) en l form norml de un ecución cudrátic en t: 1 2 gt2-1 0 sen 0 2t + y = 0 Continú

16 84 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones Ls ríces de est ecución son t = 0 sen sen A 1 2 gby 2 A 1 2 gb = 0 sen sen 2 0-2gy g = B m > s2 sen m > s2 2 sen m > s m2 R = -1.7 s o 0.98 s 9.80 m > s 2 Desechmos l ríz negti, y que se refiere un tiempo preio l lnzmiento. L ríz positi nos indic que l pelot lleg l suelo en t = 0.98 s. De cuerdo con l ecución (3.20), l coordend x en ese instnte es x = 1 0 cos 0 2t = m > s23cos s2 = 9.2 m L pelot lleg l suelo un distnci horizontl de 9.2 m de l entn. EVALUAR: L ríz t =-1.7 s es un ejemplo de solución fictici pr un ecución cudrátic. Y imos esto en el ejemplo 2.8 de l sección 2.5; le recomendmos repsrlo. Ejemplo 3.10 El cuiddor del zoológico y el mono Un mono escp del zoológico y sube un árbol. Como el cuiddor no logr trerlo, dispr un drdo sednte directmente hci el mono (figur 3.26). El mono slt en el instnte en que el drdo sle del cñón del rifle. Demuestre que el drdo golperá l mono, siempre que lo lcnce ntes de que este llegue l piso y se leje. LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Tenemos dos cuerpos que se mueen como proyectiles: el drdo y el mono. Ambos tienen posición y elocidd iniciles distints; sin embrgo, entrn en moimiento de proyectil l mismo tiempo t = 0. Primero usremos l ecución (3.20) pr encontrr el tiempo t en que ls coordends x mono y x drdo son igules. Luego, usremos l ecución (3.21) pr erificr si y mono y y drdo tmbién son igules en ese instnte; si lo son, el drdo golperá l mono. Elegimos ls direcciones x y y costumbrds, y colocmos el origen de ls coordends en el extremo del cñón del rifle (figur 3.26). EJECUTAR: El mono ce erticlmente, sí que x mono = d en todo momento. L ecución (3.20) nos indic que x drdo = ( 0 cos 0 )t. Despejmos el tiempo t cundo ls coordends x son igules: d d = 1 0 cos 0 2t sí que t = 0 cos 0 e debe demostrr hor que y mono = y drdo en este instnte. El mono está en cíd libre unidimensionl; su posición en culquier momento está dd por l ecución (2.12) cmbindo debidmente los símbolos. L figur 3.26 muestr que l ltur inicil del mono rrib del cñón del rifle es y mono-0 = d tn 0, sí que y mono = d tn gt El drdo con sednte golpe l mono que ce. Ls flechs punteds muestrn qué tnto hn cído el mono y el drdo en tiempos específicos, en relción con el lugr donde estrín si no hubier gredd. En culquier instnte, cen l mism distnci. y in gredd El mono permnece en su posición inicil. El drdo ij directo hci el mono. Por lo tnto, el drdo d en el mono. Cíd del mono Tryectori del drdo sin gredd. Cíd del drdo d tn 0 Cíd del drdo 0 Cíd del drdo 0 Tryectori del drdo con gredd d Con gredd El mono ce directo hci bjo. En culquier instnte t, el drdo ce lo mismo que el mono en relción con el lugr donde estrín si no 1 hubier gredd: Dy drdo 5 Dy mono gt 2. Por lo tnto, el drdo siempre golpe l mono. x

17 3.4 Moimiento en círculo 85 De cuerdo con l ecución (3.21), y drdo = 1 0 sen 0 2t gt2 Comprndo ests dos ecuciones, emos que si d tn 0 = ( 0 sen 0 )t en el instnte en que ls dos coordends x son igules, entonces y mono = y drdo (el drdo hbrá certdo). Pr demostrr que esto sucede, sustituimos t por d ( 0 cos 0 ), el instnte en que x mono = x drdo. Con seguridd, obtenemos 1 0 sen 0 2t = 1 0 sen 0 2 d 0 cos 0 = d tn 0 EVALUAR: Hemos demostrdo que, cundo ls coordends y del drdo y el mono son igules en el mismo instnte, ls coordends x tmbién lo son; un drdo dirigido l posición inicil del mono siempre lo golperá, sin importr 0 (siempre que el mono no llegue l suelo primero). Este resultdo es independiente de g, l celerción debid l gredd. in gredd (g = 0), el mono no se moerí, y el drdo ijrí en líne rect pr golperlo. Con gredd, mbos cen l mism distnci gt 2 2 por debjo de sus posiciones cundo t = 0 y el drdo de todos modos golpe l mono (figur 3.26). Elúe su comprensión de l sección 3.3 En el ejemplo 3.10, supong que el drdo sednte tiene un elocidd reltimente bj, de modo que el drdo lcnz su ltur máxim en un punto P ntes de golper l mono, como se indic en l figur. Cundo el drdo está en P, el mono estrá en i. el punto A (más lto que P), ii. el punto B ( l mism ltur que P)o iii. en el punto C (más bjo que P)? Ignore l resistenci del ire. P A B C 3.4 Moimiento en círculo Cundo un prtícul se muee en un tryectori cur, l dirección de su elocidd cmbi. Como imos en l sección 3.2, esto signific que l prtícul debe tener un componente de celerción perpendiculr l tryectori, incluso si l rpidez es constnte (ése l figur 3.11b). En est sección clculremos l celerción pr el importnte cso especil de moimiento en círculo. Moimiento circulr uniforme Cundo un prtícul se muee en un círculo con rpidez constnte, el moimiento se conoce como moimiento circulr uniforme. Un utomóil que d uelt en un cur de rdio constnte con rpidez constnte, un stélite en órbit circulr y un ptindor que describe un círculo con rpidez constnte son ejemplos de este moimiento (figur 3.27c; compárel con l figur 3.12). No hy componente de celerción prlel (tngente) l tryectori; si l hubier, l rpidez cmbirí. El ector celerción es perpendiculr (norml) l tryectori y, por lo tnto, se dirige hci dentro ( nunc hci fuer!), l centro de l tryectori circulr. Esto cus el cmbio en l dirección de l elocidd, sin que cmbie l rpidez Un utomóil con moimiento circulr. i el utomóil tiene moimiento circulr uniforme como en c), l rpidez es constnte y l celerción se dirige hci el centro de l tryectori circulr (compre con l figur 3.12). ) El utomóil ument su rpidez en un tryectori circulr Componente de celerción prlel l elocidd: cmbi l rpidez del utomóil. Componente de celerción perpendiculr l elocidd: cmbi l dirección del utomóil. b) El utomóil disminuye su rpidez en un tryectori circulr Componente de celerción perpendiculr l elocidd: cmbi l dirección del utomóil. Componente de celerción prlel l elocidd: cmbi l rpidez del utomóil. c) Moimiento circulr uniforme: Rpidez constnte en un tryectori circulr L celerción es exctmente perpendiculr l elocidd; sin componente prlel. Al centro del círculo

18 86 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones 3.28 Determinción del cmbio de elocidd, celerción medi med, y celerción instntáne rd de un prtícul que se muee en círculo con rpidez constnte. ) Un prtícul se muee un distnci Ds con rpidez constnte en un tryectori circulr. 2 1 P 1 Ds P 2 R Df R b) El cmbio correspondiente en elocidd y celerción medi 1 Df D 2 Estos dos triángulos son semejntes. e puede obtener un relción sencill pr l mgnitud de l celerción en moimiento circulr uniforme. Inicimos con l figur 3.28, l cul muestr un prtícul que se muee con rpidez constnte en un tryectori circulr de rdio R con centro en. L prtícul se muee de P 1 P 2 en un tiempo t. El cmbio ectoril en l elocidd durnte este tiempo se muestr en l figur 3.28b. Los ángulos identificdos como f en ls figurs 3.28 y 3.28b son igules porque 1 es perpendiculr l líne P 1, y 2 es perpendiculr l líne P 2. Por lo tnto, los triángulos en ls figurs 3.28 y 3.28b son semejntes. Ls rzones de los ldos correspondientes en triángulos semejntes son igules, sí que ƒ ƒ 1 = s R o bien, ƒ ƒ = 1 R s L mgnitud med de l celerción medi durnte t es, entonces, L mgnitud de l celerción instntáne expresión conforme P 2 se cerc P 1 : = med = ƒ ƒ t = 1 R 1 s lím t0 R t = 1 R lím s t0 t en el punto P 1 es el límite de est i el interlo t es muy corto, s es l distnci que se muee l prtícul en l tryectori cur. De modo que el límite de s t es l rpidez 1 en el punto P 1. Además, P 1 puede ser culquier punto de l tryectori, sí que podemos omitir el subíndice y representr con l rpidez en culquier punto. Entonces, s t c) Acelerción instntáne rd = 2 R (moimiento circulr uniforme) (3.28) rd En el moimiento circulr uniforme, l celerción R instntáne siempre punt hci el centro del círculo. e greg el subíndice rd pr recordr que l dirección de l celerción instntáne en culquier punto siempre se encuentr lo lrgo de un rdio del círculo (hci el centro; ése ls figurs 3.27c y 3.28c). En conclusión, en el moimiento circulr uniforme, l mgnitud rd de l celerción instntáne es igul l cudrdo de l rpidez diidido entre el rdio R del círculo; su dirección es perpendiculr y hci dentro sobre el rdio. Como l celerción en el moimiento circulr uniforme siempre punt l centro del círculo, en ocsiones se le llm celerción centrípet. L plbr centrípet se deri de dos ocblos griegos que significn que busc el centro. L figur 3.29 muestr ls direcciones de los ectores elocidd y celerción en rios puntos pr un prtícul con moimiento circulr uniforme Acelerción y elocidd ) de un prtícul con moimiento circulr uniforme y b) de un proyectil sin resistenci del ire. ) Moimiento circulr uniforme b) Moimiento de un proyectil rd rd rd rd rd rd L celerción tiene mgnitud constnte, pero dirección rible. L elocidd y l celerción siempre son perpendiculres. L elocidd y l celerción son perpendiculres solo en el punto más lto de l tryectori. r r r r r r L celerción es constnte en mgnitud y en dirección. r r r r

19 3.4 Moimiento en círculo 87 CUIDAD Moimiento circulr uniforme contr moimiento de proyectiles L celerción en el moimiento circulr uniforme (figur 3.29) tiene lguns similitudes con l celerción en el moimiento de proyectiles sin resistenci del ire (figur 3.29b), pero tmbién existen lguns diferencis importntes. En mbs clses de moimiento l mgnitud de l celerción siempre es l mism. in embrgo, en el moimiento circulr uniforme l dirección de cmbi continumente, de mner que siempre punt hci el centro del círculo. (En l prte superior del círculo, l celerción punt hci bjo; en l prte inferior del círculo, l celerción punt hci rrib). En contrste, en el moimiento de proyectiles, l dirección de es l mism en todo momento. Tmbién podemos expresr l mgnitud de l celerción en el moimiento circulr uniforme en términos del periodo T del moimiento, es decir, el tiempo que dur un reolución (un uelt complet lrededor del círculo). En un tiempo T, l prtícul recorre un distnci igul l circunferenci 2pR, sí que su rpidez es = 2pR T Al sustituir esto en l ecución (3.28), obtenemos l expresión lternti (3.29) rd = 4p2 R T 2 (moimiento circulr uniforme) (3.30) PhET: Ldybug Reolution PhET: Motion in 2D Ejemplo 3.11 Acelerción centrípet en un cmino curo Un utomóil deportio Aston Mrtin V8 Vntge tiene un celerción lterl de 0.96g = (0.96)(9.8 m s 2 ) = 9.4 m s 2. Est es l celerción centrípet máxim que puede tener el utomóil sin slirse derrpndo de l tryectori cur. i el utomóil ij 40 m s (cerc de 89 mi h o 144 km h), en un pist pln, cuál es el rdio R mínimo de cur sin perlte que puede tomr? LUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: El utomóil tiene moimiento circulr uniforme porque se desplz con rpidez constnte en un cur, que es un segmento de un círculo. e us l ecución (3.28) pr obtener l incógnit R en términos de l celerción centrípet dd rd y l rpidez : R = 2 = 140 m > s2 2 (proximdmente 560 ft) rd 9.4 m > s 2 = 170 m Este es el rdio mínimo porque rd es l celerción centrípet máxim. EVALUAR: El rdio de giro mínimo R es proporcionl l cudrdo de l rpidez; por lo tnto, incluso un reducción pequeñ en l rpidez puede reducir R considerblemente. Por ejemplo, si disminuye un 20% (de m s), R disminuirá un 36% (de m). tr form de reducir el rdio requerido es perltr l cur. Inestigremos est opción en el cpítulo 5. Ejemplo 3.12 Acelerción centrípet en un juego mecánico En un juego mecánico, los psjeros ijn con rpidez constnte en un círculo horizontl de 5.0 m de rdio, dndo un uelt complet cd 4.0 s. Qué celerción tienen? LUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: L rpidez es constnte, sí que se trt de moimiento circulr uniforme. Nos dn el rdio R = 5.0 m y el periodo T = 4.0 s, sí que se puede usr l ecución (3.30) pr clculr l celerción directmente, o se puede clculr con l ecución (3.29) y luego obtener l celerción con l ecución (3.28). EJECUTAR: De cuerdo con l ecución (3.30), rd = 4p m s2 2 = 12 m > s 2 = 1.3g Verificmos est respuest usndo el segundo enfoque indirecto. A prtir de l ecución (3.29), l rpidez es = 2pR T 2p15.0 m2 = = 7.9 m > s 4.0 s L celerción centrípet es entonces, rd = 2 R = 17.9 m 2 > s2 = 12 m > s m EVALUAR: Al igul que en el ejemplo 3.11, l dirección de siempre es hci el centro del círculo. L mgnitud de es reltimente sue conforme el juego mecánico nz; lguns montñs russ someten sus psjeros celerciones de hst 4g.

20 ƒ 88 CAPÍTUL 3 Moimiento en dos o en tres dimensiones Aplicción Cuiddo: e proximn curs cerrds! Estos crros de l montñ rus tienen moimiento circulr no uniforme: frenn y celern conforme se mueen lrededor de un lzo erticl. Ls grndes celerciones implicds en un ije lt elocidd lrededor de un lzo justdo significn un esfuerzo dicionl en los sistems circultorios de los psjeros; por es rzón, ls persons con fecciones crdics deben bstenerse de subirse l montñ rus. Moimiento circulr no uniforme En est sección, hemos supuesto que l rpidez de l prtícul es constnte conforme ij lrededor de un círculo. i l rpidez rí, tenemos un moimiento circulr no uniforme. En el moimiento circulr no uniforme, l ecución (3.28) nos sigue dndo l componente rdil de l celerción rd = 2 R, que siempre es perpendiculr l elocidd instntáne y dirigid l centro del círculo. in embrgo, puesto que l rpidez tiene lores distintos en diferentes puntos del moimiento, el lor de rd no es constnte. L celerción rdil (centrípet) es myor en el punto del círculo donde l rpidez es myor. En el moimiento circulr no uniforme tmbién hy un componente de celerción prlel l elocidd instntáne (ése ls figurs 3.27 y 3.27b). Est es l componente Œ que imos en l sección 3.2, y quí l llmmos tn pr destcr que es tngente l círculo. L componente de celerción tngencil tn es igul l ts de cmbio de l rpidez. Entonces, rd = 2 R y tn = dƒ (moimiento circulr no uniforme) (3.31) L componente tngencil tiene l mism dirección de l elocidd si l prtícul está celerndo, y l dirección opuest si está frenndo (figur 3.30). i l rpidez de l prtícul es constnte, tn = 0. CUIDAD Moimiento circulr uniforme contr no uniforme bsere que ls dos cntiddes dƒ ƒ y ` d ` 3.30 Prtícul que se muee en un lzo erticl, como un crrito de montñ rus, con rpidez rible. Rpidez mínim, rd mínim, tn cero. Aumento de rpidez: tn en l mism dirección que. Disminución de rpidez: tn es opuest. no son igules. L primer, igul l celerción tngencil, es l ts de cmbio de l rpidez; es igul cero siempre que un prtícul se muee con rpidez constnte, incluso cundo cmbi l dirección de su moimiento (como en el moimiento circulr uniforme). L segund es l mgnitud de l celerción ectoril; es igul cero solo cundo el ector celerción es cero, es decir, cundo l prtícul se muee en líne rect con rpidez constnte. En el moimiento circulr uniforme ƒd >ƒ = rd = 2 >r; en el moimiento circulr no uniforme tmbién existe un componente tngencil de l celerción, de mner que ƒd /ƒ = 2 2 rd + 2 tn. Elúe su comprensión de l sección 3.4 upong que l prtícul de l figur 3.30 experiment un celerción cutro eces myor en l prte inferior del lzo que en l prte superior del mismo. En comprción con l rpidez en l prte superior del lzo, l rpidez en l prte inferior del lzo es i. 12 eces myor; ii. 2 eces myor; iii eces myor; i. 4 eces myor; o. 16 eces myor? tn rd 5 rd 3.5 Velocidd relti Rpidez máxim: rd máxim, tn cero. in dud, usted h obserdo que un utomóil que nz lentmente prece moerse hci trás cundo usted lo rebs. En generl, si dos obserdores miden l elocidd de un cuerpo en moimiento, obtienen diferentes resultdos si uno de ellos se muee en relción con el otro. L elocidd que un obserdor determindo percibe es l elocidd relti él, o simplemente l elocidd relti. L figur 3.31 muestr un situción donde l comprensión de l elocidd relti es extremdmente importnte. Primero considerremos l elocidd relti en líne rect, y luego l generlizremos pr un plno. Velocidd relti en un dimensión Un psjer cmin con un elocidd de 1.0 m s por el psillo del gón de un ferrocrril que se muee 3.0 m s (figur 3.32). Cuál es l elocidd de l psjer?

21 3.5 Velocidd relti 89 Est es un pregunt sencill, pero no tiene un sol respuest. Pr un segundo psjero sentdo en el tren, l mujer se muee 1.0 m s. Pr un ciclist que está detenido junto l tren, l psjer se muee 1.0 m s m s = 4.0 m s. Un obserdor en otro tren que en l dirección opuest drí otr respuest. Debemos especificr quién es el obserdor y dr l elocidd relti él. L elocidd de l psjer relti l tren es 1.0 m s, l elocidd relti l ciclist es 4.0 m s, etcéter. Cd obserdor, equipdo en principio con un metro y un cronómetro, constituye lo que llmmos un mrco de referenci. Así, un mrco de referenci es un sistem de coordends más un escl de tiempo. e A el mrco de referenci del ciclist (en reposo con respecto l suelo) y B el mrco de referenci del tren en moimiento. En el moimiento rectilíneo, l posición de un punto P relti l mrco de referenci A está dd por x P A (l posición de P con respecto A), y l posición de P con respecto l mrco B está dd por x P B (ése l figur 3.32b). L distnci del origen de B respecto l origen de A es x B A. L figur 3.32b indic que 3.31 Los pilotos de crobcis éres enfrentn un complicdo problem de elociddes reltis. Deben estr pendientes de su moimiento en relción con el ire (y sí mntener un flujo suficiente de ire sobre ls ls pr l sustentción), su moimiento en relción con los otros iones (pr mntener un formción cerrd sin chocr) y su moimiento en relción con el público (pr que los espectdores no los pierdn de ist). x P>A = x P>B + x B>A (3.32) En plbrs, l coordend de P en relción con A es igul l coordend de P en relción con B más l coordend de B en relción con A. L elocidd de P relti l mrco A, denotd con P A-x, es l derid de x P A con respecto l tiempo. Ls otrs elociddes se obtienen de igul mner, sí que l derid con respecto l tiempo de l ecución (3.32) nos d l relción entre ls elociddes: dx P>A = dx P>B + dx B>A o bien, P>A-x = P>B-x + B>A-x (elocidd relti en un líne) (3.33) Voliendo l cso de l psjer en el tren de l figur 3.32, emos que A es el mrco de referenci del ciclist, B es el mrco de referenci del tren y el punto P represent l mujer. Usndo l notción nterior, tenemos 3.32 ) Un psjer cmin dentro de un tren. b) L posición de l mujer relti l mrco de referenci del ciclist y l mrco de referenci del tren. ) P (psjer) B (tren) P>B-x = +1.0 m>s B>A-x = +3.0 m>s De cuerdo con l ecución (3.33), l elocidd P A de l psjer relti l ciclist es P>A-x = +1.0 m>s m>s = +4.0 m>s A (ciclist) B como y sbímos. En este ejemplo, mbs elociddes n hci l derech, y hemos tomdo est dirección como positi. i l psjer cmin hci l izquierd en relción con el tren, entonces, P B-x =-1.0 m s, y su elocidd relti l ciclist es P A-x =-1.0 m s m s = +2.0 m s. L sum de l ecución (3.33) siempre es lgebric, y culquier o tods ls elociddes pueden ser negtis. i l psjer se som por l entn, le precerá que el ciclist estcionrio se muee hci trás; llmmos A P-x l elocidd del ciclist relti ell. Es eidente que est es el negtio de l elocidd de l psjer en relción con el ciclist, P A-x. En generl, si A y B son dos puntos o mrcos de referenci culesquier, A>B-x = - B>A-x (3.34) b) y A Mrco del ciclist. Mrco del tren. y B B/A Velocidd del tren relti l ciclist. Posición de l psjer en mbos mrcos. P x B, A x A x B/A B x P/A x P/B