Universidad de Costa Rica Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica

Transcripción

1 Unverdd de Cot R Fultd de Ingenerí Euel de Ingenerí Elétr IE 050 Proyeto Elétro MÉODO DE UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS PARA LA SINONIZACIÓN DE CONROLADORES PID Por: Leonrdo Joé Mrín Pngu Cudd Unvertr Rodrgo Fo Dembre del 005

2 MÉODO DE UBICACIÓN DE POLOS Y CEROS PARA LA SINONIZACIÓN DE CONROLADORES PID Por: Leonrdo Joé Mrín Pngu Sometdo l Euel de Ingenerí Elétr de l Fultd de Ingenerí de l Unverdd de Cot R omo requto prl pr optr por el grdo de: BACHILLER EN INGENIERÍA ELÉCRICA Aprobdo por el rbunl: Ing. Vítor Alfro Ruz, L. Profeor Guí Ing. Mx Ruz Arret Profeor letor Ing. Frno Sle Cnle, L. Profeor letor

3 DEDICAORIA... l úno y bo Do, nuetro Slvdor, e glor y mjetd, mpero y poten, hor y por todo lo glo. Amén Jud :5 RV60 A m fml, m pdre, m hermno y m hermn por todo u poyo A Irene O. por u mor y ompñí

4 RECONOCIMIENOS Agrdezo l profeor guí L. Vítor Alfro R. por eptr el derrollo del proyeto ún undo y tení lo upo lleno pr el emetre, gr por el poyo, pen y múltple explone que me yudron l derrollo del tem. Agrdezo tmbén lo profeore letore L. Frno Sle e Ing. Mx Ruz por u porte l proyeto lo lrgo del emetre. Ademá quero grdeer m pdre Ing. Joé Mrín Roj por ervr de letor en l verón fnl del proyeto y por u reomendone. Prte del ódgo de lo dtnto progrm, redo en el lenguje MALAB, utlzdo en l mulone pertenee ejemplo relzdo por el profeor guí Vítor Alfro omo prte del uro Stem de Control. Eto frgmento de ódgo fltron en grn medd l reón de l urv que e utlzn en el método derrolldo. v

5 ÍNDICE GENERAL ÍNDICE DE FIGURAS...x ÍNDICE DE ABLAS...x NOMENCLAURA... x RESUMEN...xv CAPÍULO : Introduón.... Objetvo..... Objetvo generl..... Objetvo epeífo.... Metodologí...3 CAPÍULO : Derrollo teóro...4. Equem de ontrol relmentdo utomáto...5. Controldore PI y PID dele Crtero de deempeño en el tempo Método de ubón de polo Prámetro de un ontroldor PI por ubón de polo Prámetro de un ontroldor PID por ubón de polo Invetgón bblográf...5 CAPÍULO 3: Normlzón del Método de Ubón de Polo Stem de egundo orden ubmortgudo Normlzón de lo modelo de prmer y egundo orden de l plnt y Normlzón de lo ontroldore PI y PID Funone de trnferen de lzo errdo Mr( y Mz( Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo Normlzón del Método de Ubón de Polo Prámetro del Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo Prámetro del Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo CAPÍULO 4: Sntonzón de un ontroldor PI tundo omo ervomenmo on el método de ubón de polo y ero Funón de trnferen del ervomenmo Mr( Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo (Dp Deempeño en el domno del tempo Proedmento de Sntonzón Ejemplo N Ejemplo N...4 v

6 CAPÍULO 5: Sntonzón de un ontroldor PID tundo omo ervomenmo on el método de ubón de polo y ero Funón de trnferen del ervomenmo Mr( Vlor de pr nelr un polo de Mr( Cálulo de Ubón de lo ero de Mr( Funone de trnferen del ervomenmo Mr( pr lo vlore de obtendo Euone pr Euone pr Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo (Dp Deempeño en el domno del tempo Co Epele Condone pr obtener 4d Amortgumento ríto ξ Proedmento de Sntonzón Ejemplo N Ejemplo N...7 CAPÍULO 6: Sntonzón de un ontroldor PI tundo omo reguldor on el método de ubón de polo y ero FLC pr el reguldor Deempeño en el domno del tempo Proedmento de Sntonzón Ejemplo...87 CAPÍULO 7: Sntonzón de un ontroldor PID tundo omo reguldor on el método de ubón de polo y ero FLC pr el reguldor FLC pr α FLC pr α Deempeño en el domno del tempo Demento ¼ Crtero IAE Crtero IAE Proedmento de Sntonzón Ejemplo...04 CAPÍULO 8: Conluone y reomendone...08 BIBLIOGRAFÍA...3 v

7 APÉNDICES...4. Demotrón de Euone:...4. Cpítulo Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo: Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo Prámetro del Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo Prámetro del Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo.7. Cpítulo Derrollo de Mr( pr lo prámetro obtendo por el método de ubón de polo Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo Cpítulo Derrollo de Mr( pr lo prámetro obtendo por el método de ubón de polo Clulo de Ubón de lo ero de Mr( Euone del método de ubón de polo y Mr( reultnte uttur lo vlore de obtendo Condone pr obtener 4d Cpítulo Clulo de Mz( pr el vlor de α Clulo de Mz( pr el vlor de α...7. Algortmo en MALAB...7. Algortmo pr l obtener l dtn Dp ontroldor PI...7. Algortmo pr l obtener l vrón de Mp, p y % pr dtnto vlore de z y w pr Mr( on el ontroldor PI Algortmo pr l obtener l dtn Dp ontroldor PID, α, b Algortmo pr l obtener l vrón de Mp pr dtnto vlore de z y w pr Mr( on el ontroldor PID, b, α Algortmo pr l obtener l vrón del Mp pr dtnto vlore de b. Controldor PID, α Vrón del Crtero demento ¼ y de l ntegrle IAE e IAE pr el ontroldor PI Vrón de l gnn del ontroldor PI Vrón del Crtero demento ¼ y de l ntegrle IAE e IAE pr el ontroldor PID, α Vrón del Crtero demento ¼ y de l ntegrle IAE e IAE pr el ontroldor PID, α...35 v

8 .0 Influen del vlor de b en el rtero IAE, α, ξ Influen del vlor de b en el rtero IAE, α, ξ v

9 ÍNDICE DE FIGURAS Fgur. Stem de ontrol relmentdo []...5 Fgur. Repuet un elón untro en r(, tem de egundo orden ubmortgudo...8 Fgur.3 Cero muy lejdo de lo polo domnnte del tem de ontrol....0 Fgur.4 Crtero de demento ¼ pr l repuet un perturbón... Fgur 4. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...4 Fgur 4. Sobrepo máxmo rel (onderndo el efeto del ero. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...8 Fgur 4.3 empo de entmento l %. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...30 Fgur 4.4 empo l po. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...3 Fgur 4.5 empo de entmento l % Repeto l Sobrepo máxmo rel. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...34 Fgur 4.6 empo l po Repeto l Sobrepo máxmo rel. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd...35 Fgur 4.7 Dgrm de bloque, ejemplo N...39 Fgur 4.8 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N...39 Fgur 4.9 Dgrm de bloque, ejemplo N, método trdonl...40 Fgur 4.0 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N, método trdonl...4 Fgur 4. Dgrm de bloque, ejemplo N...43 Fgur 4. Repuet del tem en el tempo, ejemplo N...44 Fgur 4.3 Dgrm de bloque, ejemplo N, método trdonl...45 Fgur 4.4 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N, método trdonl...45 Fgur 5. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo pr b.. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...53 Fgur 5. Dp pr b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...54 Fgur 5.3 Dp pr b4. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...54 Fgur 5.4 Dp pr b6. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...55 Fgur 5.5 Dp pr b8. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...55 Fgur 5.6 Dp pr b0. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...56 x

10 Fgur 5.7 Mp pr b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...58 Fgur 5.8 Mp pr dtnto vlore de b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...59 Fgur 5.9 Mp pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...63 Fgur 5.0 p pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...64 Fgur 5. p pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd...65 Fgur 5. Repuet del tem en el tempo, ejemplo N...70 Fgur 5.3 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N...73 Fgur 6. Repuet del reguldor, ontroldor PI, plnt de prmer orden normlzd...76 Fgur 6. Vrón del IAE, ontroldor PI tundo omo reguldor, plnt de prmer orden normlzd...77 Fgur 6.3 Vrón del IAE, ontroldor PI tundo omo reguldor, plnt de prmer orden normlzd...78 Fgur 6.4 Vrón de l gnn del ontroldor PI...79 Fgur 6.5 Dgrm de bloque tem N...8 Fgur 6.6 Repuet del tem en el tempo, tem N...8 Fgur 6.7 Dgrm de bloque tem N...8 Fgur 6.8 Repuet del tem en el tempo, tem N...8 Fgur 6.9 Dgrm de bloque tem N Fgur 6.0 Repuet del tem en el tempo, tem N Fgur 6. Vrón del l rzón E/E. Controldor PI...85 Fgur 6. Repuet del tem en el tempo, reguldor...88 Fgur 6.3 Repuet del tem en el tempo, ervomenmo...89 Fgur 7. Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b...93 Fgur 7. Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b Fgur 7.3 Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b Fgur 7.4 Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b...94 Fgur 7.5 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5, Fgur 7.6 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5, Fgur 7.7 Comprón del IAE prα y α, ontroldor PID, b Fgur 7.8 Vrón del IAE pr dtnto vlore de b, α, ontroldor PID, z Fgur 7.9 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5,0...0 x

11 Fgur 7.0 Vrón del IAE pr dtnto vlore de b, α, ontroldor PID, z Fgur 7. Repuet del tem en el tempo, reguldor...06 Fgur 6.3 Repuet del tem en el tempo, ervomenmo...07 Fgur A Modelo en Smulnk pr obtener máxmo del rtero Demento ¼...33 Fgur A Confgurón de lo bloque del modelo en Smulnk pr obtener lo máxmo del rtero Demento ¼...33 x

12 ÍNDICE DE ABLAS bl 6. Prámetro, vrón de l ld del ontroldor repeto l gnn...80 x

13 NOMENCLAURA α, α Contnte. Freuen nturl no mortgud normlzd. n Freuen nturl no mortgud. ξ Ftor de mortgumento reltvo. Rzón de l ontnte de tempo del modelo de egundo orden má tempo muerto. b Invero de. Dp Dtn entre un ero rel y l prte rel de lo polo omplejo onjugdo de un tem de egundo orden ubmortgudo normlzdo. Den Denomndor de un funón de trnferen. E, E Prmer y egundo error máxmo de l repuet en el tempo del reguldor. e(, e(t Señl de error. FLC G ( G p ( G p ( Funón de trnferen de lzo errdo. Funón de trnferen del ontroldor. Funón de trnferen del proeo ontroldo (plnt. Funón de trnferen de l plnt ontrold normlzd. x

14 G ( Funón de trnferen del ontroldor normlzd. Gnn del ontroldor. Gnn del ontroldor normlzd. d Gnn dervtv del ontroldor. Gnn ntegrl del ontroldor. k p Gnn del modelo. p Gnn proporonl del ontroldor. MIMO Mp M r ( M r ( M z ( Num PI PID r( r( Stem de múltple entrd, múltple ld. Sobrepo Máxmo. FLC del Servomenmo. FLC del Servomenmo normlzd. FLC del Reguldor normlzd. Numerdor de un funón de trnferen. Controldor proporonl ntegrl. Controldor proporonl ntegrl dervtvo. Vlor deedo de l vrble ontrold. Vlor deedo de l vrble ontrold normlzdo. Vrble omplej normlzd. xv

15 SISO Vrble omplej. Stem de un entrd, un ld. t Contnte de tempo del modelo de prmer orden má tempo muerto. t,t Contnte de tempo del modelo de egundo orden má tempo muerto. % empo de Aentmento l % normlzdo. % empo de Aentmento l %. d empo dervtvo del ontroldor. d empo dervtvo del ontroldor normlzdo. empo ntegrl del ontroldor. p p u( y( y( z( z( empo ntegrl del ontroldor normlzdo. empo l Po. empo l Po normlzdo. Señl de ld del ontroldor. Señl relmentd (Sld del Proeo. Señl relmentd normlzd. Perturbón. Perturbón normlzd. xv

16 RESUMEN Debdo que el método de ubón de polo pr ontroldore PID no tene un rtero de deempeño que yude u utlzón e relzó el preente etudo, on el fn de rer utro proedmento de ntonzón pr lo ontroldore PID. Relzndo un mbo de el en el tempo e logrron mplfr l euone del método y e proedó u etudo. Mednte mulone de múltple tem de ontrol e obtuveron gráf que derben el omportmento del lo rtero de deempeño (ervomenmo y reguldor pr el método, et on utlzd pr l ntonzón de lo ontroldore en lo proedmento redo. El prnpl deubrmento fue el obervr que un tem de prmer o egundo orden n tempo muerto on un ontroldor ntonzdo on el método de ubón de polo no puede er proxmdo mednte un tem de egundo orden ubmortgudo. Eto e debe l grn nfluen que tenen lo ero en el numerdor en el o del ervomenmo. Lo proedmento de ntonzón redo tomn en uent ete ftor, y debdo que no olmente e onder l ubón de lo polo, no tmbén l de lo ero, el proedmento nuevo e llmó ntonzón por ubón de polo y ero. Depué del etudo relzdo e obervó que ún flt muho por derrollr en el tem por lo que e reomend egur u etudo en o má omplejo omo lo on el ontroldor PID de do grdo de lbertd, o el método pr plnt on tempo muerto. Ademá e puede derrollr un herrment en oftwre pr tr el deño de lo ontroldore l utlzr el método de ubón de polo y ero. xv

17 CAPÍULO : Introduón El método de ubón de polo fue derrolldo por Peron [6], y expueto por lo ngenero Atröm y Hägglund [] omo un método pr ntonzr ontroldore PID; de mner que lo polo de lzo errdo del tem de ontrol e ubquen en ert regón del plno omplejo. Sn embrgo, no epefron l ondone neer pr etbleer l ubón de lo polo que produjern un repuet on rterít deed. Entre et ondone e tenen l rterít de l plnt ontrolr y l zon del plno omplejo en donde deben ubre lo polo de tl form que e obteng un repuet deed en el domno del tempo. Ademá no e epef un rtero de deempeño pr evlur el omportmento de lo lzo de ontrol funonndo omo ervomenmo o omo reguldor. Debdo et ren del método, urgó l needd de omplementr el método defnendo l ondone neer en el modelo de l plnt, í omo un rtero de deempeño, de tl form que e obtuvern lo prámetro del ontroldor PID pr obtener un repuet en el tempo deed.

18 . Objetvo.. Objetvo generl Determnr el efeto que tene el rtero de deño y lo prámetro del ontroldor obre el omportmento de lo ervomenmo y reguldore on ontroldore PID ntonzdo mednte el método de ubón de polo, y derrollr un proedmento pr l plón del método... Objetvo epeífo Revr el proedmento de ntonzón de ontroldore PI y PID mednte el proedmento de ubón de polo, pr plnt de prmer y egundo orden. Relzr un búqued bblográf obre l plón del método de ubón (lolzón de polo. Utlzr un plnt de prmer orden normlzd y determnr lo prámetro del ontroldor PI pr umplr on dferente rtero de deempeño y omprr l repuet de lzo errdo on l orrepondente de un tem de egundo orden on el mmo polnomo rteríto. Utlzr un plnt de egundo orden normlzd y determnr lo prámetro del ontroldor PID pr umplr on dferente rtero de deempeño y omprr l repuet de lzo errdo on l orrepondente de un tem de terer orden on el mmo polnomo rteríto.

19 3 Etbleer un rtero pr relonr l ubón de lo polo de lzo errdo on l rterít de deempeño requerd y lo prámetro de l plnt. Relzr reomendone obre l gnón de l ubón de lo polo de lzo errdo, en funón de lo prámetro de l plnt y el omportmento deedo del tem de ontrol.. Metodologí Pr omplementr el método de ubón de polo e relzó un nvetgón bblográf on el objetvo de onoer derrollo er del tem. Se relzó un reumen de l teorí de ontrol relond on l ubón de polo. Se relzron lo derrollo mtemáto neero pr omprobr y mplfr l euone ontempld en el método. Se etbleeron relone lgebr pr que el método umpl uno o vro rtero de deempeño. Ademá, e relzron mulone de l funone de trnferen de lzo errdo on el fn de orroborr l upoone relzd en el derrollo mtemáto. Pr eto e utlzrán lo progrm MALAB y Smulnk, epeífmente l herrment LIVIEW, vtl en l mulone que yudó onoer e umplí o no on el rtero de deempeño, y motrr l ubón de lo ero y polo de l funón de trnferen de lzo errdo. Fnlmente e reumeron lo proedmento de ntonzón y e omprobó u utldd mednte ejemplo.

20 CAPÍULO : Derrollo teóro Prev l expoón del método de ubón de polo e reume l teorí má relevnte pr l omprenón del método y del derrollo relzdo en el trbjo. Relondo on el método de ubón de polo e expone l teorí orrepondente lo ontroldore PI y PID en lo tem de ontrol relmentdo utomáto, el funonmento del tem de ontrol omo ervomenmo y omo reguldor y l utlzón del lugr geométro de l ríe, pr l vulzón del omportmento de lo polo y ero de l funón de trnferen del tem de lzo errdo. Ademá, e requeren lo rtero de deempeño en el domno del tempo, pr nlzr l repuet del tem de ontrol omo ervomenmo y omo reguldor. Repdo eto onepto e dpone exponer el método de ubón de polo derrolldo por Peron [6] pr obtener lo prámetro de un ontroldor PID en un tem de un entrd, un ld. Ademá de exponer el método en í, e port el reultdo de l nvetgón bblográf relzd on repeto ete tem. 4

21 5. Equem de ontrol relmentdo utomáto El equem de ontrol relmentdo utomáto tene el dgrm de bloque mplfdo motrdo en l Fgur Nº., en donde: Fgur. Stem de ontrol relmentdo [] L Funón de trnferen del dgrm de bloque de l fgur. e: G ( G p ( G p ( y( r( z( (.- G ( G ( G ( G ( p p En un tem funonndo omo ervomenmo e dee que el tem teng un buen egumento nte un mbo en el vlor deedo, l funón de trnferen de lzo errdo de un tem omo ervomenmo e puede obtener on z( gul ero. En un tem funonndo omo reguldor e dee que el tem e nenble nte l perturbone, u funón de trnferen e puede obtener on r( gul ero. omd de [], pítulo en donde e expone un explón omplet de l obtenón de ete dgrm

22 6 L funón de trnferen de l plnt (l del proeo rel e proxmd mednte un modelo, ete modelo e obtene mednte tén de dentfón expermentl. Lo modelo utlzdo en el método de ubón de polo de Peron [6] utlzn modelo de prmer orden y de egundo orden, mbo n tempo muerto. Funón de trnferen de un modelo de prmer orden: k p Gp ( τ (.- Funón de trnferen de un modelo de egundo orden: G ( p k ( τ ( τ p, t >t. (.-3. Controldore PI y PID dele 3 El ontroldor PI (proporonl ntegrl del tene l guente funón de trnferen: ( u( (.- e( Et funón de trnferen puede er expred en térmno de l gnn proporonl y de l gnn ntegrl omo e he normlmente en lguno ontroldore Expoón mpl de eto método e puede ver en [], pítulo 4. 3 Pr l teorí omplet de lo ontroldore PI y PID ver [5], pítulo 5.

23 7 omerle. L funón de trnferen pr el ontroldor PI qued expred de l guente form: ( ( e u p (.- El ontroldor PID (proporonl ntegrl dervtvo del tene l guente funón de trnferen: ( ( ( e u d d (.-3 De gul form que pr el ontroldor PI, et funón de trnferen puede er expred en térmno de l gnn proporonl, l gnn ntegrl y l gnn dervtv. L funón de trnferen pr el ontroldor PID qued expred de l guente form: ( ( e u d p d (.-4 En lo que repet l uo de eto ontroldore en el reto del trbjo, empre e utlzn ontroldore dele l meno que e ndque lo ontrro.

24 8.3 Crtero de deempeño en el tempo 4 Un rtero de deempeño defne un buen e l repuet de un tem de ontrol on un ontroldor ntonzdo on un proedmento determndo. Lo rtero utlzr pr el método de ubón de polo on lo rtero de deempeño en el tempo, lo ule e determnn uponendo que l repuet del tem de ontrol, nte un mbo elón en r(, e mlr l de un tem de egundo orden ubmortgudo on gnn untr. L funón de trnferen de un tem de ete tpo et dd por l euón: n y( (.3- r( ξ L repuet de ete tem nte un entrd elón en r( e oberv en l fgur.: n n ±e Fgur. Repuet un elón untro en r(, tem de egundo orden ubmortgudo 4 omdo de [5], págn y de [7]

25 9 En et fgur e mden l vrble de nteré en l repuet del tem: El obrepo máxmo (Mp, el tempo l po (p y el tempo de entmento un bnd de ± e de u vlor fnl (e%. A ontnuón e muetrn l euone pr et vrble de nteré: ξπ ξ % Mp 00e (.3- π p (.3-3 ξ n 4 % (.3-4 ξ n Se puede entone epefr un vlor deedo del Mp o del % l deñr un ontroldor pr que funone omo ervomenmo y on et epefone obtener el vlor de l rzón de mortgumento (ξ y l freuen nturl ( que debe tener el tem de lzo errdo. Con eto vlore e deñ el ontroldor y e verf que l repuet del tem de lzo errdo nte un mbo elón en el vlor deedo, tene lo vlore de deño de Mp y %. n Cbe detr que et euone on únmente váld l Funón de trnferen de lzo errdo (FLC del tem de ontrol e proxm l de un tem de egundo orden ubmortgudo. Eto uede undo exte un pr de polo omplejo onjugdo domnnte (lo polo y ero retnte etán muy lejdo de eto. Lo polo domnnte on, en el o del tem de egundo orden ubmortgudo, l ríe

26 0 omplej del denomndor de l euón.3-. Por lo que pr que l euone de Mp, p o % en váld, todo lo demá polo o ero de l FLC del tem, tundo omo ervomenmo deben etr muy lejdo de lo polo del denomndor de.3-. Et ondón e muetr en l guente fgur: Ubon de polo y ero de l FLC en el plno omplejo Eje Imgnro Sytem: n Zero : - Dmpng: Overhoot (%: 0 Frequeny (rd/e: Sytem: n Pole : Dmpng: 0.5 Overhoot (%: 6.3 Frequeny (rd/e: Eje Rel Fgur.3 Cero muy lejdo de lo polo domnnte del tem de ontrol. En el o de un tem de ontrol funonndo omo reguldor, e má dfíl etbleer un rtero de deempeño y que en l reldd e deonoe el momento en que un perturbón tú en el tem. Sn embrgo exte un rtero onodo omo Demento ¼ el ul fue utlzdo por Zegler y Nhol [7] pr defnr un buen e l

27 repuet de un tem de ontrol funonndo omo reguldor. Ete rtero e muetr en l guente fgur: Fgur.4 Crtero de demento ¼ pr l repuet un perturbón Se bu on ete rtero de deempeño que el egundo error máxmo de l repuet en el tempo e l urt prte del prmero. mbén e pueden utlzr lo rtero de l ntegrl del error (e(t 5 IAE e IAE, lo ule e defnen por: 0 IAE e( t dt ( IAE t e( t dt ( Pr un expoón mpld de ete tem ver [], pítulo 6, pg..

28 En generl exten otro rtero de deempeño, n embrgo lo expueto nterormente on lo que e utlzrán pr el método de ubón de polo..4 Método de ubón de polo 6 Se expone ontnuón el método de ubón de polo de Peron [6]. Como prmer prem e requere que el proeo ontrolr e ompletmente derto por un modelo de prmer o egundo orden, n tempo muerto (euone.- y.-3. A prtr de eto modelo e obtendrán lo prámetro requerdo por un ontroldor PI pr l plnt de prmer orden y de un ontroldor PID pr el tem de egundo orden..4. Prámetro de un ontroldor PI por ubón de polo Al ontrolr un plnt de prmer orden (euón.- on un ontroldor PI (euón.- e obtene un funón de trnferen de lzo errdo dert por l euón.4- pr un ervomenmo: y( G ( Gp ( Mr( (.4- r( G ( G ( p Lo do polo de lzo errdo pueden er ubdo eogendo l gnn del ontroldor y u tempo ntegrl. Lo polo de lzo errdo on l ríe del denomndor de l euón.4- (ete e el polnomo rteríto p( G ( G ( En ete o el polnomo rteríto et ddo por: p 6 Método de Peron expueto Atröm,.J. y. Hägglund, referen [], págn 8-84.

29 3 k p k p 0 τ τ τ (.4- S e dee que lo polo de lzo errdo tengn un rzón de mortgumento ξ y un freuen nturl n, entone el polnomo rteríto debe er gul l denomndor de l euón.3- (tem de egundo orden ubmortgudo: p ( ξ n n (.4-3 Igulndo l euone.4- y.4-3 e depejn lo prámetro del ontroldor PI: ξnτ k p (.4-4 ξnτ (.4-5 τ n Se oberv en et euone.4-4 y.4-5 que pr obtener vlore potvo de l gnn y el tempo ntegrl e debe umplr que: n τ > (.4-6 ξ Determndo ξ y n deedo de lo rtero de deño, l obtenón de lo prámetro del ontroldor PI e nmedt.

30 4.4. Prámetro de un ontroldor PID por ubón de polo Al ontrolr un plnt de egundo orden (euón.-3 on un ontroldor PID (euón.-3 e obtene un funón de trnferen de lzo errdo dert por l euón.4-. De gul form que pr el ontroldor PI lo polo de lzo errdo pueden er ubdo eogendo l gnn del ontroldor, u tempo ntegrl y u tempo dervtvo. Pr un ontrol PID y un plnt de egundo orden el polnomo rteríto et ddo por: 0 3 p p d p k k k τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ (.4-7 Un euón de terer orden propd e l guente: ( ( ( n n n p ξ α (.4-8 Et tene do polo domnnte on l rzón de mortgumento ξ y freuen n deedo, y un polo rel lolzdo en n α. Igulndo l euone.4-7 y.4-8 e depejn lo prámetro del ontroldor PID: ( p n k ξα τ τ (.4-9 ( 3 n n α τ τ ξα τ τ (.4-0 ( ( ξα τ τ τ τ ξ α τ τ n n d (.4-

31 Determndo ξ, n y α deedo l obtenón de lo prámetro del ontroldor PID e nmedt. 5.5 Invetgón bblográf El método en í fue derrolldo por Peron [6] omo u e de grdo y fue expueto por Atröm y Hägglund [] pr lo o del PI y PID. Año depué el método fue retomdo por eto utore [3] n herle myore mbo lo o de nteré (PI y PID, unque gregron un derrollo pr un modelo de egundo orden on un ero rel o omplejo. Sn embrgo ete o no e nlz porque etá fuer del lne del proyeto. Al nvetgr en lbro y en l Internet e deubró que el método e dentro de un fml de método onodo omo de Lolzón de Polo pr tem SISO, o de Ubón de polo pr tem MIMO. En todo lo doumento enontrdo no e expone el método de Peron no método má generle, lo ule no portn nd vloo l derrollo de un proedmento pr plr el método de nteré. Ademá Cln [4] derroll un euón que derbe l repuet en el tempo de un tem ubmortgudo de egundo orden on un ero donl, el ul e el o del tem relmentdo reultnte on un ontrol PI y un plnt de prmer orden n tempo muerto. Et euón e probó en un prnpo pero e deubró que e váld únmente pr vlore de n menore lo requerdo por el método de Ubón de Polo (egún l euón.4-6 pr el o del ontroldor PI.

32 CAPÍULO 3: Normlzón del Método de Ubón de Polo Debdo l grn ntdd de vrble que tenen l euone el método de ubón de polo e onvenente relzr un normlzón de l mm. Et onte en mbr l el del tempo de l vrble dependente del tempo repeto l ontnte de tempo de l plnt (τ. Con eto e obtenen p y % normlzdo. Eto e expone ontnuón y e relz pr lo o PI y PID del método de ubón de polo. L demotrone mtemát e muetrn en el pénde.. 3. Stem de egundo orden ubmortgudo Pr l repuet del tem de egundo orden ubmortgudo e tene: ( ( r y n n n n n ξ ξ Defnendo un ontnte de tempo pr ete tem: n τ ( ( r y τ ξτ Relzndo el mbo de vrble omplej, normlzándol en l el de tempo repeto τ : τ τ 6

33 7 A prtr de quí e utlz omo l vrble omplej normlzd, uttuyendo el vlor de en l repuet del tem de egundo orden ubmortgudo e obtene: ( ( r y τ τ ξ τ τ Y defnendo l nuev vrble tl que: n n n τ τ τ τ τ Se tene entone repuet del tem de egundo orden ubmortgud repeto l ontnte de tempo de l plnt: ( ( ξ ξ r y ( Normlzón de lo modelo de prmer y egundo orden de l plnt y Normlzón de lo ontroldore PI y PID Relzdo el mbo en l el del tempo en el tem de egundo orden e deben normlzr lo modelo de l plnt. S e normlz demá l gnn de lo ontroldore repeto l gnn de l plnt entone lo nuevo modelo etrán defndo por: ( ( k k k G G p p p p p τ τ τ (3.-

34 8 Y pr el modelo de egundo orden: ( ( ( ( ( ( k k k G G p p p p p τ τ τ τ τ τ (3.- L ontnte y u nvero e defne por: b, τ τ (3.-3 Como τ τ > e tene que 0 < < y. b > De et form e redefnen lo prámetro del ontroldor de l guente form: y, p d d k τ τ (3.-4 Por lo que lo ontroldore e redefnen de l guente form: Controldor PI: ( G ( (3.-5 Controldor PID: ( G d d ( (3.-6

35 9 3.3 Funone de trnferen de lzo errdo Mr( y Mz( Se muetrn l FLC Mr( y Mz( pr l euone normlzd del ontroldor PI y un plnt de prmer orden, y pr el ontroldor PID y un plnt de egundo orden utlzndo l funone de trnferen de l plnt y el ontroldor normlzd Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo L FLC pr el o del ervomenmo: ( ( ( Mr (3.3- L FLC pr el o del reguldor: ( ( Mz ( Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo L FLC pr el o del ervomenmo: ( ( ( ( 3 d d Mr (3.3-3

36 0 L FLC pr el o del reguldor: Mz( 3 ( d ( ( Normlzón del Método de Ubón de Polo Se muetrn ontnuón l euone normlzd del ontroldor PI y un plnt de prmer orden, y pr el ontroldor PID y un plnt de egundo orden pr el método de Ubón de Polo Prámetro del Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo Se dee que el polnomo rteríto de l euón 3.3- e gul l de un tem de egundo orden normlzdo ( depejndo lo prámetro del ontroldor e tene que: ξ. Igulndo lo denomndore y ξ (3.4- ξ (3.4- ondón: Pr que l gnn y el tempo ntegrl en potvo e debe umplr l guente > (3.4-3 ξ Et euone tmbén e puderon obtener l uttur n τ en l euone.4-4 y.4-5

37 3.4. Prámetro del Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo Se dee que el polnomo rteríto de l euón e gul l de un tem de egundo orden normlzdo má un polo rel: ( α ( ξ. Igulndo lo denomndore y depejndo lo prámetro del ontroldor e tene que: ( ξα (3.4-4 ( ξα ( α α ( α ξ ( ( α ξ ( ( ξα d (3.4-6 Et euone tmbén e puderon obtener l uttur n τ en l euone.4-9,.4-0 y.4-.

38 CAPÍULO 4: Sntonzón de un ontroldor PI tundo omo ervomenmo on el método de ubón de polo y ero Se derroll ontnuón un proedmento pr ntonzr ontroldore PI pr ontrolr un plnt de prmer orden, utlzndo l euone 3.4- y 3.4- del método de Ubón de polo. L demotrone mtemát e muetrn en el pénde.. 4. Funón de trnferen del ervomenmo Mr( L FLC del ervomenmo pr el ontroldor PI on el modelo de prmer orden normlzdo e puede derrollr ubttuyendo lo vlore de y obtendo por el método de ubón de polo, l her eto e obtene: ( ξ Mr ( (4.- ξ El ero de l euón nteror etá ubdo en: (4.- ξ ( Lo polo de l euón nteror on omplejo y u prte rel e: ξ (4.-

39 3 4. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo (Dp El tem derto por l euón 4.- puede er proxmdo por uno de egundo orden el ero etá lo ufentemente lejdo de lo polo omplejo domnnte, lulndo l dtn entre el ero y l prte rel de lo polo e tene: ( ξ ξ Dp (4.- ( ξ Et dtn tene u máxmo undo el denomndor e proxm ero: Den ( ξ 0 (4.- ξ Et dtn e ero : ( ξ ξ Num ξ 0 (4.-3 ξ Sn embrgo, Dp puede er ero olo e umple demá l guente ondón: ξ > 0 ξ > ξ 0.7 (4.-4 Al obervr l euone de l 4.- l 4.-4 e dedue que pr vlore de muy erno el ero etá muy lejdo de lo polo domnnte por lo que el tem ξ e puede proxmr mednte uno de egundo orden n ero en el numerdor (euón.3- por lo que l euone de l.3- l.3-4 on vld pr ete o. Sn embrgo no e puede tomr l ondón porque egún e expre en 3.4-3, pr ξ

40 et ondón e tene un gnn en el ontroldor gul ero. Pr vlore de 4 erno ξ ξ y umpléndoe l ondón 4.-4 el tem no e puede proxmr mednte l euón.3- y que l nfluen del ero e muy grnde, porque el ero podrí etr juto debjo de lo polo omplejo o má l dereh de lo mmo. Pr omprender mejor el omportmento de l ubón de lo polo y ero del tem derto por l euón 4.-, e grf l euón 4.- pr dtnto vlore de ξ y l vrr dede u vlor mínmo poble (euón ht el vlor onderble de 0. Se obtene l guente fgur: Fgur 4. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd

41 En l fgur 4. e mr on X el vlor mínmo de Dp y on un punto undo Dp e ero, el lgortmo pr obtenerl e muetr en el pénde.. Se oberv de l fgur nteror lo guente:. L Dtn Dp e negtv mentr el ero del tem e enuentre má l dereh de l prte rel de lo polo (omo e oberv en l fgur.3.. Cundo Dp e ero gnf que el ero del tem e enuentr en l poón de l prte rel lo polo. 3. S Dp e potv gnf que el ero del tem e enuentr má l dereh de l prte rel de polo. En l ondón el ero e no domnnte mentr eté muy lejdo de lo polo, eto ourre pr vlore de pequeño. Sn embrgo, l umentr el ero e er d vez má l poón de lo polo, reduéndoe el vlor de Dp ht u vlor mínmo por lo que l nfluen del ero e muy grnde. Al umentr má el vlor de, el vlor de Dp empez umentr muy lentmente (pr ξ < 0. 7 por lo que l nfluen del ero no depreerá ht tener vlore de muy grnde. S e tene l ondón epel de ξ 0. 7 entone el vlor mínmo de Dp e ero. En et ondón, el ero del tem tene l mm nfluen obre l repuet del tem que lo polo. S e ument má el vlor de (pr ξ 0. 7 e tene l ondón 3, en donde e tene que lo polo no on lo domnnte obre l repuet del tem no que e el ero el domnnte. 5

42 Se onluye on l fgur 4. que el utlzr el método orgnl de ubón de polo, uponendo que l nfluen del ero e depreble, e norreto pr vlore de 6 que no on muy erno (euón 4.-. Debe tomre muy en uent l ξ ubón del ero repeto l ubón de lo polo pr utlzr el método deudmente pr vlore de que e lejn de. ξ 4.3 Deempeño en el domno del tempo Derbr el deempeño del tem de l euón 4.- en el tempo e ompldo l no poder deprere empre l nfluen del ero de ete tem. Según e obervó el tem e puede proxmr mednte uno de egundo orden n ero en el numerdor (euón.3- pero eto e váldo únmente pr vlore de muy erno L euone pr Mp, p y % on únmente váld pr et ondón. Surge el. ξ problem de que, l epefr un % que neete un vlor de muho myor, y ξ l euone pr Mp, p y % y no en váld. Como un form de oluonr ete nonvenente e pueden rer grf que muetren l vrón rel del Mp, p y % pr tem derto por l euón 4.- on dtnto vlore de y ξ. De et form no e dependerí de e umple o no l euón 4.- pr determnr el deempeño en el tempo del tem. Má ben, on et gráf e podrí etmr ete

43 deempeño pr ulquer vlor de (empre que tfg l euón y pr vlore de ξ entre ero y uno (tem de egundo orden ubmortgudo. Pr rer et gráf e reó un lgortmo en MALAB el ul lul má de ohoent funone de trnferen (Mr( pr d vlor ξ, utlzndo vrble 7 entre y dez (on un po de 0.0 entre d vlor de. Depué de ete álulo, el ξ lgortmo obtene l repuet nte un entrd elón untro pr d funón de trnferen. De l multtud de repuet en el tempo luld, e obtenen pr d un lo vlore de Mp, p y %. Fnlmente e grf el onjunto de eto vlore repeto pr d ξ. Ete lgortmo e enuentr en el pénde.. Cbe detr que e elgeron vlore de ξ entre 0.4 y 0.85 porque pr vlore de ξ < 0.4 lo obrepo (Mp on muy pronundo, y pr vlore de ξ > e tene el l dtn Dp lnz on muh rpdez el rue por ero (e ero pr vlore de muy pequeño. Eto reult en un ámbto de vlore poble de muy lmtdo y pequeño, por lo que no e pueden obtener % pequeño. Ademá no e onder vlore de myore dez y que l gnn ree muy rápdo pr vlore de y de ξ grnde. omndo en uent et onderone e muetr en l fgur 4. l vrón del obrepo máxmo repeto :

44 8 Fgur 4. Sobrepo máxmo rel (onderndo el efeto del ero. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd

45 A dferen de un tem de egundo orden ubmortgudo en donde el obrepo máxmo olo depende de ξ, l fgur 4. omprueb que pr un tem derto por l euón 4.- el obrepo tmbén depende de. Lo punto mrdo on X muetrn el punto donde el ero e gul l prte rel de lo polo. Se mr on un punto negro l Dp mínm pr el o de ξ < L fgur 4. e puede utlzr pr etmr lo vlore de ξ y neero pr que l repuet del tem reultnte l plr el método de ubón de polo (y un ero l utlzr l fgur 4. tengn un erto obrepo. Con et gráf no hbrí needd de preoupre el tem e proxm o no uno de egundo orden n un ero en el denomndor, e upondrí que no e puede proxmr y e determnrín lo vlore de ξ y n utlzr l euone trdonle (.3- l.3-4. L fgur 4. en onjunto on l fgur 4., dn un de lr del omportmento del tem derto por l euón 4.- tnto en etmr el obrepo máxmo omo en l eprón poble entre el ero y lo polo del tem. Utlzndo l mm onderone que pr l fgur 4. e relzó l Fgur 4.3 en donde e muetr l vrón del tempo de entmento l %, et e oberv ontnuón: 9

46 30 Fgur 4.3 empo de entmento l %. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd

47 Se oberv que l vrón de % no e ontnte on l vrón de, debdo que en oone e obtene el % por l bnd del % uperor y en vee por l nferor (ver fgur. dndo lto en l urv. Ademá e oberv en l fgur 4.3 que pr erto vlore de ξ el omportmento de % e emejnte:. Pr < el omportmento e dtnto pr lo dferente vlore de ξ.. Pr < < 4. 5 e tene que el % e grup en do urv dtnt muy emejnte pr lo vlore de ξ de y pr vlore de Pr > 4. 5 e tene que el % e grup en do urv dtnt muy emejnte pero lo vlore de ξ de 0.4 y 0.6 e eprn de et. A per de l rregulrdde en l urv de l fgur 4.3, et e puede utlzr pr dre un de del tempo de entmento l % l utlzr un determndo vlor de y de ξ pr ntonzr el ontroldor PI on l euone del método de ubón de polo. Utlzndo l mm onderone que pr l fgur 4. y 4.3, e relzó l Fgur 4.4 en donde e muetr l vrón del tempo l po: 3

48 Fgur 4.4 empo l po. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd 3

49 33 Se oberv que l vrón de p e muy mlr pr lo dtnto vlore de ξ por lo que e puede utlzr l fgur nteror pr obtener el tempo l po pr un determndo vlor de y ξ l ntonzr el ontroldor on l euone del método de ubón de polo. Exte un ompromo entre el Mp y el % y que un vlor de Mp muy pequeño requere vlore pequeño de, pero pr eto vlore de e obtenen % myore y vever. S e requere un tem on un % muy pequeño e bu en l fgur 4. el vlor de máxmo poble pr tfer el Mp y ete produrá un % pequeño pr un erto vlor de ξ. Enontrdo lo vlore de y ξ l obtenón de lo prámetro del ontroldor PI e nmedt utlzndo l euone 3.4- y Cbe detr el heho de que lo vlore de p y % etán normlzdo repeto l ontnte de tempo de l plnt por lo que pr obtener u vlore rele deben multplre por l ontnte de tempo lo vlore de l fgur 4. y 4.3. De gul form debe here on lo prámetro del ontroldor PI. Como un form de mplfr el deño del tem en el domno del tempo e pueden ombnr l fgur 4., 4.3 y 4.4 en un ol gráf, de mner que e oberve de mner nmedt l dependen entre Mp, p y %. Unendo l gráf de Mp y % e obtene l fgur 4.5 y unendo l gráf de Mp y p e obtene l fgur 4.6.

50 34 Fgur 4.5 empo de entmento l % Repeto l Sobrepo máxmo rel. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd

51 35 Fgur 4.6 empo l po Repeto l Sobrepo máxmo rel. Controldor PI, plnt de prmer orden normlzd

52 36 Utlzndo l fgur 4.5 y 4.6 e puede obervr de un mner rápd y enll pr un determndo Mp e poble obtener un determndo p o %. De et form e brí de ntemno l ondone de deño pueden tfere o no l utlzr el método de ubón de polo pr el ontroldor PI. 4.4 Proedmento de Sntonzón A mner de reumen e expone el proedmento pr ntonzr un ontroldor PI pr que ontrole un plnt de prmer orden n tempo muerto utlzndo el método de ubón de polo. Ete e un método de ntonzón nuevo bdo en el método orgnl de ubón de polo. Con l dferen de que no olmente e ontempl l ubón de lo polo del tem de lzo errdo en el plno omplejo, no tmbén l ubón del ero del tem. Como e obervó en l fgur 4., 4.3 y 4.4 l nfluen del ero en l repuet del tem e grnde, por lo que no e deudo proxmr el tem por medo de l euón 3.-. Ete método e butz omo Método de ubón de polo y ero pr l ntonzón de ontroldore PID y que e ubrán lo polo y lo ero del tem pr obtener un repuet en el tempo deed. El problem típo onte en obtener lo prámetro del ontroldor PI (euón.- pr ontrolr un tem de prmer orden n tempo muerto (euón.-, de mner que e obteng un Mp y % o un Mp y p deedo de l repuet en el tempo del tem (fgur.. Se gue el guente proedmento:

53 . Normlzr lo rtero de deño % o p pr poder utlzr l gráf de l 4.3 l 4.5. Eto e relz l dvdr % o p por l ontnte de tempo de l plntτ.. Utlzr l fgur 4.5 y 4.6 pr verfr que e pueden umplr on mbo requermento en el deño y eleonr el vlor de ξ pr el ul e umplen. De no er poble umplr mbo requermento (Mp y % o Mp y p pr nngún vlor de ξ, eoger el requermento má mportnte pr el tem y obtener el vlor de ξ pr el ul el otro requermento e er má l vlor requerdo. 3. Obtendo el vlor de ξ, utlzr l fgur de l 4. l 4.4 pr determnr el vlor de pr el ul e umple el requermento obre Mp, % o p egún e el o. 4. Con lo vlore de ξ y obtendo, utlzr l euone 3.4- y 3.4- pr obtener lo prámetro del ontroldor PI normlzdo. 5. Obtener lo prámetro no normlzdo del ontroldor PI l dvdr l gnn de l euón 3.4- por l gnn de l plnt y multplr el tempo ntegrl de l euón 3.4- por l ontnte de tempo de l plnt, egún Smulr el tem y verfr que e logren lo requermento del deempeño en el tempo del tem. 37

54 38 Se relzn do ejemplo del proedmento pr plnt dtnt ontrolr Ejemplo N Dd un plnt de prmer orden n tempo muerto en l euón 4.4- determnr lo prámetro de un ontroldor PI pr que l repuet del tem teng un Mp no myor l 0% y un % de utlzndo el método de ubón de polo y ero. G p ( ( Aplndo el proedmento:. Se dvde el % entre l ontnte de tempo de l plnt τ 0. 8 : 0.8 %.5. Utlzndo l fgur 4.5 e oberv que exten utro vlore de ξ ( de tl form que e teng un Mp menor l 0% (0. y un % menor.5. Se eleon el vlor límte de ξ Con el vlor de ξ 0. 7, e utlz l fgur 4. o l 4.3 pr determnr el vlor de neero pr umplr lo requermento, en ete o e utlz l fgur 4. porque e pre on fldd l urv pr ξ Pr ete vlor de ξ y un Mp de 0. e obtene un Utlzndo l euone 3.4- y 3.4- on lo vlore de ξ 0. 7 y. 5 e obtenen lo prámetro normlzdo del ontroldor PI:. 975 y 0.437

55 5. Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PI: y Se relz l mulón en Smulnk : Fgur 4.7 Dgrm de bloque, ejemplo N Fgur 4.8 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N

56 Se oberv en l fgur 4.8 que e determnn deudmente lo prámetro del ontroldor PI on el método de ubón de polo y ero. Se logró umplr on mbo prámetro de deño on lo vlore de ξ y obtendo on l fgur de ete proedmento. S e utlz el método trdonl on l euone.3- y.3-3 e obtendrí que pr un Mp no myor l 0% e requere un ξ y pr un % de e requere un Utlzndo l euone.4-4 y.4-5 e obtenen lo vlore de. 098 y Relzndo l mulón en Smulnk e obtene: Fgur 4.9 Dgrm de bloque, ejemplo N, método trdonl

57 4 Fgur 4.0 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N, método trdonl Se oberv de l fgur 4.0 que l utlzr el método trdonl no e logr umplr on el prámetro de deño Mp requerdo pr el deempeño del tem l utlzr l euone.3-,.3-3 y.3-4 en onjunto on el método de ubón de polo. Se debe utlzr el método de ubón de polo y ero pr poder umplr on lo rtero de deempeño deedo.

58 Ejemplo N Dd un plnt de prmer orden n tempo muerto en l euón 4.4- determnr lo prámetro de un ontroldor PI pr que l repuet del tem teng un Mp no myor l 8% y un % de utlzndo el método de ubón de polo y ero. Aplndo el proedmento: 3 G p ( ( Se dvde el % entre l ontnte de tempo de l plnt τ 0 : 0 % 0.. Utlzndo l fgur 4.5 e oberv que NO exte nngún vlor de ξ tl que e obteng un Mp menor l 8% (0.08 y un % menor 0.. Eto e debe que l plnt 4.4- e muy lent (ontnte de tempo e grnde, por lo que e mpoble que et plnt pued obtener un % de egundo undo l repuet del tem pen puede lnzr el 63.% del mbo totl en 0 egundo. S e upone que l plnt derbe un proeo térmo en donde e de um mportn que el Mp e menor l 8%, ete erí el requermento má mportnte pr ete tem: Se eleon el vlor límte de ξ de mner que e pued obtener el menor % poble y umplr on l ondón del Mp menor l 8%.

59 3. Con el vlor de ξ 0. 85, e utlz l fgur 4. pr determnr el vlor de neero pr umplr on el requermento del Mp. Pr ete vlor de ξ y un Mp de 0.08 e obtene un Utlzndo l euone 3.4- y 3.4- on lo vlore de ξ y. 86 e obtenen lo prámetro normlzdo del ontroldor PI: y Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PI:. 87 y Se relz l mulón en Smulnk : Fgur 4. Dgrm de bloque, ejemplo N

60 44 Fgur 4. Repuet del tem en el tempo, ejemplo N Se oberv en l fgur 4. que e determnn deudmente lo prámetro del ontroldor PI on el método de ubón de polo y ero. Se logró umplr on el prámetro de deño ríto Mp on lo vlore de ξ y obtendo on l fgur de ete proedmento y l vez obtener un % pequeño pr l plnt S e utlz el método trdonl on l euone.3- y.3-3 e obtendrí que pr un Mp no myor l 8% e requere un ξ y pr un % de e requere un 3.9. Utlzndo l euone.4-4 y.4-5 e obtenen lo vlore de 3 y Relzndo l mulón en Smulnk e obtene:

61 45 Fgur 4.3 Dgrm de bloque, ejemplo N, método trdonl Fgur 4.4 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N, método trdonl

62 46 Se oberv de l fgur 4.0 que l utlzr el método trdonl no e logr umplr on el vlor del Mp requerdo en el deño. Se debe utlzr el método de ubón de polo y ero pr poder umplr on lo rtero de deempeño deedo. Se onluye que el proedmento expueto e útl pr ntonzr un ontroldor PI pr ontrolr un plnt de prmer orden n tempo muerto, y obtener un determnd repuet en el tempo.

63 CAPÍULO 5: Sntonzón de un ontroldor PID tundo omo ervomenmo on el método de ubón de polo y ero Se derroll ontnuón un proedmento pr ntonzr ontroldore PID pr ontrolr un plnt de egundo orden, utlzndo l euone 3.4-4, y del método de Ubón de polo. L demotrone mtemát e muetrn en el pénde Funón de trnferen del ervomenmo Mr( L FLC del ervomenmo pr el ontroldor PID on el modelo de egundo orden normlzdo e puede derrollr ubttuyendo lo vlore de, y d obtendo por el método de ubón de polo, l her eto y uttur ( b ( α ( ξ ( ( α ξ b ( ξα b, e obtene: 3 α Mr ( ( Vlor de pr nelr un polo de Mr( S e dee que el tem derto por l euón 5.- e emeje un tem de egundo orden, lo do ero del numerdor y el polo rel deben de etr muy lejdo de lo polo omplejo. Sn embrgo, e oberv que l ubón de lo ero (lo ule pueden er rele y dtnto, rele e gule o omplejo onjugdo depende de l ubón de lo polo. Por lo que el epefr vlore de α, y ξ tl que eto ero y el polo rel etén lejdo de lo polo omplejo e muy dfíl mple vt. Pr 47

64 mplfr el problem, e puede bur un vlor de α tl que un ero del numerdor 48 nele el polo rel en α. Eto mplf enormemente l tuón y que el tem reultnte tendrá únmente do polo omplejo y un ero. En ete o e pueden utlzr l fgur 4. l 4.6 pr obervr el omportmento del tem en el tempo. S el ero que nel l polo e el má erno lo polo omplejo y el ero retnte etá lejdo de lo mmo, el tem entero e proxm un tem de egundo orden ubmortgudo. 5.. Cálulo de Un vlor de α tl que un ero del numerdor de 5.- nele el polo rel en α mpl que α e un ero del numerdor. Suttuyendo α en el numerdor e depejn lo vlore de α tl que e nele el polo rel on un ero. Al relzr l uttuón e obtenen do vlore poble de α : α b, α (5.- Pr eto vlore de α el numerdor de l euón 5.- puede er ftorzdo, por lo que lo do ero reultnte on rele y dtnto. Como > e tene que α e el b vlor que produe el ero má rápdo (má l zquerd que α. Pr ber l ubón del otro ero e uttuyen eto vlore de α en el numerdor de l euón 5.-

65 Ubón de lo ero de Mr( b Pr α e tene que lo ero del numerdor de 5.- on: b, (5.-3 ξ Se oberv que e debe umplr l guente relón pr que el ero ext: > (5.-4 ξ Pr α e tene que lo ero del numerdor de 5.- on:, ξ b (5.-5 Se oberv que e debe umplr l guente relón pr que el ero ext: b > (5.-6 ξ 5.3 Funone de trnferen del ervomenmo Mr( pr lo vlore de obtendo Se uttuyen lo do vlore de α obtendo en l euone 3.3-3, 3.4-4, y pr obtener nuev euone del método de ubón de polo pr el ontroldor PID n el prámetroα.

66 Euone pr b Pr α e tene que: ( ξ Mr ( (5.3- ( ξ Se oberv que l euón 5.3- e gul l euón 4.-. Por lo que l utlzr el vlor de α pr ntonzr el ontroldor PID pr ontrolr un plnt de egundo orden n tempo muerto, el tem reultnte erá emejnte l de un ontroldor PI ontrolndo un plnt de prmer orden n tempo muerto. Al utlzr el vlor de α, e pueden obtener lo vlore de ξ y utlzndo l fgur de l 4. l 4.6. El proedmento de ntonzón pr ete o e gul l derto en l eón 4.4 pero utlzndo l euone pr el ontroldor PID. Ademá, e tene que l dtn entre el ero y l prte rel de lo polo e dént l del o del PI, et e: ( ξ ξ Dp (5.3- ( ξ Por lo que el tem reultnte l utlzr α e equvlente l tem on el ontroldor PI y l plnt de prmer orden n tempo muerto.

67 Suttuyendo α, lo prámetro del ontroldor PID e mplfn de l guente 5 form: ξ (5.3-3 ξ (5.3-4 ξ ξ d (5.3-5 ξ Se oberv que pr tener un tempo dervtvo myor ero e debe umplr on l euón Euone pr Pr α e tene que: ( ξ b Mr ( (5.3-8 ( ξ El ero de l euón nteror etá ubdo en: ξ b (5.3-9 Lo polo de l euón nteror on omplejo y u prte rel e l guente: ξ (5.3-0

68 El tem derto por l euón 5.3- puede er proxmdo por uno de egundo orden el ero etá lo ufentemente lejdo de lo polo omplejo domnnte. 5 Clulndo l dtn entre el ero y l prte rel de lo polo e tene: Dp ( ξ ( ξ b bξ (5.3- Et dtn tene u máxmo undo el denomndor e proxm ero: Et dtn e ero : b Den ( ξ b 0 (5.3- ξ ( ξ bξ Num bξ 0 (5.3-3 ξ Sn embrgo el mínmo olo extrá e umple l guente ondón: ξ > 0 ξ > ξ 0.7 (5.3-4 Suttuyendo α, lo Prámetro del ontroldor PID e mplfn de l guente form: ( ξ (5.3-5 ( ξ (5.3-6 ξ ξ d (5.3-7 ( ξ Se oberv que pr tener un tempo dervtvo myor ero e debe umplr l euón 5.-6.

69 Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo (Dp Se obervó que pr α l Dp e l mm que pr el o del ontroldor PI. Sn embrgo pr el o de α l Dp e dtnt y depende no olmente de ξ y, no tmbén del vlor de b (euón Se grfrá l euón 5.3- pr dtnto vlore de b (b.,, 4, 6, 8,0 on el fn de obervr el omportmento de l Dp. Fgur 5. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo pr b.. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd

70 54 Fgur 5. Dp pr b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd Fgur 5.3 Dp pr b4. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd

71 55 Fgur 5.4 Dp pr b6. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd Fgur 5.5 Dp pr b8. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd

72 56 Fgur 5.6 Dp pr b0. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd En l fgur de l 5. l 5.6 e mr on X el vlor mínmo de Dp y on un punto undo Dp e ero. Se oberv de l fgur nterore lo guente:. L Dtn Dp e negtv mentr el ero del tem e enuentre má l dereh de l prte rel de lo polo (omo e oberv en l fgur.3.. Cundo Dp e ero gnf que el ero del tem e enuentr en l poón de l prte rel lo polo. 3. S Dp e potv gnf que el ero del tem e enuentr má l dereh de l prte rel de polo.

73 Et on l mm rterít que pr l Dp del ontroldor PI. Se oberv que l form de l urv en l dtnt fgur e mntene, lo úno que vrí e que, l r umentndo el vlor de b, l urv e orren h l dereh. Eto gnf que l r umentndo el vlor de b, lo vlore de pr que l Dp lne u mínmo o e ero (egún el vlor de ξ on d vez myore. Eto mpl que exte un ámbto un poo myor de vlore de pr el ul el ero del tem derto por l euón et lo ufentemente lejdo de lo polo domnnte. Se oberv de l euón 5.3- que mentr myor e el vlor de b, el vlor de neero pr que l dtn Dp lne u máxmo e tmbén myor. A per de eto, el Mp, %, y p guen dependendo de ξ y por lo que no e reomendble proxmr el tem uno de egundo orden n un ero Deempeño en el domno del tempo Pr el vlor de α el deempeño del tem derto por l euón 5.3- qued defndo por l eón 4.3, debdo que e tene un tem equvlente l euón 4.-. Un grn ventj del vlor de α e que l dtn Dp no depende del vlor de b, por lo que l fgur 4. l 4.6 pueden utlzre pr ntonzr el ontroldor PID. Sn embrgo pr el o de α l Dp e dtnt y depende no olmente de ξ y, no tmbén del vlor de b. Debdo eto e tendrá un vrón del omportmento de Mp, %, y p pr d dtnto vlor poble de b, hendo muy dfíl l relzón de gráf omo l de l eón 4.3. Eto e debe que el vlor de b e el

74 58 oente de l ontnte de tempo de l plnt de egundo orden n tempo muerto, y puede tomr ulquer vlor myor que l undd. Pr ejemplfr et tuón e relz un gráf del Mp repeto pr un vlor de b. Et e muetr en l fgur 5.7: Fgur 5.7 Mp pr b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd L fgur nteror e emejnte l 4. exepón de que e deplzó h l dereh y de que lo vlore del Mp reen on myor lenttud que lo de l fgur 4.. Pr

75 obervr el deplzmento que ourre en l urv del Mp pr dtnto vlore de b e relzó l fgur 5.8 pr un vlor de ξ 0. 7 : 59 Fgur 5.8 Mp pr dtnto vlore de b. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd En l fgur 5.8, un b (vlor mínmo pr b nd que l do ontnte de tempo de l plnt on gule por lo que e tene un tem de polo doble (polo gule rele. Ademá pr un vlor de b0 e tene que l egund ontnte de tempo e 0 vee má pequeñ que l prmer por lo que el tem tende omportre omo uno de prmer orden. Se oberv de l fgur 5.7 y 5.8 que no e poble relzr un ún urv

76 pr brr l vrón de lo vlore de b y deξ l mmo tempo. Debdo que b puede tomr ulquer vlor myor l undd, en un ámbto rzonble de < b < 0, l ntdd de urv poble grfr en l fgur 5.7 y 5.8 pr derbr el omportmento del tem en el tempo e nfnt. De eto e onluye que el vlor má onvenente pr ntonzr el ontroldor PID funonndo omo ervomenmo pr ontrolr l plnt de egundo orden n tempo muerto e el vlor de α por mpldd en obtener pr ete vlor de α el omportmento del tem en el tempo Co Epele Se hn dejdo por un ldo ht el momento do o epele de mportn prát, el obtener vlore de 4 y un tem on un vlor de ξ. Ambo o e exponen ontnuón Condone pr obtener 4 d d Pr obtener l ondone neer pr umplr on l euón 5.6- e deben ntrodur en et l euone y pr el o de α y l euone y pr el o de α. 4 (5.6- d Pr el o de α e obtene l guente relón: ξ ± ξ (5.6-

77 6 En l euón 5.6- e oberv que pr ξ < no exte nngún vlor de tl que e umpl l euón Pr un vlor de ξ e tene que pr ξ e umple l ondón Fnlmente undo ξ > exten do vlore de tl que e umple l ondón 5.6-, eto vlore e determnn de l euón ξ Pr el o de α e obtene l guente relón: ( ξ ξ ± (5.6-3 En l euón 5.6- e oberv que pr ξ < (o lo que e equvlente que < b no exte nngún vlor de tl que e umpl l euón Pr un vlor de ξ b e tene que pr ξ e umple l ondón Fnlmente undo ξ > b exten do vlore de tl que e umple l ondón 5.6-, eto vlore e determnn de l euón Por defnón, el vlor de b empre e myor l undd, eto mpl que pr umplr on l euón 5.6- utlzndo el vlor de α, e neetrán vlore de ξ myore l undd. Eto mpl que e mpoble obtener un vlor de ξ < tl que e teng que 4 l utlzr α. En oone puede requerre que e umpl l d ondón 5.6-, omo por ejemplo undo e quere mplementr un ontroldor PID tpo ere. Ete tpo de ontroldor exge que e umpl omo mínmo l relón 5.6-, o que:

78 > 4 en el ontroldor PID del (utlzdo en el método de ubón de polo y d ero, eto pr que ext el ontroldor PID ere equvlente. Se onluye que el vlor de α no e pto pr ntonzr el ontroldor PID pr que funone omo ervomenmo debdo que no permte obtener un ontroldor PID ere pr vlore de ξ <, y e requere un proedmento omplejo pr ntonzr el ontroldor on ete vlor de α. Se tene que el vlor de α óptmo pr ntonzr el ontroldor PID funonndo omo reguldor e el vlor de α Amortgumento ríto ξ En l euón 5.3- (o 4.- l tener un vlor de ξ el tem e redue : ( ( ( Mr ( (5.6-4 Y e que e teng un ontroldor PI y un plnt de prmer orden o un ontroldor PID y un plnt de egundo orden, mbo on ntonzdo por el método de ubón de polo y ero (on α pr el PID, y e utlz un vlor de ξ ; mbo tem e reduen Ete e un tem on do polo rele gule, tmbén onodo omo tem on polo doble. L ondón de ξ produrá un tem rítmente mortgudo undo no e tene l nfluen del ero. Ete no e el o de l euón por lo que e tendrá un obrepo y un tempo l po en l repuet en el tempo í omo un %. Eto Se grfn ontnuón:

79 63 Fgur 5.9 Mp pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd

80 Fgur 5.0 p pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd 64

81 Fgur 5. p pr ξ. Controldor PID,, plnt de egundo orden normlzd 65

82 De l fgur 5.9 l 5. e dedue que el o epel de ξ e puede utlzr en o de requerre vlore de Mp, % o y p muy pequeño Proedmento de Sntonzón De form emejnte l o del ontroldor PI, el problem típo onte en obtener lo prámetro del ontroldor PID (euón.-3 pr ontrolr un tem de egundo orden n tempo muerto (euón.-3, de mner que e obteng un Mp y % o un Mp y p deedo de l repuet en el tempo del tem (fgur.. Se gue el guente proedmento:. Eoger el vlor de α porque e el que provee l mner má enll de ntonzr el ontroldor PID.. Clulr el vlor de τ τ >., τ τ 3. Normlzr lo rtero de deño % o p pr poder utlzr l gráf de l 4.3 l 4.5. Eto e relz l dvdr % o p por l ontnte de tempo de l plntτ. 4. Utlzr l fgur 4.5 y 4.6 pr verfr que e pueden umplr on mbo requermento en el deño y eleonr el vlor de ξ pr el ul e umplen. De no er poble umplr mbo requermento (Mp y % o Mp y p pr nngún vlor de ξ, eoger el requermento má mportnte pr el tem y

83 obtener el vlor de ξ pr el ul el otro requermento e er má l vlor requerdo. 5. Utlzr el o epel ξ e requeren vlore de Mp, % o y p muy pequeño. 6. Obtendo el vlor de ξ, utlzr l fgur de l 4. l 4.4 pr determnr el vlor de pr el ul e umple el requermento obre Mp, % o p egún e el o. Se debe tomr en uent que l gnn ree muho pr vlore de grnde. 7. Con lo vlore de ξ y obtendo y on α, utlzr l euone 3.4-4, y pr obtener lo prámetro del ontroldor PID normlzdo, tmbén e pueden utlzr l euone 5.3-3, y Obtener lo prámetro no normlzdo del ontroldor PID l dvdr l gnn de l euón por l gnn de l plnt y multplr el tempo ntegrl y el tempo dervtvo de l euón y repetvmente, por l ontnte de tempo de l plnt, egún Smulr el tem y verfr que e logren lo requermento del deempeño en el tempo del tem. 67 Se relzn do ejemplo del proedmento pr plnt dtnt ontrolr.

84 Ejemplo N Dd un plnt de egundo orden n tempo muerto en l euón 5.7- determnr lo prámetro de un ontroldor PID pr que l repuet del tem teng un Mp no myor l 5% y un % de 5 utlzndo el método de ubón de polo y ero..5 G p ( (5.7- ( 0 ( 5. Se eleon el vlor de α pr poder utlzr l fgur obtend pr el o del ontroldor PI. τ 5. Se lul el vlor de τ 0 3. Se dvde el % entre l ontnte de tempo de l plnt τ 0 : 5 0 % 4. Utlzndo l fgur 4.5 e oberv que mb ondone de deño e umplen pr ξ No e neero utlzrξ. 6. Se utlz l fgur 4. en donde e oberv que pr ξ 0. 8 y un Mp menor 0.5 e tene un Con lo vlore de ξ y obtendo y on α, utlzr l euone 3.4-4, y o l euone 5.3-3, y pr obtener lo prámetro 0.5

85 del ontroldor PID normlzdo. Se obtene que 53.9, , 0.4. d Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PID, , 6.65,. 4. d 9. Se relz l mulón en MALAB : Códgo: z0.8; wp9; b; Alfb/wp; Hptf([((wp*(Alf*z--b ((wp^*(*z*alf-b Alf*wp^3],[ wp*(alf*z (*z*alf*wp^ Alf*wp^3] ltvew(hp rnfer funton: 3.4 ^ ^3 6.4 ^

86 70 Fgur 5. Repuet del tem en el tempo, ejemplo N En l fgur 5. e tene el tempo de entmento normlzdo debdo que e utlzó l FLC normlzd. Se oberv en l fgur 5. que e determnn deudmente lo prámetro del ontroldor PID on el método de ubón de polo y ero. Se logró umplr on el prámetro de deño ríto Mp on lo vlore de ξ y obtendo on l fgur de ete proedmento. Sn embrgo, el vlor de gnn requerdo pr obtener et repuet en el tempo e exevo, eto gener un ld bru en el ontroldor l ul e dfíl de egur por el tem. L rzón por l que e

87 tene et gnn e porque el tempo de entmento e muy pequeño pr ete tem, lo que produe un vlor de muy grnde. Según e oberv en l euón 5.3-3, l gnn ree rápdmente pr vlore de grnde. Se debe por lo tnto bur vlore de pequeño Ejemplo N Dd un plnt de egundo orden n tempo muerto en l euón 5.7- determnr lo prámetro de un ontroldor PID pr que l repuet del tem teng un Mp no myor l 5% y un % de 0 utlzndo el método de ubón de polo y ero. G p ( (5.7- ( 4 ( 0.5. Se eleon el vlor de α pr poder utlzr l fgur obtend pr el o del ontroldor PI. τ 0.5. Se lul el vlor de τ 4 3. Se dvde el % entre l ontnte de tempo de l plnt τ 4 : 0 4 %.5 4. Utlzndo l fgur 4.5 e oberv que mb ondone de deño e umplen pr ξ No e neero utlzrξ.

88 6. Se utlz l fgur 4. en donde e oberv que pr ξ y un Mp menor 0.05 e tene un Con lo vlore de ξ y obtendo y on α, utlzr l euone 3.4-4, y o l euone 5.3-3, y pr obtener lo prámetro del ontroldor PID normlzdo. Se obtene que.79, , d 8. Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PID,. 395,.936, d 9. Se relz l mulón en MALAB : Códgo: z0.85; wp.9488; b8; Alfb/wp; Hptf([((wp*(Alf*z--b ((wp^*(*z*alf-b Alf*wp^3],[ wp*(alf*z (*z*alf*wp^ Alf*wp^3] ltvew(hp 7 rnfer funton:.33 ^ ^3.3 ^

89 73 Fgur 5.3 Repuet del tem en el tempo, ejemplo N Se oberv en l fgur 5.3 que e determnn deudmente lo prámetro del ontroldor PID on el método de ubón de polo y ero. Se logró umplr on el prámetro de deño ríto Mp on lo vlore de ξ y obtendo on l fgur de ete proedmento.

90 CAPÍULO 6: Sntonzón de un ontroldor PI tundo omo reguldor on el método de ubón de polo y ero Se derroll ontnuón un proedmento pr ntonzr ontroldore PI pr ontrolr un plnt de prmer orden, utlzndo l euone 3.4- y 3.4- del método de Ubón de polo. 6. FLC pr el reguldor Reordndo l euón 3.3- e tene que l FLC pr el tem tundo omo reguldor etá dd por l euón: Mz( ( ξ (6.- Ademá l euone pr el ontroldor PI del método de ubón de polo y ero on (reordndo 3.4- y 3.4-: ξ (6.- ξ (6.-3 Como e oberv en l euón 6.-, en el tem tundo omo reguldor no puede relzre nngun mplfón, tmpoo e puede onderr que un ero eté o no er de lo polo y que etrá empre etrá en el orgen. Eto e debe que lo polo de lzo errdo dependen de lo polo y ero de lzo berto, pr el o del ervo lo ero de lzo errdo on gule lo ero de lzo berto. En mbo on el reguldor, lo 74

91 ero de lzo errdo on lo ero de l plnt on lo polo del ontroldor. Como l plnt no tene un ero, e el polo en el orgen del ontroldor el que e el ero del reguldor (euón 6.-. A per de eto e puede mulr el tem de l euón 6.- pr dtnto vlore de ξ y pr umplr on un rtero de deempeño. 6. Deempeño en el domno del tempo Un rtero de deempeño pr reguldore onte en el menondo demento ¼ omo e oberv en l fgur.4, onte en que el egundo error máxmo repeto l vlor de referen e proxmdmente gul un urt prte del prmero. mbén e pueden lulr lo rtero de l ntegrl del error IAE e IAE (euone.3-5 y.3-6 omo un mner de obervr el deempeño en el tempo.cbe detr que no e el objetvo del método de ubón de polo y ero mnmzr et ntegrle, olmente e utlzn pr medr de lgun form el buen o ml omportmento del tem derto por l euón 6.-. Prmermente e obtuvo l repuet en el tempo del tem 6.- pr obervr el omportmento generl del tem, eto pr un vlor de ξ 0. 4 y dtnto vlore de, ete e muetr en l fgur 6.: 75

92 76 Fgur 6. Repuet del reguldor, ontroldor PI, plnt de prmer orden normlzd Se oberv en l fgur 6. que l repuet del tem pr d vlor de que lo errore máxmo umplen on el rtero de Demento ¼. Ademá e oberv que l umentr el vlor de e obtenen errore máxmo d vez menore. Et dmnuón e ve reflejd en un dmnuón de l ntegrle IAE e IAE. Pr obervr el omportmento de et ntegrle e relz un mulón emejnte l relzd on l fgur 6. pero pr vlore de ontnuo y de et repuet en el

93 77 tempo e luln l ntegrle del error IAE, IAE. Al vrr ξ de (nremento de e obtene l fgur 6. pr el IAE y l vrr ξ de (nremento de 0.5 l fgur 6.3 pr el IAE, el lgortmo e muetr en el pénde.4. Fgur 6. Vrón del IAE, ontroldor PI tundo omo reguldor, plnt de prmer orden normlzd

94 78 Fgur 6.3 Vrón del IAE, ontroldor PI tundo omo reguldor, plnt de prmer orden normlzd Se oberv en l fgur 6. y 6.3 que l mejore repuet e obtenen pr vlore de grnde, y que lo vlore de l ntegrle IAE e IAE dmnuyen pr eto vlore. Sn embrgo pr et ondón e tenen vlore grnde de gnn en el

95 79 ontroldor. De eto e tene un ompromo entre el deempeño del ontroldor y lo vlore rele de gnn que ete puede tener. Pr obervr de un mejor form l vrón de l gnn e grf l euón 6.- obtenendo l fgur 6.4 Fgur 6.4 Vrón de l gnn del ontroldor PI En l fgur 6. e oberv que pr un vlor de ξ e lnz un vlor muy bjo en IAE pr un vlor de 4 pero pr ete vlor de e tene que l gnn

96 80 normlzd tene un vlor erno 6. Se onluye que exte un ompromo entre el deempeño del tem 6.- y el vlor rel de l gnn, por lo que l tener mejore deempeño (IAE e IAE bjo e tenen vlore lto de gnn. El problem on vlore lto de gnn e que produen mbo grnde y rápdo en l ld del ontroldor lo ule pueden no egure por el tem. Ademá, eto vlore de gnn pueden produr un ld tl que el tudor lne u límte máxmo y no pued ontrolr deudmente el tem. Pr omprender mejor et tuón e etud el omportmento de l ld del ontroldor PI pr lo vlore de gnn y tempo ntegrl nddo en l tbl 6.. Se obtene l fgur de l 6.5 l 6.0 l utlzr SIMULIN y grfr on LIVIEW. Se mntene l el de tempo ontnte pr relzr un omprón deud entre l fgur. bl 6. Prámetro, vrón de l ld del ontroldor repeto l gnn Stem N z w kp t 0,85,05 0,745 0,7067 0,85 3,05 4,45 0, ,85 5,05 7,545 0,987

97 8 Fgur 6.5 Dgrm de bloque tem N Fgur 6.6 Repuet del tem en el tempo, tem N

98 8 Fgur 6.7 Dgrm de bloque tem N Fgur 6.8 Repuet del tem en el tempo, tem N

99 83 Fgur 6.9 Dgrm de bloque tem N 3 Fgur 6.0 Repuet del tem en el tempo, tem N 3

100 En l fgur 6.6, 6.8 y 6.0 e oberv que l umentr el vlor de (y on ete el de l gnn egún 6.- e obtene un repuet má rápd, on un error máxmo menor (menore IAE e IAE, pero l ld del ontroldor e d vez e má rápd y on un myor pendente (mb má. De eto e oberv un ompromo entre un deudo deempeño del tem y el heho de que pued o no egur l ld del ontroldor. Con eto e onluye que lo vlore de gnn grnde ( grnde no on onvenente debdo que produen mbo grnde y rápdo en l ld del ontroldor lo ule pueden oonr que el tem no pued egur eto vlore. Sguendo on el rtero del demento ¼ e puede obtener l vrón de ete rtero de mner mlr l fgur 6. pero pr vlore de ontnuo on un lgortmo en MALAB, l grfr l vrón e obtene l fgur 6. 84

101 85 Fgur 6. Vrón del l rzón E/E. Controldor PI Se oberv en l fgur 6. que el rtero de demento ¼ e umple pr ulquer vlor de ξ y que l rzón E/E e muho menor ¼ (0.5 pr ulquer vlor de ξ. Se oberv que l rzón E/E prátmente e ontnte pr ulquer vlor de. Se onluye que el método de ubón de ero y polo produe un lto demento (rzón E/E e muy pequeñ.

102 Proedmento de Sntonzón El problem típo onte en obtener lo prámetro del ontroldor PI pr ontrolr un tem de prmer orden n tempo muerto, tundo omo reguldor; de mner que l repuet en el tempo teng un vlor de IAE o IAE no myor l vlor de deño. mbén e puede requerr que l repuet en el tempo teng lo umo un demento etbledo omo prámetro de deño. Se gue el guente proedmento:. Obtener lo vlore de ξ y de tl form que e teng un vlor de IAE o IAE menor l vlor de deño (vlor de IAE o IAE deedo o máxmo o un demento tmbén menor l de deño. Se utlzn l fgur 6., 6.3 y 6. pr omprobr que l ondone de deño e pueden umplr y de et fgur e obtenen lo vlore de ξ y.. Con lo vlore de ξ y obtener lo prámetro del ontroldor PI utlzndo l euone 6.- y Obtener lo prámetro no normlzdo del ontroldor PI l dvdr l gnn de l euón 6.- por l gnn de l plnt y multplr el tempo ntegrl de l euón 6.-3, por l ontnte de tempo de l plnt, egún Smulr el tem y verfr que en l repuet del tem e umpl el requermento de deño pr el IAE o el IAE.

103 Ejemplo Dd un plnt de prmer orden n tempo muerto en l euón 6.3- determnr lo prámetro de un ontroldor PI pr que l repuet del tem teng un ntegrl del error IAE menor G p ( (6.3- ( 3 5. En l fgur 6.5 e oberv que pr un vlor de ξ 0. 8 y. e umple el rtero de deño. 6. Se obtenen lo prámetro normlzdo del ontroldor PI:. 36, Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PI: 0. 59,.605. Se relz l mulón en MALAB : Códgo: z0.8; wp.; Hptf([ 0],[ *z*wp wp^] t0:0.05:0; mtep(hp,t; IAEptrpz(t,b(m ltvew(hp rnfer funton: ^ IAEp 0.335

104 88 Fgur 6. Repuet del tem en el tempo, reguldor Se oberv que e logr umplr on el rtero de deño. S e dee ver l repuet del tem pero tundo omo ervomenmo e utlzn l fgur 4. y 4.5 pr dre un de de l repuet en el tempo del tem y u deempeño. Pr ete o en epeífo e tendrí un Mp erno l 6% y un % menor l.4. Eto e muetr en l fgur 6.3: Códgo: z0.8; wp.; Hptf([*z*wp- wp^],[ *z*wp wp^] ltvew(hp

105 89 Fgur 6.3 Repuet del tem en el tempo, ervomenmo Se onluye que e pueden utlzr lo proedmento de lo pítulo 4 y 6 en onjunto pr obtener l repuet deed del tem tundo omo reguldor y omo ervomenmo l mmo tempo.

106 CAPÍULO 7: Sntonzón de un ontroldor PID tundo omo reguldor on el método de ubón de polo y ero Se derroll ontnuón un proedmento pr ntonzr ontroldore PID pr ontrolr un plnt de prmer orden, utlzndo l euone 3.4-4, y del método de Ubón de polo. L demotrone mtemát etán en el pénde FLC pr el reguldor El hber dertdo α en el o del ervomenmo no mpl que ete no funone en el o del reguldor, e por eto que, de l euón 3.3-4, e deduen l FLC pr el tem pr α y pr α. 7.. FLC pr α Pr α e obtene (ver pénde.4. l euón: b b Mz( (7.- 3 ( b( ξ ( b ξ ( ξb b b Se oberv de l eón 5.3 que el vlor de α e myor l vlor de α. Por lo que el tem 7.- e podrí proxmr por medo del tem 6.- pr vlore de b grnde ( pequeño, y que el polo rel etrá lejdo de lo polo omplejo onjugdo. L euone pr el ontroldor PID del método de ubón de polo y ero on pr α (reordndo 5.3-3, y 5.3-5: 90

107 9 (7.- ξ ξ (7.-3 ξ ξ ξ d ( FLC pr α Pr α e obtene (ver pénde.4. l euón: ( ( ( ( 3 ( ξ ξ ξ b b Mz (7.-5 Se oberv que el tem 7.-5 tene un polo ubdo empre en. Eto mpl que dependendo de l ubón de lo polo omplejo domnnte y del vlor de b, ete polo erí domnnte o no en l repuet del tem. L euone pr el ontroldor PID del método de ubón de polo y ero on pr α (reordndo 5.3-5, y 5.3-7: (7.-6 ξ ξ (7.-7 ξ ξ ξ d (7.-8

108 Como e oberv en l euone 7.- y 7.-5, en el tem tundo omo reguldor no puede relzre nngun mplfón, tmpoo e puede onderr que un ero eté o no er de lo polo y que etrá empre etrá en el orgen. L onderón en eto tem e un lejdo et el polo rel de lo omplejo onjugdo pr dtnto vlore de b. Pr eto e muln lo do tem pr dtnto vlore de ξ, y b pr umplr on un rtero de deempeño Deempeño en el domno del tempo De gul form que pr el ontroldor PI e utlzn lo rtero de deempeño demento ¼ y l ntegrle del error IAE e IAE pr medr el buen o ml omportmento del tem en el tempo. Pr el ontroldor PID funonndo omo reguldor, e tene que l repuet en el tempo depende, demá de ξ y, del vlor de l rzón (3.-3. Por lo que no e pueden obtener urv que ndquen l vrón de IAE, IAE o del demento ¼ pr todo lo tem en generl, no que deben obtenere pr d vlor dtnto de (o de u nvero b. Pr determnr l nfluen del vlor de e mul el tem 7.- y 7.- pr dtnto vlore de b pr obtener el omportmento de lo rtero de deempeño utlzr en el deño de lo ontroldore PID funonndo omo reguldor. 7.. Demento ¼ Pr el rtero del demento ¼ e obtuveron l fgur de l 7. l 7.3 pr α y l fgur 7.4 pr α.

109 93 Fgur 7. Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b Fgur 7. Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b5

110 94 Fgur 7.3 Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b0 Fgur 7.4 Vrón del l rzón E/E. Controldor PID, α, b

111 Se oberv en l fgur de l 7. l 7.3 que el demento ¼ que l urv e deplzn l dereh ( myore egún ument el vlor de b. Por lo que ete rtero en el o de α e dependente del vlor de b. En l fgur 7.4 e oberv que en el o de α el demento ¼ e emejnte que pr el o del α. No e obtuveron urvα y b5 o b0 debdo que no exte un egundo obrepo en l repuet en el tempo pr eto vlore. Eto e debe que, pr vlore de menore 0, no e preent un egundo obrepo, ete e preent pr vlore myore 5 y pr erto vlore de ξ. Se oberv en l fgur 7.4 que l urv nn en vlore de myore lo de l fgur , eto e debe que el vlor mínmo de e myor pr α que pr α, egún e oberv en l euón Crtero IAE Se obtuvo l vrón de l ntegrl del error IAE pr dtnto vlore de b pr lo do vlore de α. E onvenente en prmer ntn omprr l nfluen del vlor de b en el rtero IAE pr el vlor deα y α por eprdo. Pr eto e relzron l fgur 7.5 y 7.6 omprndo pr lo vlore de b de, 5 y 0. Ademá, e ompr l vrón del rtero IAE pr α y α en onjunto pr un vlor de b 5, eto e muetr en l fgur 7.7.

112 Fgur 7.5 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5,0 96

113 Fgur 7.6 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5,0 97

114 Fgur 7.7 Comprón del IAE prα y α, ontroldor PID, b5 98

115 Se oberv en l fgur 7.5 que pr el o de α el rtero IAE e nenble l vrón de b pr vlore de ξ lto omo e oberv en l fgur pr ξ , n embrgo el rtero muetr vrone pequeñ pr vlore de ξ bjo omo e oberv pr ξ En l fgur 7.6 e oberv que pr α el rtero IAE muetr un grn vrón pr lo dtnto vlore de b pero e ompletmente nenble l vrone en ξ. Ademá, e oberv en l fgur 7.7 que pr un mmo vlor de b, α produe un rtero IAE menor que α pr vlore de pequeño. Según e obervó en el pítulo 6, e mportnte tener vlore de pequeño pr no rer un ld en el ontroldor dfíl de egur por el tem. De eto e onluye que e onvenente utlzr el vlor de α debdo l po nfluen que tene el vlor de b en el rtero IAE pr vlore lto de ξ y debdo que lnz vlore menore de ete rtero pr vlore de pequeño. Pr obervr l nfluen del polo rel en b pr el o de α e obtene l fgur 7.8, en donde e obtene l vrón del rtero IAE pr dtnto vlore de b. Ademá e ompr on el o del ontroldor PI el ul no tene un polo rel (fgur 6..

116 00 Fgur 7.8 Vrón del IAE pr dtnto vlore de b, α, ontroldor PID, z0.4 Se oberv que undo el vlor de b ument, el rtero IAE e omport d vez má omo lo he on el ontroldor PI (líne mrd on x. De et fgur e onluye que pr vlore de b grnde el tem derto por l euón 7.- e puede proxmr l del o PI n un polo rel (E 6.-.

117 Crtero IAE Se obtuvo l vrón de l ntegrl del error IAE pr dtnto vlore de b olmente pr el vlor de α, debdo que e dertó en l eón nteror el uo del vlor de α. Se ompr l nfluen del vlor de b en el rtero IAE pr el vlor deα y lo vlore de b de, 5 y 0, eto e he en l fgur 7.9. Fgur 7.9 Vrón del IAE, ontroldor PID, α, b,5,0

118 Se oberv en l fgur nteror que el rtero IAE tene pequeñ vrone pr lo dtnto vlore de b, pr vlore de ξ lto y bjo. Se oberv que e tenen menore vlore de l ntegrl IAE pr vlore de ξ lto y on vlore de pequeño. Et e un ondón deeble en el deño del ontroldor debdo que pr eto vlore de pequeño, l ld del ontroldor no mb de form bru por lo que e má fál de egur por el tem. 0 Se nlz l nfluen del ero b pr dtnto vlore de b, pr eto e obtene l fgur 7.0, demá e ompr on el del o PI n un polo rel (fgur 6.3. Fgur 7.0 Vrón del IAE pr dtnto vlore de b, α, ontroldor PID, z0.4

119 03 Se oberv que undo el vlor de b e myor o gul, el rtero IAE e omport d vez má omo lo he on el ontroldor PI (líne mrd on x. De et fgur e onluye que pr vlore de b un poo myor, el tem derto por l euón 7.- e puede proxmr l del o PI n un polo rel (E Proedmento de Sntonzón El proedmento de ntonzón pr el o del ontroldor PID tundo omo reguldor e el guente:. Utlzr el vlor de α y lulr el vlor de b de l plnt (euón S e tene un vlor de b myor 0 y e utlz el rtero IAE, o un b myor y e utlz el rtero IAE, mplfr el tem 7.- por el tem 6.- y utlzr l fgur 6. y 6.3 pr obervr el omportmento de lo rtero de deempeño. De et e debe obtener el vlor de ξ y requerdo pr tener un vlor del IAE o IAE menor l requerdo en el deño, on el menor poble. 3. En o ontrro e debe utlzr el vlor de ξ 0. 85, debdo que el tem reultnte on ete vlor, l nfluen del vlor de b e po en el deempeño IAE y e lnzn vlore menore de l ntegrle IAE e IAE on vlore de pequeño; tl omo e obervó en l fgur 7.5 y Con el vlor de α y ξ obtener el menor vlor de poble de tl form que e teng un vlor de IAE o IAE menor l requerdo en el deño. Eto

120 grntz el no tener un ld en el ontroldor brupt y dfíl de egur. Pr eto e utlzn l fgur 7.5 y Con lo vlore de ξ y obtener lo prámetro del ontroldor PID utlzndo l euone de l 7.- l Obtener lo prámetro no normlzdo del ontroldor PID l dvdr l gnn de l euón 7.- por l gnn de l plnt y multplr el tempo ntegrl y el tempo dervtvo de l euone 7.-3 y 7.-4 repetvmente, por l ontnte de tempo de l plnt, egún Smulr el tem y verfr que en l repuet del tem e umpl el requermento de deño pr el IAE o el IAE Ejemplo Dd un plnt de egundo orden n tempo muerto en l euón 7.3- determnr lo prámetro de un ontroldor PID pr que l repuet del tem teng un ntegrl del error IAE menor 0.5. G p ( (7.3- ( 4 ( 0.8 El proedmento de ntonzón pr el o del ontroldor PID tundo omo reguldor e el guente: 4. b 5 0.8

121 . Debdo que el rtero utlzr e el IAE y b5 e myor, e puede utlzr l fgur 6.3, de et e obtene lo vlore de ξ y Sn embrgo, tmbén e pudo elegr ξ y utlzr l fgur 7.9 donde tmbén e obtene un vlor de., pr el vlor de b5 que e el o del preente ejemplo. 4. Utlzndo l euone de l 7.- l 7.-4 e obtenen lo prámetro normlzdo del ontroldor PID 3. 45, , Se obtenen lo prámetro no normlzdo del ontroldor PID,. 76, 3.3, d 6. Se relz l mulón en MALAB : Códgo: z0.85; wp.; b5; Hptf([b 0],[ b*z*wp wp^*z*b*wp b*wp^] ltvew(hp t0:0.05:0; mtep(hp,t; %Clul IAE de m: mm.*t; IAEptrpz(t,b(m d rnfer funton: ^ ^.6.05 IAEp 0.387

122 06 Fgur 7. Repuet del tem en el tempo, reguldor Se oberv en l fgur 7. que e determnn deudmente lo prámetro del ontroldor PID on el método de ubón de polo y ero. Se logró umplr on el prámetro de deño de IAE on lo vlore de ξ y obtendo on l fgur de ete proedmento. S e dee ver l repuet del tem pero tundo omo ervomenmo e utlzn l fgur 4. y 4.5 pr dre un de de l repuet en el tempo del tem y u deempeño. Pr ete o en epeífo e tendrí un Mp menor l 6% y un % erno.3. Eto e muetr en l fgur 7.:

123 07 Fgur 6.3 Repuet del tem en el tempo, ervomenmo Se onluye que e pueden utlzr lo proedmento de lo pítulo 5 y 7 en onjunto pr obtener l repuet deed del tem tundo omo reguldor y omo ervomenmo l mmo tempo.

124 CAPÍULO 8: Conluone y reomendone En el pítulo e revó el proedmento de ntonzón orgnl, lo ul permtó el derrollo mtemáto del reto del trbjo. Ademá e onluyó en ete pítulo que no exte nformón relevnte er del tem en otr fuente bblográf que yudr l derrollo del método propueto. En el pítulo 3 e obervó que l normlzón de l euone relzd fltó en grn mner l reoluón del problem, debdo que redujo lo prámetro en l euone del método de ubón de polo. Eto u vez fltó l mnpulón de l euone utlzd lo lrgo del trbjo. Se reomend en grn mner utlzr ete método de normlzón pr un mplfón útl l hor de derrollr nuevo método de ntonzón. En el pítulo 4 e obervo l vrón de l Dp pr el ontroldor PI. Se onluye de l fgur 4. que el vlor de ξ determn l dtn e gul ero pr erto vlor de. Como et dtn mde l nfluen del ero obre l repuet del tem e onluye que pr un vlor de ξ 0. 7el ero e el domnnte obre l repuet del tem y no lo polo omplejo onjugdo. Eto mpl que l proxmón de lo tem de lzo errdo un tem de egundo orden (euón.3- n un ero en el numerdor no e empre váld. Pr el o del método de ubón de polo y ero et proxmón no debe er tomd en uent l meno que e tengn vlore de pr lo ule l Dp e máxm (euón 4.-. ξ 08

125 De l fgur 4. e onluye que el obrepo máxmo no olmente depende del vlor de ξ omo uede en tem derto por l euón.3-, no que depende tmbén del vlor de. Ademá, e onluye que el obrepo máxmo tende reer onforme ree el vlor de debdo l nfluen del ero del tem. De l fgur 4.5 e onluye que exte un ompromo entre el Mp y el % y que un vlor de Mp muy pequeño requere vlore pequeño de lo ul oon que % e grnde. Se oberv en et fgur que on ert lmtone e puede logrr un determndo obrepo on dferente tempo de entmento, por ejemplo logrr un Mp de 0% y un % entre.5t y.5t o un determndo % on dferente obrepo. L lmtón onte en que no e pueden logrr % bjo pr Mp muy bjo (menore l 5%. Debdo que lo proedmento de ntonzón derto en lo pítulo 4 l 7 tomn en uent tnto l ubón de lo polo omo l de lo ero del tem e onluye que el método derto en eto proedmento debe llmre ubón de polo y ero y no olmente ubón de polo. Se obervó en el pítulo 5 que mple vt e muy dfíl obtener vlore de α, y ξ pr ntonzr el ontroldor PID pr logrr un repuet determnd. Se reomend utlzr el vlor de α pr ntonzr el ontroldor PID funonndo omo ervomenmo debdo que mplf l FLC del tem y l he equvlente l de un tem ontroldo por un PI, por lo que e pueden utlzr l fgur 4. l 4.6 pr ntonzr el ontroldor y logrr un determnd repuet en el tempo. Ademá ete 09

126 vlor de α permte l obtenón de prámetro del ontroldor PID de form tl que e pued lulr un ontroldor PID ere equvlente l del luldo por el método, l umplr l ondone dd por l euón Se onluye que el vlor de α no e deudo pr ntonzr el ontroldor PID funonndo omo ervomenmo, debdo que el deempeño del tem reultnte l utlzr ete vlor de α no e fálmente medble. Ademá no permte l obtenón de un ontroldor PID ere pr vlore de ξ <. En el pítulo 6 e motró que l FLC del ontroldor PI tundo omo reguldor no tene nd pr mplfre o onderr que un ero et o no er de lo polo. Ademá e obervó que l ntonzón e he únmente eleonndo lo vlore de ξ y pr que el vlor de l ntegrle del error IAE o IAE e menor o gul un vlor de deño. Eto nd l ldd de l repuet del tem en el tempo. Ademá, e onluye que l rzone E/E pr dtnto vlore de ξ on ontnte pr l vrón en el vlor de en el o del ontroldor PI. En el pítulo 7 e obervó de el vlor de α no e deudo pr ntonzr el ontroldor PID funonndo omo reguldor, debdo que el rtero IAE muetr un grn vrón pr lo dtnto vlore de b unque e nenble l vrone en ξ, demá e requeren de vlore de grnde pr logrr un vlor en l ntegrle del error IAE e IAE pequeño. Un vlor grnde de produe un ld del ontroldor brupt (rápd y on grn pendente l ul e dfíl de egur por el tem. Se onluye que el vlor deudo de α pr ntonzr el ontroldor omo reguldor e el de α,

127 debdo que produe vlore de IAE e IAE pequeño pr vlore de pequeño, demá de que ufre pequeñ vrone l umentr el vlor de b, ontrro lo que uede on el vlor de α. Según e obervó en l euón 7.-, el omportmento del tem en el tempo depende del vlor de b. L nfluen de ete vlor e obervó en l fgur 7.5 y 7.8 pr el rtero IAE y en l fgur 7.9 y 7.0 pr el rtero IAE. Anlzndo l fgur 7.5 y 7.8 e onluye que en o de tener un vlor de ξ erno 0.8, el rtero IAE ufre vrone muy pequeñ nte el mbo en el vlor de b. Ademá e tenen vlore de ξ pequeño, pero un vlor de b erno 0, el tem e puede proxmr l o del ontroldor PI, egún e derbe en l euón 6.-. Anlzndo l fgur 7.9 y 7.0 e onluye que el rtero IAE e fetdo on l vrón de b pr ulquer vlor de ξ. Sn embrgo, e tenen vlore de b myore el tem derto por l euón 7.- e puede proxmr l del o PI n un polo rel (E 6.-. Como e obervó en lo ejemplo del ervomenmo pr el ontroldor PI, no e onvenente utlzr el método onvenonl de ubón de polo pr logrr un repuet deed en térmno del obrepo máxmo, el tempo de entmento y el tempo l po (euone.3-,.3-3 y.3-4 debdo que et euone depren el efeto que tenen el ero o lo ero del tem en el deempeño. En lugr de eto e debe utlzr lo proedmento de deño derrolldo en lo pítulo del 4 l 7. De et form e egurrí que el tem umplrá deudmente on lo rtero de deño etbledo pr el omportmento del tem en el domno del tempo.

128 Según e obervó en lo ejemplo de lo pítulo 6 y 7, lo proedmento de lo pítulo 4 y 6 (PI, y 5 y 7 (PID e pueden utlzr en onjunto pr obervr el omportmento del tem l funonr omo reguldor y omo ervomenmo l mmo tempo. Pr el ontroldor PID on el tem tundo omo reguldor e utlzó el vlor de α, ete funonrá omo un ontroldor PI l tur omo ervomenmo, debdo que pr α un ero del numerdor nel el polo rel del denomndor. Se reomend ontnur el etudo del método de ubón de polo (hor método de ubón de polo y ero pr o má omplejo lo ule etán fuer del lne de ete etudo. Entre eto o e tene el deño de ontroldore PID de do grdo de lbertd, el deño pr plnt de prmer y egundo orden on tempo muerto, y fnlmente el deño pr l plnt de egundo orden on un ero en el emplno dereho del plno omplejo (rel potvo [3]. De eto o e pueden obtener método de deño de ontroldore PID de mportn prát en proeo de ontrol rele. Se reomend demá relzr un progrm de omputdor que mplemente l urv utlzd en lo proedmento de deño expueto, demá de obtener euone mtemát pr l mm. En un etp má vnzd e puede onfeonr tod un herrment en el lenguje de progrmón de MALAB pr yudr en el deño de ontroldore PID on el nuevo método de ubón de polo y ero.

129 BIBLIOGRAFÍA Lbro:. Alfro, V.M., Not de Cle pr el Lbortoro de Control Automáto, Euel de Ingenerí Elétr, U. de Cot R, Atröm,.J. y. Häglund. Automt unng of PID Controller, edón, Intrument Soety of Amer, Atröm,.J. y. Hägglund. PID Controller heory degn & unng, edón, Intrument Soety of Amer, Cln, S. Regultore utomte, Edtur ddt pedgog, Buret, Rumní, Ogt,. Ingenerí de Control Modern, 4 edón, Peron Eduón, S.A., Epñ, Peron, P. - owrd Autonomou PID Control, PhD he, Deprtment of Automt Control, Lund Inttute of ehnology, Lund, Sue Zegler, J.G. y N.B. Nhol, "Optmum Settng for Automt Controller", ASME rnton, Vol. 64, pág , 94. 3

130 APÉNDICES. Demotrón de Euone: Se mntene l numerón de l euone pr fltr l ubón de l mm en el l eone nterore.. Cpítulo 3.. Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo: Se derroll l FLC pr el o del ervomenmo uttuyendo l euone 3.- y 3.-5 en Mr(: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p p Mr G G G G r y Mr ( ( ( Mr (3.3-4

131 5 Se derroll l FLC pr el o del reguldor uttuyendo l euone 3.- y 3.-5 en Mz(: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p p Mz G G G z y Mz ( ( Mz ( Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo Se derroll l FLC pr el o del ervomenmo uttuyendo l euone 3.- y 3.-6 en Mr(: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 3 d d d d d d d d p p Mr Mr Mr G G G G r y Mr

132 6 ( ( ( ( 3 d d Mr (3.3-3 Se derroll l FLC pr el o del reguldor uttuyendo l euone 3.- y 3.-6 en Mz(: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 d d d p p Mr Mr G G G z y Mz ( ( ( 3 d Mz ( Prámetro del Controldor PI y Modelo de prmer orden normlzdo Se dee que el polnomo rteríto de l euón 3.3- e gul l de un tem de egundo orden normlzdo (denomndor de l euón 3.-: ( ξ ( ξ

133 7 Depejndo e tene que: ξ (3.4- ξ ( Prámetro del Controldor PID y Modelo de egundo orden normlzdo Se dee que el polnomo rteríto de l euón e gul l de un tem de egundo orden normlzdo má un polo rel: ( ( ( ( ( ( α ξα α ξ ξ α d d Igulndo térmno térmno e tene que: ( ( ( ( 3 α ξα ξ α d Depejndo lo prámetro del ontroldor e tene que: ( ξα (3.4-4 ( α ξα α 3 3 (3.4-5 ( ( ( ( ( ξα ξ α ξ α d (3.4-6

134 8. Cpítulo 4.. Derrollo de Mr( pr lo prámetro obtendo por el método de ubón de polo L FLC del ervomenmo pr el ontroldor PI on el modelo de prmer orden normlzdo e derroll ubttuyendo lo vlore de y obtendo por el método de ubón de polo (euone 3.4- y 3.4- en l euón 3.3-: ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ Mr Mr ( ( ξ ξ Mr (4.-.. Dtn entre el ero y l prte rel de lo polo L dtn entre el ero y l prte rel de lo polo e obtene l retr l ubón del ero on l prte rel de lo polo: ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Dp ( ( ξ ξ ξ Dp (4.-

135 9.3 Cpítulo 5.3. Derrollo de Mr( pr lo prámetro obtendo por el método de ubón de polo L FLC del ervomenmo pr el ontroldor PID on el modelo de egundo orden normlzdo e derroll ubttuyendo lo vlore de, y d obtendo por el método de ubón de polo (euone l 3.4-6, en l euón 3.3-3: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( α ξα ξ α α α ξα ξ α α ξα α ξ ξ α ( ( ( Mr Mr Mr d d d d d d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ξ α α ξα ξ α ξ α α ξα ξ α ξ α α α ξα α ξα ξ α α ξα α Mr Mr Mr

136 0 Suttuyendo el vlor de b e tene que: ( b ( α ( ξ ( ( α ξ b ( ξα 3 α Mr ( ( Clulo de Un vlor de α tl que un ero del numerdor de 5.- nele el polo rel en α mpl que α e un ero del numerdor. Suttuyendo α en el numerdor de l euón 5.- e depej el vlor de α tl que e nele el polo rel on un ero: Num ( ( α ξ b( α ( ( ξα b( α 3 ( α ξ b α ( ξα b α α α ( ξ b ( α ξα bα 3 3 α α 3 3 α α α α 3 ( ξ b α ( ξ b ξ ( b b 0 α 0 3 α ξα bα α α α bα 0 3 α 0 en Ftorzdo l últm expreón e obtene: α α ( b b ( α b( α 0 0 Por lo tnto lo vlore de α tl que uno de lo ero del numerdor nele el polo α on: α b, α (5.-

137 .3.3 Ubón de lo ero de Mr( Al uttur α b en el numerdor de l euón 5.- e tene que: ( ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ α ξα ξ α b b b b b b b b b b b b b b Num Ftorzdo l últm expreón e obtene: ( ( ( ( ( ( 0 0 b b b ξ ξ ξ Por lo tnto lo ero del numerdor de 5.- pr α b on:, b ξ (5.-3 Al uttur α en el numerdor de l euón 5.- e tene que: ( ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ α ξα ξ α b b b b b b b b Num Ftorzdo l últm expreón e obtene:

138 ( ( ξ b ( ξ b ( ξ b ( 0 0 Por lo tnto lo ero del numerdor de 5.- pr α on:, ξ b ( Euone del método de ubón de polo y Mr( reultnte uttur lo vlore de obtendo b Se uttuye el vlor de α en l euón 5.- y e utlz l euón 5.-3 pr obtener el numerdor mplfdo de et euón. Se obtene que: ( ξ ( b ( ξ Mr ( (5.3- b ( ( ξ ξ Se lul l dtn entre el ero y l prte rel de lo polo: Dp ( ξ ( ξ ξ ( ξ ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ξ ξ Dp (5.3-4

139 3 Lo prámetro del ontroldor PID e obtenen l uttur α en l euone de l l 3.4-6, por lo que e mplfn de l guente form: ( ( [ ] [ ] ( ξ ξ ξ ξα ξα b b b b b b b b b ( ξ (5.3-8 ( 3 3 ξ α b b ( ξ (5.3-9 ( ( ( ( ( ξα ξ ξα ξ ξ α b b d ( ξ ξ d (5.3-0 Se uttuye el vlor de α en l euón 5.- y e utlz l euón 5.-5 pr obtener el numerdor mplfdo de et euón. Se obtene que:

140 4 ( ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ b b Mr (5.3- Se lul l dtn entre el ero y l prte rel de lo polo: ( ( ( ( ( b b b b b Dp ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ( ( b b Dp ξ ξ ξ (5.3-4 Lo prámetro del ontroldor PID e obtenen l uttur α en l euone de l l 3.4-6, por lo que e mplfn de l guente form: ( [ ] b b b b ξ ξ ξα ( ξ (5.3-8 ( 3 3 ξ α ( ξ (5.3-9 ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ α d

141 5 ( ξ ξ d ( Condone pr obtener 4 d Pr α e ntroduen l euone y en l euón 5.6-: ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ d Depejndo e obtene: ± ξ ξ (5.6- Pr α e ntroduen l euone y en l euón 5.6-:

142 6 ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] d ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Depejndo e obtene: ( ± ξ ξ ( Cpítulo 7.4. Clulo de Mz( pr el vlor de α De l euón e tene l uttur α : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ α ξα ξ α ξ α b b b b b b b b Mz b b b b b Mz b Mz d ( ( ( ( 3 ( ξ ξ ξ b b b b b b Mz (7.-

143 7.4. Clulo de Mz( pr el vlor de α De l euón e tene l uttur α : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ α ξα ξ α ξ α b b Mz b b Mz b Mz d ( ( ( ( 3 ( ξ ξ ξ b b Mz (7.-5 Algortmo en MALAB. Algortmo pr l obtener l dtn Dp ontroldor PI Se debe umplr on l relón pr el vlor de de w mínmo. %Clul y grf Dp% z0.4:0.05:0.85; mlength(z; for :m; wmn(/(.*z(0.00; wmx0; wwmn:0.0:wmx; nlength(w; for j:n Dp(j,:(w(j.^.*(.*z(.^--z(.*w(j./((.*z(.*w(j-; end plot(w,dp; hold on; %Clul Máxmo Dp% [R,Ip]mx(Dp; Dpm(:,R; wm(:,w(ip; end plot(wm,dpm; %Clul y grf ntereone on eje x% zb0.75:0.05:0.85;

144 8 plength(zb; for k:p; wb(:,k(zb(k./(.*zb(k.^-; Dpb(:,k(wb(:,k.^.*(.*zb(k.^-- zb(k.*wb(:,k./((.*zb(k.*wb(:,k-; end plot(wb,dpb;. Algortmo pr l obtener l vrón de Mp, p y % pr dtnto vlore de z y w pr Mr( on el ontroldor PI Se muetr el lgortmo pr z0.4, e debe repetr pr lo dtnto vlore de z y mbndo lo nombre de l vrble H04, Q04, p04 y t04 pr poder grfr l urv l vez, e debe umplr on l relón pr el vlor de de w mínmo. %Clul funone de trnferen vrndo w de /(z ht 0: z0.4; wmn(./(.*z0.00; wmx0; wwmn:0.0:wmx; Nlength(w; for j :N H04(:,:,j tf([(*z*w(j- w(j^],[ *z*w(j w(j^]; end %Clul tep de l funone de trnferen en H e ntrodue lo reultdo en l olumn de m: t0:0.0:0; for :N m(:,tep(h04(:,:,,t; end %Clul Máxmo MP [R,Ip]mx(m; %Clul Máxmo MP en% Q04(R-; tpt(ip; %tempo l po p04tp; %Clul % nplength(t; for j:n mum(np,j; % vlor fnl nnp; whle m(n,j>(0.98*mu & (m(n,j<.0*mu nn-; end;

145 9 t(:,jt(n; %tempo de entmento l % end; t04t; Depué de ejeutr el ódgo nteror pr lo dtnto vlore de z (z e grfn l urv un por un: %Grf MP en % plot(w,q04,w,q045,w3,q05,w4,q055,w5,q06,w6,q065,w7,q07,w8,q075,w9,q08,w0,q085 %Grf plot(w,t04,w,t045,w3,t05,w4,t055,w5,t06,w6,t065,w7,t 07,w8,t075,w9,t08,w0,t085 %Grf p plot(w,p04,w,p045,w3,p05,w4,p055,w5,p06,w6,p065,w7,p07,w8, p075,w9,p08,w0,p085.3 Algortmo pr l obtener l dtn Dp ontroldor PID, α, b4 Se debe umplr pr α on l ondón 5.-6 pr el vlor mínmo de w. %Clul y grf Dp% b4; z0.4:0.05:0.85; mlength(z; for :m; wmn(b/(.*z(0.00; wmx; wwmn:0.0:wmx; nlength(w; for j:n Dp(j,:(w(j.^.*(.*z(.^-- b.*z(.*w(j./((.*z(.*w(j-b; end plot(w,dp; hold on; %Clul Máxmo Dp% [R,Ip]mx(Dp; Dpm(:,R; wm(:,w(ip; end plot(wm,dpm; %Clul y grf ntereone on eje x% zb0.75:0.05:0.85; plength(zb; for k:p; wb(:,k(b.*zb(k./(.*zb(k.^-;

146 30 Dpb(:,k(wb(:,k.^.*(.*zb(k.^-- b*zb(k.*wb(:,k./((.*zb(k.*wb(:,k-b; end plot(wb,dpb;.4 Algortmo pr l obtener l vrón de Mp pr dtnto vlore de z y w pr Mr( on el ontroldor PID, b, α. Se muetr el lgortmo pr z0.4, e debe repetr pr lo dtnto vlore de z y mbndo lo nombre de l vrble H04, pr poder grfr l urv l vez, Se debe umplr pr α on l ondón 5.-6 pr el vlor mínmo de w. b; %Clul funone de trnferen vrndo w, de b/(z ht 70% z0.4; wmnb/(*z; wmx30; wwmn:0.:wmx; NNlength(w; for j :NN H04(:,:,j tf([(*z*w(j-b w(j^],[ *z*w(j w(j^]; end %Clul tep de l funone de trnferen en H e ntrodue lo reultdo en l olumn de m: t0:0.0:0; for :NN m(:,tep(h04(:,:,,t; end %Clul Máxmo MP [R,Ip]mx(m; %Clul Máxmo MP en% Q04(R-; %Grf MP en % plot(w,q04,w,q045,w3,q05,w4,q055,w5,q06,w6,q065,w7,q07,w8,q075,w9,q08,w0,q085

147 .5 Algortmo pr l obtener l vrón del Mp pr dtnto vlore de b. Controldor PID, α. Se debe umplr pr α on l ondón 5.-6 pr el vlor mínmo de w. 3 b0:-:; MMMlength(b; for k:mmm %Clul funone de trnferen vrndo w, de b/(z ht 70% z0.7; wmnb(k/(*z; wmx30; wwmn:0.:wmx; NNlength(w; for j :NN H04(:,:,j tf([(*z*w(j-b(k w(j^],[ *z*w(j w(j^]; end %Clul tep de l funone de trnferen en H e ntrodue lo reultdo en l olumn de m: t0:0.0:0; for :NN m(:,tep(h04(:,:,,t; end %Clul Máxmo MP [R,Ip]mx(m; %Clul Máxmo MP en% Q04(R-; plot(w,q04; hold on; end

148 .6 Vrón del Crtero demento ¼ y de l ntegrle IAE e IAE pr el ontroldor PI 3 Se muetr el lgortmo pr z0.4, e debe repetr pr lo dtnto vlore de z y mbndo lo nombre de l vrble H04, ZN, IAE04 e IAE04 pr poder grfr l urv l vez, e debe umplr on l relón pr el vlor de de w mínmo. %Clul funone de trnferen vrndo w, de b/(z ht 0% z0.4; wmn/(*z; wmx0; wwmn:0.05:wmx; NNlength(w; for j :NN H04(:,:,j tf([ 0],[ *z*w(j w(j^]; end %Clul tep de l funone de trnferen en H e ntrodue lo reultdo en l olumn de m: t0:0.05:0; for :NN m(:,tep(h04(:,:,,t; end %Clul Máxmo MP for :NN mn(:,m(:, m(pek; pekv(,:mout; end ZNpekv(:,./pekv(:,; %Clul IAE de m: IAE04trpz(t,b(m; %Clul IAE de m: for :NN m(:,m(:,.*t; end IAE04trpz(t,b(m; Depué de ejeutr el ódgo nteror pr lo dtnto vlore de z (z e grfn l urv un por un: plot(w,zn,w,zn,w3,zn3,w4,zn4,w5,zn5,w6,zn6,w7,zn7,w8,zn8,w9,zn9,w0,zn0; %Grf IAE

149 33 plot(w,iae04,w3,iae05,w5,iae06,w7,iae07,w9,iae08; %Grf IAE plot(w,iae04,w,iae045,w3,iae05,w4,iae055,w5,iae06,w6,iae065,w7,iae07,w8,iae075,w9,iae08,w0,iae085 El modelo en Smulnk pek utlzdo en el lgortmo nteror e el guente: Fgur A Modelo en Smulnk pr obtener máxmo del rtero Demento ¼ L onfgurón de lo bloque e l guente: Fgur A Confgurón de lo bloque del modelo en Smulnk pr obtener lo máxmo del rtero Demento ¼